高一数学人教A版（2019）必修第二册学案：9.2.4总体离散程度的估计（含答案）

9.2.4 总体离散程度的估计
学习目标
1. 了解分布的意义和作用。
1. 理解样本数据的方差与标准差的意义和作用，会计算样本数据的方差与标准差。
1. 能从样本数据中计算出方差和标准差，并给出合理的解释。
基础梳理
1. 假设一组数据是，用表示这组数据的平均数，那么这组数据的方差为，标准差为。
2. 如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差，与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式，如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（）个，不妨记为，其中出现的频数为(i=1,2,…,k)，则总体方差为.如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差.
3. 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.
随堂训练
1、若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4
C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为8
2、在某次测量中得到的样本数据如下: ,,,,,,,,,.若样本数据恰好是样本数据每个都加后所得数据,则两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差
3、如图是甲、乙两位同学在某5次数学测试成绩的茎叶图,则平均成绩较低的那位同学的成绩的方差为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4、下列对一组数据的分析,不正确的说法是( )
A.数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B.数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C.数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D.数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定
5、一个样本,3,5,7的平均数是,且是方程的两根,则这个样本的方差是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
6、某省为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作为实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为，...，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )
A. ，...，的平均数 B. ，...，的标准差
C. ，...，的最大值 D. ，...，的中位数
7、若样本的平均数为10,其方差为2,则样本的平均数为____________,方差为____________.
8、某工厂生产两种元件，现从一批产品中随即抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：
A 7 7 7.5 9 9.5
B 6 x 8.5 8.5 y
由于表格被污损，数据看不清，统计员只记得两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等，则__________
9、在考察某中学的学生身高时,采用了分层抽样的方法抽取男生100人,女生50人,其中男生的平均身高为170cm,方差为20;女生身高的平均身高为160cm,方差为25.试估计这所学校学生的平均身高和身高的方差(结果保留一位小数).
10、农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况,从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高,数据如下:(单位:cm)甲:9,10,11,12,10,20;乙:8,14,13,10,12,21.
1.在如图给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图;
2.分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差,并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况。
答案
随堂训练
1答案及解析：
答案：D
解析：样本的平均数是10，方差为2，
则数据的平均数是9，方差是2；
所以样本的平均数是,
方差为.故选D.
2答案及解析：
答案：D
解析：样本众数为众数为,众数不同; 样本平均数比样本平均数小2;的中位数不同,都加2后数据波动程度相同,因此标准差相同.
3答案及解析：
答案：B
解析：由题意,得,
,故
4答案及解析：
答案：B
解析：极差反映了最大值与最小值差的情况,极差越小,数据越集中.方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差、标准差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;方差、极准差较小的数据波动较小,稳定程度高.平均数越小,说明数据整体上偏小,不能反映数据稳定与否.故选B.
5答案及解析：
答案：C
解析：根据平均数和方差的公式可知,
由于一个样本,3,5,7的平均数是,那么可知,
同时是方程的两根,则可知,,那么解方程可知,,那么可知样本的方差为,故选C.
6答案及解析：
答案：B
解析：平均数反映样本数据的平均水平；标准差反映样本数据的稳定程度；最大值反映样本数据中最大的数据；中位数反映样本数据从小到大排序的中间的数据.综上可知选B.
7答案及解析：
答案：11; 2
解析：对比两组数据我们发现后一组的每个数据都比前一组的每个数据多1,所以平均数增加1,方差不变。
8答案及解析：
答案：72
解析： ，可得①，
则，可得②，
由①②可得，，所以，故答案为72
9答案及解析：
答案：由于是分层抽样抽取的样本,男生有100人,女生有50人,
则样本的平均数为,样本方差为
.
∴估计这所学校学生的平均身高约为166.7cm,身高的方差约为497.2.
10答案及解析：
答案：1.茎叶图如图所示:
2. ,
,
.
因为,所以乙种麦苗平均株高较高,又因为,所以甲种麦苗长得较为整齐.
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