高中数学人教新课标A版必修1第三章3.1.1方程的根与函数的零点同步练习
一、选择题
1．函数 的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．方程 在下列哪个区间内有实数根 （ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 的图象是连续不断的曲线，有如下的 与 的对应值表：
那么，函数 在区间 上的零点至少有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．函数 的零点所在的一个区间是 （ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 ，且 是方程 的两个根， ，则实数 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 是定义域为 的奇函数，且在 内的零点有1 008个，则 的零点的个数为（ ）
A．1009 B．2016 C．2 017 D．2018
7．已知曲线 与直线 的交点的横坐标是 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数f(x)＝ 若 ， ，则方程 的解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．函数 在 上有零点，则实数 的取值范围是 ．
10．设 是方程 的解，且 ， ，则 .
11．若方程 的解有4个，则实数 的取值范围为 ．
三、解答题
12．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
13．若函数 仅有一个零点，求实数 的值．
14．已知函数 有两个零点．
（1）若函数的两个零点是 和 ，求 的值；
（2）若函数的两个零点是 和 ，求 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为函数 是增函数， ，所以函数 只有一个零点. 故答案为：B
【分析】根据题意利用函数的单调性以及 f ( 1 ) f(0)<0根据零点定理即可得出结论。
2．【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】令 ， ，
∴ 在区间 内有零点，即方程 在区间 内有实数根， 故答案为：A.
【分析】根据题意代入数值即可验证 f ( ) f ( 1 < 0再结合零点定理即可得证方程 lg x + x = 0 在区间 ( 0 ， 1 ) 内有实数根。
3．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】观察对应值表可知， ， ， ， ， ， ， ，∴函数 在区间 上的零点至少有3个， 故答案为：C.
【分析】根据已知条件代入数值即可验证边界点的数值两两的乘积小于零结合零点定理即可得出函数 f ( x ) 在区间 [ 1 ， 6 ] 上的零点至少有3个。
4．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为
， 所以 ，又函数 的图象是连续不断的一条曲线，故函数 的零点所在的一个区间是 . 故答案为：B
【分析】根据题意由已知代入数值求出f ( 2 ) f ( 3 ) < 0 结合零点定理即可得出结果。
5．【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由函数 ，可得 .又 是方程 的两个根，
故可画出函数的大致图象如图，所以 . 故答案为：D.
【分析】根据题意利用根和零点的关系即可作出函数的图象即可得出结论。
6．【答案】C
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】因为 是奇函数，所以 ，又在 内的零点有1 008个，所以
在 内的零点有1 008个．因此 的零点共有1 008＋1 008＋1＝2 017个． 故答案为：C
【分析】根据题意利用函数是奇函数即可得到 f ( 0 ) = 0 ，图像关于零点对称可得出函数在 ( 0 ， + ∞ ) 内的零点有1 008个，所以 f ( x ) 在 ( ∞ ， 0 ) 内的零点有1 008个进而可得出函数的零点个数。
7．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】设 ，则 ， ， ，
， ，显然只有 ， 故答案为：B.
【分析】根据题意利用已知条件代入数值求出 f ( 1）、f(2) 、f ( 3 )的值进而可得出 f ( ) f ( 1 ) < 0，结合零点定理即可得出结论。
8．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由已知得 解得 ∴f(x)＝
当 时，方程为 ，即 ，
∴ 或 （舍去）；当 时，方程为 ，函数 与 的图象在区间 内有一个交点，∴方程 有2个解． 故答案为：B
【分析】根据题意利用待定系数法求出b、c的值得出函数的解析式再由函数的零点结合图像即可得出结果。
9．【答案】
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】 ， ，由于 ，所以 ，故 .
【分析】根据题意代入数值求出结果即可得到 f ( 0 ) f ( 1 ) < 0结合零点定理即可得出结论。
10．【答案】1
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】令 ，则 在 上递增，
∵ ， ，∴ 在 内有零点，∴ .
【分析】根据题意由函数的单调性分别求出 f ( 1） f（2）<0借助零点定理即可得出f ( x ) 在 ( 1 ， 2 ) 内有零点所以求出k的值。
11．【答案】
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】(数形结合法)画出 的图象如图，由图象可知，要使方程 的解有4个，需满足 即 或
∴实数 的取值范围为 .
【分析】结合题意作出函数的图象借助图像的性质即可得出要使方程 | x2 2 x | = a2 1 的解有4个，进而可得出 0 < a2 1 < 1解出a的取值范围即可。
12．【答案】（1）解：令 ，解得 ，所以函数 的零点是
（2）解：令 ，由于 ，
所以方程 无实数根，所以函数 不存在零点
（3）解：令 ，解得 ，所以函数 的零点是 .
（4）解：令 ，解得 ，所以函数 的零点是 .
【知识点】函数的零点
【解析】【分析】(1)根据题意利用零点的定义即可得出结论。(2)结合二次函数的性质可求出判别式小于零所以方程 x2 + 2 x + 2 = 0 无实数根，所以函数 f ( x ) = x2 + 2 x + 2 不存在零点.(3)根据题意利用零点的定义即可求出结果。(4)根据题意利用零点的定义即可得出结果。
13．【答案】解：①当 时， ，为一次函数，易知函数仅有一个零点；
②当 时，函数 为二次函数，若其只有一个零点，则一元二次方程 有两个相等的实数根，故判别式 ，则 .
综上，当 或 时，函数仅有一个零点．
【知识点】函数的零点
【解析】【分析】根据题意对a分情况讨论结合特殊函数的根的情况得出零点的个数即可。
14．【答案】（1）解：∵ 和 是函数 的两个零点，
∴ 和 是方程 的两个实数根．
则
解得
（2）解：∵函数的两个零点为 和 ，
∴ 和 是方程 的两根，
∴
则
∴ 的取值范围为 .
【知识点】函数的零点
【解析】【分析】(1)根据零点的定义代入数值求出k的值即可。(2)利用零点的定义再结合二次函数的根的情况得到关于的不等式组，整理为关于k的二次函数由二次函数在指定区间上的最值情况即可得出取值范围。
1 / 1高中数学人教新课标A版必修1第三章3.1.1方程的根与函数的零点同步练习
一、选择题
1．函数 的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为函数 是增函数， ，所以函数 只有一个零点. 故答案为：B
【分析】根据题意利用函数的单调性以及 f ( 1 ) f(0)<0根据零点定理即可得出结论。
2．方程 在下列哪个区间内有实数根 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】令 ， ，
∴ 在区间 内有零点，即方程 在区间 内有实数根， 故答案为：A.
【分析】根据题意代入数值即可验证 f ( ) f ( 1 < 0再结合零点定理即可得证方程 lg x + x = 0 在区间 ( 0 ， 1 ) 内有实数根。
3．已知函数 的图象是连续不断的曲线，有如下的 与 的对应值表：
那么，函数 在区间 上的零点至少有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】观察对应值表可知， ， ， ， ， ， ， ，∴函数 在区间 上的零点至少有3个， 故答案为：C.
【分析】根据已知条件代入数值即可验证边界点的数值两两的乘积小于零结合零点定理即可得出函数 f ( x ) 在区间 [ 1 ， 6 ] 上的零点至少有3个。
4．函数 的零点所在的一个区间是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为
， 所以 ，又函数 的图象是连续不断的一条曲线，故函数 的零点所在的一个区间是 . 故答案为：B
【分析】根据题意由已知代入数值求出f ( 2 ) f ( 3 ) < 0 结合零点定理即可得出结果。
5．已知函数 ，且 是方程 的两个根， ，则实数 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由函数 ，可得 .又 是方程 的两个根，
故可画出函数的大致图象如图，所以 . 故答案为：D.
【分析】根据题意利用根和零点的关系即可作出函数的图象即可得出结论。
6．已知 是定义域为 的奇函数，且在 内的零点有1 008个，则 的零点的个数为（ ）
A．1009 B．2016 C．2 017 D．2018
【答案】C
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】因为 是奇函数，所以 ，又在 内的零点有1 008个，所以
在 内的零点有1 008个．因此 的零点共有1 008＋1 008＋1＝2 017个． 故答案为：C
【分析】根据题意利用函数是奇函数即可得到 f ( 0 ) = 0 ，图像关于零点对称可得出函数在 ( 0 ， + ∞ ) 内的零点有1 008个，所以 f ( x ) 在 ( ∞ ， 0 ) 内的零点有1 008个进而可得出函数的零点个数。
7．已知曲线 与直线 的交点的横坐标是 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】设 ，则 ， ， ，
， ，显然只有 ， 故答案为：B.
【分析】根据题意利用已知条件代入数值求出 f ( 1）、f(2) 、f ( 3 )的值进而可得出 f ( ) f ( 1 ) < 0，结合零点定理即可得出结论。
8．设函数f(x)＝ 若 ， ，则方程 的解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由已知得 解得 ∴f(x)＝
当 时，方程为 ，即 ，
∴ 或 （舍去）；当 时，方程为 ，函数 与 的图象在区间 内有一个交点，∴方程 有2个解． 故答案为：B
【分析】根据题意利用待定系数法求出b、c的值得出函数的解析式再由函数的零点结合图像即可得出结果。
二、填空题
9．函数 在 上有零点，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】 ， ，由于 ，所以 ，故 .
【分析】根据题意代入数值求出结果即可得到 f ( 0 ) f ( 1 ) < 0结合零点定理即可得出结论。
10．设 是方程 的解，且 ， ，则 .
【答案】1
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】令 ，则 在 上递增，
∵ ， ，∴ 在 内有零点，∴ .
【分析】根据题意由函数的单调性分别求出 f ( 1） f（2）<0借助零点定理即可得出f ( x ) 在 ( 1 ， 2 ) 内有零点所以求出k的值。
11．若方程 的解有4个，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】(数形结合法)画出 的图象如图，由图象可知，要使方程 的解有4个，需满足 即 或
∴实数 的取值范围为 .
【分析】结合题意作出函数的图象借助图像的性质即可得出要使方程 | x2 2 x | = a2 1 的解有4个，进而可得出 0 < a2 1 < 1解出a的取值范围即可。
三、解答题
12．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）解：令 ，解得 ，所以函数 的零点是
（2）解：令 ，由于 ，
所以方程 无实数根，所以函数 不存在零点
（3）解：令 ，解得 ，所以函数 的零点是 .
（4）解：令 ，解得 ，所以函数 的零点是 .
【知识点】函数的零点
【解析】【分析】(1)根据题意利用零点的定义即可得出结论。(2)结合二次函数的性质可求出判别式小于零所以方程 x2 + 2 x + 2 = 0 无实数根，所以函数 f ( x ) = x2 + 2 x + 2 不存在零点.(3)根据题意利用零点的定义即可求出结果。(4)根据题意利用零点的定义即可得出结果。
13．若函数 仅有一个零点，求实数 的值．
【答案】解：①当 时， ，为一次函数，易知函数仅有一个零点；
②当 时，函数 为二次函数，若其只有一个零点，则一元二次方程 有两个相等的实数根，故判别式 ，则 .
综上，当 或 时，函数仅有一个零点．
【知识点】函数的零点
【解析】【分析】根据题意对a分情况讨论结合特殊函数的根的情况得出零点的个数即可。
14．已知函数 有两个零点．
（1）若函数的两个零点是 和 ，求 的值；
（2）若函数的两个零点是 和 ，求 的取值范围．
【答案】（1）解：∵ 和 是函数 的两个零点，
∴ 和 是方程 的两个实数根．
则
解得
（2）解：∵函数的两个零点为 和 ，
∴ 和 是方程 的两根，
∴
则
∴ 的取值范围为 .
【知识点】函数的零点
【解析】【分析】(1)根据零点的定义代入数值求出k的值即可。(2)利用零点的定义再结合二次函数的根的情况得到关于的不等式组，整理为关于k的二次函数由二次函数在指定区间上的最值情况即可得出取值范围。
1 / 1
