高中数学必修第一册人教A版（2019）4.2.2 指数函数的图像和性质_导学案（含答案）

【新教材】4.2.2 指数函数的图像和性质（人教A版）
1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；
2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质；
3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.
1.数学抽象：指数函数的图像与性质；
2.逻辑推理：图像平移问题；
3.数学运算：求函数的定义域与值域；
4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：
5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.
重点：指数函数的图象和性质；
难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质．
预习导入
阅读课本111-113页，填写。
1．指数函数的图像与性质
1．函数y＝(－1)x在R上是(　　)
A．增函数　　　　　　　　 B．奇函数
C．偶函数 D．减函数
2．函数y＝2－x的图象是(　　)
3．函数f(x)＝＋3的值域为________．
题型一 指数函数的图象问题
题点一：指数型函数过定点问题
例1 函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．
题点二：指数型函数图象中数据判断
例2 函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0 D. 0＜a＜1，b＜0
题点三：作指数型函数的图象
例3 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．
(1)y＝2x＋1；(2)y＝－2x.
跟踪训练一
1、如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是(　　)
A.aC.12、已知函数f(x)=ax+1+3的图象一定过点P,则点P的坐标是　　.
3、函数y= 的图象有什么特征 你能根据图象指出其值域和单调区间吗
题型二 指数函数的性质及其应用
题点一：比较两个函数值的大小
例4 比较下列各题中两个值的大小:
（1）
（2）
（3）
题点二：指数函数的定义域与值域问题
例5 求下列函数的定义域与值域
(1)y=;　(2)y=.
跟踪训练二
1、比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
2、比较下列各题中两个值的大小:
①2.53,2.55.7;
②1.5-7,;
③2.3-0.28,0.67-3.1.
1．函数（且）的图象恒过定点（ ）
A．（0，3） B．（1，3） C．（-1，2） D．（-1，3）
2．设函数f（x）=，则函数f（）的定义域为（　　）
A． B． C． D．
3．设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．
5．不等式的解集为_______.
6．已知函数。
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）解不等式。
答案
小试牛刀
1．D
2．B
3. (3，+∞)
自主探究
例1 【答案】(3,4)
【解析】因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．
例2 【答案】D
【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.
例3 【答案】见解析
【解析】如图．(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位
长度得到的；
(2)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．
跟踪训练一
【答案】1. B 2. (-1,4) 3. 原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).
【解析】1、(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,底数越小,图象
向下越靠近x轴,故有b图象向上越靠近y轴,故有d(方法二)作直线x=1,与函数①,②,③,④的图象分别交于A,B,C,D四点,
将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值,
所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大.
由图可知b答案:B
2、∵当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3恒过(-1,4)点.
3、∵y=
∴其图象由y=(x≥0)和y=2x(x<0)的图象合并而成.
而y=(x>0)和y=2x(x<0)的图象关于y轴对称,所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).
例4 【答案】(1) 1.72.5<1.73 (2) (3) 1.73.1 > 0.93.1
【解析】(1)(单调性法)由于1.73与1.72.5的底数是1.7,故构造函数y=1.7x,而函数y=1.7x在R上是增函数.又2.5<3,∴1.72.5<1.73.
(2)(单调性法)由于的底数是0.8,故构造函数y=0.8x,而函数y=0.8x在R上是减函数.又，所以.
（3）(中间量法)由指数函数的性质,知0.93.1<0.90=1,1.73.1>1.70=1,则1.73.1 > 0.93.1.
例5【答案】(1)定义域为{x|x∈R,且x≠4}, 值域为(0,1)∪(1,+∞).
(2)定义域为R, 值域为[1,+∞).
【解析】(1)∵由x-4≠0,得x≠4,
∴函数的定义域为{x|x∈R,且x≠4}.∵≠0,∴≠1.∴y=的值域为(0,1)∪(1,+∞).
（2）函数的定义域为R.∵|x|≥0,∴y==1.
故y=的值域为[1,+∞).
跟踪训练二
【答案】1.当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1(a-1)2.4.
2.① 2.53<2.55.7. .②1.5-7>. ③ 2.3-0.28<0.67-3.1.
【解析】1、因为a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1,
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.
若0(a-1)2.4.
故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;
当1(a-1)2.4.
2.①(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.
又3<5.7,∴2.53<2.55.7.
②(化同底)1.5-7=,,构造函数y=.
∵0<<1,∴y=在R上是减函数.又7<12,∴,即1.5-7>.
③(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.
当堂检测
1-3．DAC
4．－
5．(﹣1，2)
6．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）或.
【解析】（1）易知函数，.
所以定义域为.
（2）由，从而知为偶函数；
（3）由条件得，得，解得或.
所以不等式的解集为：或.