苏教版（2019）必修第一册8.1.1函数的零点 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
第8章
8.1
二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
学习目标
1.在二次函数的零点概念基础上，进一步理解一般函数零点的概念.
2. 通过对二次函数的研究，归纳出零点存在定理，并会用零点存在定理分析函数的零点.
核心素养：直观想象、逻辑推理.
新知学习
一、二次函数的零点
一般地，使二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）的值为0的实数x称为二次函数y＝ax2+bx+c的零点.因此，二次函数y＝ax2+bx+c的零点就是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的实数解，也是二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.
二次函数y＝ax2+bx+c（a>0）的图象、零点及对应一元二次方程根的关系如下表（a<0，函数图象开口向下，其他同表格）.
Δ＝b2-4ac ax2+bx+c＝0的根 y＝ax2+bx+c的图象 图象与x轴交点的横坐标 y＝ax2+bx+c的零点
Δ>0 （x1，0）， （x2，0） x1，x2
Δ＝0
Δ<0 方程无实根 无交点 无零点

二、函数的零点
1.函数的零点
一般地，我们把使函数y＝f（x）的值为0的实数x 称为函数y＝f（x）的零点.
因此，函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数解.从图象上看，函数y＝f（x）的零点，就是它的图象与x轴交点的横坐标.
【解读】函数零点、方程的解与函数图象的关系图

2.零点与奇偶性的关系
若定义域包括0的函数y＝f （x）具有奇偶性，而且其所有零点组成的集合为A，其中A是一个有限集，则：
（1）若y＝f（x）是奇函数，则0∈A，而且A中的元素个数一定是奇数；
（2）若A中的元素个数是偶数，则y＝f（x）是偶函数；
（3）若A中的元素个数是奇数且y＝f（x）是偶函数，则0∈A；
（4）A中所有元素之和为0.

C

D
【方法技巧】解决函数零点问题的两种方法
（1）代数法：
若方程f（x）＝0可解，其实数解就是函数y＝f（x）的零点.
（2）几何法：
若方程f（x）＝0难以直接求解，将其改写为g（x）- h（x）＝0，进一步改写为g（x）＝h（x），在同一坐标系中分别作出y＝g（x）和y＝h（x）的图象，两图象交点的横坐标就是函数y＝f（x）的零点，两图象交点的个数就是函数y＝f（x）零点的个数.
三、函数零点存在定理
1.函数零点存在定理
若函数y＝f（x）在区间［a，b］上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）<0，则函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点.
2.函数零点存在定理的几何意义
在闭区间［a，b］上是连续不断的曲线y＝f（x），若曲线的起始点（a，f（a））与终点（b，f（b））分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.
3.函数零点的性质
对于任意函数y＝f（x）的图象是连续不断的一条曲线，则有：
（1）当函数图象通过零点（不是二重零点）且穿过x轴时，函数值变号.
（2）若存在两个或两个以上的零点，那么相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
【概念理解】
（1）函数零点存在定理的两个条件：
①函数f（x）在区间［a，b］上的图象是一条连续不断的曲线；
② f（a）·f（b）<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立.
如图①（不满足“连续”）和图②（不满足“异号”）所表示的函数在（a，b）上不存在零点.
① ② ③ ④
（2）函数零点存在定理只是给出了存在零点的充分条件，不是必要条件，即在［a，b］上不满足“连续”“异号”这两个条件的函数y＝f（x），在区间（a，b）上依然可能存在零点.如图③（不满足“连续”）和图④（不满足“异号”）所表示的函数在（a，b）上存在零点.

（1，4）

B
2.如果方程f（x）＝0有两个相等的实数根x，那么x叫做函数y＝f（x）的二重零点.
如，2就是函数f（x）＝（x-2）2的二重零点.
【知识拓展】
1.函数零点的分类
（1）变号零点：零点附近两侧的函数值异号，如图①.
（2）不变号零点：零点附近两侧的函数值同号，如图②.
① ②
根的分布 图象 条件
x1k四、一元二次方程根的分布
二次函数零点问题可转化为一元二次方程根的分布问题，可利用二次函数图象与x轴的交点情况来研究.一般从开口方向、对称轴位置、判别式Δ的符号以及端点函数值的符号等方面考虑.
设f（x）＝ax2+bx+c（a>0），则f（x）的零点可用一元二次方程ax2+bx+c＝0的根来研究.
设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0（a>0）的两根（不妨设x1根的分布 图象 条件
x1x1，x2∈ （k1，k2）
x1，x2有且 仅有一个在 （k1，k2）内
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a<0）的根的分布情况可类似得到.

示例　若关于x的方程x2-4x+a＝0有两个不相等的正根，则a的取值范围为　　　　.
【方法技巧】解决一元二次方程根的分布问题可以从两个角度思考，一是利用方程本身知识求解，如利用方程的求根公式、根与系数的关系等；二是利用方程对应的函数知识求解，如利用函数的图象、函数的性质等.
（0，4）

典例剖析

0
【方法技巧】求函数零点的方法
（1）可通过解方程，求其实数解；（2）可通过作函数图象，利用数形结合求交点的横坐标；（3）分段函数的零点，需要逐段分别求解.


C

2
（2）当x≤0时，令f（x）＝0，即x2+2x-3＝0，解得x1＝-3，x2＝1（舍去）.
当x>0时，令f（x）＝0，即x-2+ln x＝0，∴ ln x＝-x+2.
在同一直角坐标系中作出函数y＝ln x与y＝-x+2（x>0）的图象，如图，
由图可知两图象只有一个交点.
综上可知，函数f（x）的零点个数为2.
（1）C　（2）2
【方法总结】求函数零点个数的四种方法
1.方程法：求方程f（x）＝0的实数根.
2.图象法：将方程f（x）＝0与对应函数的图象联系起来找出零点，对于不易画出f（x）＝g（x）-h（x）图象的函数分别画出g（x）和h（x）的图象，看两个图象有几个交点.
3.结合函数的奇偶性判断
存在奇偶性的函数的零点（零除外）是成对出现的.因此，研究奇函数或偶函数在区间［-a，a］上的零点时，可以先研究其在区间（0，a］上的零点情况.
4.应用函数零点存在定理结合单调性判断
判断函数y＝f（x）在每个单调区间上是否有零点即可确定函数零点的个数.
三、判断零点所在区间
例 3 方程6-2x＝ln x必有一根的区间是（　）
A.（2，3） B.（3，4） C.（0，1） D.（4，5）
A
【方法技巧】判断函数零点所在区间的方法和步骤
（1）方法：定理法，即利用函数零点存在定理判断.
（2）步骤：①代入，将区间端点代入函数解析式求出函数值.②判断，把所得函数值相乘，并进行符号判断.
③总结，若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点.
【分析】构造函数f （x）＝2x+ln x-6，然后利用零点存在定理可判断出方程6-2x＝ ln x的根所在的区间.
【解析】由6-2x＝ln x，得2x+ln x-6＝0，构造函数f（x）＝2x+ln x-6.
∵ f（2）＝ln 2-2<0，f（3）＝ln 3>0，∴ f（2）f（3）<0，
∴ 由零点存在定理可知，函数f（x）在区间（2，3）上至少有一个零点.
又∵ 函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴ f（x）在区间（2，3）上至多有一个零点，
∴ 函数f（x）在区间（2，3）上有唯一零点.即方程6-2x＝ln x必有一根的区间是（2，3）.
四、与零点相关的参数问题
1.根据零点所在区间求参数范围
例 4 若函数f（x）＝x+ax（a∈R）在区间（1，2）上有零点，则a的值可能是（　）
A.-2 B. 0 C. 1 D. 3
A
【解析】（方法1：验证法）函数f（x）＝x+ax（a∈R）的图象在（1，2）上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝-2时，f（1）＝1-2<0，f（2）＝2-1＝1>0，故f（x）在区间（1，2）上有零点，同理，其他选项不符合，故选A.
（方法2：直接法）令x+ax＝0，得x2＝-a.
又∵ f（x）在区间（1，2）上有零点，∴ a<0且x＝-a∈（1，2），∴ -4（方法3：图象法）令x+ax＝0，∴ x2＝-a.
又∵ f（x）在区间（1，2）上有零点，∴ 函数y＝x2的图象与直线y＝-a在区间（1，2）上有交点，
如图所示，∴ 1<-a<4，∴ -4【解题通法】根据函数零点个数或零点所在区间求参数的方法
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），通过解不等式（组）确定参数的取值范围.
（2）分离参数法：先将参数分离，然后将原问题转化为求函数值域的问题加以解决.
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后利用数形结合思想求解.


（0，1）
五、关于一元二次方程根的分布问题
例 6 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1＝0.
（1）若方程有两个实数根，其中一个根在区间（-1，0）内，另一个根在区间（1，2）内，求m的取值范围.
（2）若方程有两个不相等的实数根，且均在区间（0，1）内，求m的取值范围.


【方法总结】解一元二次方程根的分布问题的四个方向
（1）抛物线开口方向；
（2）一元二次方程根的判别式；
（3）对应区间端点函数值的符号；
（4）抛物线的对称轴与区间端点的位置关系.

随堂小测
C
　　　　
　　　　
C
A

AD
　　　　
　　　　
BCD
B

　　　　
　　　　

［-1，+∞）
2

解： （1）若λ＝2，当x≥2时，令x-4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2-4x+3<0，解得1综上可知，1（2）令f（x）＝0，当x≥λ时，x＝4，
当x<λ时，x2-4x+3＝0，解得x＝1或x＝3.
因为函数f（x）恰有2个零点，结合如图所示的函数图象知，1<λ≤3或λ>4，
故λ的取值范围为（1，3］∪（4，+∞）.
谢 谢！