苏教版（2019）必修第一册8.2 函数与数学模型 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
第8章
8.2
函数与数学模型
学习目标
1.通过对同底数幂的值的研究，理解“指数爆炸”的含义.
2. 通过对幂函数、指数函数和对数函数图象的研究，理解“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”等术语表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式.
3. 能借助信息技术进行数值计算和作出函数图象，比较指数函数、对数函数及幂函数的增长差异.
核心素养：数学抽象、直观想象和数学运算
新知学习
一、几个函数模型的比较
1.常见的函数模型
名称 解析式 条件
一次函数模型 y＝kx+b k≠0
反比例（型） 函数模型 k≠0
二次函数模型 a≠0
指数（型）函数模型 y＝b·ax+c a>0且a≠1，b≠0
对数（型）函数模型 y＝mlogax+n a>0且a≠1，m≠0
幂（型）函数模型 y＝axα+b a≠0
2.几类增长的函数模型
（1）一次函数模型
一次函数模型y＝kx+b（k>0）的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
（2）指数函数模型
指数函数模型y＝ax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“爆炸式增长”.
（3）对数函数模型
对数函数模型y＝logax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
（4）幂函数模型
当x>0，α>1时，幂函数y＝xα是增函数，且当x>1时，α越大其函数值的增长速度就越快.
【归纳】指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
函数 y＝ax（a>1） y＝logax（a>1） y＝xα（α>0）
在（0，+∞）上的单调性 单调递增，且a越大，增长越快 单调递增，且a越小，增长越快 单调递增，且当x>1时，α越大，增长越快
增长速度 越来越快 越来越慢 随着α值的不同而不同
图象的 变化 随x的增大越来越陡 随x的增大逐渐变缓 随着α值的不同而不同
3.指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
一般地，在区间（0，+∞）上，尽管函数y＝ax（a>1），y＝logax（a>1）和y＝xα（α>0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.
随着x的增大，y＝ax（a>1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xα（α>0）的增长速度，而
y＝logax（a>1）的增长速度则会越来越慢.
4.指数函数、对数函数和幂函数的衰减差异
一般地，在（0，+∞）上，尽管函数y＝ax（0随着x的增大，函数y＝ax（01时，函数值小于0，并且会越来越小.
示例　已知三个变量y1，y2，y3随自变量x变化数据如下表：
x 1 2 4 6 8 …
y1 2 4 16 64 256 …
y2 1 4 16 36 64 …
y3 0 1 2 2.585 3 …
则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是（　）
A. y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2x B. y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x
C. y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x D. y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2
B
【解析】从表格中可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数函数变化；变量y3增长速度最慢， 呈对数函数变化.故选B.
【注意】选取三个增长函数模型时，应注意：
（1）当描述增长速度变化很快时，常选用指数函数模型.
（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常选用对数函数模型.
（3）幂函数模型y＝xα（α>0）可以描述增长幅度不同的变化，
当α值较小（α≤1）时，增长较慢；
当α值较大（α>1）时，增长较快.
二、建立函数模型解决实际问题的基本步骤
1.基本思想
【知识必备】数学建模的系统图
2.一般步骤
（1）提出问题
实际情境中的问题往往是模糊和笼统的，这就需要透过现象，明确地提出问题.
（2）建立模型
在一定知识积累的基础上，预测需建立的数学模型，抓住主要因素，摒弃次要因素，做出适当简化和假设.
在假设的基础上，用数学概念表示实际问题，用数学结构反映实际问题中各个量之间的关系.从不同角度、用不同知识表示同样的问题，就会得到不同的模型.
（3）求解模型
这个过程是求解数学问题.值得注意的是，如果目标是求值，一般不容易求得精确值，这就要根据需要求近似解.
（4）检验结果
用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际.
如果不符合实际情况，就要重新建模.
3.建立拟合函数模型的步骤
【方法技巧】建立函数模型时，求函数解析式的方法
（1）待定系数法：已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数的模型，这种情况下，运用待定系数法求出解析式中的相关参数（未知系数）的值，就可以确定函数的解析式.
（2）归纳法：先给自变量一些特殊值，计算出相应函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数的解析式.
（3）方程法：用x表示自变量或其他相关量，根据问题的实际意义，运用已掌握的数学、物理等方面的知识，列出函数的解析式，此种方法形式上与列方程解应用题相仿，故称为方程法，实际上函数的解析式就是含x，y的二元方程.
4.数据拟合的注意点
（1）检验求出的模型是否符合实际这一步骤不能省略；
（2）在选择函数模型时，要让函数的性质与所要解决的问题的变化基本吻合，通常用待定系数法求拟合函数的解析式，由于函数模型的局限性，所求数据往往只是在一定的范围内与实际问题基本相符.
示例　弹簧伸长的长度d与拉力f的相关数据如表：
f / N 14.2 28.8 41.3 57.5 70.2
d/cm 1 2 3 4 5
描点画出弹簧伸长的长度随拉力变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式.

【解题方法】
对于建立的各种函数模型，要能够对其进行识别，充分利用数学方法加以解决，同时也要积累一定数量的曲线的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本.
运用已知函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正.
典例剖析
一、函数增长速度的比较问题
1.增长函数模型的比较
例 1 ［多选题］甲、乙、丙、丁四个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程fi（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）＝2x-1，f2（x）＝x3，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x+1），则下列结论中正确的是（　 ）
A.当x>1时，甲在最前面 B.当x>1时，乙在最前面
C.当01时，丁在最后面 D.丙不可能在最前面，也不可能在最后面
E.如果它们一直运动下去，最终在最前面的是甲
CDE
【分析】 从四个函数模型的增长差异出发，逐一分析上述结论，判断结论是否正确.
【解析】 路程fi（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）＝2x-1，f2（x）＝x3，f3（x）＝x，
f4（x）＝log2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数型函数模型.
对于A，当x＝2时，f1（2）＝3，f2（2）＝8，∴ 该结论不正确；
对于B，∵ 随着x的增大，指数型函数的增长速度会远远大于幂函数的增长速度，∴ 当x>1时，甲总会超过乙的，∴ 该结论不正确；
对于C，根据四种函数图象的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体在同一位置，从而可知当01时，丁在最后面，∴ 该结论正确；
对于D，结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能在最前面，也不可能在最后面，∴ 该结论正确；
对于E，指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴ 该结论正确.
【方法技巧】增长函数模型的特点
对于函数模型选择的问题，熟悉各种函数模型的增长特点是关键.
一次函数模型的增长是匀速的；
二次函数模型是对称的，一侧增，一侧减；
指数（型）函数模型适合描述增长速度很快的变化规律；
对数（型）函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律；
幂（型）函数模型介于指数（型）函数模型和对数（型）函数模型之间，适合描述不快不慢的变化规律.
2.增长函数模型的选取
例 2 某公司为了实现60万元的生产利润目标，准备制订一个激励生产人员的奖励方案：在生产利润达到5万元时，按生产利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随生产利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x.其中哪个模型符合该公司的要求？

二、利用函数模型解决实际问题
1.一次、二次函数模型的应用
例 3 某商场对某种新上市的品牌商品进行促销活动，已知此品牌的一个水杯定价20元，一个钥匙扣定价5元，且该商场推出两种优惠方式：
（1）买一个水杯赠送一个钥匙扣；
（2）按购买两种商品总费用的90%付款.
若某宿舍4位同学需集体购买水杯4个，钥匙扣x个（不低于4个），试按两种不同优惠方式写出实付款y元关于x的函数关系式，并讨论选择哪种优惠方式购买更划算？
（1）C　（2）2
【解】由优惠方式（1）可得y＝20×4+5（x-4）＝60+5x（x≥4且x∈N），
由优惠方式（2）可得y＝（20×4+5x）×90%＝72+4.5x（x≥4且x∈N），
令60+5x＝72+4.5x，解得x＝24；令60+5x>72+4.5x，解得x>24；令60+5x<72+4.5x，解得x<24.
故当4≤x<24时，选择优惠方式（1）更划算；当x＝24时，两种优惠方式实付款相同；
当x>24时，选择优惠方式（2）更划算.
例 4 A，B两城相距100 km，拟在两城之间距A城x km处建一发电站给A，B两城供电.为保证城市安全，发电站距城市的距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离（单位： km）的平方与供电量（单位：亿度）之积的0.25倍，若每月向A城供电20亿度，向B城供电10亿度.
（1）求x的取值范围.
（2）把月供电总费用y表示成关于x的函数.
（3）发电站建在距A城多远处，能使供电总费用y最少？
（1）C　（2）2
【分析】 根据发电站与城市的距离不得小于10 km确定x的取值范围，然后根据正比例关系确定y关于x的函数解析式，最后利用配方法求得最小值.

2.幂型函数模型的应用
例 5 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
（1）分别写出两类产品的收益与投资额x（万元）的函数关系式.
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？
【分析】（1）根据题意设出函数关系式，利用待定系数法求解析式；
（2）通过换元转化为二次函数求最值.

3.指、对数型函数模型的应用
例 6 设海拔x m处的大气压是y Pa，y与x之间的函数关系式是y＝cekx，其中c，k为常量.如果某游客从大气压为1.01×105 Pa的海平面地区到了海拔1 000 m的地区，测得大气压为0.90×105 Pa，感觉没有很明显的高原反应，于是便准备攀登当地海拔为6 000 m的雪山，若当大气压低于0.775×105 Pa时，就会比较危险，请你分析这位游客的决定是否太冒险.

4.分段函数模型的应用
例 7 某网店经营的一种商品进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销量P（件）与单价x（元）之间的关系如图，该网店与这种商品有关的周开支均为25元．
（1）根据周销量图写出周销量P（件）与单价x（元）之间的函数关系式.
（2）写出周利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式.当该商品的单价为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．

【方法总结】（1）分段函数的“段”一定要合理，要不重不漏.
（2）分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
（3）分段函数值域的求法：逐段求函数值的范围，比较后再下结论.



三、图表型应用问题
例 9 为弘扬中华优秀传统文化，某学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学两类读物的阅读量统计如下：
小明“经典名著”的阅读量f（t）（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示：
t 0 10 20 30
f（t） 0 2 700 5 200 7 500
“古诗词”的阅读量g（t）（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足如图所示的关系.
（1）请分别写出函数f（t）和g（t）的解析式.
（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间才能使每天的阅读量最大？最大值是多少？


随堂小测
CD
　　　　
　　　　
B
1 024


5. 经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百千米耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如下表：
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
W 13 10 9.25 10 13
（1）为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择：
Q（v）＝0.5ν+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv.
请从以上三种模型中，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式.
（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是［60，90），［90，110），［110，120］（单位：km/h）.问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？

谢 谢！