高中数学人教新课标A版选修2-1（理科）第三章3.1.3空间向量的数量积运算同步练习
一、单选题
1．已知空间四面体D-ABC的每条棱长都等于1，点E,F分别是AB,AD的中点，则 等于（ ）
A． B．- C． D．-
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意知 ，故 .
【分析】由题意可知=，然后根据向量数量积的运算公式：=cos<，>即可求解
2．已知 ，且a-b与a垂直，则a与b的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】∵a-b与a垂直，∴ ，
∴
∴
【分析】根据可知=0，将该等式展开即可求解.
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】向量的模
【解析】【解答】 ，
∵ 故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】因为，均为单位向量，则==1，根据=即可求解.
4．如图，已知四面体 每条棱长等于 ，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由条件可知 ，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，
故D不符合题意.故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】根据向量数量积的运算公式：=cos<，>进行验证即可.
5．在正方体 中，有下列命题：① ；② ；③ 与 的夹角为 .
其中正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】根据数量积的定义知：①②正确， 与 的夹角为 ，∴③不正确，
故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】在正方体中（++）2=2=32；由A1CAB1可知（-）==0；与的夹角是120.
6．如图，正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么（ ）
A．
B．
C．
D． 与 不能比较大小
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵
，
.
∴ .
【分析】由向量加减法法则可知：=（+），=-，=-，那么=0，0.
7．设A,B,C,D是空间不共面的四点，且满足 ， ， ，则△BCD是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定
【答案】B
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】
，
∴ 为锐角，同理 为锐角．
∴△BCD为锐角三角形，故B符合题意.
故答案为：B .
【分析】根据向量的减法法则可知：=-，=-，那么=（-）（-）=20，所以cos0，则是锐角，同理可知，均为锐角.
8．在空间四边形OABC中，OB=OC， ，则 等于（ ）
A． B． C．- D．0
【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】
，∴
故答案为：D .
【分析】根据向量减法法则将用，表示，然后根据向量的数量积运算法则可知：=0，所以cos<，>=0.
二、填空题
9．已知， 满足 ，且 ，若a与b的夹角为 ，则 .
【答案】4
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由 得， ，所以 4.
【分析】根据数量积的运算法则可知：=cos<，>即可求解.
10．已知正方体 的棱长为 ，则 = .
【答案】a2
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】
【分析】由“方向相同，大小相等的两个向量相等”可知：=，且<，>=60，则根据数量积的运算法则可得：==cos<，>.
11．已知 ， ，m=a+b， 则 .
【答案】-
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由 ，得 ，所以 ，
所以 即 所以 .
【分析】根据“=0”列出等式并整理，再将2=2，2=2，=cos<，>代入即可求解.
三、解答题
12．已知空间四边形OABC中， ，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：
【答案】证明：如图所示，
设 ， ， ， ，则 .∵ ， ，∴
，∴ ，即
【知识点】空间向量的加减法；向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】设AOB=BOC=AOC=，=，=，=，则==，根据向量的加减法法则分别将，用，，表示，再根据向量的运算法则可知：=0，所以，即OGBC.
13．如图所示，已知P是△ABC所在平面外一点， ，
求证： P在面ABC上的射影H是△ABC的垂心．
【答案】证明：∵ ，
∴ ， 平面PBC.
∴ .由题意可知， 面ABC，
∴ ， ， .
∴ .
∴ .
同理可证 ， .
∴H是△ABC的垂心．
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】由题意可知=0，=0，=0，且PA平面ABC，PH平面ABC，所以=0，=0，=0，=0，根据向量的减法的法则将用，表示，根据向量的运算法则可得：=0，所以，即AHBC，同理可证BHAC，CHAB，所以点H为的垂心.
14．如图在正方体 中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证： 平面GBD.
【答案】证明：设 ， ， ，则 ， ， .
而 ，
，
.
∴
.
∴ ，∴ .同理可证 ，∴ .
又 且 平面BDG，∴ 平面GBD.
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】设=，=，=，则根据、、两两互相垂直可知：=0，=0，=0，根据向量加减法法则分别将，，用，，表示，然后向量的运算法则可得：=0，=0，所以，，即A1OBD，A1OOG，根据线面垂直的判定定理即可证明.
1 / 1高中数学人教新课标A版选修2-1（理科）第三章3.1.3空间向量的数量积运算同步练习
一、单选题
1．已知空间四面体D-ABC的每条棱长都等于1，点E,F分别是AB,AD的中点，则 等于（ ）
A． B．- C． D．-
2．已知 ，且a-b与a垂直，则a与b的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．4
4．如图，已知四面体 每条棱长等于 ，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是（ ）
A． B． C． D．
5．在正方体 中，有下列命题：① ；② ；③ 与 的夹角为 .
其中正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图，正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么（ ）
A．
B．
C．
D． 与 不能比较大小
7．设A,B,C,D是空间不共面的四点，且满足 ， ， ，则△BCD是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定
8．在空间四边形OABC中，OB=OC， ，则 等于（ ）
A． B． C．- D．0
二、填空题
9．已知， 满足 ，且 ，若a与b的夹角为 ，则 .
10．已知正方体 的棱长为 ，则 = .
11．已知 ， ，m=a+b， 则 .
三、解答题
12．已知空间四边形OABC中， ，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：
13．如图所示，已知P是△ABC所在平面外一点， ，
求证： P在面ABC上的射影H是△ABC的垂心．
14．如图在正方体 中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证： 平面GBD.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意知 ，故 .
【分析】由题意可知=，然后根据向量数量积的运算公式：=cos<，>即可求解
2．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】∵a-b与a垂直，∴ ，
∴
∴
【分析】根据可知=0，将该等式展开即可求解.
3．【答案】C
【知识点】向量的模
【解析】【解答】 ，
∵ 故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】因为，均为单位向量，则==1，根据=即可求解.
4．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由条件可知 ，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，
故D不符合题意.故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】根据向量数量积的运算公式：=cos<，>进行验证即可.
5．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】根据数量积的定义知：①②正确， 与 的夹角为 ，∴③不正确，
故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】在正方体中（++）2=2=32；由A1CAB1可知（-）==0；与的夹角是120.
6．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵
，
.
∴ .
【分析】由向量加减法法则可知：=（+），=-，=-，那么=0，0.
7．【答案】B
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】
，
∴ 为锐角，同理 为锐角．
∴△BCD为锐角三角形，故B符合题意.
故答案为：B .
【分析】根据向量的减法法则可知：=-，=-，那么=（-）（-）=20，所以cos0，则是锐角，同理可知，均为锐角.
8．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】
，∴
故答案为：D .
【分析】根据向量减法法则将用，表示，然后根据向量的数量积运算法则可知：=0，所以cos<，>=0.
9．【答案】4
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由 得， ，所以 4.
【分析】根据数量积的运算法则可知：=cos<，>即可求解.
10．【答案】a2
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】
【分析】由“方向相同，大小相等的两个向量相等”可知：=，且<，>=60，则根据数量积的运算法则可得：==cos<，>.
11．【答案】-
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由 ，得 ，所以 ，
所以 即 所以 .
【分析】根据“=0”列出等式并整理，再将2=2，2=2，=cos<，>代入即可求解.
12．【答案】证明：如图所示，
设 ， ， ， ，则 .∵ ， ，∴
，∴ ，即
【知识点】空间向量的加减法；向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】设AOB=BOC=AOC=，=，=，=，则==，根据向量的加减法法则分别将，用，，表示，再根据向量的运算法则可知：=0，所以，即OGBC.
13．【答案】证明：∵ ，
∴ ， 平面PBC.
∴ .由题意可知， 面ABC，
∴ ， ， .
∴ .
∴ .
同理可证 ， .
∴H是△ABC的垂心．
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】由题意可知=0，=0，=0，且PA平面ABC，PH平面ABC，所以=0，=0，=0，=0，根据向量的减法的法则将用，表示，根据向量的运算法则可得：=0，所以，即AHBC，同理可证BHAC，CHAB，所以点H为的垂心.
14．【答案】证明：设 ， ， ，则 ， ， .
而 ，
，
.
∴
.
∴ ，∴ .同理可证 ，∴ .
又 且 平面BDG，∴ 平面GBD.
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】设=，=，=，则根据、、两两互相垂直可知：=0，=0，=0，根据向量加减法法则分别将，，用，，表示，然后向量的运算法则可得：=0，=0，所以，，即A1OBD，A1OOG，根据线面垂直的判定定理即可证明.
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