高一数学人教A版（2019）必修第二册： 9.2.3总体集中趋势的估计 学案（含答案）

第九章 统计
9.2 用样本估计总体
9.2.3 总体集中趋势的估计
学习目标
1. 理解样本数据基本数字特征的意义和作用，对样本数据中提取的基本数字特征（如众数、中位数、平均数）作出合理解释；
2. 体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；
3. 体会样本数字特征的随机性；
4. 会用样本估计总体的思想解决实际问题.
随堂训练
1. 一个样本的容量为60，分成5组，已知第一组、第三组的频数分别是9、10，第二、五组的频率都为，则该样本的中位数在(　　)
A．第二组 B．第三组 C．第四组 D．第五组
2. 对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则估计此样本的众数、中位数分别为(　　)
A．2.25，2.5 B．2.25，2.02
C．2，2.5 D．2.5，2.25
3. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则(　　)
A．me＝m0＝ B．me＝m0＜
C．me＜m0＜ D．m0＜me＜
4. 已知一组数据按从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么数据的众数是________，平均数是________．
5. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中a的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
（3）估计居民月均用水量的中位数．
6. 一次数学知识竞赛中，两组学生成绩如下：
经计算，已知两个组的平均分都是80分，请根据所学过的统计知识，进一步判断这次竞赛中哪个组更优秀，并说明理由．
答案
随堂训练
1. 答案：B
解析：第二组的频数为60×＝12，
∵9＋12＝21<30，9＋12＋10＝31>30，
∴中位数在第三组．故选B.
2. 答案：B　
解析：众数是指样本中出现频率最高的数，在频率分布直方图中通常取该组区间的中点，所以众数为＝2.25.中位数是频率为0.5的分界点，由频率分布直方图，可知前4组的频率和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.44)×0.5＝0.49，因此中位数出现在第5组，设中位数为x，则(x－2)×0.5＝0.01，解得x＝2.02.故选B.
3. 答案：D
解析：由题目所给的统计图可知，30个数据按大小顺序排列好后，中间两个数为5，6，故中位数为me＝＝5.5．又众数为m0＝5，
平均值＝＝≈5．97，
∴m0＜me＜．故选D.
4. 答案：6；5　
解析：∵中位数为5，∴＝5，即x＝6.
∴该组数据的众数为6，平均数为＝5.
5. 答案：解：（1）由频率分布直方图，可知月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.
同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.
（2）由（1），100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12，
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
300000×0.12＝36000.
（3）设中位数为x吨．
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，
而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5.
由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．
6. 答案：解：（1）甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数这一角度看，甲组成绩好些．
（2）甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上（含80分）的有33人，乙组成绩在80分以上（含80分）的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好．
（3）从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，所以乙组成绩在高分段的人数多．同时，乙组满分比甲组多6人，从这一角度看，乙组成绩较好．
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