高中数学人教新课标A版选修2-1（理科）第二章2.2.1椭圆及其标准方程同步练习
一、选择题
1．（2016高二下·马山期末）椭圆 + =1的焦点坐标是（ ）
A．（±5，0） B．（0，±5） C．（0，±12） D．（±12，0）
2．已知椭圆 的左焦点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．椭圆 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．椭圆 的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，P为一个交点，则 等于 （ ）
A． B． C． D．
6．已知△ 的周长为 ，且顶点 ， ，则顶点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．椭圆 的焦点为 、 ， 为椭圆上一点，已知 ，则△ 的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆 的两个焦点分别为 、 ， ．若点 在椭圆上，且 ，则点 到 轴的距离为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．椭圆 上一点 到它的一个焦点的距离等于 ，那么点 到另一个焦点的距离等于 .
10．椭圆 的两焦点为 ，一直线过 交椭圆于 、 ，则△ 的周长为 ．
11．已知椭圆 ，点 与 的焦点不重合．若 关于 的焦点的对称点分别为 ，线段 的中点在 上，则 ．
三、解答题
12．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是 ， ，椭圆上一点 到两焦点的距离之和为 ；
（2）焦点在坐标轴上，且经过 和 两点．
13．如图所示，已知圆 ： ，圆 内一定点 ，动圆 过 点且与圆 内切，设动圆 的半径为 ，求圆心 的轨迹方程．
14．设 是椭圆 上的点且 的纵坐标 ，点 、 ，试判断 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆的方程 + =1中a2=169，b2=25，
∴c2=a2﹣b2=144，又该椭圆焦点在y轴，
∴焦点坐标为：（0，±12）．
故选：C．
【分析】由a，b，c的关系即可得出焦点坐标．
2．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵椭圆 的左焦点为 ，∴ ，∵ ，∴ ，故A符合题意．
故答案为：A .
【分析】因为F1（-4,0）是该椭圆的左焦点，所以该椭圆焦点在x的轴且c=4，再根据椭圆中a2=b2+c2即可求解.
3．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】由椭圆方程可知 ，故D符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据“焦点在y轴的椭圆的标准方程为：+=1（ab0）”列出不等式组即可求解.
4．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】化为标准方程是 ，∵ ，∴ .
∴焦点在y轴上，且 .故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】将原方程转化成椭圆的标准方程，根据mn0判断焦点所在的轴并确定a2，b2的值，然后根据a2=b2+c2求出c即可求出焦点坐标.
5．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆 可得椭圆的焦点坐标为 ，设F1点的坐标为 ，所以点P的坐标为 ，所以 ．根据椭圆的定义可得 ，所以
故答案为：C .
【分析】画草图，根据椭圆+=1（ab0）的焦点坐标为（c，0）可知F1的坐标，点P的横坐标与点F1的横坐标相同，进而可求出点P的纵作标y0，则=，根据椭圆定义可知+=2a即可求解.
6．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】由△ 的周长为 ，且顶点 ， ，可得 ，所以顶点 的轨迹为椭圆，其中
方程为 .因为三点 构成三角形，三点不能共线，所以 ，故轨迹方程为 ，故B符合题意 .
故答案为：B .
【分析】根据椭圆定义：“在一个平面内到两个定点F1、F2的距离和等于常数2a（2a）的点的轨迹为椭圆”可知点A的轨迹是一个以B，C为焦点的一个椭圆，从而可得到点A轨迹方程（因为三点 A ， B ， C 构成三角形，三点不能共线，所以 x ≠ 0 ）.
7．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆定义知 ，又因 ，所以
，从而得 ，
所以△ 的面积为 ，故A符合题意.
故答案为：A .
【分析】由椭圆的定义可知：+=2a，由PF1PF2可得：+=，两方程联立求出即可求解.
8．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知 ，又∵ ，∴ ，
∴ ，设点 到 轴的距离为 ，则 ，故 ，故
故答案为：B .
【分析】由椭圆定义可知：+=2a，由=90可知+=，两方程联立可得，再根据F1PF2的面积==d即可求出d.
9．【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆的方程可知 ， .由椭圆的定义可得点 到另一个焦点的距离等于 .
故答案为：2 .
【分析】根据椭圆方程确定a的值，再由椭圆定义可知：+=2a.
10．【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆的方程可知 ，由椭圆的定义可知：△ 的周长为 ．
∴△ 的周长为 ．
故答案为：36 .
【分析】由椭圆方程确定a的值，根据椭圆的定义可知PQF2的周长等于4a.
11．【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】设 的中点为 ，椭圆 的左，右焦点分别为 ，如图所示，
连接 ，因为 是 的中点， 是 的中点，所以 是△ 的中位线，所以 ，同理， ，所以 ，因为 在椭圆 上，所以根据椭圆的定义，可得 ，所以 ．
故答案为：12 .
【分析】根据椭圆方程确定a的值，设MN的中点为D，则在MAF2中=2，在MBN中=2，根据椭圆的定义可知：+=2a.
12．【答案】（1）解：∵焦点在 轴上，∴设其标准方程为 ．
∵ ， ，∴ ， .∴ .
∴所求椭圆方程为
（2）解：解法一：①当焦点在 轴上时，设椭圆的标准方程为 ，
将 和 代入标准方程解得 .
∴所求椭圆的标准方程为 .
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为 .
将 和 代入标准方程解得 .
，不合题意，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为 .
解法二：设所求椭圆方程为 且 ，
依题意，得 解得
∴所求椭圆的标准方程为
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）根据椭圆的坐标可知焦点在y轴上且可确定c的值，由椭圆定义可知+=2a可求出a，再根据a2=b2+c2可求出b；（2）依题意可设椭圆的方程为Ax2+By2=1（A，B且A≠B），将点A、B的坐标分别代入，联立组成方程组即可求出A，B的值.
13．【答案】解：由题意知 ，∵圆 与圆 内切，圆 的半径为 ，
∴两圆的圆心距 ，即 ，
∴点 的轨迹是以 、 两点为焦点的椭圆．
∴ ， .∴ ， .∴ ，
即点 的轨迹方程为
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【分析】根据圆P与圆A内切可知两圆的圆心距=R-r，且r=，那么+=R，所以点 P 的轨迹是以 A 、 B 两点为焦点的椭圆.
14．【答案】解：∵点 在椭圆 上，∴ .①
∵点 的纵坐标 ，∴ .∴ ， .
∴②，将①代入②得：
.∴ 为定值，这个定值是
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】根据直线斜率公式k=分别写出kPA，kPB，由椭圆方程写出y2，代入kPAkPB即可求解.
1 / 1高中数学人教新课标A版选修2-1（理科）第二章2.2.1椭圆及其标准方程同步练习
一、选择题
1．（2016高二下·马山期末）椭圆 + =1的焦点坐标是（ ）
A．（±5，0） B．（0，±5） C．（0，±12） D．（±12，0）
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆的方程 + =1中a2=169，b2=25，
∴c2=a2﹣b2=144，又该椭圆焦点在y轴，
∴焦点坐标为：（0，±12）．
故选：C．
【分析】由a，b，c的关系即可得出焦点坐标．
2．已知椭圆 的左焦点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵椭圆 的左焦点为 ，∴ ，∵ ，∴ ，故A符合题意．
故答案为：A .
【分析】因为F1（-4,0）是该椭圆的左焦点，所以该椭圆焦点在x的轴且c=4，再根据椭圆中a2=b2+c2即可求解.
3．如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】由椭圆方程可知 ，故D符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据“焦点在y轴的椭圆的标准方程为：+=1（ab0）”列出不等式组即可求解.
4．椭圆 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】化为标准方程是 ，∵ ，∴ .
∴焦点在y轴上，且 .故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】将原方程转化成椭圆的标准方程，根据mn0判断焦点所在的轴并确定a2，b2的值，然后根据a2=b2+c2求出c即可求出焦点坐标.
5．椭圆 的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，P为一个交点，则 等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆 可得椭圆的焦点坐标为 ，设F1点的坐标为 ，所以点P的坐标为 ，所以 ．根据椭圆的定义可得 ，所以
故答案为：C .
【分析】画草图，根据椭圆+=1（ab0）的焦点坐标为（c，0）可知F1的坐标，点P的横坐标与点F1的横坐标相同，进而可求出点P的纵作标y0，则=，根据椭圆定义可知+=2a即可求解.
6．已知△ 的周长为 ，且顶点 ， ，则顶点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】由△ 的周长为 ，且顶点 ， ，可得 ，所以顶点 的轨迹为椭圆，其中
方程为 .因为三点 构成三角形，三点不能共线，所以 ，故轨迹方程为 ，故B符合题意 .
故答案为：B .
【分析】根据椭圆定义：“在一个平面内到两个定点F1、F2的距离和等于常数2a（2a）的点的轨迹为椭圆”可知点A的轨迹是一个以B，C为焦点的一个椭圆，从而可得到点A轨迹方程（因为三点 A ， B ， C 构成三角形，三点不能共线，所以 x ≠ 0 ）.
7．椭圆 的焦点为 、 ， 为椭圆上一点，已知 ，则△ 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆定义知 ，又因 ，所以
，从而得 ，
所以△ 的面积为 ，故A符合题意.
故答案为：A .
【分析】由椭圆的定义可知：+=2a，由PF1PF2可得：+=，两方程联立求出即可求解.
8．已知椭圆 的两个焦点分别为 、 ， ．若点 在椭圆上，且 ，则点 到 轴的距离为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知 ，又∵ ，∴ ，
∴ ，设点 到 轴的距离为 ，则 ，故 ，故
故答案为：B .
【分析】由椭圆定义可知：+=2a，由=90可知+=，两方程联立可得，再根据F1PF2的面积==d即可求出d.
二、填空题
9．椭圆 上一点 到它的一个焦点的距离等于 ，那么点 到另一个焦点的距离等于 .
【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆的方程可知 ， .由椭圆的定义可得点 到另一个焦点的距离等于 .
故答案为：2 .
【分析】根据椭圆方程确定a的值，再由椭圆定义可知：+=2a.
10．椭圆 的两焦点为 ，一直线过 交椭圆于 、 ，则△ 的周长为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆的方程可知 ，由椭圆的定义可知：△ 的周长为 ．
∴△ 的周长为 ．
故答案为：36 .
【分析】由椭圆方程确定a的值，根据椭圆的定义可知PQF2的周长等于4a.
11．已知椭圆 ，点 与 的焦点不重合．若 关于 的焦点的对称点分别为 ，线段 的中点在 上，则 ．
【答案】
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】设 的中点为 ，椭圆 的左，右焦点分别为 ，如图所示，
连接 ，因为 是 的中点， 是 的中点，所以 是△ 的中位线，所以 ，同理， ，所以 ，因为 在椭圆 上，所以根据椭圆的定义，可得 ，所以 ．
故答案为：12 .
【分析】根据椭圆方程确定a的值，设MN的中点为D，则在MAF2中=2，在MBN中=2，根据椭圆的定义可知：+=2a.
三、解答题
12．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是 ， ，椭圆上一点 到两焦点的距离之和为 ；
（2）焦点在坐标轴上，且经过 和 两点．
【答案】（1）解：∵焦点在 轴上，∴设其标准方程为 ．
∵ ， ，∴ ， .∴ .
∴所求椭圆方程为
（2）解：解法一：①当焦点在 轴上时，设椭圆的标准方程为 ，
将 和 代入标准方程解得 .
∴所求椭圆的标准方程为 .
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为 .
将 和 代入标准方程解得 .
，不合题意，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为 .
解法二：设所求椭圆方程为 且 ，
依题意，得 解得
∴所求椭圆的标准方程为
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）根据椭圆的坐标可知焦点在y轴上且可确定c的值，由椭圆定义可知+=2a可求出a，再根据a2=b2+c2可求出b；（2）依题意可设椭圆的方程为Ax2+By2=1（A，B且A≠B），将点A、B的坐标分别代入，联立组成方程组即可求出A，B的值.
13．如图所示，已知圆 ： ，圆 内一定点 ，动圆 过 点且与圆 内切，设动圆 的半径为 ，求圆心 的轨迹方程．
【答案】解：由题意知 ，∵圆 与圆 内切，圆 的半径为 ，
∴两圆的圆心距 ，即 ，
∴点 的轨迹是以 、 两点为焦点的椭圆．
∴ ， .∴ ， .∴ ，
即点 的轨迹方程为
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【分析】根据圆P与圆A内切可知两圆的圆心距=R-r，且r=，那么+=R，所以点 P 的轨迹是以 A 、 B 两点为焦点的椭圆.
14．设 是椭圆 上的点且 的纵坐标 ，点 、 ，试判断 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】解：∵点 在椭圆 上，∴ .①
∵点 的纵坐标 ，∴ .∴ ， .
∴②，将①代入②得：
.∴ 为定值，这个定值是
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】根据直线斜率公式k=分别写出kPA，kPB，由椭圆方程写出y2，代入kPAkPB即可求解.
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