13.3等腰三角形 同步练习（含解析）

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13.3等腰三角形人教版初中数学八年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，在中，，，是的角平分线若在边上截取，连接，则图中等腰三角形共有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
如图，在中，，，是上的一个动点，则的度数可能是( )
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面四个说法中，其中正确的是( )
的面积等于的面积；
；
；
．
A. B. C. D.
如图，，垂直平分，若，则( )
A.
B.
C.
D.
已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为( )
A. B. C. 或 D. 或
如图，在中，，直线，且分别与的两条边相交，若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为( )
A. B. C. D.
如图，在中，，，，于，则( )
A.
B.
C.
D.
如图，以正五边形的边为边向外作等边三角形，连接，则等于( )
A.
B.
C.
D.
如图，是边长为的等边三角形，点、分别在边、上，将沿直线折叠，使点落在点处，、分别交边于点、则阴影部分图形的周长等于( )
A. B. C. D.
等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为( )
A. B. C. 或 D.
我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正三角形数”设第个“平行四边形数”和“正三角形数”分别为和若，则的值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
在等腰三角形中，它的一边长等于，一边长等于，则它的周长为______．
如图，中，，，平分，于，现给出以下结论：平分；平分；；其中正确的是______写出所有正确结论的序号
如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为 ．
如图，在中，，，点为边上一点且不与、重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点若，当为等腰三角形时，________用的代数式表示
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，在中，，，是的垂直平分线，垂足为点，交于点，连接．
求证：；
若，求的长．
如图，在中，，，动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题：
为多少时，是等边三角形？
、在运动过程中，的形状不断发生变化，当为多少时，是直角三角形？请说明理由．
如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点．
求证：点在的垂直平分线上；
过点作于点，连接，当时，试探究与的数量关系，并说明理由．
如图，和都是等边三角形，连接，，与交于点，连接，与交于点．
求证：；
求的大小；
若，，求的长度．
如图，在中，，为中点，求，的度数．
在中，，．
求作线段的垂直平分线，与线段相交于点，与线段相交于点不写作法，保留作图痕迹．
在你所作的图形中，连接求证：是等边三角形．
如图，是的边的中点，，，垂足分别是、，且．
求证：是等腰三角形；
若，，求的面积．
已知一个三角形的三条边的长分别为：，，为正整数
若这个三角形是等腰三角形，求它的三边长；
求出的所有整数值．
乐乐发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形，已知：在中，．
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．
下面是乐乐设计的尺规作图过程．
作法：如图，作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点；
作直线所以直线就是所求作的直线．
根据乐乐设计的尺规作图过程，解决下列问题：
使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上，
______填推理的依据
____________．
，
，______．
．
______填推理的依据
和都是等腰三角形．
乐乐进一步探究：以点为圆心，适当长为半径画弧分别交、于，两点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，直线交于点，则______填写理由，使用尺规作图在图中补全作图痕迹．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质与判定的知识，用到的知识点有等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线的定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．
依据题意，根据已知条件，分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．
【解答】
解：依题意，可知题图中的，，，，为等腰三角形，则共有个等腰三角形．
故选D．

2.【答案】
【解析】解：如图，连接．
，，
，
，
，
故选：．
如图，连接利用三角形的外角的性质判断即可．
本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握三角形外角的性质，属于中考常考题型．
3.【答案】
【解析】解：是中线得到，
，故正确；
，是高，
，
是角平分线，
，
，，
，
，故正确；
，，
，
而，
，故正确．
根据已知条件不能推出，即不能推出，故错误；
故选：．
根据三角形中线定义和三角形面积公式可对进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义可对进行判断
本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，由垂直平分，可得，进而得出，由，即可得到，依据平行线的性质以及三角形内角和定理，即可得到的度数．
【解答】
解：垂直平分，
，
，
又，
，
，
又，
，
又，
，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用和三角形三边关系的综合运用，此题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验．
设等腰三角形的腰长、底边长分别为，，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具休是哪部分的长为，故应该列两个方程组求解，再结合三角形三边关系验证．
【解答】
解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为，．
由题意得或
解得或．
，不能构成三角形，
故等腰三角形的底边长为，
故选B．
6.【答案】
【解析】解：过作，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质得到，，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接，由于是等腰三角形，点是底边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：连接，
是等腰三角形，点是底边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短
．
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
根据直角三角形的性质求出，根据互余关系求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算即可．
【解答】
解：，，
，
，，
，
，
，
故选B．

9.【答案】
【解析】解：五边形是正五边形，
，
是正三角形，
，
，
，
，
故选：．
根据正多边形的性质和三角形的内角和解答即可．
此题考查多边形的内角和外角，关键是根据正多边形的性质和三角形的内角和解答．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由翻折变换的性质和等边三角形的性质得出，，则阴影部分图形的周长等于等边三角形的周长，即可得出结果．
【解答】
解：由翻折变换的性质得：，，
是边长为的等边三角形
则阴影部分图形的周长

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是知道等腰三角形的两腰相等因为已知长度为和两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】
解：当为底时，其它两边都为，
、、可以构成三角形，
周长为
当为腰时，
其它两边为和，
，
不能构成三角形，故舍去，
答案只有
故选B．
12.【答案】
【解析】解：由图可知：，，
，
，
，
，
故选：．
由图规律可知：，，求出的值即可．
本题主要考查了等边三角形的性质、探寻数列规律，掌握等边三角形的性质、探寻数列规律的综合应用，其中数列规律的探究是解题关键．
13.【答案】或
【解析】解：若底边长为，腰长为，则它的周长为：；
若底边长为，腰长为，则它的周长为：；
故它的周长为或，
故答案为或．
分别从若底边长为，腰长为与若底边长为，腰长为，去分析求解即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
，
符合题意；
平分，
，
，
，
不平分，
不符合题意；
在和中，
，
≌，
，，
平分，
符合题意；
，
，
符合题意；
故答案为：．
由等腰直角三角形的性质及垂直的性质得出，得出符合题意；由角平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，得出不符合题意；证明≌，得出，，得出符合题意；由，得出，得出符合题意；即可得出答案．
本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，垂线的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形与含度角直角三角形的性质，正确理解在直角三角形中，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
由，推出，所以，由，，推出，所以，，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半即可得的长．
【解答】
解：因为，
所以，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
在中，
因为，
所以．
故答案为．
16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得到
若为等腰三角形，则，根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理得到，解得即可．
【解答】
解：由翻折的性质可知，，
当时，则，
，，
，
，
，
，
当时，为等腰三角形；
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
当或时，为等腰三角形．
故答案为或．
17.【答案】证明：是的垂直平分线，
，
．
，，
．
，，
；
解：，，
．
，，
．
【解析】利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和角平分线的性质解答即可；
利用中的结论和含角的直角三角形的性质解答即可．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和角平分线的性质，熟练应用上述性质解答是解题的关键．
18.【答案】解：要使是等边三角形，即可得：，
在中，，，．
，
可得：，，
即，
解得：，
故答案为：；
当为或时，是直角三角形，
理由如下：
，，，
，
动点以，以的速度出发，
，，
是直角三角形，
或，
当时，
，
解得；
当时，
，
解得．
所以，当为或时，是直角三角形．
【解析】根据等边三角形的性质解答即可；
分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．
此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质解答．
19.【答案】证明：平分，
，
，
，
为等腰三角形，
，
点在的垂直平分线上；
解：．
理由如下：
过点作于，于，如图，
平分，，，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
．
【解析】证明得到，同理可得，然后利用等线段代换得到的周长；
过点作于，于，如图，根据角平分线的性质得到，，则，根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分，所以，利用含度的直角三角形三边的关系得到，从而得到．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质．
20.【答案】证明：如图，和为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：如图，过点作于，作于，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
；
解：如图，在上截取，连接，过点作于，作于，则是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，
平分，，，
，
，
的面积的面积，
，
，
，
，
．
【解析】根据推出≌即可解答；
如图，过点作于，作于，先根据中≌，可得，由三角形的面积公式可得高，由角平分线的逆定理可得平分，由字形可得
，所以，从而得结论；
如图，作辅助线构建等边三角形和全等三角形，证明≌，得，根据角平分线的性质得，由同高三角形面积的关系可得，从而可得结论．
本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质和判定定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
21.【答案】解：在中，，为中点，
，
．
【解析】由在中，，为中点，根据等腰三角形的三线合一的性质，即可求得的度数，继而求得的度数．
此题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．注意掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合定理的应用是解此题的关键．
22.【答案】解：如图，直线为所求作直线，点，点为所求作点．
证明：是线段的垂直平分线，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形．
【解析】根据要求作出图形即可；
根据有三个角是的三角形是等边三角形证明即可．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线，等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
23.【答案】证明：是的边的中点，
，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
是等腰三角形；
连接，如图，
是的边的中点，是等腰三角形，，
，，
，
．
【解析】由中点可得，再由垂直可得，利用可证得≌，从而得，即可判定是等腰三角形；
连接，由中点得，利用等腰三角形的性质可得，利用勾股定理可求得的长度，即可求的面积．
本题主要考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，解答的关键是证得．
24.【答案】解：如果，
解得，
三角形三边的长为，，，不符合三角形三边关系；
如果，
解得，
三角形三边的长为，，，符合三角形三边关系．
综上所述，等腰三角形的三边长为，，；
由题意得，
解得．
为整数，
的所有整数值是，，，，，．
【解析】由于，所以当这个三角形是等腰三角形时，分两种情况进行讨论：；求出的值后，根据三角形三边关系即可求解；
根据三角形三边关系列出关于的不等式组求出的范围，再根据为正整数即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，一元一次不等式组的解法，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系．
25.【答案】垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等 等角对等边 三线合一
【解析】解：如图，直线即为所求：
直线是线段的垂直平分线，点在直线上，
垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等，
，
，
，，
，
等角对等边，
和都是等腰三角形．
故答案为：垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等，，，，等角对等边；
图形如图所示：
由作图可知平分，
，
三线合一，
故答案为：三线合一．
根据要求作出图形即可；
利用等边对等角，等角对等边证明即可；
利用等腰三角形的性质证明即可．
本题考查作图应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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