高中数学人教新课标A版选修2-1（理科）第三章3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示同步练习
一、单选题
1．在以下三个命题中，真命题的个数是（ ）
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；
②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；
③若a、b是两个不共线的向量，且 ，则 构成空间的一个基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ）
A．a,2b,3c B．a+b,b+c,c+a
C．a+2b,2b+3c,3a-9c D．a+b+c,b,c
3．已知向量 是空间的一个基底，向量 是空间的另一个基底，一向量p在基底 下的坐标为 ，则向量p在基底 下的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．若向量 、 、 的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O是空间任一点），则能使向量 、 、 成为空间一组基底的关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知空间四边形OABC， ，N分别是OA，BC的中点，且 ， ， =c，用a，b，c表示向量 为（ ）
A． B．
C． D．
6．以下四个命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则P，A，B三点共线
B．向量 是空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底
C．
D．△ABC是直角三角形的充要条件是
7．若 是空间的一个基底， ， ， ， ， ，则x，y，z的值分别为（ ）
A． ，-1，- B． ，1，
C．- ，1，- D． ，1，-
8．如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， 为A1C1的中点，若=a， ， ，则下列向量与 相等的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在正方体 中，用 ， ， 作为基向量，则 = .
二、填空题
10．已知四面体ABCD中， ， ，AC，BD的中点分别为E，F，则 = .
11．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若 ，则x+y+z
三、解答题
12．如图所示，在正四棱柱 中， ， 分别为底面 、底面 的中心， ， ， 为 的中点， 在 上，且 .
（1）以 为原点，分别以 ， 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．
（2）以 D 为原点，分别以 ，DC，DD1所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．
13．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD=1，求 、 的坐标．
14．如图所示，N，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量 ， ， 表示 和 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】①正确，表示基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a，b不共线．
当 时，a、b、c共面，故只有①②正确．故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】空间任何三个不共面的向量可以成为基底.
2．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】-3(a+2b)+3(2b+3c)+(3a-9c)=0，∴，3a-9c=3(a+2b)-3(2b+3c)
即三向量a+2b,2b+3c,3a-9c共面，故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】空间任何不共面的三个向量可以构成基底.
3．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】设p在基底 下的坐标为 ，
则 ，
所以 解得
故p在基底 下的坐标为 .
【分析】根据空间向量基本定理可知：设=（x，y，z），则=x（+）+y（-）+z=+2+3，整理等式的左边后根据等式左右两边、、的系数相等列出方程即可求解.
4．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A.因为 ，所以M、A、B、C共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，故A不符合题意；
B. ，但可能 ，即M、A、B、C可能共面，所以向量 、 、 不一定能成为空间的一组基底，故B不符合题意；D.∵ ，∴M、A、B、C共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，故D不符合题意；故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】因为空间任意不共面的三个向量可以作为基底，所以根据“若=x+y+z，且x+y+z=1，则M、A、B、C四点共面，此时、、共面”进行判断即可.
5．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】如图所示，连接ON，AN，则 ， ，
所以 .
【分析】根据向量加法的平行四边形法则可知：=（+），=（+），=（+）=（+），而=.
6．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积的性质；空间向量基本定理
【解析】【解答】A.若 ，则P、A、B三点不共线，故A不符合题意；
B.假设存在实数k1，k2，使 ，则有 方程组无解，即向量a+b，b+c，c+a不共面，故B符合题意；
C. ，故C不符合题意；
D. △ABC是直角三角形，但△ABC是直角三角形，可能是角B等于90°，则有 ，故D不符合题意．
故答案为：B .
【分析】A.根据三点共线定理可知：若=+，且=1时，P、A、B三点共线；B.空间中任意不共面的三个向量都可构成空间的一个基底；C.因为=，而；D.= 0是直角三角形，且=90，而是直角三角形时，也可能是角B或角C等于90，所以不是必要条件.
7．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】 =(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3=e1+2e2+3e3 ，
由空间向量基本定理，得 ∴x= ，y=-1，z=- .
【分析】将，，代入=x+y+z中并整理，可得到关于x，y，z的三个方程，联立方程即可求解.
8．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 .
【分析】根据向量的加法的三角形法则可将用，表示，根据向量加法的平行四边形法则可知：=（+）=(+).
9．【答案】
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】
，所以 .
【分析】根据向量的加法法则可知：=++=++，所以2=2（++）=（+）+（+）+（+）.
10．【答案】3a+3b-5c
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则 .
【分析】取BC中点G，连接EG，FG，由向量的减法法则可将用和表示，再根据=，==即可求解.
11．【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】如图所示，有.
又因为 ，所以 解得
所以
【分析】根据向量的加法原则将用、、表示，即可求出x、y、z的值.
12．【答案】（1）解：正方形 中， ，∴ ，从而 ，
∴各点坐标分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
（2）解：同理， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质求出OA、OB、OC、OD的长度，再根据点O为坐标原点，点A在x 轴的正半轴上，点C在x 轴的负半轴上，点B在y 轴正半轴上，点D在y 轴负半轴上即可出以点 O 、A、C、B、D的坐标，点O1、A1、C1、B1、D1在xOy平面上的射影分别为点O 、A、C、B、D，且AA1=4，即可写出点O1、A1、C1、B1、D1，根据中点坐标公式可写出点M的坐标，根据点N在xOy平面上的射影为点C，且CN=3可写出点N的坐标.（2）根据点D为坐标原点，点A在x 轴的正半轴上，点C在y 轴的正半轴上，点D1在z 轴正半轴上可以写出点D、A、C、D1的坐标，根据点B在xDy平面内且在x轴、y轴的射影分别为点A、点C可写出点B的坐标，点O1、A1、C1、B1在xDy平面上的射影分别为点O 、A、C、B，且AA1=4，即可写出点O1、A1、C1、B1的坐标，根据中点坐标公式可分别得到点O和点M的坐标，根据点N在xDy平面上的射影为点C，且CN=3可写出点N的坐标.
13．【答案】解：∵PA=AD=AB，且 平面ABCD， ，
∴以DA，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示.设
∵
，
∴ ，
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示
【解析】【分析】以点A为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，根据向量的加法原则将用、、表示出来，即可的到的坐标；根据=可得的坐标.
14．【答案】解： ；
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【分析】根据向量减法的三角形法则可知：==；根据向量加法的平行四边形法则可知：=（+）；而根据向量加法的三角形法则可知：=+=+.
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一、单选题
1．在以下三个命题中，真命题的个数是（ ）
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；
②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；
③若a、b是两个不共线的向量，且 ，则 构成空间的一个基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】①正确，表示基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a，b不共线．
当 时，a、b、c共面，故只有①②正确．故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】空间任何三个不共面的向量可以成为基底.
2．若 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ）
A．a,2b,3c B．a+b,b+c,c+a
C．a+2b,2b+3c,3a-9c D．a+b+c,b,c
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】-3(a+2b)+3(2b+3c)+(3a-9c)=0，∴，3a-9c=3(a+2b)-3(2b+3c)
即三向量a+2b,2b+3c,3a-9c共面，故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】空间任何不共面的三个向量可以构成基底.
3．已知向量 是空间的一个基底，向量 是空间的另一个基底，一向量p在基底 下的坐标为 ，则向量p在基底 下的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】设p在基底 下的坐标为 ，
则 ，
所以 解得
故p在基底 下的坐标为 .
【分析】根据空间向量基本定理可知：设=（x，y，z），则=x（+）+y（-）+z=+2+3，整理等式的左边后根据等式左右两边、、的系数相等列出方程即可求解.
4．若向量 、 、 的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O是空间任一点），则能使向量 、 、 成为空间一组基底的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A.因为 ，所以M、A、B、C共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，故A不符合题意；
B. ，但可能 ，即M、A、B、C可能共面，所以向量 、 、 不一定能成为空间的一组基底，故B不符合题意；D.∵ ，∴M、A、B、C共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，故D不符合题意；故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】因为空间任意不共面的三个向量可以作为基底，所以根据“若=x+y+z，且x+y+z=1，则M、A、B、C四点共面，此时、、共面”进行判断即可.
5．已知空间四边形OABC， ，N分别是OA，BC的中点，且 ， ， =c，用a，b，c表示向量 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】如图所示，连接ON，AN，则 ， ，
所以 .
【分析】根据向量加法的平行四边形法则可知：=（+），=（+），=（+）=（+），而=.
6．以下四个命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则P，A，B三点共线
B．向量 是空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底
C．
D．△ABC是直角三角形的充要条件是
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积的性质；空间向量基本定理
【解析】【解答】A.若 ，则P、A、B三点不共线，故A不符合题意；
B.假设存在实数k1，k2，使 ，则有 方程组无解，即向量a+b，b+c，c+a不共面，故B符合题意；
C. ，故C不符合题意；
D. △ABC是直角三角形，但△ABC是直角三角形，可能是角B等于90°，则有 ，故D不符合题意．
故答案为：B .
【分析】A.根据三点共线定理可知：若=+，且=1时，P、A、B三点共线；B.空间中任意不共面的三个向量都可构成空间的一个基底；C.因为=，而；D.= 0是直角三角形，且=90，而是直角三角形时，也可能是角B或角C等于90，所以不是必要条件.
7．若 是空间的一个基底， ， ， ， ， ，则x，y，z的值分别为（ ）
A． ，-1，- B． ，1，
C．- ，1，- D． ，1，-
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】 =(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3=e1+2e2+3e3 ，
由空间向量基本定理，得 ∴x= ，y=-1，z=- .
【分析】将，，代入=x+y+z中并整理，可得到关于x，y，z的三个方程，联立方程即可求解.
8．如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， 为A1C1的中点，若=a， ， ，则下列向量与 相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 .
【分析】根据向量的加法的三角形法则可将用，表示，根据向量加法的平行四边形法则可知：=（+）=(+).
9．如图，在正方体 中，用 ， ， 作为基向量，则 = .
【答案】
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】
，所以 .
【分析】根据向量的加法法则可知：=++=++，所以2=2（++）=（+）+（+）+（+）.
二、填空题
10．已知四面体ABCD中， ， ，AC，BD的中点分别为E，F，则 = .
【答案】3a+3b-5c
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则 .
【分析】取BC中点G，连接EG，FG，由向量的减法法则可将用和表示，再根据=，==即可求解.
11．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若 ，则x+y+z
【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】如图所示，有.
又因为 ，所以 解得
所以
【分析】根据向量的加法原则将用、、表示，即可求出x、y、z的值.
三、解答题
12．如图所示，在正四棱柱 中， ， 分别为底面 、底面 的中心， ， ， 为 的中点， 在 上，且 .
（1）以 为原点，分别以 ， 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．
（2）以 D 为原点，分别以 ，DC，DD1所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．
【答案】（1）解：正方形 中， ，∴ ，从而 ，
∴各点坐标分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
（2）解：同理， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质求出OA、OB、OC、OD的长度，再根据点O为坐标原点，点A在x 轴的正半轴上，点C在x 轴的负半轴上，点B在y 轴正半轴上，点D在y 轴负半轴上即可出以点 O 、A、C、B、D的坐标，点O1、A1、C1、B1、D1在xOy平面上的射影分别为点O 、A、C、B、D，且AA1=4，即可写出点O1、A1、C1、B1、D1，根据中点坐标公式可写出点M的坐标，根据点N在xOy平面上的射影为点C，且CN=3可写出点N的坐标.（2）根据点D为坐标原点，点A在x 轴的正半轴上，点C在y 轴的正半轴上，点D1在z 轴正半轴上可以写出点D、A、C、D1的坐标，根据点B在xDy平面内且在x轴、y轴的射影分别为点A、点C可写出点B的坐标，点O1、A1、C1、B1在xDy平面上的射影分别为点O 、A、C、B，且AA1=4，即可写出点O1、A1、C1、B1的坐标，根据中点坐标公式可分别得到点O和点M的坐标，根据点N在xDy平面上的射影为点C，且CN=3可写出点N的坐标.
13．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD=1，求 、 的坐标．
【答案】解：∵PA=AD=AB，且 平面ABCD， ，
∴以DA，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示.设
∵
，
∴ ，
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示
【解析】【分析】以点A为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，根据向量的加法原则将用、、表示出来，即可的到的坐标；根据=可得的坐标.
14．如图所示，N，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量 ， ， 表示 和 .
【答案】解： ；
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【分析】根据向量减法的三角形法则可知：==；根据向量加法的平行四边形法则可知：=（+）；而根据向量加法的三角形法则可知：=+=+.
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