2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（3） 同步练习
一、选择题
1．如图，若果∠1=∠2，那么添加下列任何一个条件：
（1） = ，（2） = ， （3）∠B=∠D，（4）∠C=∠AED，
其中能判定△ABC∽△ADE的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°， ，那么∠B的度数是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
3．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD AC D． =
4．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠F
C．∠A=∠E且 D．∠A=∠E且
5．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两角分别相等的两个三角形相似
D．两边成比例且一角相等的两个三角形相似
6．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A．= B．= C．= D．=
7．（2017·陕西模拟）如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是 ．（写出一个即可）
9．（2018·江城模拟）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
10．如图标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是 ．（只填一个即可）
11．如图，
（1）若AE：AB= ，则△ABC∽△AEF；
（2）若∠E= ，则△ABC∽△AEF．
12．如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点． = ，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
13．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，欲使△ADE∽△ACB，则需添加的一个条件是 ．（只写一种情况即可）
14．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于 ．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4．
求证：△ADE∽△ACB．
16．如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD=2，BD=4，AC=2 ．求证：△ACD∽△ABC．
17．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC= ，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
18．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
19．已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：
（1）∠DAE=∠BAC；
（2）△DAE∽△BAC．
20．如图，在△ABC中，AC=8厘米，BC=16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE．
∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，
∵∠C=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∵ = ，
∴△ABC∽△ADE，
故答案为：C
【分析】由已知∠1=∠2，可证得∠BAC=∠DAE，要证明△ABC∽△ADE，已经有一组角对应相等，因此可添加其它的两组角中的一组，可对（3）（4）作出判断；还可以由∠BAC和∠DAE的两边对应成比例，可对（1）（2）作出判断，综上所述，可得出可添加的条件的情况数。
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠B与∠D是对应角，
故∠B=∠D=60°．
故答案为：B．
【分析】根据题意，得知∠B与∠D为对应角，求出∠D的度数。
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不符合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不符合题意；
C、∵AB2=AD AC，∴ = ，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不符合题意；
D、 = 不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故答案为：D
【分析】两条对应边成比例以及他们的夹角相等才可证三角形相似。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∠D和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
B、∠A=∠B，∠D=∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
C、由可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC与△DEF相似，故此选项正确；
D、∠A=∠E且不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；
故选：C．
【分析】根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A．：对角线垂直且互相平分的四边形是菱形．则A选项不符合题意；
B：对角线垂直且相等的平行四边形四边形是正方形，则B选项不符合题意；
C：两角分别相等的两个三角形相似，则C选项符合题意；
D：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．则D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理得，两个角分别相等的三角形相似。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠D，= ，
∴△ABC∽△ADE．
故选C．
【分析】本题中已知∠BAC=∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，
当△PDA∽△CPB时， = ，即 = ，
解得：x=1或x=6，
当△PDA∽△PCB时， = ，即 = ，
解得：x= ，
则这样的点P共有3个，
故选C．
【分析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．
8．【答案】AF= AC或∠AFE=∠ABC
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
分两种情况：
①∵△AEF∽△ABC，
∴AE：AB=AF：AC，
即1：2=AF：AC，
∴AF= AC；
②∵△AFE∽△ACB，
∴∠AFE=∠ABC．
∴要使以A．E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF= AC或∠AFE=∠ABC．
故答案为：AF= AC或∠AFE=∠ABC．
【分析】分两种情况：①△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质，可得出AF= AC；②△AFE∽△ACB，利用相似三角形的性质，可证得∠AFE=∠ABC，则可得出需要增加的条件。
9．【答案】DF∥AC或∠BFD=∠A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】本题的答案有很多种情况，我们只需要符合三角形相似的判定条件即可得出答案，题目中已经出现了线段之间的比值相等，可以加入角的相等，也可以加入线段的比值相等．
【分析】本题是一开放性的命题，由题干中的条件可以判断出△ABC与△ADE相似，根据相似三角形对应角相等得出∠B=∠AED而△ABC与△FDB有个公共角∠B，要使△FDB与△ADE，只需要再给出它们之间的一个角对应相等，或者给出一个判断△FDB与△ABC相似的条件即可。
10．【答案】DF=6
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠A=∠D=80°， = = ，
∴当 = ，即 = ，DF=6时，△ABC∽△DEF；
或当∠C=∠F=60°时，△ABC∽△DEF，
故答案为：DF=6．
【分析】利用对应边成比例，得当DF=6时，满足△ABC与△DEF；当∠C=∠F=60°，对应角相等也可证△ABC与△DEF。
11．【答案】（1）AF：AC
（2）∠B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：⑴若AE：AB=AF：AC，则△ABC∽△AEF；
⑵若∠E=∠B，则△ABC∽△AEF．
故答案为：AF：AC；∠B
【分析】（1）找到对应边成比例关系，即可证相似。（2）找到对应角相等，可证相似。
12．【答案】DF∥AC或∠BFD=∠A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．
理由：∵∠A=∠A， ，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为：DF∥AC或∠BFD=∠A．
【分析】根据题意，已知对应边成比例，添加DF∥AC或∠BFD=∠A，都可证△FBD∽△AED。
13．【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或 时，△ADE∽△ABC，
故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
【分析】已知∠A等于∠A，再添加一个对应角相等或对应边成比例即可证△ADE∽△ACB。
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠AEC=∠BED，
∴当 = 时，△BDE∽△ACE，
即 = ，
∴CE= ．
故答案为：
【分析】先根据题意判断出△BDE∽△ACE，利用对应边成比例，求出CE的长度。
15．【答案】证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，
∴AB=5+7=12，AC=6+4=10，
∴ = = ， = = ，
∴ = ，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据两个对应边成比例以及它们的夹角相等判断出△ADE∽△ACB。
16．【答案】证明：∵ = = ， = =
∴ = ，
又∵∠A=∠A
∴△ABC∽△ACD
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先分别求出AD：AC，AC：AB的值，就可得出AD：AC=AC：AB，由∠A=∠A，根据两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得结论。
17．【答案】（1）解：∵AD=BC，BC= ，
∴AD= ，DC=1﹣ = ．
∴AD2= = ，AC CD=1× = ．
∴AD2=AC CD．
（2）解：∵AD=BC，AD2=AC CD，∴BC2=AC CD，即 ．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴ ，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件，可求出AD、DC的长，再分别求出AD2、AC CD的值，根据它们的值可证得结论。
（2）利用（1）的结论及已知条件AD=BC，可证得BC2=AC CD，再由∠C=∠C，就可证明△BCD∽△ACB，利用相似三角形的性质，可得出∠DBC=∠A，DB=CB=AD，∠C=∠BDC，再根据三角形内角和定理，可求出结果。
18．【答案】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴ ，
∵DF= DC，
∴ ，
∴ ，
∴△ABE∽△DEF
（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，
∴ ，
又∵DF= DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及AE=ED，DF= DC，去证明AE、AB、DF、DE四条线段成比例，由夹角∠A=∠D，可证得结论。
（2）利用正方形的性质，可得出ED∥BG，再得出对应相等成比例，就可求出ED、CG的长，从而可求出BG的值。
19．【答案】（1）证明：∵△ABD∽△ACE．∴∠BAD=∠CAE，∵∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC
（2）证明：∵△ABD∽△ACE，
∴ = ，
∴ = ，
而∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△BAC
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的性质，可证得∠BAD=∠CAE，继而可证得结论。
（2）根据△ABD∽△ACE，得出对应边成比例，再由∠DAE=∠BAC，然后根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，可证得结论。
20．【答案】解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC﹣AP=8﹣x，CQ=2x，（ 1 ）当CP与CA是对应边时， ，即 ，解得x=4秒；（ 2 ）当CP与BC是对应边时， ，即 ，解得x= 秒；故经过4或 秒，两个三角形相似
【知识点】相似三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】设经过x秒，两三角形相似，用含x的代数式分别表示出CP、CQ，再利用相似三角形的性质，分情况讨论：当CP与CA是对应边时；当CP与BC是对应边时，分别得出对应边成比例，建立关于x的方程，解方程求出x的值即可。
1 / 12018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（3） 同步练习
一、选择题
1．如图，若果∠1=∠2，那么添加下列任何一个条件：
（1） = ，（2） = ， （3）∠B=∠D，（4）∠C=∠AED，
其中能判定△ABC∽△ADE的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE．
∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，
∵∠C=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∵ = ，
∴△ABC∽△ADE，
故答案为：C
【分析】由已知∠1=∠2，可证得∠BAC=∠DAE，要证明△ABC∽△ADE，已经有一组角对应相等，因此可添加其它的两组角中的一组，可对（3）（4）作出判断；还可以由∠BAC和∠DAE的两边对应成比例，可对（1）（2）作出判断，综上所述，可得出可添加的条件的情况数。
2．在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°， ，那么∠B的度数是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠B与∠D是对应角，
故∠B=∠D=60°．
故答案为：B．
【分析】根据题意，得知∠B与∠D为对应角，求出∠D的度数。
3．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD AC D． =
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不符合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不符合题意；
C、∵AB2=AD AC，∴ = ，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不符合题意；
D、 = 不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故答案为：D
【分析】两条对应边成比例以及他们的夹角相等才可证三角形相似。
4．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠F
C．∠A=∠E且 D．∠A=∠E且
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∠D和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
B、∠A=∠B，∠D=∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
C、由可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC与△DEF相似，故此选项正确；
D、∠A=∠E且不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；
故选：C．
【分析】根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．
5．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两角分别相等的两个三角形相似
D．两边成比例且一角相等的两个三角形相似
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A．：对角线垂直且互相平分的四边形是菱形．则A选项不符合题意；
B：对角线垂直且相等的平行四边形四边形是正方形，则B选项不符合题意；
C：两角分别相等的两个三角形相似，则C选项符合题意；
D：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．则D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理得，两个角分别相等的三角形相似。
6．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A．= B．= C．= D．=
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠D，= ，
∴△ABC∽△ADE．
故选C．
【分析】本题中已知∠BAC=∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．
7．（2017·陕西模拟）如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，
当△PDA∽△CPB时， = ，即 = ，
解得：x=1或x=6，
当△PDA∽△PCB时， = ，即 = ，
解得：x= ，
则这样的点P共有3个，
故选C．
【分析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．
二、填空题
8．已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是 ．（写出一个即可）
【答案】AF= AC或∠AFE=∠ABC
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
分两种情况：
①∵△AEF∽△ABC，
∴AE：AB=AF：AC，
即1：2=AF：AC，
∴AF= AC；
②∵△AFE∽△ACB，
∴∠AFE=∠ABC．
∴要使以A．E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF= AC或∠AFE=∠ABC．
故答案为：AF= AC或∠AFE=∠ABC．
【分析】分两种情况：①△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质，可得出AF= AC；②△AFE∽△ACB，利用相似三角形的性质，可证得∠AFE=∠ABC，则可得出需要增加的条件。
9．（2018·江城模拟）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
【答案】DF∥AC或∠BFD=∠A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】本题的答案有很多种情况，我们只需要符合三角形相似的判定条件即可得出答案，题目中已经出现了线段之间的比值相等，可以加入角的相等，也可以加入线段的比值相等．
【分析】本题是一开放性的命题，由题干中的条件可以判断出△ABC与△ADE相似，根据相似三角形对应角相等得出∠B=∠AED而△ABC与△FDB有个公共角∠B，要使△FDB与△ADE，只需要再给出它们之间的一个角对应相等，或者给出一个判断△FDB与△ABC相似的条件即可。
10．如图标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是 ．（只填一个即可）
【答案】DF=6
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠A=∠D=80°， = = ，
∴当 = ，即 = ，DF=6时，△ABC∽△DEF；
或当∠C=∠F=60°时，△ABC∽△DEF，
故答案为：DF=6．
【分析】利用对应边成比例，得当DF=6时，满足△ABC与△DEF；当∠C=∠F=60°，对应角相等也可证△ABC与△DEF。
11．如图，
（1）若AE：AB= ，则△ABC∽△AEF；
（2）若∠E= ，则△ABC∽△AEF．
【答案】（1）AF：AC
（2）∠B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：⑴若AE：AB=AF：AC，则△ABC∽△AEF；
⑵若∠E=∠B，则△ABC∽△AEF．
故答案为：AF：AC；∠B
【分析】（1）找到对应边成比例关系，即可证相似。（2）找到对应角相等，可证相似。
12．如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点． = ，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
【答案】DF∥AC或∠BFD=∠A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．
理由：∵∠A=∠A， ，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为：DF∥AC或∠BFD=∠A．
【分析】根据题意，已知对应边成比例，添加DF∥AC或∠BFD=∠A，都可证△FBD∽△AED。
13．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，欲使△ADE∽△ACB，则需添加的一个条件是 ．（只写一种情况即可）
【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或 时，△ADE∽△ABC，
故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
【分析】已知∠A等于∠A，再添加一个对应角相等或对应边成比例即可证△ADE∽△ACB。
14．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠AEC=∠BED，
∴当 = 时，△BDE∽△ACE，
即 = ，
∴CE= ．
故答案为：
【分析】先根据题意判断出△BDE∽△ACE，利用对应边成比例，求出CE的长度。
三、解答题
15．如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4．
求证：△ADE∽△ACB．
【答案】证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，
∴AB=5+7=12，AC=6+4=10，
∴ = = ， = = ，
∴ = ，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据两个对应边成比例以及它们的夹角相等判断出△ADE∽△ACB。
16．如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD=2，BD=4，AC=2 ．求证：△ACD∽△ABC．
【答案】证明：∵ = = ， = =
∴ = ，
又∵∠A=∠A
∴△ABC∽△ACD
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先分别求出AD：AC，AC：AB的值，就可得出AD：AC=AC：AB，由∠A=∠A，根据两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得结论。
17．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC= ，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
【答案】（1）解：∵AD=BC，BC= ，
∴AD= ，DC=1﹣ = ．
∴AD2= = ，AC CD=1× = ．
∴AD2=AC CD．
（2）解：∵AD=BC，AD2=AC CD，∴BC2=AC CD，即 ．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴ ，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件，可求出AD、DC的长，再分别求出AD2、AC CD的值，根据它们的值可证得结论。
（2）利用（1）的结论及已知条件AD=BC，可证得BC2=AC CD，再由∠C=∠C，就可证明△BCD∽△ACB，利用相似三角形的性质，可得出∠DBC=∠A，DB=CB=AD，∠C=∠BDC，再根据三角形内角和定理，可求出结果。
18．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
【答案】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴ ，
∵DF= DC，
∴ ，
∴ ，
∴△ABE∽△DEF
（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，
∴ ，
又∵DF= DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及AE=ED，DF= DC，去证明AE、AB、DF、DE四条线段成比例，由夹角∠A=∠D，可证得结论。
（2）利用正方形的性质，可得出ED∥BG，再得出对应相等成比例，就可求出ED、CG的长，从而可求出BG的值。
19．已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：
（1）∠DAE=∠BAC；
（2）△DAE∽△BAC．
【答案】（1）证明：∵△ABD∽△ACE．∴∠BAD=∠CAE，∵∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC
（2）证明：∵△ABD∽△ACE，
∴ = ，
∴ = ，
而∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△BAC
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的性质，可证得∠BAD=∠CAE，继而可证得结论。
（2）根据△ABD∽△ACE，得出对应边成比例，再由∠DAE=∠BAC，然后根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，可证得结论。
20．如图，在△ABC中，AC=8厘米，BC=16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
【答案】解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC﹣AP=8﹣x，CQ=2x，（ 1 ）当CP与CA是对应边时， ，即 ，解得x=4秒；（ 2 ）当CP与BC是对应边时， ，即 ，解得x= 秒；故经过4或 秒，两个三角形相似
【知识点】相似三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】设经过x秒，两三角形相似，用含x的代数式分别表示出CP、CQ，再利用相似三角形的性质，分情况讨论：当CP与CA是对应边时；当CP与BC是对应边时，分别得出对应边成比例，建立关于x的方程，解方程求出x的值即可。
1 / 1
