高中数学人教新课标A版选修1-1（文科）第三章3.3.3函数的最大（小）值与导数同步练习
一、选择题
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．函数的最大值一定不是该函数的极大值
B．函数的极大值可以小于该函数的极小值
C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值
D．函数在开区间内不存在最大值和最小值
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】函数的最值是在定义域内某个封闭区间上的最大、最小值，最值可能是极值，也可能是区间端点值；由函数图象可知，极大值可能小于极小值.故B符合题意.
故答案为：B .
【分析】根据函数极值的定义可知函数的极大值可能小于它的极小值.
2．函数 的最大值为（ ）
A．e-1 B．e C．e2 D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ，令 ，当 时函数单调递增，当 时函数单调递减， ，故A符合题意.
故答案为：A .
【分析】先确定函数f（x）的定义域，再根据“当f（x）0时，函数f（x）单调递增；f（x）0时，函数f（x）单调递减”判断函数f（x）的单调性，从而可求出f（x）的最大值.
3．函数 在 上最大值和最小值分别是 （ ）
A．5,-15 B．5,-4 C．-4,-15 D．5,-16
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 ，∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，∴ ， .故A符合题意.
故答案为：A .
【分析】求导，根据“导数大于0（小于0）时函数f（x）单调递增（减）”判断函数f（x）在[0,3]内的单调性，从而可求出f（x）的最小值，比较f（0），f（3）从而确定f（x）的最小值.
4．函数 在 上取最大值时， 的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 ，由 可知 ，由 可知 ，所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，故 在 时取得最大值．故B符合题意.
故答案为：B .
【分析】求导，根据“f（x）大于0（小于0）时，函数f（x）单调递增（减）”判断函数f（x）在[0，]内的单调性即可求解.
5．函数ｆ（ｘ）＝-x3-2x2+4x，当x∈[-3，3]时，f（x）≥a有恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-3，11） B．[-33，+∞) C．(-∞，-33] D．[2，7]
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】令f（x）=-3x2-4x+4，令f（x）=0，可得x=-2或 .，f（-3）=-3，f（-2）=-8，f（ ）= ，f（3）=-33，要使f（x）≥a在x∈[-3，3]上恒成立，只需fmin（x）≥a，所以的取值范围是(-∞，-33]，故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】求导，令f（x）=0解得x=-2或，比较f（-3），f（-2），f（），f（3）从而确定函数f（x）的最小值，当x[-3，3]时，要使f（x）a恒成立，只需af（x）min即可.
6．函数 （ 为自然对数的底数）在区间 上的最大值是（ ）
A．1＋ B．1 C．e＋1 D．e－1
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 ，令 得 .
又 且 ＝ ，所以 故D符合题意.
故答案为：D .
【分析】求导，令f（x）=0解出x=0，比较f（-1），f（1），f（0）的大小从而可求出f（x）的最大值.
7．若函数 在 上有最大值3，则该函数在 上的最小值是（ ）
A．- B．0 C． D．1
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 ，当 时， 或 ，当 时， ，所以 在区间 上函数递增，在区间 上函数递减，所以当x=0时，函数取得最大值 ，则 ，所以 ， ，所以最小值是 ，故C符合题意．
故答案为：C .
【分析】求导，根据“f（x）0（0）时，函数f（x）单调递增（减）”确定函数f（x）的单调区间，从而可知f（x）max=f（0），进而可求得a的值，比较f（-1），f（1）的大小求出f（x）的最小值.
8．已知 对于任意 恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】依题意得 令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以函数 先增后减，最小值为 ，
所以 .故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】将原不等式变形得：a+1，构造函数f（x）=，求出f（x），根据“f（x）0（0）时，函数f（x）单调递增（减）”判断函数f（x）在[，2]内的单调性，比较f（），f（2）的大小从而确定f（x）的最小值，要使a+1对于任意x[，2]恒成立，只需a+1f（x）min即可.
二、填空题
9．函数 在 上的最小值是 .
【答案】1
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】因为 ， ，所以 在 单调递减，在 单调递增，从而函数 在 上的最小值是 .
故答案为：1 .
【分析】求导，根据“f（x）0（0）时，函数f（x）单调递增（减）”判断函数f（x）在[-1，1]内的单调性，从而可求出f（x）的最小值.
10．已知 对任意的 恒成立，则实数 的最大值为 ．
【答案】0
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】令 则 ，当 时， ，当 时， ，∴ 故 最大值为0.
故答案为：0 .
【分析】构造函数f（x）=+lnx，求导，根据“当f（x）0（0）时，函数f（x）单调递增（减）”判断函数f（x）在[，2]内的单调性，从而求出函数f（x）的最小值；要使a+lnx对任意x[，2]恒成立，只需使af（x）min即可.
11．若函数 在 上有最小值，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ，令 ，得 或 ，
令 得 ，所以函数 的单调递增区间为 和 ，减区间为 .所以要使函数 在 上有最小值，只需即 .
故答案为：[-2，1） .
【分析】求导，根据“当f（x）0（0）时，函数f（x）单调递增（减）”求出函数f（x）的单调区间并画出函数的草图，根据图象列出不等式组即可求解.
三、解答题
12．已知a为实数， .
（1）求导数 ；
（2）若 ，求 在 上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：
（2）解：由 得 ，
故 ，
则 ，
由 ， ，
故 ，
【知识点】导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据导数的乘法原则：[f（x）g（x）]=f（x）g（x）+f（x）g（x）即可求解；（2）由f（-1）=0可求出a，令f（x）=0解得x=-1或，比较f（-2），f（2），f（-1），f（）的大小即可求解.
13．已知函数 ．
（1）当a=3时，求函数 在 上的最大值和最小值；
（2）函数 既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：a=3时， ，
函数 在区间 仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在区间 最大值是 ，
又 ，故 ．
故函数在 上的最小值为
（2）解：
若 既有极大值又有极小值，则 有两个不同正根 ，即 有两个不同正根，故a应满足
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将a=3代入f（x）中并求出f（x），根据“当f（x）0（0）时，函数f（x）单调递增（减）”确定函数f（x）在[，2]内的单调性，从而可求出f（x）的最大值，比较f（），f（2）的大小，进而可求出f（x）的最小值；（2）求出f（x）的定义域，求导，若f（x）既有极大值又有极小值，则f（x）=0有两个不同正根，列出不等式组即可求解.
14．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数 在区间 上的最小值为0，求实数a的值.
【答案】（1）解：当 时，函数 ， 在R上单调递增，当 时， ，令 ，得 ，所以当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增
（2）解：由（1）可知，当 时，函数 ，不符合题意.
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
① 当 ，即 时， 最小值为 .
解 ，得 ，符合题意.
②当 ，即 时， 最小值为 ，
解 ，得 ，不符合题意.
综上，
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，根据a0和a0分类讨论，利用“当f（x）0（0）时，函数f（x）单调递增（减）”即可求解；（2）结合（1）讨论函数f（x）在[1，）的单调性，并确定取得最小值时x的值，从而得到关于a的方程.
1 / 1高中数学人教新课标A版选修1-1（文科）第三章3.3.3函数的最大（小）值与导数同步练习
一、选择题
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．函数的最大值一定不是该函数的极大值
B．函数的极大值可以小于该函数的极小值
C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值
D．函数在开区间内不存在最大值和最小值
2．函数 的最大值为（ ）
A．e-1 B．e C．e2 D．
3．函数 在 上最大值和最小值分别是 （ ）
A．5,-15 B．5,-4 C．-4,-15 D．5,-16
4．函数 在 上取最大值时， 的值为（ ）
A．0 B． C． D．
5．函数ｆ（ｘ）＝-x3-2x2+4x，当x∈[-3，3]时，f（x）≥a有恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-3，11） B．[-33，+∞) C．(-∞，-33] D．[2，7]
6．函数 （ 为自然对数的底数）在区间 上的最大值是（ ）
A．1＋ B．1 C．e＋1 D．e－1
7．若函数 在 上有最大值3，则该函数在 上的最小值是（ ）
A．- B．0 C． D．1
8．已知 对于任意 恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
二、填空题
9．函数 在 上的最小值是 .
10．已知 对任意的 恒成立，则实数 的最大值为 ．
11．若函数 在 上有最小值，则实数 的取值范围为 .
三、解答题
12．已知a为实数， .
（1）求导数 ；
（2）若 ，求 在 上的最大值和最小值.
13．已知函数 ．
（1）当a=3时，求函数 在 上的最大值和最小值；
（2）函数 既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．
14．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数 在区间 上的最小值为0，求实数a的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】函数的最值是在定义域内某个封闭区间上的最大、最小值，最值可能是极值，也可能是区间端点值；由函数图象可知，极大值可能小于极小值.故B符合题意.
故答案为：B .
【分析】根据函数极值的定义可知函数的极大值可能小于它的极小值.
2．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ，令 ，当 时函数单调递增，当 时函数单调递减， ，故A符合题意.
故答案为：A .
【分析】先确定函数f（x）的定义域，再根据“当f（x）0时，函数f（x）单调递增；f（x）0时，函数f（x）单调递减”判断函数f（x）的单调性，从而可求出f（x）的最大值.
3．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 ，∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，∴ ， .故A符合题意.
故答案为：A .
【分析】求导，根据“导数大于0（小于0）时函数f（x）单调递增（减）”判断函数f（x）在[0,3]内的单调性，从而可求出f（x）的最小值，比较f（0），f（3）从而确定f（x）的最小值.
4．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 ，由 可知 ，由 可知 ，所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，故 在 时取得最大值．故B符合题意.
故答案为：B .
【分析】求导，根据“f（x）大于0（小于0）时，函数f（x）单调递增（减）”判断函数f（x）在[0，]内的单调性即可求解.
5．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】令f（x）=-3x2-4x+4，令f（x）=0，可得x=-2或 .，f（-3）=-3，f（-2）=-8，f（ ）= ，f（3）=-33，要使f（x）≥a在x∈[-3，3]上恒成立，只需fmin（x）≥a，所以的取值范围是(-∞，-33]，故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】求导，令f（x）=0解得x=-2或，比较f（-3），f（-2），f（），f（3）从而确定函数f（x）的最小值，当x[-3，3]时，要使f（x）a恒成立，只需af（x）min即可.
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 ，令 得 .
又 且 ＝ ，所以 故D符合题意.
故答案为：D .
【分析】求导，令f（x）=0解出x=0，比较f（-1），f（1），f（0）的大小从而可求出f（x）的最大值.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 ，当 时， 或 ，当 时， ，所以 在区间 上函数递增，在区间 上函数递减，所以当x=0时，函数取得最大值 ，则 ，所以 ， ，所以最小值是 ，故C符合题意．
故答案为：C .
【分析】求导，根据“f（x）0（0）时，函数f（x）单调递增（减）”确定函数f（x）的单调区间，从而可知f（x）max=f（0），进而可求得a的值，比较f（-1），f（1）的大小求出f（x）的最小值.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】依题意得 令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以函数 先增后减，最小值为 ，
所以 .故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】将原不等式变形得：a+1，构造函数f（x）=，求出f（x），根据“f（x）0（0）时，函数f（x）单调递增（减）”判断函数f（x）在[，2]内的单调性，比较f（），f（2）的大小从而确定f（x）的最小值，要使a+1对于任意x[，2]恒成立，只需a+1f（x）min即可.
9．【答案】1
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】因为 ， ，所以 在 单调递减，在 单调递增，从而函数 在 上的最小值是 .
故答案为：1 .
【分析】求导，根据“f（x）0（0）时，函数f（x）单调递增（减）”判断函数f（x）在[-1，1]内的单调性，从而可求出f（x）的最小值.
10．【答案】0
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】令 则 ，当 时， ，当 时， ，∴ 故 最大值为0.
故答案为：0 .
【分析】构造函数f（x）=+lnx，求导，根据“当f（x）0（0）时，函数f（x）单调递增（减）”判断函数f（x）在[，2]内的单调性，从而求出函数f（x）的最小值；要使a+lnx对任意x[，2]恒成立，只需使af（x）min即可.
11．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ，令 ，得 或 ，
令 得 ，所以函数 的单调递增区间为 和 ，减区间为 .所以要使函数 在 上有最小值，只需即 .
故答案为：[-2，1） .
【分析】求导，根据“当f（x）0（0）时，函数f（x）单调递增（减）”求出函数f（x）的单调区间并画出函数的草图，根据图象列出不等式组即可求解.
12．【答案】（1）解：
（2）解：由 得 ，
故 ，
则 ，
由 ， ，
故 ，
【知识点】导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据导数的乘法原则：[f（x）g（x）]=f（x）g（x）+f（x）g（x）即可求解；（2）由f（-1）=0可求出a，令f（x）=0解得x=-1或，比较f（-2），f（2），f（-1），f（）的大小即可求解.
13．【答案】（1）解：a=3时， ，
函数 在区间 仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在区间 最大值是 ，
又 ，故 ．
故函数在 上的最小值为
（2）解：
若 既有极大值又有极小值，则 有两个不同正根 ，即 有两个不同正根，故a应满足
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将a=3代入f（x）中并求出f（x），根据“当f（x）0（0）时，函数f（x）单调递增（减）”确定函数f（x）在[，2]内的单调性，从而可求出f（x）的最大值，比较f（），f（2）的大小，进而可求出f（x）的最小值；（2）求出f（x）的定义域，求导，若f（x）既有极大值又有极小值，则f（x）=0有两个不同正根，列出不等式组即可求解.
14．【答案】（1）解：当 时，函数 ， 在R上单调递增，当 时， ，令 ，得 ，所以当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增
（2）解：由（1）可知，当 时，函数 ，不符合题意.
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
① 当 ，即 时， 最小值为 .
解 ，得 ，符合题意.
②当 ，即 时， 最小值为 ，
解 ，得 ，不符合题意.
综上，
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，根据a0和a0分类讨论，利用“当f（x）0（0）时，函数f（x）单调递增（减）”即可求解；（2）结合（1）讨论函数f（x）在[1，）的单调性，并确定取得最小值时x的值，从而得到关于a的方程.
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