2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）要使菱形ABCD成为正方形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴要使菱形ABCD成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是：∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为：D．
【分析】根据一组邻边相等的矩形是正方形和有一个角是直角的菱形是正方形即可得出答案.
2．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．两对角线将其分割的四个三角形面积相等
【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、正方形、矩形四个角都是直角，此选项不合题意；
B、正方形对角线相互垂直，但矩形对角线不一定垂直，故此选项符合题意；
C、矩形、正方形对角线都是相等的，故此选项不合题意；
D、如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=BO=CO=DO，
又∵AB=BC=CD=DA，
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO，
∴S△ABO=S△CBO=S△CDO=S△ADO，
∵四边形EFMN是矩形，
∴H是EM的中点，
∴ （三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分），
同理： ，S△EHN=SHNM，
∴矩形的对角线也把矩形的面积分成相等的四部分，
故两对角线将其分割的四个三角形面积相等，此选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据正方形和矩形的性质即可得出答案.
3．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=CF．连接AE，BF，AE与BF交于点G．下列结论错误的是（ ）
A．AE=BF B．∠DAE=∠BFC
C．∠AEB+∠BFC=90° D．AE⊥BF
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD中，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
在△ABE与△BCF中
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠AEB=∠BFC，∠BAE=∠CBF，
∵∠DAE+∠BAE=90°，∠BFC+∠FBC=90°，
∴∠DAE=∠BFC，∠BAE+∠ABG=90°，
∴AE⊥BF，
故ABD不符合题意；
∠AEB=∠BFC，∠AEB+∠BFC＞90°，
故答案为：C
【分析】根据正方形的四个角是直角和四条边相等得出边和角相等，根据SAS判定△ABE≌△BCF，根据全等三角形的对应角和对应边相等逐一判定.
4．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图， ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=40°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（ ）
A．65° B．55° C．70° D．75°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AEF=90°，
∵∠CEF=15°，
∴∠AEB=180°﹣90°﹣15°=75°，
∵∠B=180°﹣∠BAE﹣∠AEB=180°﹣40°﹣75°=65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=65°
故答案为：A．
【分析】根据正方形的四个角是直角得出∠AEF=90°，进而根据平角得出∠AEB=75°，根据三角形的内角和求出∠B=65°，根据平行四边形的对角相等即可求解.
5．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ODA交OA于点E，若AB=4，则线段OE的长为（ ）
A． B．4﹣2 C． D． ﹣2
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过E作EH⊥AD于H，
则△AEH是等腰直角三角形，
∵AB=4，△AOB是等腰直角三角形，
∴AO=AB×cos45°=4× =2 ，
∵DE平分∠ODA，EO⊥DO，EH⊥DH，
∴OE=HE，
设OE=x，则EH=AH=x，AE=2 ﹣x，
∵Rt△AEH中，AH2+EH2=AE2，
∴x2+x2=（2 ﹣x）2，
解得x=4﹣2 （负值已舍去），
∴线段OE的长为4﹣2 ．
故答案为：B．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角得出△AEH是等腰直角三角形，解直角三角形得AO=2 ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得OE=HE，根据勾股定理列出方程即可求解.
6．（2017·渭滨模拟）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，
∴EH=FE=GF=GH= = ，
∴四边形EFGH的面积是： × =34，
故选B．
【分析】由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由边长为8，AE=BF=CG=DH=5，可得AH=3，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积．
7．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠FCD+∠BCD=180°，
∴∠A=∠FCD，
又∠AED=∠F=90°，AD=DC，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，
∴DE=4．
故选C．
【分析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4．
8．（2017·双桥模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③AE+DF=AF+DE；
④当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形．
其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定；线段垂直平分线的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，
∴①不正确；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，
∴AE+DF=AF+DE，
∴③正确；
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO=FO，
又∵AE=AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴②正确；
∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴④正确．
综上，可得正确的是：②③④．
故答案为：B．
【分析】①根据已知不能得到此结论；②根据角平分线的性质得到∠EAD=∠FAD，即可证得△AED≌△AFD、△AE0≌△AF0，得到AE=AF、EO=FO，然后根据线段垂直平分线的判定方法，即可得出结论是正确的；③通过证△AED≌△AFD，得出此结论正确；④先证明三个角是直角的四边形是矩形，再根据一组邻边相等的矩形是正方形，即可得证，综合以上分析可得出正确答案。
9．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕顶点A顺时针旋转45°，
∴∠D′CE=45°，
∴CD′=D′E，
∵ED′⊥AC，
∴∠CD′E=90°，
∵AC= = ，
∴CD′= ﹣1，
∴正方形重叠部分的面积是 ×1×1﹣ ×（ ﹣1）（ ﹣1）= ﹣1．
故答案为：D．
【分析】根据旋转角是45°和正方形的对角线平分一直对角可得△D'CE是等腰直角三角形，根据勾股定理得出AC的长进而求出CD'的长，用正方形面积的一半减去三角形CD'E的面积即可求解.
二、填空题
10．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE=
【答案】
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，AB=3，
∴AC=3 ，
∵正方形ABCD，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，
∴∠DCE=∠ECA，DC∥EB，
∴∠CEA=∠DCE，
∴∠E=∠ECA，
∴AE=AC=3 ，
故答案为：3
【分析】根据正方形的四条边相等和四个角是直角求出对角线AC的长，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得∠E=∠ECA，根据等角对等边得出AE=AC.
11．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．
【答案】2 ﹣2
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO= AB=2，
在Rt△AOD中，OD= = =2 ，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH的最小值=OD﹣OH=2 ﹣2．
故答案为：2 ﹣2．
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得OH=AO= AB=2，根据勾股定理得OD=2 ，根据三边关系和两点之间线段最短即可求解.
12．（北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形第三节《正方形的性质与判定》同步练习）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是 （只填写序号）．
【答案】②③或①④
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：有6种选法：（1）①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（2）②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（3）①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（4）②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（5）①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（6）③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
综上所述：错误的是：②③或①④；
故答案为：②③或①④．
【分析】要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．
【答案】1：2
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定；矩形的性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，
∴AB=AM=DM=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，
∴∠BMC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠MBC=∠MCB=45°，
∴BM=CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME=MF，∠BMC=90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
【分析】根据三角形的中位线定理可得NF∥BM，NE∥CM，根据两组对边平行得四边形MENF是平行四边形，根据一组邻边相等和一个角是直角即可判定是正方形.
14．（2017·莱西模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 ．
【答案】3
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP= =3 ．
故答案为：3 ．
【分析】过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，然后再依据AAS可证明△ADP≌△CDE，故此四边形BCD的面积=四边形DPBE的面积=18，然后再证明四边形DPBE为正方形，最后，再依据算术平方根的定义求解即可.
三、解答题
15．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出和BE相等的线段，并证明你的结论．
【答案】解：答：AF=BE，
证明：∵CE⊥BF，垂足为M，
∴∠MBC+∠MCB=∠BEC+∠MCB，
∴∠MBC=∠BEC，
又∵AD∥BC，
∴∠MBC=∠AFB
∴∠AFB=∠BEC，
∵在Rt△BAF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△CBE（AAS），
∴AF=BE．
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】等角的余角相等和两直线平行内错角相等得出三角形全等的条件，根据AAS判定
Rt△BAF≌Rt△CBE ，根据全等三角形的对应边相等即可求解.
16．（2017·邕宁模拟）如图，已知在正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F．求证：DE=DF．
【答案】证明：连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵AE∥BD，
∴四边形AOGE是矩形，
∴EG=AO= AC= BD= BE，
∴∠EBD=30°，
∵∠EBD=30°，BE=BD，
∴∠BED=75°，
∵∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DF=DE．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质
【解析】【分析】连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD垂足为G，先证明四边形AOGE是矩形，从而可得到EG=BD=BE，从而可求得∠EBD=30°，接下来可求得∠BED=75°，然后再依据∠EFD=∠FDB+∠EBD求得∠EFD的度数，故∠DEF=∠DFE，最后，依据等边对等角的性质进行证明即可.
17．（2017·潮安模拟）如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF，EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．
（1）求证：BE=2CF；
（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．
【答案】（1）证明：过F作FH⊥BE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90°，
∴四边形BCFH为矩形，
∴BH=CF，
又∵BF=EF，
∴BE=2BH，
∴BE=2CF；
（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：
∵MN⊥EF，
∴∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN，
∴∠ABN+∠E=90°，
∵BF=EF，
∴∠E=∠EBF，
∴∠ABN+∠EBF=90°，
又∵∠EBC=90°，
∴∠CBF+∠EBF=90°，
∴∠ABN=∠CBF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠NAB=∠CBF=90°，
在△ABN和△CBF中
∴△ABN≌△CBF（ASA），
∴BF=BN，
又由旋转可得EF=FG=BF，
∴BN=FG，
∵∠GFM=∠BME=90°，
∴BN∥FG，
∴四边形BFGN为菱形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）过F作FH⊥BE，垂足为H，首先证明四边形BCFH为矩形，依据矩形的性质可得到BH=CF，然后由H为BE中点，可得BE=2CF；
（2）首先证明△ANB≌△CFB，依据全等三角形的性质可得到BN=BF，然后再证明BN=GF，且BN∥FG，可最后，依据菱形的判定定理进行证明即可.
18．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；
（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．
【答案】（1）证明：在△HDG和△AEH中，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
∵DG=AH=2，
∴Rt△HDG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形
（2）解：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE
∵CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠FGM，
在Rt△AHE和Rt△GFM中，
∵ ，
∴Rt△AHE≌Rt△GFM，
∴MF=2，
∵DG=x，
∴CG=6﹣x．
∴S△FCG= CG FM=6﹣x．
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的四个角是直角和菱形的四条边相等证明 Rt△HDG≌△AEH ，根据全等三角形的对应角相等得出 ∠DHG=∠AEH ，根据一个角是直角的菱形是正方形即可求解；
（2）根据两直线平行内错角相等和正方形的四个角是直角证明 Rt△AHE和Rt△GFM ，根据全等三角形的对应边相等即可求解.
19．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）探究：
如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．
（1）求证：∠ANC=∠ABE．
（2）应用：Q是线段BC的中点，若BC=6，则PQ= ．
【答案】（1）证明：∵四边形ANMB和ACDE是正方形，
∴AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，
∵∠NAC=∠NAB+∠BAC，∠BAE=∠BAC+∠CAE，
∴∠NAC=∠BAE，
在△ANC和△ABE中
∴△ANC≌△ABE（SAS），
∴∠ANC=∠ABE．
（2）3
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】（2）解：应用：∵四边形NABM是正方形，
∴∠NAB=90°，
∴∠ANC+∠AON=90°，
∵∠BOP=∠AON，∠ANC=∠ABE，
∴∠ABP+∠BOP=90°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BOP=90°，
∵Q为BC中点，BC=6，
∴PQ=
BC=3，
故答案为：3．
【分析】（1）根据正方形的四条边相等和四个角是直角得出 △ANC和△ABE全等的条件，根据SAS判定△ANC≌△ABE ，根据全等三角形的对应边相等即可求解.
（2）根据第一问的结论和正方形的四个角是直角得出∠BPC=90°，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）要使菱形ABCD成为正方形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
2．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．两对角线将其分割的四个三角形面积相等
3．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=CF．连接AE，BF，AE与BF交于点G．下列结论错误的是（ ）
A．AE=BF B．∠DAE=∠BFC
C．∠AEB+∠BFC=90° D．AE⊥BF
4．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图， ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=40°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（ ）
A．65° B．55° C．70° D．75°
5．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ODA交OA于点E，若AB=4，则线段OE的长为（ ）
A． B．4﹣2 C． D． ﹣2
6．（2017·渭滨模拟）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
7．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．8
8．（2017·双桥模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③AE+DF=AF+DE；
④当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形．
其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
9．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE=
11．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．
12．（北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形第三节《正方形的性质与判定》同步练习）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是 （只填写序号）．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．
14．（2017·莱西模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 ．
三、解答题
15．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出和BE相等的线段，并证明你的结论．
16．（2017·邕宁模拟）如图，已知在正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F．求证：DE=DF．
17．（2017·潮安模拟）如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF，EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．
（1）求证：BE=2CF；
（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；
（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．
19．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）探究：
如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．
（1）求证：∠ANC=∠ABE．
（2）应用：Q是线段BC的中点，若BC=6，则PQ= ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴要使菱形ABCD成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是：∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为：D．
【分析】根据一组邻边相等的矩形是正方形和有一个角是直角的菱形是正方形即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、正方形、矩形四个角都是直角，此选项不合题意；
B、正方形对角线相互垂直，但矩形对角线不一定垂直，故此选项符合题意；
C、矩形、正方形对角线都是相等的，故此选项不合题意；
D、如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=BO=CO=DO，
又∵AB=BC=CD=DA，
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO，
∴S△ABO=S△CBO=S△CDO=S△ADO，
∵四边形EFMN是矩形，
∴H是EM的中点，
∴ （三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分），
同理： ，S△EHN=SHNM，
∴矩形的对角线也把矩形的面积分成相等的四部分，
故两对角线将其分割的四个三角形面积相等，此选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据正方形和矩形的性质即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD中，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
在△ABE与△BCF中
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠AEB=∠BFC，∠BAE=∠CBF，
∵∠DAE+∠BAE=90°，∠BFC+∠FBC=90°，
∴∠DAE=∠BFC，∠BAE+∠ABG=90°，
∴AE⊥BF，
故ABD不符合题意；
∠AEB=∠BFC，∠AEB+∠BFC＞90°，
故答案为：C
【分析】根据正方形的四个角是直角和四条边相等得出边和角相等，根据SAS判定△ABE≌△BCF，根据全等三角形的对应角和对应边相等逐一判定.
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AEF=90°，
∵∠CEF=15°，
∴∠AEB=180°﹣90°﹣15°=75°，
∵∠B=180°﹣∠BAE﹣∠AEB=180°﹣40°﹣75°=65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=65°
故答案为：A．
【分析】根据正方形的四个角是直角得出∠AEF=90°，进而根据平角得出∠AEB=75°，根据三角形的内角和求出∠B=65°，根据平行四边形的对角相等即可求解.
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过E作EH⊥AD于H，
则△AEH是等腰直角三角形，
∵AB=4，△AOB是等腰直角三角形，
∴AO=AB×cos45°=4× =2 ，
∵DE平分∠ODA，EO⊥DO，EH⊥DH，
∴OE=HE，
设OE=x，则EH=AH=x，AE=2 ﹣x，
∵Rt△AEH中，AH2+EH2=AE2，
∴x2+x2=（2 ﹣x）2，
解得x=4﹣2 （负值已舍去），
∴线段OE的长为4﹣2 ．
故答案为：B．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角得出△AEH是等腰直角三角形，解直角三角形得AO=2 ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得OE=HE，根据勾股定理列出方程即可求解.
6．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，
∴EH=FE=GF=GH= = ，
∴四边形EFGH的面积是： × =34，
故选B．
【分析】由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由边长为8，AE=BF=CG=DH=5，可得AH=3，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积．
7．【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠FCD+∠BCD=180°，
∴∠A=∠FCD，
又∠AED=∠F=90°，AD=DC，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，
∴DE=4．
故选C．
【分析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4．
8．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定；线段垂直平分线的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，
∴①不正确；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，
∴AE+DF=AF+DE，
∴③正确；
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO=FO，
又∵AE=AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴②正确；
∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴④正确．
综上，可得正确的是：②③④．
故答案为：B．
【分析】①根据已知不能得到此结论；②根据角平分线的性质得到∠EAD=∠FAD，即可证得△AED≌△AFD、△AE0≌△AF0，得到AE=AF、EO=FO，然后根据线段垂直平分线的判定方法，即可得出结论是正确的；③通过证△AED≌△AFD，得出此结论正确；④先证明三个角是直角的四边形是矩形，再根据一组邻边相等的矩形是正方形，即可得证，综合以上分析可得出正确答案。
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕顶点A顺时针旋转45°，
∴∠D′CE=45°，
∴CD′=D′E，
∵ED′⊥AC，
∴∠CD′E=90°，
∵AC= = ，
∴CD′= ﹣1，
∴正方形重叠部分的面积是 ×1×1﹣ ×（ ﹣1）（ ﹣1）= ﹣1．
故答案为：D．
【分析】根据旋转角是45°和正方形的对角线平分一直对角可得△D'CE是等腰直角三角形，根据勾股定理得出AC的长进而求出CD'的长，用正方形面积的一半减去三角形CD'E的面积即可求解.
10．【答案】
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，AB=3，
∴AC=3 ，
∵正方形ABCD，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，
∴∠DCE=∠ECA，DC∥EB，
∴∠CEA=∠DCE，
∴∠E=∠ECA，
∴AE=AC=3 ，
故答案为：3
【分析】根据正方形的四条边相等和四个角是直角求出对角线AC的长，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得∠E=∠ECA，根据等角对等边得出AE=AC.
11．【答案】2 ﹣2
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO= AB=2，
在Rt△AOD中，OD= = =2 ，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH的最小值=OD﹣OH=2 ﹣2．
故答案为：2 ﹣2．
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得OH=AO= AB=2，根据勾股定理得OD=2 ，根据三边关系和两点之间线段最短即可求解.
12．【答案】②③或①④
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：有6种选法：（1）①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（2）②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（3）①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（4）②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（5）①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（6）③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
综上所述：错误的是：②③或①④；
故答案为：②③或①④．
【分析】要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
13．【答案】1：2
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定；矩形的性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，
∴AB=AM=DM=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，
∴∠BMC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠MBC=∠MCB=45°，
∴BM=CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME=MF，∠BMC=90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
【分析】根据三角形的中位线定理可得NF∥BM，NE∥CM，根据两组对边平行得四边形MENF是平行四边形，根据一组邻边相等和一个角是直角即可判定是正方形.
14．【答案】3
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP= =3 ．
故答案为：3 ．
【分析】过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，然后再依据AAS可证明△ADP≌△CDE，故此四边形BCD的面积=四边形DPBE的面积=18，然后再证明四边形DPBE为正方形，最后，再依据算术平方根的定义求解即可.
15．【答案】解：答：AF=BE，
证明：∵CE⊥BF，垂足为M，
∴∠MBC+∠MCB=∠BEC+∠MCB，
∴∠MBC=∠BEC，
又∵AD∥BC，
∴∠MBC=∠AFB
∴∠AFB=∠BEC，
∵在Rt△BAF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△CBE（AAS），
∴AF=BE．
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】等角的余角相等和两直线平行内错角相等得出三角形全等的条件，根据AAS判定
Rt△BAF≌Rt△CBE ，根据全等三角形的对应边相等即可求解.
16．【答案】证明：连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵AE∥BD，
∴四边形AOGE是矩形，
∴EG=AO= AC= BD= BE，
∴∠EBD=30°，
∵∠EBD=30°，BE=BD，
∴∠BED=75°，
∵∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DF=DE．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质
【解析】【分析】连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD垂足为G，先证明四边形AOGE是矩形，从而可得到EG=BD=BE，从而可求得∠EBD=30°，接下来可求得∠BED=75°，然后再依据∠EFD=∠FDB+∠EBD求得∠EFD的度数，故∠DEF=∠DFE，最后，依据等边对等角的性质进行证明即可.
17．【答案】（1）证明：过F作FH⊥BE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90°，
∴四边形BCFH为矩形，
∴BH=CF，
又∵BF=EF，
∴BE=2BH，
∴BE=2CF；
（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：
∵MN⊥EF，
∴∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN，
∴∠ABN+∠E=90°，
∵BF=EF，
∴∠E=∠EBF，
∴∠ABN+∠EBF=90°，
又∵∠EBC=90°，
∴∠CBF+∠EBF=90°，
∴∠ABN=∠CBF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠NAB=∠CBF=90°，
在△ABN和△CBF中
∴△ABN≌△CBF（ASA），
∴BF=BN，
又由旋转可得EF=FG=BF，
∴BN=FG，
∵∠GFM=∠BME=90°，
∴BN∥FG，
∴四边形BFGN为菱形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）过F作FH⊥BE，垂足为H，首先证明四边形BCFH为矩形，依据矩形的性质可得到BH=CF，然后由H为BE中点，可得BE=2CF；
（2）首先证明△ANB≌△CFB，依据全等三角形的性质可得到BN=BF，然后再证明BN=GF，且BN∥FG，可最后，依据菱形的判定定理进行证明即可.
18．【答案】（1）证明：在△HDG和△AEH中，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
∵DG=AH=2，
∴Rt△HDG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形
（2）解：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE
∵CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠FGM，
在Rt△AHE和Rt△GFM中，
∵ ，
∴Rt△AHE≌Rt△GFM，
∴MF=2，
∵DG=x，
∴CG=6﹣x．
∴S△FCG= CG FM=6﹣x．
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的四个角是直角和菱形的四条边相等证明 Rt△HDG≌△AEH ，根据全等三角形的对应角相等得出 ∠DHG=∠AEH ，根据一个角是直角的菱形是正方形即可求解；
（2）根据两直线平行内错角相等和正方形的四个角是直角证明 Rt△AHE和Rt△GFM ，根据全等三角形的对应边相等即可求解.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ANMB和ACDE是正方形，
∴AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，
∵∠NAC=∠NAB+∠BAC，∠BAE=∠BAC+∠CAE，
∴∠NAC=∠BAE，
在△ANC和△ABE中
∴△ANC≌△ABE（SAS），
∴∠ANC=∠ABE．
（2）3
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】（2）解：应用：∵四边形NABM是正方形，
∴∠NAB=90°，
∴∠ANC+∠AON=90°，
∵∠BOP=∠AON，∠ANC=∠ABE，
∴∠ABP+∠BOP=90°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BOP=90°，
∵Q为BC中点，BC=6，
∴PQ=
BC=3，
故答案为：3．
【分析】（1）根据正方形的四条边相等和四个角是直角得出 △ANC和△ABE全等的条件，根据SAS判定△ANC≌△ABE ，根据全等三角形的对应边相等即可求解.
（2）根据第一问的结论和正方形的四个角是直角得出∠BPC=90°，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.
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