高中数学人教新课标A版选修2-1（理科）第三章3.1.1 空间向量及其加减运算，3.1.2空间向量的数乘运算同步练习
一、单选题
1．如图，在底面 为平行四边形的四棱柱 中，M是AC与BD的交点，若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ，故A符合题意.
故答案为：A .
【分析】根据向量的加减法法则将用，，包表示即可求解.
2．如图，在正方体 中，若 ，则x+y+z的值为（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意可得 ，
∵ ，∴x=1，y=-1，z=1．故x+y+z=1，故B符合题意．
故答案为：B .
【分析】根据向量的加减法法则将用，，表示即可求出x，y，z的值，进而可求出x+y+z的值.
3．在直三棱柱 中，若 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ，
故D符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据向量的加减法法则即可求解.
4．已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则 等于（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 .
【分析】根据向量的加法法则可知：=+，=+，=+，=+，=+，=+.
5．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若 ，，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
．故C符合题意．
故答案为：C .
【分析】根据向量的加减法法则即可求解.
6．已知空间四边形 ，其对角线为 ， 分别是 的中点，点 在线段 上，且使 ，用向量 表示向量 是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
，故A符合题意.
故答案为：A .
【分析】根据向量的加减法法则即可求解.
7．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有 ，则P，A，B，C四点（ ）
A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】由已知可得 ，即 ，可得 ，
所以 ， ， 共面但不共线，故P，A，B，C四点共面．故B符合题意
故答案为：B .
【分析】等式两边同时减去并整理可=（+），则由向量基本定理可知，，共面，所以P，A，B，C四点共面.
8．设 （其中 是两两垂直的单位向量），若 ，则实数 的值分别是（ ）
A．1，-2，-3 B．-2，1，-3 C．-2，1，3 D．-1，2，3
【答案】B
【知识点】空间向量的数乘运算
【解析】【解答】由题意得 ，因此 故B符合题意.
故答案为：B .
【分析】将=2-+，=+3-2，=-2+-3代入=++v中并整理，列出方程组即可求解.
9．如图，在直三棱柱 中，若=， ， ，则 .（用a，b，c表示）
【答案】-+-
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
【分析】根据向量加减法法则即可求解.
10．已知 ， ， 三点共线，则对空间任一点 ，存在三个不为 的实数 λ ， m， n，使 ，那么 的值为 ．
【答案】0
【知识点】平面向量的共线定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】∵， B， 三点共线，∴存在唯一实数 ，使 ，
即 ，∴ ，
又 ，∴ ，m=1，n=-k，
则λ+m+n=0.
【分析】根据A，B，C三点共线可知存在唯一实数k使=k，即-=k（-），整理后找出，m，n的对应值即可求解.
11．在正方体 中，给出以下向量表达式：
① ；② ；
③ ；④ .
其中能够化简为向量 的是 ．
【答案】①②
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】①中， ；
②中， ；
③中， ；
④中， ．
【分析】根据向量的三角形法则和平行四边形法则进行化简即可.
二、解答题
12．如图所示，在长、宽、高分别为AB=3，AD=2， 的长方体 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：
（1）单位向量共有多少个？
（2）试写出模为 的所有向量；
（3）试写出与 相等的所有向量；
（4）试写出 的相反向量．
【答案】（1）解：由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的 ， ， ， ， ， ， ， 这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个
（2）解：由于这个长方体的左右两个面的对角线长均为 ，故模为 的向量有 ， ， ， ， ， ， ，
（3）解：与向量 相等的向量（除它自身之外）有 ， ，
（4）解：向量 的相反向量为 ， ， ，
【知识点】向量的模；单位向量；相等向量与相反向量
【解析】【分析】（1）根据单位向量的定义：“模长等于1的向量是单位向量”即可判断；（2）在长方体中找到以顶点为端点的长度是的线段；（3）大小相等方向相同的向量为相等向量；（4）大小相等方向相反的向量是相反向量.
13．在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为CD和AD的中点，试化简 ，并在图中标出化简结果的向量．
【答案】解：∵G为△BCD的重心，BE是CD边上的中线，
∴ ，又
，
∴ .
标注的向量如图所示.
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【分析】根据三角形重心的性质可知=，根据向量的减法的三角形法则将用和表示，进而求解.
14．如图，已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点，且 ， ， ， ， ， ， .
求证：
（1）A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）解：∵ ， ，∴A、B、C、D四点共面．
∵ ， ，∴E、F、G、H四点共面
（2）解： = ，∴ .
（3）解：
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）根据平面向量基本定理即可证明；（2）根据向量的减法的三角形法则将用和表示，将用和i表示，进而得=k；（3）根据平面向量的加法的三角形法则将用和表示，进而即可证明.
1 / 1高中数学人教新课标A版选修2-1（理科）第三章3.1.1 空间向量及其加减运算，3.1.2空间向量的数乘运算同步练习
一、单选题
1．如图，在底面 为平行四边形的四棱柱 中，M是AC与BD的交点，若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是 （ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在正方体 中，若 ，则x+y+z的值为（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
3．在直三棱柱 中，若 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则 等于（ ）
A． B． C． D．0
5．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若 ，，则 （ ）
A． B．
C． D．
6．已知空间四边形 ，其对角线为 ， 分别是 的中点，点 在线段 上，且使 ，用向量 表示向量 是（ ）
A． B．
C． D．
7．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有 ，则P，A，B，C四点（ ）
A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线
8．设 （其中 是两两垂直的单位向量），若 ，则实数 的值分别是（ ）
A．1，-2，-3 B．-2，1，-3 C．-2，1，3 D．-1，2，3
9．如图，在直三棱柱 中，若=， ， ，则 .（用a，b，c表示）
10．已知 ， ， 三点共线，则对空间任一点 ，存在三个不为 的实数 λ ， m， n，使 ，那么 的值为 ．
11．在正方体 中，给出以下向量表达式：
① ；② ；
③ ；④ .
其中能够化简为向量 的是 ．
二、解答题
12．如图所示，在长、宽、高分别为AB=3，AD=2， 的长方体 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：
（1）单位向量共有多少个？
（2）试写出模为 的所有向量；
（3）试写出与 相等的所有向量；
（4）试写出 的相反向量．
13．在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为CD和AD的中点，试化简 ，并在图中标出化简结果的向量．
14．如图，已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点，且 ， ， ， ， ， ， .
求证：
（1）A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；
（2） ；
（3） .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ，故A符合题意.
故答案为：A .
【分析】根据向量的加减法法则将用，，包表示即可求解.
2．【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意可得 ，
∵ ，∴x=1，y=-1，z=1．故x+y+z=1，故B符合题意．
故答案为：B .
【分析】根据向量的加减法法则将用，，表示即可求出x，y，z的值，进而可求出x+y+z的值.
3．【答案】D
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ，
故D符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据向量的加减法法则即可求解.
4．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 .
【分析】根据向量的加法法则可知：=+，=+，=+，=+，=+，=+.
5．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
．故C符合题意．
故答案为：C .
【分析】根据向量的加减法法则即可求解.
6．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
，故A符合题意.
故答案为：A .
【分析】根据向量的加减法法则即可求解.
7．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】由已知可得 ，即 ，可得 ，
所以 ， ， 共面但不共线，故P，A，B，C四点共面．故B符合题意
故答案为：B .
【分析】等式两边同时减去并整理可=（+），则由向量基本定理可知，，共面，所以P，A，B，C四点共面.
8．【答案】B
【知识点】空间向量的数乘运算
【解析】【解答】由题意得 ，因此 故B符合题意.
故答案为：B .
【分析】将=2-+，=+3-2，=-2+-3代入=++v中并整理，列出方程组即可求解.
9．【答案】-+-
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
【分析】根据向量加减法法则即可求解.
10．【答案】0
【知识点】平面向量的共线定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】∵， B， 三点共线，∴存在唯一实数 ，使 ，
即 ，∴ ，
又 ，∴ ，m=1，n=-k，
则λ+m+n=0.
【分析】根据A，B，C三点共线可知存在唯一实数k使=k，即-=k（-），整理后找出，m，n的对应值即可求解.
11．【答案】①②
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】①中， ；
②中， ；
③中， ；
④中， ．
【分析】根据向量的三角形法则和平行四边形法则进行化简即可.
12．【答案】（1）解：由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的 ， ， ， ， ， ， ， 这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个
（2）解：由于这个长方体的左右两个面的对角线长均为 ，故模为 的向量有 ， ， ， ， ， ， ，
（3）解：与向量 相等的向量（除它自身之外）有 ， ，
（4）解：向量 的相反向量为 ， ， ，
【知识点】向量的模；单位向量；相等向量与相反向量
【解析】【分析】（1）根据单位向量的定义：“模长等于1的向量是单位向量”即可判断；（2）在长方体中找到以顶点为端点的长度是的线段；（3）大小相等方向相同的向量为相等向量；（4）大小相等方向相反的向量是相反向量.
13．【答案】解：∵G为△BCD的重心，BE是CD边上的中线，
∴ ，又
，
∴ .
标注的向量如图所示.
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【分析】根据三角形重心的性质可知=，根据向量的减法的三角形法则将用和表示，进而求解.
14．【答案】（1）解：∵ ， ，∴A、B、C、D四点共面．
∵ ， ，∴E、F、G、H四点共面
（2）解： = ，∴ .
（3）解：
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）根据平面向量基本定理即可证明；（2）根据向量的减法的三角形法则将用和表示，将用和i表示，进而得=k；（3）根据平面向量的加法的三角形法则将用和表示，进而即可证明.
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