24.4弧长和扇形面积 同步练习（含解析）

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24.4弧长和扇形面积人教版初中数学九年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径，扇形的半径为，扇形的圆心角等于，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
如图，正六边形的边长为，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
如图，中，，，，作的平分线交于点，以点为圆心，以为长度作弧，交于点，则阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
如图，点、、、都在边长为的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，则扇形的面积是( )
A. B.
C. D.
如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，且点，，都在上，将此扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径是( )
A.
B.
C.
D.
如图， 中，，，以为直径的交于点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
如图，将沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为，则的长为( )
A. B. C. D.
如图，中，，，在以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转，使点旋转至轴的正半轴上的处，若，则阴影部分面积为( )
A. B. C. D.
如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，点，过点作，垂足为点，若的半径为，，则阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
如图，已知，求作，使得根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是( )
A. 圆弧与圆弧是等弧
B. 线段与线段的长相等
C. 圆弧与圆弧的半径相等
D. 扇形与扇形的面积相等
如图，矩形的边长，把绕逆时针旋转，使恰好落在上的点处，线段扫过部分为扇形则扇形的面积是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，将四边形绕顶点顺时针旋转至四边形的位置，若，则图中阴影部分的面积为 ．
如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为，扇形的圆心角为，这个扇形的面积为 ．
如图，矩形中，，，以点为圆心，为半径画弧交于，以点为圆心，为半径画弧交的延长线于，则图中阴影部分面积为 结果保留
如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
如图，的半径，于点，．
求弦的长
求的长．
如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为的最大扇形阴影部分．
求这个扇形的面积
若将此扇形围成一个无底的圆锥不计接头，求此圆锥底面圆的半径．
如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上，连接．
求证：；
若，，求，两点旋转所经过的路径长之和．
如图，是正三角形，曲线叫做正三角形的渐开线，其中弧、弧、弧的圆心依次是，，如果，求曲线的长．
如图，在中，，，点为边的中点，点在边上，以点为圆心的圆过顶点，与边交于点．
求证：直线是的切线；
若，求图中阴影部分的面积．
如图，在中，，，是上一点，以为直径的经过点．
求证：与相切；
若，求图中由线段，及围成图形的面积即图中阴影部分．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：扇形的弧长是：，
圆的半径，则底面圆的周长是，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，则得到：，
，
即：，
故选：．
利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：正六边形的边长为，
，，
，
，
过作于，
，，
在中，
，
，
同理可证，，
，
，
图中阴影部分的面积为，
故选：．
由正六边形的边长为，可得，，进而求出，，过作于，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．
本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
解得或舍去，
，
，
故选：．
根据题意和图形，利用勾股定理可以得到、、、的长，由图可以得到，然后代入数据计算即可．
本题考查扇形面积的计算、勾股定理、含度角的直角三角形，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由题意，扇形的半径，，
扇形的面积．
故选：．
利用扇形的面积公式，求出扇形的半径，圆心角即可．
本题考查扇形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．
连接，利用圆周角定理得到为的直径，则，设该圆锥底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解方程即可．
【解答】
解：连接，如图，
，
为的直径，，
，
设该圆锥底面圆的半径为，
，
解得，
即该圆锥底面圆的半径为．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
的长；
故选：．
连接，由平行四边形的性质得出，，得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由弧长公式即可得出答案．
本题考查了弧长公式、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，记三个切点分别为、、，连接、、，
则，，
四边形是正方形，
，
是的内切圆，
，，
设，则，，
在中，，
，
，
．
故选：．
先由切线长定理及勾股定理计算出三角形的另外两边长，再根据图中阴影部分面积的面积的面积计算即可．
本题考查切线长定理及勾股定理，解题关键是熟练应用切线长定理．
8.【答案】
【解析】
【分析】
连接、，作于，根据翻转变换的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据弧长公式计算即可．
本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
【解答】
解：连接、，作于，
由题意得，，
，
，
，
，
的长，
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键．
根据等腰直角三角形的性质求出，再根据旋转的性质可得，然后求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，即旋转角为，再根据，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】
解：，，
是等腰直角三角形，
，
，，
绕点顺时针旋转后点的对应点为，
，
，
，
，即旋转角为，
，
故选D．

10.【答案】
【解析】解：连接，，作于，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
．
故选：．
连接，，先通过直径所对是圆周角是直角，证出，从而得出，再通过计算即可．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及扇形的面积计算等知识，求出扇形的圆心角度数是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由作图可知，选项A，，D正确，选项C错误，
故选：．
根据基本作图作一个角等于已知角的步骤判断即可．
本题考查作图基本作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
12.【答案】
【解析】解：，把绕逆时针旋转，使恰好落在上的点处，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
扇形的面积是，
故选：．
根据矩形的性质得出，，求出，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
本题考查了矩形的性质，旋转的性质和扇形面积的计算等知识点，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．注意：已知扇形的圆心角是，半径是，那么这个扇形的面积．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质、扇形面积公式；熟练掌握旋转的性质，得出阴影部分的面积扇形的面积是解题的关键．
由旋转的性质得：，四边形≌四边形，图中阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积四边形的面积扇形的面积，代入扇形面积公式计算即可．
【解答】
解：由旋转的性质得：，四边形≌四边形，
则图中阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积四边形的面积扇形的面积．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算，解题的关键是牢记计算公式．
设圆锥母线为，底面圆的半径为，首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得圆锥母线即扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求解即可．
【解答】
解：设圆锥母线为，底面圆的半径为，
底面圆的面积为，
，
，
底面圆的周长为：，
扇形的弧长等于底面圆的周长为，
则，
解得：，
扇形的面积为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查的是扇形面积以及矩形的性质，根据矩形性质可知，利用扇形面积计算扇形的面积和扇形的面积，再根据代入数值计算即可．
【解答】
解：在矩形中，，
扇形的面积，
扇形的面积，
矩形的面积，
则．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
连接，易求得圆的半径为，扇形的圆心角的度数，然后根据即可得到结论．
【解答】
解：连接，
，，
是等边三角形，
，
的半径为，
，
，
，
，
，
，
于点，
，，
，
．
故答案为．

17.【答案】解：的半径，于点，，
，
，
，
；
，，
，
，
的长是：．
【解析】本题考查弧长的计算．
先说明，根据勾股定理可以求得的长，然后即可得到的长；
根据，可以得到的度数，然后根据弧长公式计算即可．
18.【答案】解：连接，如图：
由得为的直径，
，
在中，由勾股定理可得：，
；
扇形的弧长为：，
设底面半径为，则，
解得：．
【解析】本题考查了圆周角定理、扇形的面积计算方法、弧长公式等知识．
由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值；
根据扇形的弧长等于底面周长求得底面半径即可．
19.【答案】证明：由题意，≌，且，
，
是等边三角形，
，
，
．
解：由题意，，，，
，两点旋转所经过的路径长之和．
【解析】只要证明即可，
由题意，，，，利用弧长公式计算即可．
本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】解：是正三角形，
，
．
曲线的长为 ．
【解析】本题考查了弧长的计算公式，理解弧，弧，弧的圆心角都是度，半径分别是，，是解题的关键．
弧，弧，弧的圆心角都是度，半径分别是，，，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．
21.【答案】证明：连接，，
，，
，，
为的中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
即，
过圆心，
直线是的切线；
解：由可知：，
又，
，
，，
，，
由勾股定理得：，
即，
解得：负数舍去，
所以阴影部分的面积．
【解析】连接，，根据含度角的直角三角形的性质得出，求出，根据直角三角形的性质得出，求出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出，求出，再根据切线的判定得出即可；
求出，，根据勾股定理得出，求出，再分别求出和扇形的面积即可．
本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．
22.【答案】证明：连接，如图，
，，
．
，
，
．
是的半径，
与相切；
解：连接，如图，
为的直径，
．
，
．
．
，，
．
，，
．
【解析】连接，利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和切线的判定定理解答即可；
连接，利用直角三角形的边角关系定理，圆周角定理，三角形和扇形的面积公式解答即可．
本题主要考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，连接是解决此类问题常添加的辅助线．
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