2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习
一、选择题
1．（人教版九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角 同步练习）在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ）
A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等
C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；
D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．故选A．
【分析】利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出B、C、D三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出A选项错误．
2．（2017·安徽模拟）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】过O作OC⊥AB于C，
∴AC=BC= AB=12，
在Rt△AOC中，
∴OC= =5．
故答案为：B．
【分析】过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=BC= AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得出OC=5.
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A． cm B． cm
C． cm或 cm D． cm或 cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=
AB=
×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM=
=
=3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=
=
=
cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=
=
=
cm．
故答案为：C．
【分析】 连接OA，AC，先根据垂径定理求出AM的长，再由勾股定理求出OM的长，进而可得出CM的长，根据勾股定理即可得出AC的长．（要注意分两种情况）
4．（2017八下·东营期末）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵CE=2，DE=8，
∴OB=5，
∴OE=3，
∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，得BE=4，
∴AB=2BE=8．
故选：D．
【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AE=BE B． =
C．OE=DE D．∠DBC=90°
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴AE=BE，
=
，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
不能得出OE=DE．
故答案为：C．
【分析】 由于CD⊥AB，根据垂径定理有AE=BE， = ，不能得出OE=DE，利用直径所对的圆周角等于90°．可得∠DBC=90°。据此作出判断即可。
6．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为 ，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；切线的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），
∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=
AB=
×
=2
，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=
，
∴PD=
PE=
，
∴a=3+
．
故答案为：B．
【分析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，则OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=
，即可求出a=3+
．
7．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）
A．3 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
∵⊙O的面积为2π
∴⊙O的半径为
∵△ABC为正三角形，
∴∠BOC=
=120°，∠BOD=
∠BOC=60°，OB=
，
∴BD=OB sin∠BOD=
=
，
∴BC=2BD=
，
∴OD=OB cos∠BOD=
cos60°=
，
∴△BOC的面积=
BC OD=
×
×
=
，
∴△ABC的面积=3S△BOC=3×
=
．
故答案为：C．
【分析】如图所示，连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D， 先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可．
8．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA= ，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA、OP是定值，
∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，
∴PA⊥OA时，PA取最小值；
在直角三角形OPA中，OA=
，OP=3，
∴PA=
=
．
故答案为：B
【分析】因为OA、OP是定值，在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，当PA⊥OA时，PA取最小值， 然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．
二、填空题
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB= ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O作OC⊥AB于C，
则AB=2AC，∠OCA=90°，
∵OA=2，∠OAB=30°，
∴OC=1，由勾股定理得：AC=
=
，
∴AB=2AC=2
，
故答案为：2
．
【分析 】 过O作OC⊥AB于C，根据垂直和垂径定理求出AB=2AC，∠OCA=90°，根据含30度角的直角三角形性质求出OC=1，根据勾股定理求出AC，即可得出答案．
10．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是
【答案】32
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OD，
∵⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=8，
∴PD=CD=4，
∴OP=
∴AP=OA+OP=5+3=8，
∴S△ACD=CD AP=×8×8=32．
故答案为：32．
【分析】连接OD，先根据垂径定理得出PD=CD=4，再根据勾股定理求出OP的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．
11．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根据垂径定理，得到BE=
AB=4，CF=
CD=3，
∴OE=
=
=3，
OF=
=
=4，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=
，
则PA+PC的最小值为
．
故答案为：
【分析】 A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值 。连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．利用垂径定理求出BE，CF，进而求出BH，再根据勾股定理求出OE，OF的长，进而求出CH，在直角△BCH中根据勾股定理得到BC= ，
12．（2016九上·宝丰期末）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2 cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为 cm．
【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连结OB，如图，
∵∠BCD=22°30′，
∴∠BOD=2∠BCD=45°，
∵AB⊥CD，
∴BE=AE= AB= ×2 = ，△BOE为等腰直角三角形，
∴OB= BE=2（cm）．
故答案为：2．
【分析】要求圆的半径，连接OB，根据已知可证得△BOE为等腰直角三角形，利用勾股定理或解直角三角形即可求出半径。
13．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB= OA=2 ，
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB= AB CD+ AB CE= AB（CD+CE）= AB DE= ×2 ×4=4 ．
故答案为：4 ．
【分析】 过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOB=2∠AMB=90°，从而得出△OAB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出AB= OA=2 ，根据S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，根据底一定，当三角形的高最大的时候，图形的面积最大得出当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大；再根据圆周最大的弦是直径即可算出答案。
14．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是 的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为 ．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示．
∵点E是 的中点，
∴∠BOE=∠COE．
∵OB=OC，
∴OD⊥BC，BD=DC．
∵BC=6，
∴BD=3．
设⊙O的半径为r，则OB=OE=r．
∵DE=1，
∴OD=r﹣1．
∵OD⊥BC即∠BDO=90°，
∴OB2=BD2+OD2．
∵OB=r，OD=r﹣1，BD=3，
∴r2=32+（r﹣1）2．
解得：r=5．
∴OD=4．
∵AO=BO，BD=CD，
∴OD= AC．
∴AC=8．
【分析】 连接OC，如图所示．根据等弧所对的圆心角相等得出∠BOE=∠COE．根据等腰三角形的三线合一得出OD⊥BC，BD=DC=3．在Rt△ODB中，根据勾股定理建立方程，求解算出该圆的半径，从而得出OD的长度，最后根据三角形的中位线定理算出AC的长。
三、解答题
15．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，AB是⊙O的弦，点C、D在弦AB上，且AD=BC，联结OC、OD．求证：△OCD是等腰三角形．
【答案】证明：过O作OE⊥AB于E，
则AE=BE，
∵AD=BC，
∴AD﹣DC=BC﹣DC，
∴AC=DE，
∴CE=DE，
∵OE⊥CD，
∴OC=OD，
即△OCD是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理
【解析】【分析】 过O作OE⊥AB于E， 根据垂径定理得出 AE=BE， 又 AD=BC， 根据等式的性质即可得出 CE=DE， 根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 OC=OD， 即△OCD是等腰三角形。
16．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【答案】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD
（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，
∴OE=6，
∴CE= = =2 ，AE= = =8，
∴AC=AE﹣CE=8﹣2 ．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）
过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD．（2）连接OC，OA，根据OE⊥AB且OE⊥CD可得OE=6，CE=DE，再根据勾股定理求出CE及AE的长，进而可得出结论．
17．（2016九上·淅川期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
【答案】（1）解：∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=（x﹣4）2+82，
解得：x=10，
∴⊙O的直径是20
（2）解：∵∠M= ∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D= ∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=30°
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由AB⊥CD，得出DE的长，再设半径为x，表示出OE的长，在Rt△ODE中，根据勾股定理建立方程即可求出半径长。
（2）根据圆周角定理及∠M=∠D，易证明∠D= ∠BOD，从而可求出结果。
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
【答案】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
∵AB=8cm，
∴AE=BE= AB= ×8=4cm，
∵⊙O的直径为10cm，
∴OB= ×10=5cm，
∴OE= = =3cm，
∵垂线段最短，半径最长，
∴3cm≤OP≤5cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】
过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长（最小值），由此可得出结论．
19．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
【答案】（1）证明：∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，
∴∠C=∠D，
∴CB∥PD；
（2）解：连结OC，OD．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴ = ，
∵∠PBC=∠C=22.5°，
∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°，
∴劣弧AC的长为： = ．
【知识点】平行线的判定；垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠PBC=∠D ，根据垂径定理得出 = ，根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠PBC=∠C， 故 ∠C=∠D， 再根据内错角相等二直线平行得出 CB∥PD；
（2） 连结OC，OD． 根据垂径定理得出 = ，根据同弧或等弧所对的所对的圆心角等于圆周角的2倍得出 ∠BOC=∠BOD=2∠C=45°， 进而根据邻补角的定义得出∠BOC的度数，最后根据弧长计算公式l=即可算出答案。
20．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E， ，
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
【答案】（1）解：∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴ = ，AF=BF，
∴∠C= ∠AOD，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠C= ∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=30°，
∵BC=2 ，
∴BF= BC= ，
∴AB=2BF=2 ；
（2）解：∵AO⊥BC，BC=2 ，
∴CE=BE= BC= ，
∵∠C=30°，
∴OC= = =2，即⊙O的半径是2．
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 根据垂径定理得出 = ，AF=BF， 根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出 ∠C= ∠AOD， 根据对顶角相等及等量代换得出 ∠C= ∠COE， 然后根据三角形的内角和得出 ∠C=30°， 根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出 BF= BC= ， 从而得出AB的长度；
（2）根据垂径定理得出 CE= BC= ，根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 OC= 即可算出答案。
21．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：
（1）圆心O到AQ的距离；
（2）线段EF的长．
【答案】（1）解：过点O作OH⊥EF，垂足为点H，
∵OH⊥EF，
∴∠AHO=90°，
在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，
∴OH= AO，
∵BC=10cm，
∴BO=5cm．
∵AO=AB+BO，AB=3cm，
∴AO=3+5=8cm，
∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．
（2）解：连接OE，
在Rt△EOH中，
∵∠EHO=90°，∴EH2+HO2=EO2，
∵EO=5cm，OH=4cm，
∴EH= = =3cm，
∵OH过圆心O，OH⊥EF，
∴EF=2EH=6cm．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】 (1)过点O作OH⊥EF，垂足为点H， 根据含30°直角三角形的边之间的关系得出 OH= AO， 从而得出答案；
（2） 连接OE， 在Rt△EOH中， 根据勾股定理建立方程，即可算出EH的长，再根据垂径定理得出 EF=2EH从而得出答案。
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习
一、选择题
1．（人教版九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角 同步练习）在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ）
A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等
C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等
2．（2017·安徽模拟）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A． cm B． cm
C． cm或 cm D． cm或 cm
4．（2017八下·东营期末）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AE=BE B． =
C．OE=DE D．∠DBC=90°
6．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为 ，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．
7．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）
A．3 B．3 C． D．
8．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA= ，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D．2
二、填空题
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB= ．
10．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是
11．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 ．
12．（2016九上·宝丰期末）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2 cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为 cm．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是 ．
14．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是 的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为 ．
三、解答题
15．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，AB是⊙O的弦，点C、D在弦AB上，且AD=BC，联结OC、OD．求证：△OCD是等腰三角形．
16．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
17．（2016九上·淅川期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
19．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
20．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E， ，
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
21．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：
（1）圆心O到AQ的距离；
（2）线段EF的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；
D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．故选A．
【分析】利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出B、C、D三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出A选项错误．
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】过O作OC⊥AB于C，
∴AC=BC= AB=12，
在Rt△AOC中，
∴OC= =5．
故答案为：B．
【分析】过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=BC= AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得出OC=5.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=
AB=
×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM=
=
=3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=
=
=
cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=
=
=
cm．
故答案为：C．
【分析】 连接OA，AC，先根据垂径定理求出AM的长，再由勾股定理求出OM的长，进而可得出CM的长，根据勾股定理即可得出AC的长．（要注意分两种情况）
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵CE=2，DE=8，
∴OB=5，
∴OE=3，
∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，得BE=4，
∴AB=2BE=8．
故选：D．
【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．
5．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴AE=BE，
=
，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
不能得出OE=DE．
故答案为：C．
【分析】 由于CD⊥AB，根据垂径定理有AE=BE， = ，不能得出OE=DE，利用直径所对的圆周角等于90°．可得∠DBC=90°。据此作出判断即可。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；切线的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），
∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=
AB=
×
=2
，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=
，
∴PD=
PE=
，
∴a=3+
．
故答案为：B．
【分析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，则OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=
，即可求出a=3+
．
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
∵⊙O的面积为2π
∴⊙O的半径为
∵△ABC为正三角形，
∴∠BOC=
=120°，∠BOD=
∠BOC=60°，OB=
，
∴BD=OB sin∠BOD=
=
，
∴BC=2BD=
，
∴OD=OB cos∠BOD=
cos60°=
，
∴△BOC的面积=
BC OD=
×
×
=
，
∴△ABC的面积=3S△BOC=3×
=
．
故答案为：C．
【分析】如图所示，连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D， 先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可．
8．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA、OP是定值，
∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，
∴PA⊥OA时，PA取最小值；
在直角三角形OPA中，OA=
，OP=3，
∴PA=
=
．
故答案为：B
【分析】因为OA、OP是定值，在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，当PA⊥OA时，PA取最小值， 然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．
9．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O作OC⊥AB于C，
则AB=2AC，∠OCA=90°，
∵OA=2，∠OAB=30°，
∴OC=1，由勾股定理得：AC=
=
，
∴AB=2AC=2
，
故答案为：2
．
【分析 】 过O作OC⊥AB于C，根据垂直和垂径定理求出AB=2AC，∠OCA=90°，根据含30度角的直角三角形性质求出OC=1，根据勾股定理求出AC，即可得出答案．
10．【答案】32
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OD，
∵⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=8，
∴PD=CD=4，
∴OP=
∴AP=OA+OP=5+3=8，
∴S△ACD=CD AP=×8×8=32．
故答案为：32．
【分析】连接OD，先根据垂径定理得出PD=CD=4，再根据勾股定理求出OP的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．
11．【答案】
【知识点】垂径定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根据垂径定理，得到BE=
AB=4，CF=
CD=3，
∴OE=
=
=3，
OF=
=
=4，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=
，
则PA+PC的最小值为
．
故答案为：
【分析】 A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值 。连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．利用垂径定理求出BE，CF，进而求出BH，再根据勾股定理求出OE，OF的长，进而求出CH，在直角△BCH中根据勾股定理得到BC= ，
12．【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连结OB，如图，
∵∠BCD=22°30′，
∴∠BOD=2∠BCD=45°，
∵AB⊥CD，
∴BE=AE= AB= ×2 = ，△BOE为等腰直角三角形，
∴OB= BE=2（cm）．
故答案为：2．
【分析】要求圆的半径，连接OB，根据已知可证得△BOE为等腰直角三角形，利用勾股定理或解直角三角形即可求出半径。
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB= OA=2 ，
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB= AB CD+ AB CE= AB（CD+CE）= AB DE= ×2 ×4=4 ．
故答案为：4 ．
【分析】 过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOB=2∠AMB=90°，从而得出△OAB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出AB= OA=2 ，根据S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，根据底一定，当三角形的高最大的时候，图形的面积最大得出当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大；再根据圆周最大的弦是直径即可算出答案。
14．【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示．
∵点E是 的中点，
∴∠BOE=∠COE．
∵OB=OC，
∴OD⊥BC，BD=DC．
∵BC=6，
∴BD=3．
设⊙O的半径为r，则OB=OE=r．
∵DE=1，
∴OD=r﹣1．
∵OD⊥BC即∠BDO=90°，
∴OB2=BD2+OD2．
∵OB=r，OD=r﹣1，BD=3，
∴r2=32+（r﹣1）2．
解得：r=5．
∴OD=4．
∵AO=BO，BD=CD，
∴OD= AC．
∴AC=8．
【分析】 连接OC，如图所示．根据等弧所对的圆心角相等得出∠BOE=∠COE．根据等腰三角形的三线合一得出OD⊥BC，BD=DC=3．在Rt△ODB中，根据勾股定理建立方程，求解算出该圆的半径，从而得出OD的长度，最后根据三角形的中位线定理算出AC的长。
15．【答案】证明：过O作OE⊥AB于E，
则AE=BE，
∵AD=BC，
∴AD﹣DC=BC﹣DC，
∴AC=DE，
∴CE=DE，
∵OE⊥CD，
∴OC=OD，
即△OCD是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理
【解析】【分析】 过O作OE⊥AB于E， 根据垂径定理得出 AE=BE， 又 AD=BC， 根据等式的性质即可得出 CE=DE， 根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 OC=OD， 即△OCD是等腰三角形。
16．【答案】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD
（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，
∴OE=6，
∴CE= = =2 ，AE= = =8，
∴AC=AE﹣CE=8﹣2 ．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）
过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD．（2）连接OC，OA，根据OE⊥AB且OE⊥CD可得OE=6，CE=DE，再根据勾股定理求出CE及AE的长，进而可得出结论．
17．【答案】（1）解：∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=（x﹣4）2+82，
解得：x=10，
∴⊙O的直径是20
（2）解：∵∠M= ∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D= ∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=30°
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由AB⊥CD，得出DE的长，再设半径为x，表示出OE的长，在Rt△ODE中，根据勾股定理建立方程即可求出半径长。
（2）根据圆周角定理及∠M=∠D，易证明∠D= ∠BOD，从而可求出结果。
18．【答案】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
∵AB=8cm，
∴AE=BE= AB= ×8=4cm，
∵⊙O的直径为10cm，
∴OB= ×10=5cm，
∴OE= = =3cm，
∵垂线段最短，半径最长，
∴3cm≤OP≤5cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】
过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长（最小值），由此可得出结论．
19．【答案】（1）证明：∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，
∴∠C=∠D，
∴CB∥PD；
（2）解：连结OC，OD．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴ = ，
∵∠PBC=∠C=22.5°，
∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°，
∴劣弧AC的长为： = ．
【知识点】平行线的判定；垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠PBC=∠D ，根据垂径定理得出 = ，根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠PBC=∠C， 故 ∠C=∠D， 再根据内错角相等二直线平行得出 CB∥PD；
（2） 连结OC，OD． 根据垂径定理得出 = ，根据同弧或等弧所对的所对的圆心角等于圆周角的2倍得出 ∠BOC=∠BOD=2∠C=45°， 进而根据邻补角的定义得出∠BOC的度数，最后根据弧长计算公式l=即可算出答案。
20．【答案】（1）解：∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴ = ，AF=BF，
∴∠C= ∠AOD，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠C= ∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=30°，
∵BC=2 ，
∴BF= BC= ，
∴AB=2BF=2 ；
（2）解：∵AO⊥BC，BC=2 ，
∴CE=BE= BC= ，
∵∠C=30°，
∴OC= = =2，即⊙O的半径是2．
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 根据垂径定理得出 = ，AF=BF， 根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出 ∠C= ∠AOD， 根据对顶角相等及等量代换得出 ∠C= ∠COE， 然后根据三角形的内角和得出 ∠C=30°， 根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出 BF= BC= ， 从而得出AB的长度；
（2）根据垂径定理得出 CE= BC= ，根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 OC= 即可算出答案。
21．【答案】（1）解：过点O作OH⊥EF，垂足为点H，
∵OH⊥EF，
∴∠AHO=90°，
在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，
∴OH= AO，
∵BC=10cm，
∴BO=5cm．
∵AO=AB+BO，AB=3cm，
∴AO=3+5=8cm，
∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．
（2）解：连接OE，
在Rt△EOH中，
∵∠EHO=90°，∴EH2+HO2=EO2，
∵EO=5cm，OH=4cm，
∴EH= = =3cm，
∵OH过圆心O，OH⊥EF，
∴EF=2EH=6cm．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】 (1)过点O作OH⊥EF，垂足为点H， 根据含30°直角三角形的边之间的关系得出 OH= AO， 从而得出答案；
（2） 连接OE， 在Rt△EOH中， 根据勾股定理建立方程，即可算出EH的长，再根据垂径定理得出 EF=2EH从而得出答案。
1 / 1
