【专题】全等三角形辅助线做法汇总 课件（14张PPT）

(共14张PPT)
八年级全等三角形
辅助线的一般作法
八年级全等辅助线作法
全等三角形辅助线的作法
【倍长中线-知识梳理】
见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（AD是△ABC底边的中线)．
一、“中点类辅助线”的作法：
图1
图2
图3
题干常见描述：①D是BC中点②BD=CD③BC=2BD④AD是△ABC边BC上的中线
倍长中线除证全等外，还可以讨论三边数量关系
倍长中线-典型例题
例1.已知:△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=8，AC=6，试求AD的取值范围.
【解析】∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
延长AD至点E,，使AD=DE
在△BDE和△CDA中
∵
∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴BE=AC=6
在△ABE中，∵AB=8,BE=6
根据三角形三边数量关系
∴AB-BE＜AE＜AE
即2＜AE＜14
∵
∴1＜AD＜7
倍长中线-典型例题
例2.如图所示，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D,使BD=AB,E为AB的中点，连接CE、CD,
求证：CD=2EC.
【解析】∵E是AB的中点
∴AE=BE
延长CE至点H,使EH=CE
在△BEH和△AEC中
∵
∴△BEH≌△AEC（SAS）
∴BH=AC,
∵AB=AC,AB=AC
∴BD=BH
∴∠HBC
∵HB//AC
∴∠HBC+∠ACB=180°
又∵∠DBC+∠ABC=180°
∴∠DBC=∠HBC
在△HBC和△DBC中
∵
∴ △HBC≌△DBC（SAS）
∴CD=CH=2EC
典型例题
例3（1）如图1，在△ABC中，AB=6,AC=8,AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE=AD.连接CE,把AB,AC，
2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是_________;
（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E,F分别在AB,AC上，且DE⊥DF,求证：BE+CF＞EF;
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B+∠ADC=180°，DA=DC，点E,F分别在BC,AB上，
且∠EDF=ADC，连接EF，试探索线段AF,EF，CE之间的数量关系，并加以证明.
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(2)延长ED至点H,使DH=ED
∵DF垂直平分EH,∴EF=FH
在△BDE和△CDH中
∵
∴△BDE≌△CDH(SAS）
∴BE=CH
在△CFH中，根据三角形三边数量关系
CF+CH＞FH
即CF+BE＞EF
猜想：AF+CE=EF
【解析】（3）延长FA至AH,使AH=CE
易证△HAD≌△CDE(SAS），HD=DE
再证△HDF≌△EDF(SAS）
∴EF=HF
全等三角形辅助线的作法
【角平分线-知识梳理】
根据角平分线的性质：①到角两边距离相等的点在角平分线上②在角的内部，到角两边距离相等的点在角平分线上；通过构造AAS的角平分线全等，在等腰三角形中结合“三线合一”的考法较多。
二、“角平分线辅助线”的三种作法：
1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；
2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；
3．OA=OB，这种对称的图形应用得也较为普遍．
图1
图2
图3
全等三角形辅助线的作法
“角平分线辅助线”的应用（补充说明）：
法一：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。在AB上截取AE=AC，连接DE。
(可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形.)
结论：ED=CD，∠AED=∠C,∠ADE=∠ADC
法二：如图，在△ABC中， AD平分∠BAC 。延长AC到F，使AF=AB，连接DF。
(可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形.)
结论：BD=FD,∠B=∠F,∠ADB=∠ADF
法三：在△ABC中，AD平分∠BAC。作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。
（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN)
结论：DM=DN，AM=AN，∠ADM=∠AND
．
法1：在BC上截取BE,使BE=AB，连接DE 法2：延长BA到F,使BF=BC,连接DF
法3：作DM⊥BC于M,DN⊥BA交BA的延长线于N
典型例题
例4.已知：如图，在四边形ABC中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°
典型例题
例5 如图，已知在△ABC中，∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相较于点P,过点P分别作PN垂直于
AB于点N,PM垂直于AC于点M.求证：BN=CM.
∵AP平分∠BAC
∴∠NAP=∠MAP
又∵过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M
∴∠ANP=∠AMP=90°
在Rt△ANP和Rt△AMP中
∵
∴ Rt△ANP≌Rt△AMP（AAS）
∴NP=MP
∵PQ垂直平分BC
∴BP=PC
在Rt△BNP和Rt△CMP中
∵
∴ Rt△BNP≌Rt△CMP（HL）
∴BN=CM
典型例题
例6 在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°时，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE,
易证AB=AC+CD
①
②
③
（1）如图②，当∠C≠90°时，AD为△ABC的角平分线时，线段AB,AC,CD之间又有怎样的数量关系？
不需要说明理由，请直接写出你的猜想。
（2）如图③，当∠ABC≠90°时，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB,AC,CD之间又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明。
【解析】
（1）猜想:AB=AC+CD 证明：方法如题①，在AB上截取AE=AC。
（2）猜想：AC+AB=CD 在AF上截取AH=AC易证△ACD≌△AHD(SAS）∴CD=HD再根据∠ACB=2∠B
得∠BHD=180°-2∠B ∴△BHD为等腰三角形，HD=BH
全等三角形辅助线的作法
【截长补短-知识梳理】
初中几何常见的一种辅助线添加方式。在于“去繁从简”，体现转化与划归的数学思想；所谓“截长”，即将三者线段中最长的一段一分为二，分别等于求证的另外两条已知线段；所谓“补短”，即延长较短的线段，直至等于最长的线段
三、“截长补短辅助线”的作法：
Eq: 在正方形ABCD中，∠EDF=45°，求证AE+FC=EF
①如图1，2进行补短，构造△HDE≌△FDE(SAS）
②图3在EF上截取，使得FH=EA,FH=CF
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例7 已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．
(1)如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE= BD+CE;
(2)当直线l在△ABC的内部如图2所示时，求证：DE=BD－CE;
(3)当直线l在△ABC的内部如图3所示时，直接写出DE， BD，CE三者之间的数量关系式为____________.
课堂练习
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【解析】（1）（2）问中，利用角度的和差关系，等角的余角相等，间接求证Rt△ADB≌Rt△AEC（AAS）
DE+BD=CE
课堂练习
例8 如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M,N分别在AB,AC上，求△AMN的周长。
【解析】延长MB至点H，使BH=CN
利用同角的余角相等，易证△BDH≌△NCD(SAS）
∴HD=MD,CN=BH
再证△HDM≌△NDM(SAS）
∴MN=MH
∴AM+MN+AN=AM+MH+AN=AM+MB+BH+AN
=AB+CN+AN=AB+AC=1+1=2
课堂练习
如图，在△ABC中，AB=AC,D是三角形外一点，且∠ABD=60°，BD+DC=AB，求证：∠ACD=60°
延长BD至H,使DH=DC；易证△ADC≌△ADH(SSS)