苏教版（2019）必修第一册6.1幂函数 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
第6章
6.1
幂函数
学习目标
1.了解幂函数的概念，会画出5个常见函数的图象，能根据简单的幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质.
2.了解几个常见幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式的值大小.
3.进一步体会分类讨论和数形结合的思想方法，掌握由特殊到一般的综合归纳方法，激发自主研究与总结的能力.
核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理.
新知学习

【思考】函数y＝x0是幂函数吗？

【思考】函数y＝1是幂函数吗？
虽然x0＝1，y＝x0是幂函数，但是y＝1不是幂函数，因为它不满足幂函数的结构特征.


2.五个常见幂函数的性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x-1
定义域 R R R ［0，+∞） （-∞，0）∪（0，+∞）
值域 R ［0，+∞） R ［0，+∞） （-∞，0）∪（0，+∞）
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇函数
单调性 在R上为增函数 在［0，+∞）上是增函数； 在（-∞，0］上是减函数 在R上为增函数 在［0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数；
在（-∞，0）上是减函数
图象过 定点 （0，0）， （1，1） （0，0）， （1，1） （0，0）， （1，1） （0，0）， （1，1） （1，1）


【方法总结】幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，定义域要确保解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.
（0，+∞）
R
［0，+∞）
（0，+∞）

【方法技巧】幂值的大小的比较方法
（1）比较大小问题一般是利用函数的单调性；
（2）当不便利用单调性时，可以与0和1进行比较；
（3）可以利用“作商法”比较大小，但要注意函数值的正负问题.
D

三、一般幂函数的图象和性质　
幂函数y＝xα在第一象限的图象特征
（1）当α>0时，幂函数的图象恒经过定点（0，0）和（1，1），且在［0，+∞）上为增函数.
（2） 当α<0时，幂函数的图象恒经过定点（1，1），且在（0，+∞）上为增函数.
（3） 在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数的指数α递增，即“指大图高，指小图低”.
（4）按α＝0，α＝1，α>1，0<α<1，α<0五种类型，列表如下：
α的大小 函数y＝xα 定义域 值域 图象
α＝0 y＝x0 {x|x≠0} {y|y＝1}
α＝1 y＝x R R
α>1 y＝x2 R ［0，+∞）
y＝x3 R R
α的大小 函数y＝xα 定义域 值域 图象
0<α<1 R R
［0，+∞） ［0，+∞）
α<0 y＝x-1 （-∞，0）∪（0，+∞） （-∞，0）∪（0，+∞）




【点拨】一般幂函数的性质的研究策略
（1）先求幂函数的定义域，注意分数指数幂先化为根式，再求其定义域.
（2）若幂函数的定义域对称，先判定其奇偶性，注意这类幂函数一定具有奇偶性.
（3）先作出幂函数在第一象限的图象，若定义域对称，利用奇偶性作出其它象限的图象，幂函数的图象一定不经过第四象限.
（4）利用图象研究幂函数的性质.

上凸函数　　　　　　　　　　　 下凹函数
2.幂函数的凹凸性
如图给出了幂函数在第一象限内的图象，可根据上凸函数与下凹函数的定义判断幂函数的凹凸性.幂函数y＝xα，
当0<α<1时，函数在（0，+∞）上是上凸函数；
当α<0或α>1时，函数在（0，+∞）上是下凹函数.


【点评】显然运用函数图象求解简单直观，若通过代数运算，则需一定的运算能力.
A
典例剖析

【方法总结】判断一个函数是不是幂函数，依据是该函数是不是y＝xα（α为常数）的形式.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件.
D



（-∞，0）∪（0，+∞）　
［0，+∞）
［0，+∞）
（0，+∞）

【分析】根据幂函数的图象与性质，分a>0和a<0讨论，利用排除法，即可解.
【解析】由题意，当a>0时，函数y＝xa在（0，+∞）上单调递增，此时y＝ax+1a单调递增，且在纵轴上的截距为正数，排除C，D；当a<0时，函数y＝xa在（0，+∞）上单调递减，此时y＝ax+1a单调递减，排除A.故选B.
【方法总结】解决与幂函数图象有关的问题，关键是掌握幂函数的图象特征.先区分幂指数的正负，若是正指数，再与1比较大小，若是负指数，再区分奇偶性，就可找到对应的解析式和图象之间的关系.
B
　 A B C D

【分析】根据已知条件，先求得f（x），g（x）的解析式为f（x）＝x2，g（x）＝x-2，在同一个坐标系中，分别画出两个函数的图象，观察图象得f（x）>g（x），f（x）＝g（x），f（x）
【方法总结】利用数形结合思想求解不等式或方程，解题过程中注意准确画出两个函数的图象，能使问题的求解更加清晰，过程更简洁，但要注意定义域优先法则的运用.


【方法总结】用幂函数的单调性，比较幂的大小的方法
（1）直接法：若指数相同而底数不同，则通过幂函数的单调性比较大小.
（2）中间量法：若指数不同而底数相同，则通过幂函数在第一象限内图象的高低来比较大小，具体来说：第一象限内，在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小（即“指大图高”）；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小（即“指小图高”）.
（3）转化法：若指数不同底数也不同，则需引入中间量，利用幂函数的单调性或借助幂函数在第一象限内图象的高低来比较.

B

【点评】关键是会用幂函数的单调性和奇偶性进行合理转化，列出含参数的方程（组）或不等式（组）求解.
3.解不等式
例 7 已知（a+1）-1<（3-2a）-1，求a的取值范围.
【分析】 （a+1）-1和（3-2a）-1可看做幂函数f（x）＝x-1的两个函数值，且f（x）＝x-1在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，但f（x）在整个定义域上不是减函数.因此，要根据f（x）的单调性解决该题，必须要对a+1和3-2a的符号进行讨论.

【方法总结】利用幂函数的单调性解不等式的步骤
利用幂函数的单调性解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下：
（1）确定可以利用的幂函数；
（2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；
（3）解不等式（组）求参数的取值范围，注意分类讨论思想的应用.

D
随堂小测
ACD
C


ABC
A
BD
x 1
f（x） 1 2

6. ［多选题］已知幂函数f（x）＝xα的部分对应值如表：

③
2




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