24.3正多边形和圆 同步练习（含解析）

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24.3正多边形和圆人教版初中数学九年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，等边三角形和正方形都内接于，则：( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
如图，与正八边形的边，分别相交于点、，则弧所对的圆周角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比为( )
A. B. C. D.
如图，、、是上顺次点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则( )
A.
B.
C.
D.
如图，正五边形内接于，过点作的切线交对角线的延长线于点，则下列结论不成立的是( )
B.
C.
D.
已知圆的内接正六边形的面积为，则该圆的半径等于( )
A. B. C. D.
如图，已知正六边形的边长为，点，，，，，依次在正六边形的六条边上，且，顺次连结，，，和，，，则图中阴影部分的周长的取值范围为( )
A. B.
C. D.
如图，正五边形中，直线过点，且，现有以下说法：
是线段的垂直平分线；
；
正五边形有五条对称轴．
正确的有( )
A. B.
C. D.
如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是
，则这个正六边形的周长是( )
A.
B.
C.
D.
如图，正六边形内接于，连接，已知，则圆的半径是( )
A.
B.
C.
D.
如图，六边形是正六边形，点是边的中点，，分别与交于点，，则：的值为( )
A. B. C. D.
如图，是的内接正三角形，四边形是的内接正方形，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，正方形内接于，边长，为弧上一点且，则______．
如图，在正六边形中，，点在边上，且若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是______．
如图，正六边形的边长为，，分别为，的中点，点在正六边形的边上，且在直线的右侧，则当为等腰三角形时，长为______．
如图，与正五边形的边，分别相切于点，．
连接，则的度数为______；
若内接于，则的度数为______．
三、解答题（本大题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
如图，的半径，点在上，且，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图保留画图痕迹，不必写画法
在图中，画出的一个内接正方形；
在图中，画出的一个内接等边三角形．
如图，以正六边形的边为边，在形内作正方形，连接求的大小．
如图，已知，求作的内接正六边形
若的半径为试求此正六边形的面积．
如图，已知正边形边长为，边心距为，求正边形的半径、周长和面积．
如图正六边形请分别在图，图中使用无刻度的直尺按要求画图．
在图中，画出一个与正六边形的边长相等的菱形；
在图中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．
如图正六边形，请分别在图，图中使用无刻度的直尺按要求画图．
在图中，画出一个与正六边形的边长相等的菱形；
在图中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．
连接、、，过作于，由垂径定理得出，证出是等腰直角三角形，，，得出，，则，进而得出答案．
【解答】
解：连接、、，过作于，如图所示：
则，
正方形和等边三角形都内接于，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：八边形是正八边形，
，即，
．
故选：．
首先求得正八边形的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
此题考查了圆周角定理与正六边形的性质．此题比较简单，注意掌握正六边形内角的求法与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是圆内接正三角形、正方形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．
根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．
【解答】
解：设圆的半径为．
如图所示，
在正三角形中，连接，过作于，
则，
，
故BC ；
如图所示，
在正方形中，连接、，过作于，
则是等腰直角三角形，
，
故AB；
如图所示，
在正六边形中，连接、，过作，
则是等边三角形，
故；
半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比为：：：：．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：如图，连接，，．
若、分别是内接正三角形、正方形的一边，
，，
，
由题意，
，
故选：．
如图，连接，，想办法求出中心角即可解决问题．
本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成是大于的自然数等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、正多边形与圆、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定、解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
连接、、，根据正多边形的性质求出各个角的度数，结合平行线的判定方法，再逐个判断即可；
【解答】
解：五边形是正五边形，
，，
，
，
，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.连接，过作于，则，
，，
，
，
，
当时，，，
此时，
此时时，，故本选项符合题意；
D.连接、，
五边形是正五边形，
，
，
，
切于，
，
，
，
，
，故本选项不符合题意；
故选C．
6.【答案】
【解析】解：设是正六边形的中心，是正六边形的一边，是边心距，
，，
则是正三角形，
，
，
正六边形的面积为，
解得：，
故选：．
设是正六边形的中心，是正六边形的一边，是边心距，则是正三角形，的面积的六倍就是正六边形的面积，即可得出答案．
本题考查的正多边形和圆，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据对称性可知，，是等边三角形．阴影部分是正六边形，边长为的．
的最大值为，的最小值为，
阴影部分的正六边形的边长的最大值为，最小值为，
图中阴影部分的周长的取值范围为：．
故选：．
根据对称性可知，，是等边三角形．阴影部分是正六边形，边长为的求出正六边形边长的最大值以及最小值即可解决问题．
本题考查正多边形的相关知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于选择题中的压轴题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质、正多边形的性质、全等三角形等知识解答即可
本题考查了轴对称的性质、正多边形的性质、全等三角形；会利用以上知识综合解题是关键．
【解答】
解：
五边形为正五边形．
，，
为等腰三角形．
故正确．
．
．
．
又．
．
和为直角三角形．
在和中
．
．
是线段的垂直平分线故正确．
正五边形有五条对称轴，正确；
综上所述都正确．
故选D．
9.【答案】
【解析】解：设正六边形的中心为，连接，，如图所示：
是正六边形的中心，
，，，
是等边三角形，
，
正六边形的周长．
故选：．
由正六边形的性质证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可得出答案．
此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意得出是等边三角形是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：连接、，与交于，
在正六边形中，，，
，，
，，
，
圆的半径是，
故选：．
连接、，与交于，根据正六边形的性质得到，，根据垂径定理得到周角定理得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是正多边形和圆，熟记多边形的内角和是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：设正六边形的边长为则，，
由题意是的中位线，
，
，
，
，
，
：：：，
故选：．
设正六边形的边长为想办法求出，的面积即可．
本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是正多边形和圆有关知识，作辅助线连接，，根据题意求出和的度数，利用平行关系求出度数，即可求出的度数．
【解答】
解：连接，，
是的内接正三角形，
，
，
四边形是的内接正方形，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
，
弧弧，
是等边三角形，
，
弧弧，
弧弧，
，
所以．
故选D．
13.【答案】
【解析】解：连接，作于，如图所示：
四边形是正方形，
，，，
是的直径，是等腰直角三角形，
，，
，
，
故答案为：．
连接，作于，如图所示：根据正方形到现在得到，，，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，设正六边形的中心为，过点、作直线交于点，则直线将正六边形的面积平分，直线被正六边形所截的线段长是，连接，过点作于点，连接，
六边形是正六边形，，中心为，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
设正六边形的中心为，过点、作直线交于点，则直线将正六边形的面积平分，直线被正六边形所截的线段长是，连接，过点作于点，连接，由正六边形的性质得出，，，进而得出是等边三角形，得出，由，得出，由，得出，进而求出，，再求出，利用勾股定理求出，即可求出的长度，即可得出答案．
本题考查了正多边形和圆，掌握正六边形的特点，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：当时，如图，连接、，则于点，
由正六边形的性质可知，，，
，
又，分别为，的中点，
是的中位线，
，
；
当时，如图，此时，点与点重合，连接，
六边形是正六边形，
，，
，
，
由正六边形的性质可知，，
在中，，，由勾股定理得，
，
即，
故答案为：或．
分两种情况进行解答，即当或时，分别画出相应的图形，利用正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
本题考查正六边形与圆，掌握正六边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
16.【答案】 或
【解析】解：如图，连接，，
五边形是正五边形，
．
、与相切，
，
，
故答案为：；
如图，五边形是正五边形，
．
、与相切，
，
，
，
，
故的度数为或，
故答案为：或．
如图，连接，根据五边形的性质得到根据切线的性质得到，于是得到结论；
根据正五边形的性质得到根据切线的性质得到，求得，根据圆周角定理即可得到结论．
本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．
17.【答案】解：如图所示：四边形即为所求：
如图所示，即为所求．
【解析】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出的内接正方形即可．
根据等边三角形的性质，画出的内接等边三角形即可．
18.【答案】解：六边形为正六边形，
，．
四边形为正方形，
，分
，．
．
分
【解析】是等腰三角形，只要求出顶角就可以，这个角是正六边形与正方形内角的差．
本题就是一个求正多边形的内角的问题，注意到是等腰三角形是解决本题的关键．
19.【答案】解：如图所示，正六边形就是所求作的正六边形，
连接，，且过点作，
由正六边形可得是等边三角形，
，
，
，
．
【解析】以圆的半径长为半径以此在圆上画弧，然后再连接即可．
连接，，且过点作，易求的面积，所以正六边形的面积是倍的的面积，问题得解．
此题主要考查了复杂作图，关键是掌握圆的内接正六边形的边长等于圆的半径．
20.【答案】解：正边形边长为，，，
，
边心距为，
正边形的半径；
周长；
面积．
【解析】由正边形边长为，边心距为，利用勾股定理即可求得正边形的半径，继而求得周长，然后由面积求得答案．
此题考查了正多边形与圆的知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21.【答案】解：画图如下：四边形或四边形即为所求；
画图如下：解法一：菱形即为所求．
解法二：菱形即为所求．
【解析】连接、交于点，四边形即为所求；
连接、、、，菱形即为所求；或延长、交于点，延长、交于点，菱形即为所求．
本题主要考查作图复杂作图，熟练掌握正六边形的性质和菱形的判定是解题的关键．
22.【答案】解：画图如下：四边形或四边形即为所求；
画图如下：解法一：菱形即为所求．
解法二：菱形即为所求．
【解析】连接、交于点，四边形即为所求；
连接、、、，菱形即为所求；或延长、交于点，延长、交于点，菱形即为所求．
本题主要考查作图复杂作图，熟练掌握正六边形的性质和菱形的判定是解题的关键．
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