高中数学人教新课标A版选修1-1（文科）第二章2.3.2抛物线的简单几何性质同步练习
一、选择题
1．若一抛物线的顶点在原点，焦点为 ，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】∵焦点为 ， ，抛物线方程为 . 故答案为：D
【分析】由抛物线的简单性质得出交点坐标，进而求出p的值故而得出抛物线的方程。
2．（2016·陕西模拟）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=| x0|，则x0=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F ，
∵A（x0，y0）是C上一点，AF=| x0|，
∴ =x0+ ，
解得x0=1．
故选：A．
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
3．过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 两点，如果 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】由条件知 ，由抛物线定义得 ， 故答案为：C.
【分析】由已知条件可求出p的值，结合抛物线的几何意义可求出结果即可。
4．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为抛物线上一点，且在第一象限， ，垂足为 ， ，则直线 的倾斜角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；抛物线的应用
【解析】【解答】设 ，由题意得， ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴倾斜角为 . 故答案为：B
【分析】根据题意利用抛物线的几何意义求出点P的坐标即可求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角。
5．过抛物线 的焦点 作直线 与其交于 两点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意得，抛物线的焦点为 ，准线方程为 ，设 ，则 ，解得 ，此时 ，即 ，则直线 的方程 ，联立得方程组 解得 或 （舍去），所以 ， 故答案为：B.
【分析】根据题意利用抛物线的几何意义求出点A的坐标，再联立直线和抛物线的方程消元求解出y的值，进而得到|BF|的值。
6．已知点 在抛物线 上，那么点 到点 的距离与点 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】过点 作 垂直于准线，垂足为 ，则 当且仅当点 ， ， 三点共线时等号成立，此时点 的坐标为 故答案为：C.
【分析】由题意结合抛物线的定义可得出当点 Q ， P ， K 三点共线时等号成立，此时点P的纵坐标为-1代入到方程中求出结果即可。
7．直线 与抛物线 交于 两点， 为坐标原点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设 ，联立得方程组 得 有两个不同于 的解，因此有 ，由于 ，因此有 ，所以 ，
即 （舍去）或 . 故答案为：A
【分析】根据题意设出两点的坐标，联立直线和抛物线的方程消元的得到关于x的一元二次方程，借助韦达定理求出两根之和与两根之积，把结果代入向量的数量积坐标运算公式整理可得到关于b的方程解出即可。
8．过 轴上的点 的直线与抛物线 交于 两点，若 为定值，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设直线 的方程为 ，代入 ，得 ，
设 ，则 .
，同理， ，∴
，∵ 为定值，是与 无关的常数，∴ ． 故答案为：D．
【分析】首先设出直线的方程再联立直线和抛物线的方程消元得到关于y的方程，借助韦达定理求出两根之和与两根之积的代数式，利用两点间的距离公式求出需要求得代数式的关于m和a的式子，分析其几何意义可得出a的值为4.
二、填空题
9．若点 的坐标为 ， 为抛物线 的焦点，点 在该抛物线上移动，使 取得最小值的 点坐标为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】由抛物线的定义可知 到准线 的距离等于到焦点的距离，因此 的最小值为点 到准线的距离，此时 ， ，即 .
【分析】利用抛物线上的点的几何意义可得， | P A | + | P F | 的最小值为点 ( 3 , 2 ) 到准线的距离故此时点P的纵坐标为2，代入抛物线的方程求出即可。
10．过抛物线 的焦点作一条直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则 等于 .
【答案】6
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】设 ，因为抛物线的准线方程为x=-1，焦点为 ，则根据抛物线的定义可知 ，所以 2+2=6.
【分析】根据题意利用抛物线上的点的几何意义可得出则| A F | = x 1 + 1 , | B F | = x 2 + 1再借助中点的横坐标为2，整理可得出|AB|的值。
11．已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，点 为其准线上的动点，若△ 为边长是 的等边三角形，则此抛物线的方程为 .
【答案】
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】△ 为等边三角形，则 ，由抛物线的定义得 垂直于抛物线的准线，设 ，则点 ，因为焦点 ，△ 是等边三角形，所以 解得 因此抛物线方程为 .
【分析】利用抛物线的定义得出 P M 垂直于抛物线的准线，设出点P的坐标求出△ F P M的边长，求出有关点的坐标利用两点间的坐标公式得到的FM，列出方程求出m、p的值进而得到抛物线的方程。
三、解答题
12．已知抛物线 上的一点 的横坐标为 ，焦点为 ，且 ，直线 与抛物线 交于 两点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 是 轴上一点，且△ 的面积等于 ，求点 的坐标.
【答案】（1）解：依题意得 ，所以 ，所以抛物线方程为
（2）解：设 ，联立得方程组
消去 得 ，从而
由弦长公式得 ，
设 ， 到直线 的距离为 ，则 ，
又 ，则 ，所以 或 ，故点 坐标为 或
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1) 根据题意利用抛物线上的点的几何意义可求出 + 3 = 4，求出P的值进而得出抛物线的方程。(2)首先设出了两个点的坐标然后联立直线和抛物线的方程消元可得到关于y的方程，借助韦达定理求出两根之和以及两根之积，代入两点间的距离公式求出弦长 | A B |的值，再由点到直线的距离公式求出三角形的高线的值，代入到三角形的面积公式的关于a的式子求出a的值进而得到点P的坐标。
13．已知抛物线 上的点 到焦点F的距离为4．
（1）求t，p的值；
（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且 （其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）解：由抛物线的定义得， ，解得p=2，
所以抛物线的方程为 ，代入点 ，可解得
（2）解：设直线AB的方程为 ， ， ，
联立 消元得 ，则 ， ，
由 ，得 ，所以 或 （舍去），
即 ，即n=5，所以直线AB的方程为 ，
所以直线AB过定点
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线性质：抛物线y2=2px（p0）上任意一点到焦点的距离d=x0+可求出p的值，进而可得到抛物线方程，将x=3代入抛物线方程即可求出t的值；（2）设直线AB的方程为x=my+n，与抛物线方程联立，消去x得到一个关于y的方程，设A（，y1），B（，y2），则根据韦达定理可将y1y2表示出来，根据向量数量积的坐标运算将=5用点A、点B的坐标表示可得y1y2的值，进而可求出n的值.
14．已知抛物线 ： ， 为 上一点且纵坐标为 ， ， 是 上的两个动点，且 ．
（1）求过点 ，且与 恰有一个公共点的直线 的方程；
（2）求证： 过定点．
【答案】（1）解：由题意得 ，显然直线 符合题意；
当 时，设 的方程为 ，由
得 ，令 ，解得 ，
于是 ，所以 的方程为 或
（2）解：设 ， ，于是 ，
于是直线 的方程为 ，
即 ①，又 ，所以 ，
易得 ， ，于是 ．
即 ，与①联立，消去 ，
得 ，令 ，得 ，故过定点
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将y=2代入抛物线方程可求出点P的横坐标，设出过点P斜率存在的直线方程，与抛物线方程联立，消去x得到关于y的一元二次方程，当=0时，直线与抛物线只有一个公共点，另外，过点P且与x轴平行的直线也与抛物线恰有一个交点；（2）根据点Q，R在抛物线上，可设两点坐标分别为（，y1），（，y2），再利用斜率公式：k=写出kQR，根据直线方程的点斜式：y-y0=k（x-x0）写出直线QR的方程①并整理，根据PQPR可知：kPQkPR=1，从而可得到一个关于y1，y2的方程②，①②联立消去y1y2即可求解.
1 / 1高中数学人教新课标A版选修1-1（文科）第二章2.3.2抛物线的简单几何性质同步练习
一、选择题
1．若一抛物线的顶点在原点，焦点为 ，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2016·陕西模拟）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=| x0|，则x0=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 两点，如果 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为抛物线上一点，且在第一象限， ，垂足为 ， ，则直线 的倾斜角等于（ ）
A． B． C． D．
5．过抛物线 的焦点 作直线 与其交于 两点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知点 在抛物线 上，那么点 到点 的距离与点 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．直线 与抛物线 交于 两点， 为坐标原点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．过 轴上的点 的直线与抛物线 交于 两点，若 为定值，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若点 的坐标为 ， 为抛物线 的焦点，点 在该抛物线上移动，使 取得最小值的 点坐标为 ．
10．过抛物线 的焦点作一条直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则 等于 .
11．已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，点 为其准线上的动点，若△ 为边长是 的等边三角形，则此抛物线的方程为 .
三、解答题
12．已知抛物线 上的一点 的横坐标为 ，焦点为 ，且 ，直线 与抛物线 交于 两点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 是 轴上一点，且△ 的面积等于 ，求点 的坐标.
13．已知抛物线 上的点 到焦点F的距离为4．
（1）求t，p的值；
（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且 （其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．
14．已知抛物线 ： ， 为 上一点且纵坐标为 ， ， 是 上的两个动点，且 ．
（1）求过点 ，且与 恰有一个公共点的直线 的方程；
（2）求证： 过定点．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】∵焦点为 ， ，抛物线方程为 . 故答案为：D
【分析】由抛物线的简单性质得出交点坐标，进而求出p的值故而得出抛物线的方程。
2．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F ，
∵A（x0，y0）是C上一点，AF=| x0|，
∴ =x0+ ，
解得x0=1．
故选：A．
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
3．【答案】C
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】由条件知 ，由抛物线定义得 ， 故答案为：C.
【分析】由已知条件可求出p的值，结合抛物线的几何意义可求出结果即可。
4．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；抛物线的应用
【解析】【解答】设 ，由题意得， ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴倾斜角为 . 故答案为：B
【分析】根据题意利用抛物线的几何意义求出点P的坐标即可求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角。
5．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意得，抛物线的焦点为 ，准线方程为 ，设 ，则 ，解得 ，此时 ，即 ，则直线 的方程 ，联立得方程组 解得 或 （舍去），所以 ， 故答案为：B.
【分析】根据题意利用抛物线的几何意义求出点A的坐标，再联立直线和抛物线的方程消元求解出y的值，进而得到|BF|的值。
6．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】过点 作 垂直于准线，垂足为 ，则 当且仅当点 ， ， 三点共线时等号成立，此时点 的坐标为 故答案为：C.
【分析】由题意结合抛物线的定义可得出当点 Q ， P ， K 三点共线时等号成立，此时点P的纵坐标为-1代入到方程中求出结果即可。
7．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设 ，联立得方程组 得 有两个不同于 的解，因此有 ，由于 ，因此有 ，所以 ，
即 （舍去）或 . 故答案为：A
【分析】根据题意设出两点的坐标，联立直线和抛物线的方程消元的得到关于x的一元二次方程，借助韦达定理求出两根之和与两根之积，把结果代入向量的数量积坐标运算公式整理可得到关于b的方程解出即可。
8．【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】设直线 的方程为 ，代入 ，得 ，
设 ，则 .
，同理， ，∴
，∵ 为定值，是与 无关的常数，∴ ． 故答案为：D．
【分析】首先设出直线的方程再联立直线和抛物线的方程消元得到关于y的方程，借助韦达定理求出两根之和与两根之积的代数式，利用两点间的距离公式求出需要求得代数式的关于m和a的式子，分析其几何意义可得出a的值为4.
9．【答案】
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】由抛物线的定义可知 到准线 的距离等于到焦点的距离，因此 的最小值为点 到准线的距离，此时 ， ，即 .
【分析】利用抛物线上的点的几何意义可得， | P A | + | P F | 的最小值为点 ( 3 , 2 ) 到准线的距离故此时点P的纵坐标为2，代入抛物线的方程求出即可。
10．【答案】6
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】设 ，因为抛物线的准线方程为x=-1，焦点为 ，则根据抛物线的定义可知 ，所以 2+2=6.
【分析】根据题意利用抛物线上的点的几何意义可得出则| A F | = x 1 + 1 , | B F | = x 2 + 1再借助中点的横坐标为2，整理可得出|AB|的值。
11．【答案】
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】△ 为等边三角形，则 ，由抛物线的定义得 垂直于抛物线的准线，设 ，则点 ，因为焦点 ，△ 是等边三角形，所以 解得 因此抛物线方程为 .
【分析】利用抛物线的定义得出 P M 垂直于抛物线的准线，设出点P的坐标求出△ F P M的边长，求出有关点的坐标利用两点间的坐标公式得到的FM，列出方程求出m、p的值进而得到抛物线的方程。
12．【答案】（1）解：依题意得 ，所以 ，所以抛物线方程为
（2）解：设 ，联立得方程组
消去 得 ，从而
由弦长公式得 ，
设 ， 到直线 的距离为 ，则 ，
又 ，则 ，所以 或 ，故点 坐标为 或
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1) 根据题意利用抛物线上的点的几何意义可求出 + 3 = 4，求出P的值进而得出抛物线的方程。(2)首先设出了两个点的坐标然后联立直线和抛物线的方程消元可得到关于y的方程，借助韦达定理求出两根之和以及两根之积，代入两点间的距离公式求出弦长 | A B |的值，再由点到直线的距离公式求出三角形的高线的值，代入到三角形的面积公式的关于a的式子求出a的值进而得到点P的坐标。
13．【答案】（1）解：由抛物线的定义得， ，解得p=2，
所以抛物线的方程为 ，代入点 ，可解得
（2）解：设直线AB的方程为 ， ， ，
联立 消元得 ，则 ， ，
由 ，得 ，所以 或 （舍去），
即 ，即n=5，所以直线AB的方程为 ，
所以直线AB过定点
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线性质：抛物线y2=2px（p0）上任意一点到焦点的距离d=x0+可求出p的值，进而可得到抛物线方程，将x=3代入抛物线方程即可求出t的值；（2）设直线AB的方程为x=my+n，与抛物线方程联立，消去x得到一个关于y的方程，设A（，y1），B（，y2），则根据韦达定理可将y1y2表示出来，根据向量数量积的坐标运算将=5用点A、点B的坐标表示可得y1y2的值，进而可求出n的值.
14．【答案】（1）解：由题意得 ，显然直线 符合题意；
当 时，设 的方程为 ，由
得 ，令 ，解得 ，
于是 ，所以 的方程为 或
（2）解：设 ， ，于是 ，
于是直线 的方程为 ，
即 ①，又 ，所以 ，
易得 ， ，于是 ．
即 ，与①联立，消去 ，
得 ，令 ，得 ，故过定点
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将y=2代入抛物线方程可求出点P的横坐标，设出过点P斜率存在的直线方程，与抛物线方程联立，消去x得到关于y的一元二次方程，当=0时，直线与抛物线只有一个公共点，另外，过点P且与x轴平行的直线也与抛物线恰有一个交点；（2）根据点Q，R在抛物线上，可设两点坐标分别为（，y1），（，y2），再利用斜率公式：k=写出kQR，根据直线方程的点斜式：y-y0=k（x-x0）写出直线QR的方程①并整理，根据PQPR可知：kPQkPR=1，从而可得到一个关于y1，y2的方程②，①②联立消去y1y2即可求解.
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