2017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.1矩形 同步练习
一、选择题
1．（2017·官渡模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AC=BD，OA=OC，不能推出AC⊥BD，
∴选项A、B、D正确，选项C错误；
故选C．
【分析】根据矩形的性质推出即可．
2．如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是（ ）
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD
C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥 即可：
∵AD=DE，DO∥AB，∴OD为△ABE的中位线。∴OD=OC。
∵在Rt△AOD和Rt△EOD中，AD=DE，OD=OD，∴△AOD≌△EOD（HL）。
∵在Rt△AOD和Rt△BOC中，AD=BC，OD=OC，∴△AOD≌△BOC（HL）。
∴△BOC≌△EOD。
综上所述，B、C、D均正确。故答案为：A。
【分析】根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形；由已知AD=DE，DO∥AB，得到OD为△ABE的中位线，根据HL得到△AOD≌△EOD、△AOD≌△BOC，得到△BOC≌△EOD.
3．（2017九上·河东开学考）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．5
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA= AC，OB= BD=4，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=4；
故答案为：A．
【分析】根据矩形的对角线的性质及∠AOB=60°，易证△AOB是等边三角形，即可求得AB的长。
4．（2017九上·渭滨期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．4
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=4，
∵OA=OC,
∴OC=2
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质得出OA=OC，∠ABC=90°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出AC的长，即可求出结果。
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、①AB∥CD；②AB=DC可判定四边形是平行四边形，在加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断，故不符合题意；
B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出△BCD≌△CBA(SSS)，进而得出四边形是矩形进行判定，故不符合题意；
C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故符合题意；
D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故不符合题意。
故答案为：C
【分析】选项A，①AB∥CD，②AB=DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断；选项B，可根据题意判断出△BCD≌△CBA(SSS)，进而得出四边形是矩形；选项C，⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形；选项D，⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定.
6．（2017八下·通辽期末）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．12 D．16
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=60°，
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，
在△EFB′中，
∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°
∴△EFB′是等边三角形，
Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，
∴B′E=2A′E，而A′E=2，
∴B′E=4，
∴A′B′=2 ，即AB=2 ，
∵AE=2，DE=6，
∴AD=AE+DE=2+6=8，
∴矩形ABCD的面积=AB AD=2 ×8=16 ．
故答案为：16 ．
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．
7．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是边BC，AD的中点，AB=2，BC=4，一动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D﹣C在矩形的边上运动，运动到点C停止，点M为图1中某一定点，设点P运动的路程为x，△BPM的面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示．则点M的位置可能是图1中的（ ）
A．点C B．点O C．点E D．点F
【答案】B
【知识点】函数的图象；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=2，BC=4，四边形ABCD是矩形，
∴当x=6时，点P到达D点，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上，
∴从选项中可得只有O点符合，所以点M的位置可能是图1中的点O．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质，得到当x=6时，点P到达D点，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上，从选项中可得只有O点符合，所以点M的位置可能是图1中的点O．
8．如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，
∴AB=4，
∴AC= =2 ．
∴BE=CD= ．
∴四边形BCDE的面积为：2× =2 ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中位线定理得到DF∥BC，由∠C=90°，得到四边形BCDE是矩形；根据勾股定理求出BE=CD的值，求出四边形BCDE的面积.
二、填空题
9．在矩形ABCD中，AC交BD于O点，已知AC=2AB，∠AOD的度数是 ．
【答案】120°
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA= AC，OB= BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AC=2AB，
∴OA=OB=AB，
即△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOD=180°﹣60°=120°；
故答案为：120°．
【分析】根据矩形的性质对角线相等且互相平分，得到△AOB是等边三角形，得到∠AOD的度数.
10．（2017八下·启东期中）如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 ．
【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】因为平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角。
故答案是：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
【分析】根据已知可知平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角。即可得出答案。
11．如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB=8，且△ABF的面积为24，则EC的长为 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=8，S△ABF=24
∴BF=6．
∵在Rt△ABF中，AF= =10，
∴AD=AF=BC=10
∴CF=10﹣6=4
设EC=x，则EF=DE=8﹣x．
在Rt△ECF中，EF2=CF2+CE2，即（8﹣x）2=x2+42，解得，x=3．
∴CE=3．
故答案为：3．
【分析】根据三角形的面积，得到BF的值，再根据勾股定理和折叠的性质，求出AD=AF=BC的值，得到CF的值，由矩形的性质和勾股定理，求出EC的长.
12．（2017·济宁模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为 ．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=3，
∴BD=2OB=6，
∴AD= = =3 ；
故答案为：3 ．
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．
13．如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG．若AB=2，BC=1，则AG的长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意：AB=2，AD=BC=1，在Rt△ABD中，
BD===.
过点G作GH⊥BD，垂足为H，
由折叠可知：△AGD≌△HGD，
∴AD=DH=1，
设AG的长为x，HG=AG=x，BG=2-x，BH=-1
在Rt△BGH中，由勾股定理得BG2+BH2+HG2，
（2-x）2=（-1）2+x2，
4-4x+x2=5-2+1+x2，
解得x=，
即AG的长为
【分析】根据矩形的性质和勾股定理，求出对角线BD的值，由折叠的性质得到三角形全等，再根据勾股定理求出AG的长.
14．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为 ．
【答案】4或
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：①如图，当AB=AD时
满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，
△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），
则AB=AD=4．②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，
∵P2是AD的中点，
∴BP2= = ，
易证得BP1=BP2，
又∵BP1=BC，
∴ =4
∴AB=2 ．③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．
故答案为：4或2 ．
【分析】根据题意得到当AB=AD时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形，得到AB=AD=4；当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，根据勾股定理求出BP2的值，得到BP1=BP2，求出AB的值；当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形.
三、计算题
15．如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE=BF．
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）若∠BEF=∠DAE，AE=3，BE=4，求EF的长．
【答案】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°．∴∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中，∴Rt△ADE≌Rt△BCF．
∴∠1=∠F．
∴AE∥BF．
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形．
（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°．∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°．∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB= = =5．∵四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=5．
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和已知由HL得到Rt△ADE≌Rt△BCF，得到对应角相等即1=∠F，根据同位角相等两直线平行得到AE∥BF，再由AE=BF，得到四边形ABFE是平行四边形；（2）根据勾股定理求出AB的长，再由平行四边形的性质，得到EF=AB的值.
16．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数．
【答案】解：∵AE平分∠BAD交BC于E，∴∠AEB=45°，AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠ACB=∠AEB﹣∠CAE=45°﹣15°=30°，∴∠BAO=60°，又∵OA=OB，∴△BOA是等边三角形，∴OA=OB=AB，即OB=AB=BE，∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE=∠OCB=30°，∠BOE= =75°．
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质和已知AE平分∠BAD，得到∠AEB=45°，AB=BE，再由∠CAE=15°和矩形的对角线相等，得到△BOA是等边三角形，得到OA=OB=AB，求出∠BOE的度数．
17．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=8，CF=6，∴EF= =10，
∴OC= EF=5；
（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由CE、CF是补角的平分线和两直线平行内错角相等，得到EO=CO，FO=CO，即OE=OF；（2）由CE、CF是补角的平分线，得到CE⊥CF，根据勾股定理求出EF的值，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求出OC的值；（3）根据题意当O为AC的中点时，AO=CO，再由EO=FO，得到四边形AECF是平行四边形，再由CE⊥CF，得到平行四边形AECF是矩形．
18．如图，将 ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CD，AB∥CD．
∵BE=AB，
∴BE=CD．∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵ ，
∴△BEF≌△CDF（ASA）
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，∵AB=BE，∴CD=EB，∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF=CF，EF=DF，
∵∠BFD=2∠A，∴∠BFD=2∠DCF，∴∠DCF=∠FDC，
∴DF=CF，
∴DE=BC，
∴四边形BECD是矩形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到对边平行且相等，即AB=CD，AB∥CD；再由BE=AB，根据ASA得到△BEF≌△CDF；（2）由（1）知四边形BECD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，得到BF=CF，EF=DF，根据等角对等边得到DF=CF，得到对角线DE=BC，由对角线相等的平行四边形是矩形，得到四边形BECD是矩形．
19．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．
【答案】（1）证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在△ANF和△CME中， ，
∴△ANF≌△CME（ASA），
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，
∴四边形AECF的面积的面积为：EC AB=5×6=30．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据折叠和矩形的性质，得到AM=CN，再由ASA得到△ANF≌△CME，得到对应边AF=CE，再由AF∥CE，得到四边形AECF是平行四边形；（2）由已知和勾股定理求出CE的值，求出四边形AECF的面积的面积.
1 / 12017-2018学年数学沪科版八年级下册19.3.1矩形 同步练习
一、选择题
1．（2017·官渡模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC
2．如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是（ ）
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD
C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
3．（2017九上·河东开学考）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．5
4．（2017九上·渭滨期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．4
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
6．（2017八下·通辽期末）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．12 D．16
7．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是边BC，AD的中点，AB=2，BC=4，一动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D﹣C在矩形的边上运动，运动到点C停止，点M为图1中某一定点，设点P运动的路程为x，△BPM的面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示．则点M的位置可能是图1中的（ ）
A．点C B．点O C．点E D．点F
8．如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
二、填空题
9．在矩形ABCD中，AC交BD于O点，已知AC=2AB，∠AOD的度数是 ．
10．（2017八下·启东期中）如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 ．
11．如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB=8，且△ABF的面积为24，则EC的长为 ．
12．（2017·济宁模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为 ．
13．如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG．若AB=2，BC=1，则AG的长是 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为 ．
三、计算题
15．如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE=BF．
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）若∠BEF=∠DAE，AE=3，BE=4，求EF的长．
16．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数．
17．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
18．如图，将 ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
19．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AC=BD，OA=OC，不能推出AC⊥BD，
∴选项A、B、D正确，选项C错误；
故选C．
【分析】根据矩形的性质推出即可．
2．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥 即可：
∵AD=DE，DO∥AB，∴OD为△ABE的中位线。∴OD=OC。
∵在Rt△AOD和Rt△EOD中，AD=DE，OD=OD，∴△AOD≌△EOD（HL）。
∵在Rt△AOD和Rt△BOC中，AD=BC，OD=OC，∴△AOD≌△BOC（HL）。
∴△BOC≌△EOD。
综上所述，B、C、D均正确。故答案为：A。
【分析】根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形；由已知AD=DE，DO∥AB，得到OD为△ABE的中位线，根据HL得到△AOD≌△EOD、△AOD≌△BOC，得到△BOC≌△EOD.
3．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA= AC，OB= BD=4，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=4；
故答案为：A．
【分析】根据矩形的对角线的性质及∠AOB=60°，易证△AOB是等边三角形，即可求得AB的长。
4．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=4，
∵OA=OC,
∴OC=2
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质得出OA=OC，∠ABC=90°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出AC的长，即可求出结果。
5．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、①AB∥CD；②AB=DC可判定四边形是平行四边形，在加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断，故不符合题意；
B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出△BCD≌△CBA(SSS)，进而得出四边形是矩形进行判定，故不符合题意；
C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故符合题意；
D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故不符合题意。
故答案为：C
【分析】选项A，①AB∥CD，②AB=DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断；选项B，可根据题意判断出△BCD≌△CBA(SSS)，进而得出四边形是矩形；选项C，⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形；选项D，⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定.
6．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=60°，
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，
在△EFB′中，
∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°
∴△EFB′是等边三角形，
Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，
∴B′E=2A′E，而A′E=2，
∴B′E=4，
∴A′B′=2 ，即AB=2 ，
∵AE=2，DE=6，
∴AD=AE+DE=2+6=8，
∴矩形ABCD的面积=AB AD=2 ×8=16 ．
故答案为：16 ．
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．
7．【答案】B
【知识点】函数的图象；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=2，BC=4，四边形ABCD是矩形，
∴当x=6时，点P到达D点，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上，
∴从选项中可得只有O点符合，所以点M的位置可能是图1中的点O．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质，得到当x=6时，点P到达D点，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上，从选项中可得只有O点符合，所以点M的位置可能是图1中的点O．
8．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，
∴AB=4，
∴AC= =2 ．
∴BE=CD= ．
∴四边形BCDE的面积为：2× =2 ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中位线定理得到DF∥BC，由∠C=90°，得到四边形BCDE是矩形；根据勾股定理求出BE=CD的值，求出四边形BCDE的面积.
9．【答案】120°
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA= AC，OB= BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AC=2AB，
∴OA=OB=AB，
即△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOD=180°﹣60°=120°；
故答案为：120°．
【分析】根据矩形的性质对角线相等且互相平分，得到△AOB是等边三角形，得到∠AOD的度数.
10．【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】因为平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角。
故答案是：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
【分析】根据已知可知平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角。即可得出答案。
11．【答案】3
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=8，S△ABF=24
∴BF=6．
∵在Rt△ABF中，AF= =10，
∴AD=AF=BC=10
∴CF=10﹣6=4
设EC=x，则EF=DE=8﹣x．
在Rt△ECF中，EF2=CF2+CE2，即（8﹣x）2=x2+42，解得，x=3．
∴CE=3．
故答案为：3．
【分析】根据三角形的面积，得到BF的值，再根据勾股定理和折叠的性质，求出AD=AF=BC的值，得到CF的值，由矩形的性质和勾股定理，求出EC的长.
12．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=3，
∴BD=2OB=6，
∴AD= = =3 ；
故答案为：3 ．
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．
13．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意：AB=2，AD=BC=1，在Rt△ABD中，
BD===.
过点G作GH⊥BD，垂足为H，
由折叠可知：△AGD≌△HGD，
∴AD=DH=1，
设AG的长为x，HG=AG=x，BG=2-x，BH=-1
在Rt△BGH中，由勾股定理得BG2+BH2+HG2，
（2-x）2=（-1）2+x2，
4-4x+x2=5-2+1+x2，
解得x=，
即AG的长为
【分析】根据矩形的性质和勾股定理，求出对角线BD的值，由折叠的性质得到三角形全等，再根据勾股定理求出AG的长.
14．【答案】4或
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：①如图，当AB=AD时
满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，
△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），
则AB=AD=4．②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，
∵P2是AD的中点，
∴BP2= = ，
易证得BP1=BP2，
又∵BP1=BC，
∴ =4
∴AB=2 ．③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．
故答案为：4或2 ．
【分析】根据题意得到当AB=AD时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形，得到AB=AD=4；当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，根据勾股定理求出BP2的值，得到BP1=BP2，求出AB的值；当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形.
15．【答案】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°．∴∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中，∴Rt△ADE≌Rt△BCF．
∴∠1=∠F．
∴AE∥BF．
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形．
（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°．∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°．∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB= = =5．∵四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=5．
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和已知由HL得到Rt△ADE≌Rt△BCF，得到对应角相等即1=∠F，根据同位角相等两直线平行得到AE∥BF，再由AE=BF，得到四边形ABFE是平行四边形；（2）根据勾股定理求出AB的长，再由平行四边形的性质，得到EF=AB的值.
16．【答案】解：∵AE平分∠BAD交BC于E，∴∠AEB=45°，AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠ACB=∠AEB﹣∠CAE=45°﹣15°=30°，∴∠BAO=60°，又∵OA=OB，∴△BOA是等边三角形，∴OA=OB=AB，即OB=AB=BE，∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE=∠OCB=30°，∠BOE= =75°．
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质和已知AE平分∠BAD，得到∠AEB=45°，AB=BE，再由∠CAE=15°和矩形的对角线相等，得到△BOA是等边三角形，得到OA=OB=AB，求出∠BOE的度数．
17．【答案】（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=8，CF=6，∴EF= =10，
∴OC= EF=5；
（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由CE、CF是补角的平分线和两直线平行内错角相等，得到EO=CO，FO=CO，即OE=OF；（2）由CE、CF是补角的平分线，得到CE⊥CF，根据勾股定理求出EF的值，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求出OC的值；（3）根据题意当O为AC的中点时，AO=CO，再由EO=FO，得到四边形AECF是平行四边形，再由CE⊥CF，得到平行四边形AECF是矩形．
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CD，AB∥CD．
∵BE=AB，
∴BE=CD．∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵ ，
∴△BEF≌△CDF（ASA）
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，∵AB=BE，∴CD=EB，∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF=CF，EF=DF，
∵∠BFD=2∠A，∴∠BFD=2∠DCF，∴∠DCF=∠FDC，
∴DF=CF，
∴DE=BC，
∴四边形BECD是矩形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到对边平行且相等，即AB=CD，AB∥CD；再由BE=AB，根据ASA得到△BEF≌△CDF；（2）由（1）知四边形BECD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，得到BF=CF，EF=DF，根据等角对等边得到DF=CF，得到对角线DE=BC，由对角线相等的平行四边形是矩形，得到四边形BECD是矩形．
19．【答案】（1）证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在△ANF和△CME中， ，
∴△ANF≌△CME（ASA），
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，
∴四边形AECF的面积的面积为：EC AB=5×6=30．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据折叠和矩形的性质，得到AM=CN，再由ASA得到△ANF≌△CME，得到对应边AF=CE，再由AF∥CE，得到四边形AECF是平行四边形；（2）由已知和勾股定理求出CE的值，求出四边形AECF的面积的面积.
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