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高中数学人教新课标A版必修4第三章3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式同步练习
一、选择题
1．sin15°sin105°的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】sin15°sin105°=sin15°cos15°= sin30°= ， 故答案为：A．
【分析】利用诱导公式转化已知的三角函数关系式求出结果即可。
2．设 为第四象限的角，cos = ，则sin2 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】∵ 为第四象限的角，cos = ，∴sin = = ，
则sin2 =2sin cos = ， 故答案为：D．
【分析】由同角三角函数的关系=1求出sin θ 的值，再结合二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。
3．已知 ＜ ＜π，3sin2 =2cos ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】∵ ＜ ＜π，3sin2 =2cos ，∴sin = ，cos = ．
∴ ， 故答案为：C．
【分析】首先由题意借助角的取值范围再结合同角三角函数的关系式sin2 α + cos 2 α =1求出cos α 的值，再由诱导公式的公式求出结果即可。
4．已知sin2α= ，则cos2（ ）=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】∵sin2α= ，∴cos2（ ）= ． 故答案为：B．
【分析】借助二倍角的余弦公式整理化简原有的代数式，代入数值求出结果即可。
5．设 为锐角，若cos = ，则sin 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】∵ 为锐角，cos = ，∴ ∈ ，
∴ = = ．
则sin =2 . 故答案为：B
【分析】根据题意利用同角三角函数的关系式求出正弦的值，再由二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。
6． 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】
= ． 故答案为：D
【分析】利用二倍角的正弦公式分子分母同时乘以需要的正弦值整理化简原有的代数式即可求出结果。
7．设 ， ，且tan = ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】tan = .
因为 ， ，所以 ． 故答案为：C．
【分析】利用二倍角的正弦公式结合同角三角函数的关系式整理化简可得出tan α = tan ( β + ) ，再结合角的取值范围故可得出 α β的值即可。
8．下列各式中，值为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】 ， ，
， ， 故答案为：C．
【分析】利用二倍角的正与、余弦公式求逐一求出结果即可。
9．已知 ，且 ，则 .
【答案】
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ，且 ，
所以 ， .
【分析】根据题意借助同角三角函数的关系式求出正弦值，再结合二倍角的正切公式代入数值求出结果即可。
二、填空题
10．化简 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】 ．
【分析】整理化简原有的函数式利用两角和差的正弦函数公式以及二倍角的正弦公式sin2α=2sinαcosα代入化简即可得出结果。
11．已知 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】 ，由 ，平方得 ，得 ， ，
由于 ， ，代入得 .
【分析】根据题意利用二倍角的余弦公式以及两角和差的正弦公式整理原式化简，再把原有的代数式两边平方结合同角三角函数的基本关系求出sin 2 α，进而得到sinα+cosα的值。
三、解答题
12．已知 ，且 =
（1）求tan 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）解：∵ ，sin = ，
∴cos = = ，
∴tan = =
（2）解：∵sin = ，
∴原式
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】(1)由题意结合角的取值范围利用条件三角函数的关系式求出cos α的值代入到正切公式中求出值即可。(2)利用二倍角的余弦公式整理原式代入数值求出结果即可。
13．已知函数 =sin2x+acos2x，a为常数，a∈R，且 ．
（1）求函数 的最小正周期．
（2）当 时，求函数f（x）的最大值和最小值．
【答案】（1）解：由已知得
即 ，所以 .
所以 ，
所以函数 的最小正周期为π
（2）解：由 ，得 ，则 ，
所以 ，
所以函数y= 的最大值为 ，最小值为
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性
【解析】【分析】(1)由题意代入数值可求出a的值，再借助二倍角的正弦公式整理f(x) 的代数式转化为正弦型函数利用周期公式求出结果即可。(2)根据题意得出角的取值范围再由正弦函数的最值情况求出函数的最值。
14．已知 为锐角且 .
（1）求tan 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，即 ，
解得tan = .
（2）解： = = =cos +sin .∵ 为锐角且tan = ，
∴sin = ，cos = ，可得cos +sin = ．
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)根据题意利用两角和的正切公式展开求出tan α即可。(2)利用两角和的正弦公式展开再结合二倍角的余弦公式整理化简得到cos α +sin α，借助(1)的结果求出sin α 、cos α的值，故而得出结果。
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高中数学人教新课标A版必修4第三章3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式同步练习
一、选择题
1．sin15°sin105°的值是（ ）
A． B． C． D．
2．设 为第四象限的角，cos = ，则sin2 =（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ＜ ＜π，3sin2 =2cos ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知sin2α= ，则cos2（ ）=（ ）
A． B． C． D．
5．设 为锐角，若cos = ，则sin 的值为（ ）
A． B． C． D．
6． 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．设 ， ，且tan = ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列各式中，值为 的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知 ，且 ，则 .
二、填空题
10．化简 ．
11．已知 ，且 ，则 的值为 ．
三、解答题
12．已知 ，且 =
（1）求tan 的值；
（2）求 的值．
13．已知函数 =sin2x+acos2x，a为常数，a∈R，且 ．
（1）求函数 的最小正周期．
（2）当 时，求函数f（x）的最大值和最小值．
14．已知 为锐角且 .
（1）求tan 的值；
（2）求 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】sin15°sin105°=sin15°cos15°= sin30°= ， 故答案为：A．
【分析】利用诱导公式转化已知的三角函数关系式求出结果即可。
2．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】∵ 为第四象限的角，cos = ，∴sin = = ，
则sin2 =2sin cos = ， 故答案为：D．
【分析】由同角三角函数的关系=1求出sin θ 的值，再结合二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。
3．【答案】C
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】∵ ＜ ＜π，3sin2 =2cos ，∴sin = ，cos = ．
∴ ， 故答案为：C．
【分析】首先由题意借助角的取值范围再结合同角三角函数的关系式sin2 α + cos 2 α =1求出cos α 的值，再由诱导公式的公式求出结果即可。
4．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】∵sin2α= ，∴cos2（ ）= ． 故答案为：B．
【分析】借助二倍角的余弦公式整理化简原有的代数式，代入数值求出结果即可。
5．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】∵ 为锐角，cos = ，∴ ∈ ，
∴ = = ．
则sin =2 . 故答案为：B
【分析】根据题意利用同角三角函数的关系式求出正弦的值，再由二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。
6．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】
= ． 故答案为：D
【分析】利用二倍角的正弦公式分子分母同时乘以需要的正弦值整理化简原有的代数式即可求出结果。
7．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式
【解析】【解答】tan = .
因为 ， ，所以 ． 故答案为：C．
【分析】利用二倍角的正弦公式结合同角三角函数的关系式整理化简可得出tan α = tan ( β + ) ，再结合角的取值范围故可得出 α β的值即可。
8．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】 ， ，
， ， 故答案为：C．
【分析】利用二倍角的正与、余弦公式求逐一求出结果即可。
9．【答案】
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ，且 ，
所以 ， .
【分析】根据题意借助同角三角函数的关系式求出正弦值，再结合二倍角的正切公式代入数值求出结果即可。
10．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】 ．
【分析】整理化简原有的函数式利用两角和差的正弦函数公式以及二倍角的正弦公式sin2α=2sinαcosα代入化简即可得出结果。
11．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】 ，由 ，平方得 ，得 ， ，
由于 ， ，代入得 .
【分析】根据题意利用二倍角的余弦公式以及两角和差的正弦公式整理原式化简，再把原有的代数式两边平方结合同角三角函数的基本关系求出sin 2 α，进而得到sinα+cosα的值。
12．【答案】（1）解：∵ ，sin = ，
∴cos = = ，
∴tan = =
（2）解：∵sin = ，
∴原式
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】(1)由题意结合角的取值范围利用条件三角函数的关系式求出cos α的值代入到正切公式中求出值即可。(2)利用二倍角的余弦公式整理原式代入数值求出结果即可。
13．【答案】（1）解：由已知得
即 ，所以 .
所以 ，
所以函数 的最小正周期为π
（2）解：由 ，得 ，则 ，
所以 ，
所以函数y= 的最大值为 ，最小值为
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性
【解析】【分析】(1)由题意代入数值可求出a的值，再借助二倍角的正弦公式整理f(x) 的代数式转化为正弦型函数利用周期公式求出结果即可。(2)根据题意得出角的取值范围再由正弦函数的最值情况求出函数的最值。
14．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，即 ，
解得tan = .
（2）解： = = =cos +sin .∵ 为锐角且tan = ，
∴sin = ，cos = ，可得cos +sin = ．
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)根据题意利用两角和的正切公式展开求出tan α即可。(2)利用两角和的正弦公式展开再结合二倍角的余弦公式整理化简得到cos α +sin α，借助(1)的结果求出sin α 、cos α的值，故而得出结果。
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