2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习
一、选择题
1．（2017八下·丰台期中）菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，那么边AB的长度 是（ ）
A．10 B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O，
∵四边形ABCD是菱形。
∴AO= AC=3，BO= BD=4，且AO⊥BO，
∴AB=5，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质对角线互相垂直平分，再根据勾股定理求出菱形的边长.
2．（2017八下·德州期末）如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm
【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AO=OC，
∵AM=BM，
∴BC=2MO=2×5cm=10cm，
即AB=BC=CD=AD=10cm，
即菱形ABCD的周长为40cm，
故选D．
【分析】根据菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AO=OC，根据三角形的中位线求出BC，即可得出答案．
3．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，则菱形的周长是40，其中AC=16，则菱形的面积是（ ）
A．72 B．96 C．192 D．48
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA= AC，OB= BD，AC⊥BD，
∵AC=16，菱形的周长为40，
∴OA=8，AB=40÷4=10，
∴OB=6，
即菱形ABCD的面积是6×8×2=96．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质对角线互相平分且垂直，由菱形的周长求出边长和一对角线的差，再根据勾股定理求出另一对角线的长，求出菱形的面积.
4．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）已知菱形的一个角为60°，边长为6，则菱形的面积是（ ）
A．36 B．18 C．18 D．24
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得一条对角线把菱形分成了两个边长为6的等边三角形，一条对角线把菱形分成了两个顶角为120°的等腰三角形，
∴对角线的长度分别是6和6 ，
∴此菱形的面积为：6×6 ÷2=18 ．
故答案为：B．
【分析】根据题意得到一条对角线把菱形分成了两个边长为6的等边三角形，一条对角线把菱形分成了两个顶角为120°的等腰三角形；由菱形的性质对角线互相垂直平分，根据勾股定理求出对角线的长，得到菱形的面积.
5．（2016八下·红安期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ）
A． B． C．12 D．24
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，设对角线相交于点O，
∵AC=8，DB=6，
∴AO=AC=×8=4，
BO=BD=×6=3，
由勾股定理的，AB===5，
∵DH⊥AB，
∴S菱形ABCD=AB DH=AC BD，
即5DH=×8×6，
解得DH=．
故选A．
【分析】设对角线相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．
6．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）菱形的两条对角线长分别为6与8，则此菱形的面积是（ ）
A．20 B．24 C．48 D．36
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵如图，
菱形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴OA= AC=4，OB= BD=3，AC⊥BD，
∴△AOB的面积是：4×3÷2=6，
∴此菱形的面积是：6×4=24．
故答案为：B．
【分析】由菱形的性质对角线互相垂直平分，得到菱形的面积是两条对角线的积的一半.
7．（2017·河北模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= BF=6，
∴OA= = =8，
∴AE=2OA=16；
故答案为：D．
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，然后依据菱形的性质可求得AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，接下来，依据勾股定理求出OA的长，然后依据AE=2OA求解即可.
8．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，E是DC边上一个动点，F是AB边上一点，∠AEF=30°．设DE=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（ ）
A．线段EC B．线段AE C．线段EF D．线段BF
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点E与点D重合时，即x=0时，EC=DC=2，AE=AD=2，
∵∠A=60°，∠AEF=30°，
∴∠AFD=90°，
在Rt△ADF中，∵AD=2，
∴AF= AD=1，EF=DF=ADcos∠ADF= ，
∴BF=AB﹣AF=1，结合图象可知C、D不符合题意；
当点E与点C重合时，即x=2时，
如图，连接BD交AC于H，
此时EC=0，故A不符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠DAC=30°，
∴AE=2AH=2ADcos∠DAC=2×2× =2 ，故B符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据题意由已知和菱形的性质当∠A=60°，∠AEF=30°时，根据勾股定理求出AF、EF、BF的值，结合图象可知C、D不符合题意；当点E与点C重合时，即x=2时，此时EC=0，故A不符合题意；根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半；求出AE的最值；得到这条线段可能是图中的线段AE.
二、填空题
9．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为 cm．
【答案】5
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形ABCD的面积= AC BD，
∵菱形ABCD的面积是24cm2，其中一条对角线AC长6cm，
∴另一条对角线BD的长=8cm；
边长是： =5cm．
故答案为：5．
【分析】根据菱形的面积是两条对角线积的一半，求出另一条对角线BD的长，根据菱形的性质对角线互相垂直平分，由勾股定理求出菱形的边长.
10．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）在菱形ABCD中，菱形的周长是20，一条对角线的长度是6，那么另一条对角线的长度是 ．
【答案】8
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】解：AC与BD相交于点O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OD=OB= BD，OA=OC= AC=3，AB=BC=CD=AD=20÷4=5，
在Rt△AOD中，∵AD=5，OA=3，
∴OD=4，
∴BD=4×2=8．
故答案为8．
【分析】根据菱形的性质对角线互相垂直平分，由勾股定理求出另一条对角线的长.
11．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小云的作法如下：
①在直线l上任取两点B，C；
②以A为圆心，以BC长为半径作弧；以C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D；
③作直线AD．
直线AD即为所求．
老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是 ．
【答案】四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．
【知识点】菱形的判定与性质；作图-平行线
【解析】【解答】解：由题意可得，小云的作图依据是：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．（本题答案不唯一）．
【分析】根据作法可知云的作图依据是：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．
12．（2017八下·大冶期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
【答案】（5，4）
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
13．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为 ．
【答案】（ ）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接ED，如图，
∵点B关于OC的对称点是点D，
∴DP=BP，
∴ED即为EP+BP最短，
∵四边形OBCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，
∴点D的坐标为（1， ），
∴点C的坐标为（3， ），
∴可得直线OC的解析式为：y= x，
∵点E的坐标为（0，﹣1），
∴可得直线ED的解析式为：y=（1+ ）x﹣1，
∵点P是直线OC和直线ED的交点，
∴点P的坐标为方程组 的解，
解方程组得： ，
所以点P的坐标为（ ），
故答案为：（ ）．
【分析】根据菱形的性质得到点B关于OC的对称点是点D，得到DP=BP，得到ED即为EP+BP最短；由四边形OBCD是菱形，顶点B的坐标和∠DOB=60°，得到点D的坐标，点C的坐标，以及直线OC的解析式；由点E的坐标，可得直线ED的解析式；因为点P是直线OC和直线ED的交点，求出方程组的解就是点P的坐标.
三、计算题
14．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC，∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中， ，
∴△ABM≌△DCM（SAS）；
（2）解：四边形MENF是菱形；理由如下：由（1）得：△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵E、F分别是线段BM、CM的中点，
∴ME=BE= BM，MF=CF= CM，
∴ME=MF，
又∵N是BC的中点，∴EN、FN是△BCM的中位线，∴EN= CM，FN= BM，
∴EN=FN=ME=MF，
∴四边形MENF是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）M是边AD的中点，得到AM=DM，根据矩形的性质，得到∠A=∠D，AB=DC，由SAS得到△ABM≌△DCM；（2）由（1）知△ABM≌△DCM，得到对应边BM=CM，由E、F分别是线段BM、CM的中点，得到ME=MF，再根据三角形中位线定理，得到EN=FN=ME=MF，得到四边形MENF是菱形．
15．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．
【答案】（1）证明：如图，∵∠ACB=90°，E是BA的中点，∴CE=AE=BE，∵AF=AE，∴AF=CE，在△BEC中，∵BE=CE且D是BC的中点，
∴ED是等腰△BEC底边上的中线，
∴ED也是等腰△BEC的顶角平分线，
∴∠1=∠2，∵AF=AE，∴∠F=∠3，∵∠1=∠3，∴∠2=∠F，
∴CE∥AF，
又∵CE=AF，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ACEF是菱形，∴AC=CE，由（1）知，AE=CE，∴AC=CE=AE，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠CAE=60°，
在Rt△ABC中，∠B=90°﹣∠CAE=90°﹣60°=30°．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由已知∠ACB=90°，E是BA的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，得到ED是等腰△BEC的顶角平分线、底边上的中线，根据同位角相等两直线平行，得到CE∥AF，由CE=AF，得到四边形ACEF是平行四边形；（2）由四边形ACEF是菱形，根据菱形性质，得到四边相等，由（1）知，AE=CE，得到△AEC是等边三角形，得到∠CAE=60°，求出∠B的度数．
16．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）如图，等边△ABC和等边△ECD的边长相等，BC与CD在同一直线上，请根据如下要求，使用无刻度的直尺画图．
（1）在图①中画一个直角三角形；
（2）在图②中画出∠ACE的平分线．
【答案】（1）解：如图①所示：连接AE，∵△ABC与△ECD全等且为等边三角形，
∴四边形ACDE为菱形，连接AD，则AD平分∠EDC，
∴∠ADC=30°，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=90°，
则△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形；
（2）解：如图②所示：连接AE、BE、AD，则四边形ABCE和四边形ACDE为菱形，则AC⊥BE，AD⊥CE，设BE，AD相交于F，AC交BE于点G，CE交AD于点H，则FG⊥AC，FH⊥BC，由（1）得：∠BEC=∠DAC，∠AEF=∠EAF，则AF=EF，在△AFG和△EFH中 ，∴△AFG≌△EFH（AAS），
∴FG=FH，
由到角两边距离相等的点在角平分线上，可知，连接CF，GF为所作的角平分线．
【知识点】菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）由△ABC与△ECD全等且为等边三角形，得到四边形ACDE为菱形，根据菱形的性质，对角线平分每组对角和等边三角形，得到△ABD、△BED为直角三角形；（2）由已知得到四边形ABCE和四边形ACDE为菱形，根据菱形的性质对角线互相垂直平分，得到△AFG≌△EFH，得到FG=FH，由到角两边距离相等的点在角平分线上，可知CF、GF为所作的角平分线．
17．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．
【答案】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，∵矩形ABCD，∴AC=BD，OC= AC，OB= BD，
∴OC=OD，
∴平行四边形OCED是菱形；
（2）解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=4，∴BC=2，
∴AB=DC=2 ，
连接OE，交CD于点F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴F为CD中点，∵O为BD中点，
∴OF= BC=1，
∴OE=2OF=2，
∴S菱形OCED= ×OE×CD= ×2×2 =2 ．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由已知DE∥AC，CE∥BD，得到四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质对角线相等且互相平分，得到OC=OD，得到平行四边形OCED是菱形；（2）根据矩形的性质和勾股定理，求出BC、AB=DC的值，由菱形的性质，求出OE=2OF的值，得到菱形OCED的面积．
18．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．
（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：
①当对角线AC=BD时，四边形ABCD的中点四边形为 形；
②当对角线AC⊥BD时，四边形ABCD的中点四边形是 形．
（2）如图：四边形ABCD中，已知∠B=∠C=60°，且BC=AB+CD，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．
【答案】（1）菱形；矩形
（2）解：四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下：分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，∵∠ABC=∠BCD=60°，
∴△BCM是等边三角形，
∴MB=BC=CM，∠M=60°，∵BC=AB+CD，∴MA+AB=AB+CD=CD+DM∴MA=CD，DM=AB，在△ABC和△DMB中， ，
∴△ABC≌△DMB，
∴AC=DB，
∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）①连接AC、BD，
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
同理EF∥HG，
∴四边形EFGH都是平行四边形，
∵对角线AC=BD，
∴EH=EF，
∴四边形ABCD的中点四边形是菱形；②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH，
∴四边形ABCD的中点四边形是矩形；
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EH∥FG，EF∥HG，得到四边形EFGH都是平行四边形，由对角线相等，得到EH=EF，得到四边形ABCD的中点四边形是菱形；当对角线垂直时，得到EF⊥EH，得到四边形ABCD的中点四边形是矩形；（2）由已知∠ABC=∠BCD=60°，得到△BCM是等边三角形，再由SAS得到△ABC≌△DMB，得到对应边AC=DB，由（1）中结论四边形EFGH都是平行四边形，得到中点四边形EFGH是菱形．
1 / 12017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习
一、选择题
1．（2017八下·丰台期中）菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，那么边AB的长度 是（ ）
A．10 B．5 C． D．
2．（2017八下·德州期末）如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm
3．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，则菱形的周长是40，其中AC=16，则菱形的面积是（ ）
A．72 B．96 C．192 D．48
4．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）已知菱形的一个角为60°，边长为6，则菱形的面积是（ ）
A．36 B．18 C．18 D．24
5．（2016八下·红安期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ）
A． B． C．12 D．24
6．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）菱形的两条对角线长分别为6与8，则此菱形的面积是（ ）
A．20 B．24 C．48 D．36
7．（2017·河北模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
8．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，E是DC边上一个动点，F是AB边上一点，∠AEF=30°．设DE=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（ ）
A．线段EC B．线段AE C．线段EF D．线段BF
二、填空题
9．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为 cm．
10．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）在菱形ABCD中，菱形的周长是20，一条对角线的长度是6，那么另一条对角线的长度是 ．
11．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小云的作法如下：
①在直线l上任取两点B，C；
②以A为圆心，以BC长为半径作弧；以C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D；
③作直线AD．
直线AD即为所求．
老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是 ．
12．（2017八下·大冶期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
13．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为 ．
三、计算题
14．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．
15．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．
16．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）如图，等边△ABC和等边△ECD的边长相等，BC与CD在同一直线上，请根据如下要求，使用无刻度的直尺画图．
（1）在图①中画一个直角三角形；
（2）在图②中画出∠ACE的平分线．
17．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．
18．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.2菱形 同步练习）四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．
（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：
①当对角线AC=BD时，四边形ABCD的中点四边形为 形；
②当对角线AC⊥BD时，四边形ABCD的中点四边形是 形．
（2）如图：四边形ABCD中，已知∠B=∠C=60°，且BC=AB+CD，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O，
∵四边形ABCD是菱形。
∴AO= AC=3，BO= BD=4，且AO⊥BO，
∴AB=5，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质对角线互相垂直平分，再根据勾股定理求出菱形的边长.
2．【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AO=OC，
∵AM=BM，
∴BC=2MO=2×5cm=10cm，
即AB=BC=CD=AD=10cm，
即菱形ABCD的周长为40cm，
故选D．
【分析】根据菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AO=OC，根据三角形的中位线求出BC，即可得出答案．
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA= AC，OB= BD，AC⊥BD，
∵AC=16，菱形的周长为40，
∴OA=8，AB=40÷4=10，
∴OB=6，
即菱形ABCD的面积是6×8×2=96．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质对角线互相平分且垂直，由菱形的周长求出边长和一对角线的差，再根据勾股定理求出另一对角线的长，求出菱形的面积.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得一条对角线把菱形分成了两个边长为6的等边三角形，一条对角线把菱形分成了两个顶角为120°的等腰三角形，
∴对角线的长度分别是6和6 ，
∴此菱形的面积为：6×6 ÷2=18 ．
故答案为：B．
【分析】根据题意得到一条对角线把菱形分成了两个边长为6的等边三角形，一条对角线把菱形分成了两个顶角为120°的等腰三角形；由菱形的性质对角线互相垂直平分，根据勾股定理求出对角线的长，得到菱形的面积.
5．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，设对角线相交于点O，
∵AC=8，DB=6，
∴AO=AC=×8=4，
BO=BD=×6=3，
由勾股定理的，AB===5，
∵DH⊥AB，
∴S菱形ABCD=AB DH=AC BD，
即5DH=×8×6，
解得DH=．
故选A．
【分析】设对角线相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵如图，
菱形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴OA= AC=4，OB= BD=3，AC⊥BD，
∴△AOB的面积是：4×3÷2=6，
∴此菱形的面积是：6×4=24．
故答案为：B．
【分析】由菱形的性质对角线互相垂直平分，得到菱形的面积是两条对角线的积的一半.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= BF=6，
∴OA= = =8，
∴AE=2OA=16；
故答案为：D．
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，然后依据菱形的性质可求得AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，接下来，依据勾股定理求出OA的长，然后依据AE=2OA求解即可.
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点E与点D重合时，即x=0时，EC=DC=2，AE=AD=2，
∵∠A=60°，∠AEF=30°，
∴∠AFD=90°，
在Rt△ADF中，∵AD=2，
∴AF= AD=1，EF=DF=ADcos∠ADF= ，
∴BF=AB﹣AF=1，结合图象可知C、D不符合题意；
当点E与点C重合时，即x=2时，
如图，连接BD交AC于H，
此时EC=0，故A不符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠DAC=30°，
∴AE=2AH=2ADcos∠DAC=2×2× =2 ，故B符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据题意由已知和菱形的性质当∠A=60°，∠AEF=30°时，根据勾股定理求出AF、EF、BF的值，结合图象可知C、D不符合题意；当点E与点C重合时，即x=2时，此时EC=0，故A不符合题意；根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半；求出AE的最值；得到这条线段可能是图中的线段AE.
9．【答案】5
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形ABCD的面积= AC BD，
∵菱形ABCD的面积是24cm2，其中一条对角线AC长6cm，
∴另一条对角线BD的长=8cm；
边长是： =5cm．
故答案为：5．
【分析】根据菱形的面积是两条对角线积的一半，求出另一条对角线BD的长，根据菱形的性质对角线互相垂直平分，由勾股定理求出菱形的边长.
10．【答案】8
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】解：AC与BD相交于点O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OD=OB= BD，OA=OC= AC=3，AB=BC=CD=AD=20÷4=5，
在Rt△AOD中，∵AD=5，OA=3，
∴OD=4，
∴BD=4×2=8．
故答案为8．
【分析】根据菱形的性质对角线互相垂直平分，由勾股定理求出另一条对角线的长.
11．【答案】四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．
【知识点】菱形的判定与性质；作图-平行线
【解析】【解答】解：由题意可得，小云的作图依据是：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．（本题答案不唯一）．
【分析】根据作法可知云的作图依据是：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．
12．【答案】（5，4）
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
13．【答案】（ ）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接ED，如图，
∵点B关于OC的对称点是点D，
∴DP=BP，
∴ED即为EP+BP最短，
∵四边形OBCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，
∴点D的坐标为（1， ），
∴点C的坐标为（3， ），
∴可得直线OC的解析式为：y= x，
∵点E的坐标为（0，﹣1），
∴可得直线ED的解析式为：y=（1+ ）x﹣1，
∵点P是直线OC和直线ED的交点，
∴点P的坐标为方程组 的解，
解方程组得： ，
所以点P的坐标为（ ），
故答案为：（ ）．
【分析】根据菱形的性质得到点B关于OC的对称点是点D，得到DP=BP，得到ED即为EP+BP最短；由四边形OBCD是菱形，顶点B的坐标和∠DOB=60°，得到点D的坐标，点C的坐标，以及直线OC的解析式；由点E的坐标，可得直线ED的解析式；因为点P是直线OC和直线ED的交点，求出方程组的解就是点P的坐标.
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC，∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中， ，
∴△ABM≌△DCM（SAS）；
（2）解：四边形MENF是菱形；理由如下：由（1）得：△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵E、F分别是线段BM、CM的中点，
∴ME=BE= BM，MF=CF= CM，
∴ME=MF，
又∵N是BC的中点，∴EN、FN是△BCM的中位线，∴EN= CM，FN= BM，
∴EN=FN=ME=MF，
∴四边形MENF是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）M是边AD的中点，得到AM=DM，根据矩形的性质，得到∠A=∠D，AB=DC，由SAS得到△ABM≌△DCM；（2）由（1）知△ABM≌△DCM，得到对应边BM=CM，由E、F分别是线段BM、CM的中点，得到ME=MF，再根据三角形中位线定理，得到EN=FN=ME=MF，得到四边形MENF是菱形．
15．【答案】（1）证明：如图，∵∠ACB=90°，E是BA的中点，∴CE=AE=BE，∵AF=AE，∴AF=CE，在△BEC中，∵BE=CE且D是BC的中点，
∴ED是等腰△BEC底边上的中线，
∴ED也是等腰△BEC的顶角平分线，
∴∠1=∠2，∵AF=AE，∴∠F=∠3，∵∠1=∠3，∴∠2=∠F，
∴CE∥AF，
又∵CE=AF，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ACEF是菱形，∴AC=CE，由（1）知，AE=CE，∴AC=CE=AE，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠CAE=60°，
在Rt△ABC中，∠B=90°﹣∠CAE=90°﹣60°=30°．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由已知∠ACB=90°，E是BA的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半，得到ED是等腰△BEC的顶角平分线、底边上的中线，根据同位角相等两直线平行，得到CE∥AF，由CE=AF，得到四边形ACEF是平行四边形；（2）由四边形ACEF是菱形，根据菱形性质，得到四边相等，由（1）知，AE=CE，得到△AEC是等边三角形，得到∠CAE=60°，求出∠B的度数．
16．【答案】（1）解：如图①所示：连接AE，∵△ABC与△ECD全等且为等边三角形，
∴四边形ACDE为菱形，连接AD，则AD平分∠EDC，
∴∠ADC=30°，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=90°，
则△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形；
（2）解：如图②所示：连接AE、BE、AD，则四边形ABCE和四边形ACDE为菱形，则AC⊥BE，AD⊥CE，设BE，AD相交于F，AC交BE于点G，CE交AD于点H，则FG⊥AC，FH⊥BC，由（1）得：∠BEC=∠DAC，∠AEF=∠EAF，则AF=EF，在△AFG和△EFH中 ，∴△AFG≌△EFH（AAS），
∴FG=FH，
由到角两边距离相等的点在角平分线上，可知，连接CF，GF为所作的角平分线．
【知识点】菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）由△ABC与△ECD全等且为等边三角形，得到四边形ACDE为菱形，根据菱形的性质，对角线平分每组对角和等边三角形，得到△ABD、△BED为直角三角形；（2）由已知得到四边形ABCE和四边形ACDE为菱形，根据菱形的性质对角线互相垂直平分，得到△AFG≌△EFH，得到FG=FH，由到角两边距离相等的点在角平分线上，可知CF、GF为所作的角平分线．
17．【答案】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，∵矩形ABCD，∴AC=BD，OC= AC，OB= BD，
∴OC=OD，
∴平行四边形OCED是菱形；
（2）解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=4，∴BC=2，
∴AB=DC=2 ，
连接OE，交CD于点F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴F为CD中点，∵O为BD中点，
∴OF= BC=1，
∴OE=2OF=2，
∴S菱形OCED= ×OE×CD= ×2×2 =2 ．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由已知DE∥AC，CE∥BD，得到四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质对角线相等且互相平分，得到OC=OD，得到平行四边形OCED是菱形；（2）根据矩形的性质和勾股定理，求出BC、AB=DC的值，由菱形的性质，求出OE=2OF的值，得到菱形OCED的面积．
18．【答案】（1）菱形；矩形
（2）解：四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下：分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，∵∠ABC=∠BCD=60°，
∴△BCM是等边三角形，
∴MB=BC=CM，∠M=60°，∵BC=AB+CD，∴MA+AB=AB+CD=CD+DM∴MA=CD，DM=AB，在△ABC和△DMB中， ，
∴△ABC≌△DMB，
∴AC=DB，
∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）①连接AC、BD，
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
同理EF∥HG，
∴四边形EFGH都是平行四边形，
∵对角线AC=BD，
∴EH=EF，
∴四边形ABCD的中点四边形是菱形；②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH，
∴四边形ABCD的中点四边形是矩形；
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EH∥FG，EF∥HG，得到四边形EFGH都是平行四边形，由对角线相等，得到EH=EF，得到四边形ABCD的中点四边形是菱形；当对角线垂直时，得到EF⊥EH，得到四边形ABCD的中点四边形是矩形；（2）由已知∠ABC=∠BCD=60°，得到△BCM是等边三角形，再由SAS得到△ABC≌△DMB，得到对应边AC=DB，由（1）中结论四边形EFGH都是平行四边形，得到中点四边形EFGH是菱形．
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