一元二次方程（全章）[上学期]
文档属性
| 名称 | 一元二次方程（全章）[上学期] |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 209.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2006-09-10 10:43:00 | ||
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文档简介
一元二次方程
1 . 一元二次 方程
[重点难点]
1．经历抽象一元二次 方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，理解一元二次方程及相互概念。
2．经历方程的解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算能力及意识，能列出方程来刻画实际问题。
[预习导引]
从前有一天，一个醉汉拿着一根竹竿进屋横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，这时一道的另一个醉汉教他沿着门的两个对角线斜着拿竿，这个醉汉一试不多不少刚好把竹竿拿进去了，你知道竹竿有多长吗？
请你根据这一问题列出方程，并把自己所列的方程与以前学习过的一元一次方程，二元一次方程比较有什么不同之处，并与其它的同伴交流自己的看法。
[点拔]本例中，设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，门框的对角线长为x尺，根据“宽2+高2=对角线2”可列方程，（x-4）2+(x-2)2=x2,即x2-12x+20=0,这个方程与以前学习过的方程相比较有（1）只含一个未知数，（2）未知数的最高次数为2，这两个特点，从本例中逐步体会一元二次方程的概念，本例实则是一个笑话，实际上不必这么麻烦，只须将竹竿垂直于门所在的平面就很方便地进去了，但我们还应在谈笑之后，明白其中的数学知识。
[知识分析]
1．一元二次方程的引入
在前面，我们已经学习过通过列一元一次方程，二元一次方程组来解决实际问题，但有些问题，如课本中的“花边有多宽”，“五个连续整数，前三个数平方和等于后面两个数的平方和”，“梯子的底端滑动了多少米”等所列出的方程：①（8-2x）(5-2x)=18,②x2+(x+1)+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2,③(x+6)2+72=102,它们是一元一次方程吗？是二元一次方程吗？它们又有什么特点呢？
把上述三个方程化简：①2x2-13x+11=0,②x2-7x+10=0,③x2+12x-15=0,这三个方程都能化成ax2+bx+c=0的形式，并且只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，这就是我们要学习的一元二次方程。
2．一元二次方程的概念
方程中只含一个未知数，并且未知数最高次数是二次，这样的整式方程叫一元二次方程。
下列方程是一元二次方程吗？为什么？
①2x2-3x+1=0 ②x2+y+2=3x ③
④(2x+1)2-(4x+1)(x+1)=2
任何一个关于x的一元二次方程都可化为
ax2+bx+c=0的形式（a，b，c为常数，且a≠0）。 因此我们把这种形式叫一元二次方程的
一般形式。其中ax2,bx，c分别叫二次项，一次项，常数项。a,b分别为二次项系数和一次系数。如4x2-3x-2=0中，4x2是二次项，-3x是一次项，-2为常数项，而4,-3分别是二次项、一次项的系数。
一元二次方程的项以及系数是针对方程的一般形式而言的，因此，我们在确定一元二次方程的项或系数时必须先把方程化为一般形式，然后再确定，另外，这类问题的答案并不唯一，如方程2x2-4x-6=0,x2-2x-3=0都是同一个方程的一般形式，因而依据不同形式确定的项及系数也是不同的。
3．一元二次方程的解
能够使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，这与一元一次方程，二元一次方程的解的意义一样。
检验一个未知数的值是否是一元二次方程的解的方法：将未知数的值代入方程的左，右两边，分别计算结果，再比较左右两边是否相等，如果左右两边相等，则未知数的值是原方程的解，否则就不是原方程的解。
判断方程后面的数是否是方程的解：
（1）2x2-3x+1=0 (,1) (2)x2-=0 ()
(3)(2x-1)2=3 ()
((1)x=,x=1是此方程的解。（2）x=是此方程的解，x=1不是此方程的解。
（3）x=,x=均是此方程的解。)
4．求实际问题中一元二次方程的近似解。
对于实际问题列出的一元二次方程，我们可先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体计算进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解。
[例题讲解]
例1．判断下列式子是不是关于x的一元二次方程。
下列关于x的方程（1）ax2+bx+c=0,(2)k2+5k+b=0,(3);
(4)(m2+3)x2+-2=0,(5)x2+是一元二次方程的是 （只填序号）
[解析]所谓关于“x”的一元二次方程，就是方程中只含有x为未知数，而其它的字母均理解为已知数。（1）不一定是一次方程，因为当a=0时，它不是一元二次方程；（2）中不含未知数x;(3)中x的最高指数为3，故（3）也不是一元二次方程；（4）中含一个未知数x，且其最高次数为2，其系数(m2+2)>0,故它是关于x的一元二次方程；（5）是分式方程，故它也不是一元二次方程。
解：应填（4）
[思路探究]判断一个方程是否一元二次方程，看方程是否满足以下三个条件：
（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数为2。三个条件缺一不可才是一元二次方程。
例2．求出下列方程二次项，一次项及常数项：（1）6x2=5x+2,(2)(3x-1)(x+2)=
[解析]（1）通过移项方程化成一般形式：6x2-5x-2=0,从而确定其二次项，一次项，常数项分别为 6x2,-5x,-2。（2）先把方程变形整理为一般形式：3x2+5x-=0
故二次项，一次项，常数项分别为3x2,5x,-
解：（1）把方程化成一般形式为：6x2-5x-2=0 ∴这个方程的二次项，一次项，常数项分别为6x2,-5x,-2。
（2）把方程化成一般形式为：3x2+5x-=0 ∴这个方程的二次项，一次项，常数项分别为3x2,5x,-
[思路探究]一元二次方程的二次项，一次项，常数项这三个概念都是相对一般形式而言的，求解时必须先把一元二次方程化为一般形式；此外还应注意，确定一元二次方程的项还应包括前面的符号。
例3．如图 所示，要建一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16米）并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有能围成32米长的木板，求仓库的长和宽，对于这个问题，你能列出方程吗？试着求其解来，并与同伴交流一下自己的心得。
[解析]本例中要求仓库的长与宽两个未知量，但这两个量之间有着相应的代数关系，设宽为x米，则长就为（32-2x）米，根据长方形面积为130平方米，可列出方程。
解:设仓库的宽为x米,则长应为(32-2x)米,根据题意可列方程:
x(33-2x)=130 方程整理得:2x2-33x+130=0 (2x-13)(X-10)=0
∴,x2=10 . ∵当时，33-2x=20>16（墙长16米），
∴不合题意应舍去，当x=10时，33-2x=13
∴仓库的宽为10米，长为13米。
[点拔]题中“墙长16米”这一实际条件易被忽视，从而导致长宽分别为13米，10米和20米，米的错误，因而在作答前必须检验是否符合实际问题的条件，不符合实际的应舍去。对实际问题，求出的方程的解要检验其是否符合题意，从而作出取舍。
[中考链接]
例4．关于x的一元二次方程
（a-1）x2+x+a2-1=0有一根为0,则a的值应为
A．1 B.-1 C.1或-1 D.
[解析]根据方程根的定义,将x=0代入原方程中,则原方程变为关于a的一元二次方程,求得a的值,再根据一元二次方程中,其二次项系数不能为0,从而确定a的值.
解:∵（a-1）x2+x+a2-1=0有一根为0 ∴把x=0代入方程中得:a2-1=0
∴a=±1 又∵此方程为一元二次方程 ∴a-1≠0 ∴a≠1 ∴a=-1 故选B
[思路探究]本题易忽视二次项的系数a-1≠0这一隐含条件,容易错选C,因此在本章解有关一元二次方程的题目中,若二次项系数中有字母已知数时,一定要注意到二次项系数不能为0.
[达标训练]
1.下列方程不是整式方程的是( )
A. B.0.2x2-0.4x3=0
C. D.
2.在下列方程中,一元二次方程的个数是( )
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-+4=0,
⑤x2-(+1)x+=0,⑥3x2-+6=0
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.关于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法完全正确的是( )
A.3,-5,-2 B.3,-5x,2
C.3,5x,-2 D.3,-5,2
4.一元二次方程-5x2+x-3=0,把二次项系数变为正数,且使方程的根不变的是( )
A.5x2-x+3=0 B.5x2-x-3=0
C.5x2+x-3=0 D.5x2+x+3=0
5.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0的一个根为0,则m的值为( )
A.1 B.-3 C.1和-3 D.不等于1的任何数
6.已知2y2+y-2的值为3，则4y2+2y+1值为（ ）
A．10 B.11 C.10或11 D.3或1
7.若一元二次方程ax2+bx+c=0中,二次项系数,一次项系数,常数项之和为0,则方程必有一根是( )
A.0 B.1 C.-1 D.±1
8.若b(b≠0)是方程x2+cx+b=0的根,则b+c的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
9.如图所示,在正方形的铁片上,截去2cm宽的一个长方形,余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是( )
A.81cm2 B.64cm2 C.16cm2 D.8cm2
10.方程(m+2)+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则( )
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2
11.一元二次方程的一般形式是 ,其中 是二次项,
是一次项, 是常数项.
12.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是
13.方程4x2=3x-+1的二次项是 ,一次项是 ,常数项是
14.已知关于x的方程是一元二次方程,则m=
15.已知关于x的方程x2-(2m-1)x-(2m-1)=0有一根为0,则m=
16.关于x的一元二次方程(a-1)x2+a2-1=0有一根为0,则a=
17.已知关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1,一根为-1,则a+b+c= ,
a-b+c=
18.小王在超市用24元买了某种品牌的牛奶若干盆,过一段时间再去超市,发现这种牛奶进行让利销售,每盒让利0.4元,他用24元钱比上次多买2盒,若设这种牛奶原价为每盒x元,则可列方程为 ,若设后来买了y盒,则依题意可列方程为
19.某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨,若设平均每年的增长率为x,则所列方程为
20.已知方程(x+a)(x-3)=0和方程x2-2x-3=0的解完全相同,则a=
21.已知x2+7xy-60y2=0,则=
22.若分式的值为0,则x=
23.关于x的方程(a-b)x2+ax+b=0在什么条件下是一元一次方程 在什么条件下是一元二次方程
24.关于x的方程(2m2+m-3)xm+1+5x=13能是一元二次方程吗 为什么
25.当m为何值时,关于x的方程 (m2-9)x2+(m-3)x+2m=0,(1)是一元一次方程,
(2)是一元二次方程.
26.已知关于x的方程(n-2)+3nx+3=0是一元二次方程,试求n的值并写出这个一元二次方程.
27.已知a、b、c均为有理数,试判定关于x的方程ax2-x-+b=c是不是一元二次方程,如果是,请写出二次项系数,一次项系数及常数项.
28.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1,且a、b满足等式b=-3,求方程-c=0的根.
29.一块矩形耕地大小尺寸如图所示,要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠,如果水渠的宽度相等,而且要保证余下的耕地面积为9600米2,那么水渠应挖多宽
30.已知x2-3x+2=0,试求的值.
[答案]
1．D 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.B 9.B 10.B
11.ax2+bx+c=0(a≠0) ax2 bx c 12.k≠3 13.4x2,-3x, 14.m=4
15. 16.a=-1 17.0,0 18.
19.3000(1+x)2=3630 20.1 21. 22.8
23.要使此方程为一元一次方程,则:a-b=0,a≠0 ∴a=b≠0 要使此方程为一元二次方程,则必须a-b≠0,即a≠b.
24.原方程化为:(2m2-m-3)+3x-13=0 要使此方程为一元二次方程,则必须m+1=2,解得m=1,但当m=1时,二次项系数2m2+m-3=2+1-3=0故此方程不可能为一元二次方程.
25. (1)当m2-9=0且m-3≠0时,此方程为一元二次方程,即m=-3时,此方程为一元一次方程.(2)当m2-9≠0时,即m≠±3时,此方程为一元二次方程.
26.要使这个方程是一元二次方程,则必须∣3n-4∣=2,且n-2≠0,由
∣3n-4∣=2得3n-4=2或-2 ∴n=2或 由n-2≠0得n≠2 ∴n= 当n=时,此方程是一元二次方程,此时方程为:
27.原方程化为一般形式为: ∵a为有理数 ∴≠0 故此方程一定是一元二次方程,它的二次项系数是,一次项系数是,常数项是b-c.
28．∵x=1是此方程的一个根 ∴a+b+c=0 又∵
∴a=2 b=3 ∴c=5故方程-c=0 即为-5=0 ∴y2=20 ∴y=±
29．为了研究问题的方便，分别把沿东西和南北方向挖的渠道移到一起，如图所示，设水渠的宽度为x米，则剩下可耕的长方形地的长为（162-2x）米，宽为（64-4x）米，依题意可列方程(162-2x)(64-4x)=9600 整理得x2-97x+96=0
即(x-96)(x-1)=0 ∴x=96或1 。 显然x=96时不合题意。 故x=1。
答：水渠应挖1米宽
30．方法（1）原式=
=（x-1）2-(X+1)=X2-3X ∴x2-3x+2=0 ∴x2-3x=-2 即原式值为-2
方法（2）：∵x2-3x+2=0 ∴（x-2）(x-1)=0 ∴x=2或1 但x-1≠0
∴x=2 当x=2时，原式=
2. 配方法
[重点难点]
1.会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；理解配方法,会用配方法解简单数字系数的一元二次方程.
2.能够建立一元二次方程刻画现实世界中的数量关系,增强应用数学知识的意识和能力.
3.体会转化的数学思想.
4.能根据具体实际问题检验结果的合理性.
[预习导引]
在学习了一元二次方程后,数学课王老师出示了一道解方程的题目.解方程(4x-3)2=(1-2x)2小明是这样解答的:∵(4x-3)2=(1-2x)2 ∴4x-3=1-2x∴6x=4∴x=
你觉得小明的解方程的过程正确吗 如果不正确,你觉得应如何修正 不妨大胆谈谈自己的想法与同伴交流.
[点拔]由(4x-3)2=(1-2x)2可知:4x-3与1-2x相等若互为相反数,所以4x-3=1-2x或(4x-3)+(1-2x)=0解这两个一元一次方程可得:x=或x=1,小明的解法遗漏4x-3与1-2x还能互为相反数的情况,从本例中我们体会到解一元二次方程可以把一元二次方程转化为一元一次方程来解.
[知能互动]
1.直接开平方法解一元二次方程.
对于形如x2=m或(ax+n)2=m(a≠0,m≥0)的型的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用直接开平方法求解.
X2=m的解为x=,即
(ax+n)2=m转化为ax+n=,即ax+n=,或ax+n=-,这两个一元一次方程来解.
因为负数没有平方根,所以当m<0时,x2=m或(ax+n)2=m无解
你能解下列方程吗 并结合自己解方程的过程与结果探索方程的解的情况.
① ②(3x-1)2=0 ③
(①;②;③无实根)
2.运用配方法解一元二次方程
通过配方的方法把一元二次方程转化成形如(ax+b)2=m的形式,再运用直接开平方的方法求解.
用配方法解一元二次方程的步骤如下:
(1)把方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边.
(2)根据等式的性质把二次项的系数化为1.
(3)把方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边配成一个完全平方式.
这时,方程右边如果是一个非负数,就可直接用开平方的方法求出它的解,如果方程右边是负数,则这个方程无解.
用配方法解一元二次方程比较麻烦,在解一元二次方程时一般不用配方法,这是为公式法作准备的一种方法.但在今后的学习中,配方法经常用到,因而必须正确掌握配方法的方法.
3.建立一元二次方程模型解决实际问题
回顾以前学习过的列一元一次方程解应用题的方法与步骤.你能说说如何列一元二次方程解应用题吗 与同伴交流自己的想法.
列一元二次方程解应用题步骤:
(1)审题:弄清题意,找出已知量和未知量,并分清数量关系,明确所求的量.
(2)设出未知数,根据题意,设出合适的未知数,根据所设未知数,列出有关的代数式.
(3)分析等量关系:即找到能反映全部意义的相等关系.
(4)列方程:根据等量关系列出方程。
(5)解方程
(6)检验:检验所求得的解是否符合题意,正确取舍。
(7)写出答案
在解一元一次方程时,只要题目,方程及解法正确,那么得出的根便是所列方程的根,一般也就是所解应用题的解,而一元二次方程有两个根,这些根虽然满足所列一元二次方程,但未必符合题意,因此在解完一元二次方程之后,要按题意检验这些根是否符合实际问题,作出正确取舍.
[名题探究]
例1.解下列方程:(1)4(2x-1)2-9=0 (2)9(3x-2)2=(1-2x)2
[解析](1)方程可化为,直接开平方法即可求解.(2)中方程可化为[3(3x-2)]2=(1-2x)2因而方程化转化为3(3x-2)=1-2x或3(3x-2)+(1-2x)=0两个一元一次方程求解.
解（1)原方程化为 , 开平方得:2x-1=±, 即2x-1=或2x-1=-, 所以:.
(2)原方程化为: [3(3x-2)]2=(1-2x)2 所以:3(3x-2)=1-2x或3(3x-2)+(1-2x)=0
∴.
[思路探究]形如(ax+b)2=c形的一元二次方程用直接开平方法解较简单.注意两边开平方时不要漏掉负号的情况.
例2.用配方法解下列方程
(1)2x2+4x-9=0 (2)3x2=-6+8
[解析]运用配方法解一元二次方程,先移项把含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程中的右边,再在方程左右两边同时除以二次项的系数,把二次项的系数化为”1”的形式,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,把方程化为(ax+b)2=c的形式,再用直接开平方的方法求解.
解(1)方程两边都除以2得,
移项得:x2+2x= 配方得:x2+2x+1=+1 即(x+1)2=
∴. ∴
(2)方程两边都除以3,得: 移项得:
配方得: , .
即
所以此方程的根为:.
[思路探究]配方的关键是在二次项系数为1的形式下,方程两边同时加上一次项系数一半的平方.
例3.阅读材料解答问题
为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0我们可以将x2-1视为一个整体,设x2-1=y,则(x2-1)2=y2,原方程化为y2-5y+4=0(1)解得y1=4,y2=1
当y=4时,x2-1=4, ∴x2=5 , ∴.
当y=1时,x2-1=1, ∴x2=2, ∴x=.
∴原方程的解为:.
解答问题:
(1)填空:在由原方程得到方程(1)的过程 ,利用 方法达到降次的目地,体现了 的数学思想.
(2)解方程:x4-x2-6=0
[解析]阅读理解,并运用材料中所反映的方法,结论解决问题,这是近年中考中热点题型,解答此例问题的关键是弄懂材料内容.发现材料所揭示的方法或结论.
解(1)换元, 转化, (2)设x2=y,则此方程化为:y2-y-6=0 解得:y1=3,y2=-2
又∵x2≥0 ∴y=3 , 即x2=3 . ∴. ∴原方程的根是x1=3, x2=-.
[思路探究]换元,转化的数学思想方法在很多时候是我们解决问题的有效途径.
[中考链接]
例4.某商店如果将进货为8元的商品每件10元售出,每天可销售200件,通过一段时间的摸索,该店主发现这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件,每降价0.5元,其销售量就增加10件.
(1)你能帮助店主设计一种方案,使每天的利润达到700元吗
(2)将售价定为每价多少元时,能使这天所获利润最大 最大利润是多少
[解析]本例中售价与销量之间互相关联,设每件销售价提高了x元,则每件利润为(10+x-8)=(x+2)元,每天销量减少到(200-20x)件,则每一天的利润可用代数式(x+2)(200-20x)表示,再据此建立方程或函数模型解答.
解(1)设每件商品提高x元,则每件利润为(10+x-8)=(x+2)元,每天销售量为(200-20x)件,根据题意可列方程(x+2)(200-20x)=700. 整理得:x2-8x+15=0.
解得:x1=3,x2=5. 检验知: x1=3,x2=5均符合题意. ∴把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元.
(2)设每天利润为y元,由(1)中可知:
y=(x+2)(200-20x)=-20(x2-8x-20)=-20(x2-8x+16-36)=-20(x-4)2+720
∵-20(x-4)2≤0 ∴当x=4时,-20(x-4)2+720最大,最大值为720.
即每件售价为14元时,每天所获利润最大,最大利润为720元.
[思路探究]通过配方的方法,可以求得一个二次三项式的最大值或最小值.
[达标训练]
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6 B.-0.6 C.±6 D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解为
A.x1=2 x2=-2 B.
C.x1=4 x2=-4 D.此方程无实根
3.关于x的一元二次方程2mx2-x+m2=0有一根为-1,则m的值应为
A.1,-1 B.-1 C.1 D.
4.方程(x+1)2-2=0的根是
A. B.
C. D.
5.将方程-5x2=2x+10化为二次项系数为1的一般形式是
A. B.
C. D.x2-2x-10=0
6.方程x2-a2=(x-a)2(a≠0)的根是
A.a B.0 C.1或a D.0或a
7.已知关于x的方程(m+3)x2+x+m2+2m-3=0一根为0,另一根不为0,则m的值
为
A.1 B.-3 C.1或-3 D.以上均不对
8.对于方程(ax+b)2=c下列叙述正确的是
A.不论c为何值,方程均有实数根 B.方程的根是
C.当c≥0时,方程可化为:
D.当c=0时,
9.若x2-mx+是一个完全平方式,则m=
A.1 B.-1 C.±1 D.以上均不对
10.方程(x-2)2=(3-2x)2可化为
A.x-2=3-2x B.x-2=2x-3
C.x-2=3-2x或x-2=2x-3 D.以上均不对
11.对于二次三项式2x2+4x+5的值,下列叙述正确的是
A.一定为正数 B.可为正数,也可能为负数
C.一定为负数 D.其值的符号与x值有关
12.方程x2=5的解是 ,方程(x-1)2=5的解是 ,方程(3x-1)2=5的解是
13.① =(x- )2 ② =(x+ )2
14.若(2x-1)2=1-m有实数解,则∣m-1∣=
15.一小球以15米/秒的速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(米)与时间t(秒)满足关系式:h=15t-5t2,当t= 秒时,小球高度为10米,小球所能达到的最大高度为 米.
16.已知(x2+y2-2)(x2+y2)=3,则x2+y2= .
17.若a2+b2+a-2b+=0 ,则=________________.
18.将方程化成二次项系数为1的一般形式,则一次项系数是__________,常数项是_______________.
19.方程(3x-1)2=(2-x)2的根是_______________.
20.某种手表的成本在两年内以100元降低到81元,那么平均每年降低成本的百分率是_____________.
21.解下列方程:
①5x2-40=0 ②(x+1)2-9=0
③(2x+4)2-16=0 ④9(x-3)2-49=0
⑤(3x-)2=27 ⑥x2-4x+4=0
22.把下列方程化为(x+m)2=n的形式.
①x2+4x=21 ②t2-2=2t
③2x2+3x=1 ④4y2-16y=7
23.你能用配方法解下列方程吗 试试看.
①x2-2=4x ②x2+x+=0
③3x2-2=4x ④2x2-4x+1=0
24.在矩形的场地的中央修建一个正方形花坛,花坛四周的面积与花坛面积相等,如果场地的长比花坛的边长多6米,场地的宽比花坛多4米,求矩形场地的长与宽及正方形花坛的边长.
25.一建筑工地要用木栏围出一片长方形的安全地带,如图所示,安全区一边靠着建筑物,现有木栏长400米.
(1)围出的安全区面积能到达19200平方米吗 能达到20000平方米吗 如果能请给出设计方案;如果不能请说明理由.
(2)你能设计出一种方案,使围出的安全区面积最大吗 与同伴交流一下自己的设计方案.
26.若方程(2x-1)2=a有两不等的实数根,(2x-1)2=b有两相等的实根， (2x-1)2=c无实根.试比较a、b、c三数的大小.
27.设a、b为实数,求a2+2ab+b2-4b+5的最小值,并求此时a与b的值.
28.如图,一个长为15米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的距离为12米,如果梯子的顶端下滑了1米,那么梯子的底端也向后滑动1米吗 试列出方程解答此问题,并论证前面的结论.
答案提示
1.D 2.D 3.C 4.D 5.A 6.A 7.A 8.C 9.C 10.C 11.A 12.;
13. 14.1-m 15.1或2 16.3 17.-3 18.-, 19. 20.10%
21.解（1)5x2=40， x2=8， x=， x1= x2=。
(2)(x+1)2=9， x+1=， x+1=±3 ， x1=2 ， x2=-4。
(3)(2x+4)2=16 2x+4=±4 x1=0 x2=-4
(4)9(x-3)2=49， (x-3)2=， x-3=± ， 。
(5)，。 。
(6)(x-2)2=0， x-2=0， x1=x2=0
22.解(1)x2+4x+22=21+22 即(x+2)2=25。
(2)t2-=2 即
(3)2x2+3x=1 即
(4)y2-4y= ， y2-4y+22=+4， 即。
23.解(1)x2+2x=5 x2+2x+1=6 (x+1)2=6 ，
∴。
(2) ∴ ∴
(3)3x2-4x=2
(4)2x2-4x=-1 ， x2-2x=， x2-2x+1=， . ，。
24.解:设正方形的花坛边长为x米,则矩形场地的长为(x+6)米,宽为(x+4)米,依据题意可列方程(x+6)(x+4)=2x2 方程整理为:x2-10x-24=0 x2-10x=24 x2-10x+25=49， (x-5)2=49， x-5=±7， ∴x1=12,x2=-2。 而x2=-2不符合题意应舍去。
∴x=12 ∴x+6=18 x+4=16。
答:矩形场地长为18米,宽为16米,正方形的花坛边长为12米.
25.解1)设围出的安全区宽为x米,则长为(400-2x)米,则安全区的面积为x(400-2x) 当x(400-2x)=19200时,即x2-200x+9600=0 解之:x1=80,x2=120 故有两种方案,当长为240米,宽为80米或长为160米宽为120米,安全区的面积将达到19200平方米. 当x(400-2x)=20000时,即x2-200x+10000=0 解之:x=100 即当宽为100米,长为200米时,安全区的面积为20000平方米.
(2)安全区面积S=x(400-2x)=-2x2+400x=-2(x2-200x)=-2[(x2-200x+1002)]
=-2(x-100)2+20000 所以当宽为100米,长为200米时,安全区面积达到最大值为20000米.
26.解:根据题意有:a>0,b=0,c<0, ∴a>b>c
27.解:a2+2ab+2b2-4b+5=(a2+2ab+b2)+b2-4b+4+1=(a+b)2+(b-2)2+1 ∴当a+b=0,
b-2=0时,原式有最小值, 即当a=-2,b=2时,原式有最小值1
28.解:设梯子的下端向后滑动x米,根据题意可列方程(12-1)2+(9+x)2=152 即
(x+9)2=104 ∴ 而不符合题意应舍去， ∴。 即梯子的下端向后滑动米,故此结论不成立.
3 公式法
重点难点
1．能够推导出一元二次方程的求根公式。
2．会用公式法解简单系数的一元二次方程。
[预习导引]
方华在学习了一元二次方程及其解法就思考：一个一元二次方程是由其各项的系数确定的，那么它们的解肯定与其系数有关系，于是他写出了二个一元二次方程（1）x2-3x-4=0（2）3x2-4x+1=0并分别求出它们的解：方程（1）的解为x1=4,x2=-1,方程（2）的解为x1=,x2=1.通过尝试他发现：方程（1）中，x1+x2=3=,x1x2=-4=;在方程（2）中也有：x1+x2=,x1x2=
于是他就猜测，对于一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,则，
你认为方华的对于一元二次方程两个根与方程系数关系的猜测正确吗？能运用前面学习过的有关一元二次方程知识帮助方华证明吗？不妨与同伴交流一下。
[点拔]方华同学从两个特殊的方程猜测归纳出一元二次方程根与系数的关系，这种思考问题的方法是数学中一种常见的方法。至于方华的这种猜想是否正确，通过后面学习，大家自然就知道了。
[知能互动]
1．求根公式的推导
推导求根公式的过程，实际上就是运用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
∵a≠0 ∴可以把方程两边同时除以二次项的系数a，得： 移项得：
配方得：
即∵a≠0 ∴4a2>0 ∴当b2-4ac≥0时，两边开方得：即
∴
这样就得到了一元二次方程的求根公式。对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时，它的根为。
2．运用求根公式解一元二次方程。
因为任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式，由求根公式表示式可知，它的根由系数a,b,c确定，因此求根时，只需将方程各项的系数分别代入公式即可求出方程的解。
对于任何一个一元二次方程并不是都有实数根。因此在运用求根公式之前，应先求b2-4ac，当b2-4ac≥0时可继续把根求出；当b2-4ac<0时，由于负数没有平方根，所以方程无解，这时不必代入公式求解了。
运用公式解一元二次方程的步骤：
（1）将方程化为一元二次方程一般形式。
（2）确定a、b、c的值。
（3）求出b2-4ac的值,确定方程是否有实根.
（4）代入求根公式求根。
3．选择合适的方法解一元二次方程。
前面学习了用直接开平方法，配方法，公式法解一元二次方程。直接开平方法只能解左边是含未知数的平方式，右边是一个非负数的方程;而公式法是由配方法推导出来的，它比配方法简单，所以选用适当的方法解方程，首先要看方程是含符合直接开平方法的条件，符合条件的就用直接开平方法来解，其它的时候用公式法。
例如：方程(2x+1)2-5=0宜用 求解
方程2x2+5(2x+1)=0 求解
（直接开平方法，公式法）
[名题探究]
例1．运用求根公式解下列方程：
（1）5x2=3x (2)x2-+2=0 (3)(y-1)(y+3)+5=0
[解析]运用公式法解一元二次方程应先把一元二次方程化为一般形式，正确确定a、b、c的值；计算出b2-4ac的值再代入公式求解。（1）中应注意到常数项 c=0
解：（1）移项得：5x2-3x=0, ∵a=5,b=-3,c=0, ∴b2-4ac=(-3)2-4×5×0=9>0.
∴。 ∴, x2=0。
(2)这里a=1,b=,c=2 ∴b2-4ac=（）2-4×1×2=0
∴。 ∴。
（3）方程化为一般形式为：y2+2y+2=0. ∵a=1,b=2,c=2, ∴b2-4ac=22-4×1×2=-4<0。
∴此方程无实根。
[思路探究]一元二次方程的根可以会出现三种情况：有两不等实根，有两相等实根，无实根。
例2．选择适当的方法解下列方程。
（1）4(3x-2)2=36 (2)3x2+5(2x+1)=0
[解析]方程（1）变形为(3x-2)2=9,根据其特点选择用直接开平方法解。方程无其它这特殊性，故选择用公式法解。
解：（1）将原方程化为(3x-2)2=9，两边直接开平方得：3x-2=±3, ∴。
(2)将原方程整理得：3x2+10x+5=0, ∵a=3,b=10,c=5, ∴b2-4ac=102-4×3×5=40>0。
∴。 ∴。
[思路探究]结合不同问题的特点，选择适当的方法求解，是煅炼思维灵活性的有效途径，选择的标准是使解答过程简便。
例3．已知一个直角三角形的两直角边的长恰当方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是
A. B.3 C.6 D.9
[解析]解答本题,关键是正确求出方程的两根,即得直角三角形的两直角边,然后利用勾股定理求解.
解：∵a=2,b=-8,c=7 ∴b2-4ac=(-8)2-4×2×7=8>0
∴ ∴
∴斜边长为 故选B
[思路探究]通过解方程求解是本例的一种解法,在以后的学习中,我们还可以运用根与系数的关系求解.
[中考链接]
例4.先从括号内①②③④备选项中选出合适的一项,填在横线上,将题目补充完整后再解答.
(1)如果a是关于x的方程x2+bx+a=0的根,并且a≠0,求 的值.
(①ab ② ③a+b ④a-b)
(2)已知7x2+5y2=12xy,并且xy≠0,求 的值.
(①xy ② ③x+y ④x-y
[解析](1)把x=a代入方程x2+bx+a=0中,得到a2+ab+a=0,因为a≠0,所以a+b+1=0,即a+b=-1因此可以求出a+b的值;(2)7x2+5y2=12xy可变为7x2-12xy+5y2=0,因而可求得x与y之间的关系,从而能确定求出哪一个式子的值.
[思路探究]留空回填，完善试题，是近年中考试题的创新亮点处。解答这类问题应着眼于题设条件，通过推导分析等，看从中能推出何种结果。
[达标训练]
1．方程2x(x-3)=5(x-3)的根为
A. B.x=3 C. D.
2.若代数式4x2-2x-5与2x2+1的值互为相反数,则x的值为
A.1或 B.1或 C.-1或 D.1或
3.利用求根公式求的根时,a,b,c的值分别是
A.5, ,6 B.5,6, C.5,-6, D.5,-6,-
4.方程(x-1)(x-5)=1的两个根等于
A.x1=5,x2-1 B.x1=6,x2=2
C.x1= D.
5.对于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列叙述正确的是
A.方程总有两个实数根
B.只有当b2-4ac≥0时,才有两实根
C.当b2-4ac<0时,方程只有一个实根
D.当b2-4ac=0时,方程无实根
6.如果分式的值为0,则x值为
A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-3
7.一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数,则这个直角三角形三边的长分别是
A.2、4、6 B.4、6、8 C.6、8、10 D.3、4、5
8.已知关于x的一元二次方程的一个根是0,则m的值为
A. B. C. D.不能求出
9.已知三角形两边长分别是1和2,第三边的长为2x2-5x+3=0的根,则这个三角形的周长是
A.4 B. C.4或 D.不存在
10.已知x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则△=b2-4ac与M=（2ax0+b2）的关系是
A.△>M B.△=M C.△11.把化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式后,则a= ,b= ,c=
12.当x= 时,既是最简根式又是同类根式.
13.请写出一个一元二次方程,使其一根为-1,你写的方程是
14.若分式的值为0,则x=
15.已知(x2+y2+1)2=4,则x2+y2=
16.方程x2=|x|的根是
17.解方程,有一位同学解答如下:
解:这里a=,b=,c= ∴b2-4ac=(-
∴
∴
请你分析以上解答有无错误,如有错误,指出错误的地方,并写出正确的结果.
18.用适当的方法解下列方程:
(1) (2)
(3)(y-3)2-18=0 (4)
19.一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,有人统计一共握了210次手,你能根据上述提供的信息求出参加此次会议的有多少人吗
20.要建一个面积为150m2的长方形养猪场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一堵墙,墙长为a米,另三边用竹篱笆围成,如果篱笆长为35米
(1)你能求出鸡场的长与宽吗 试试看.
(2)题中的墙的长度a对解题有什么作用.
答案提示
1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.B 10.B 11.1,
12.-5 13.答案不唯一:如x2+3x+2=0等 14.x=-2 15.1 16.x1=0,x2=1,x3=-1
17.这位同学的解答过程中有错误,利用公式法解一元二次方程时,确定a、b、c的值应先把一元二次方程化成一般形式,再正确确定a、b、c的值,正确的解答过程是:原方程整理为,这里,
∴
∴=
∴
18.解(略)
19．设参加会议的有x人，则每个人与除自己以外的(x-1) 人均握一次手，而握手又是相互的，故共握手x(x-1)/2次，因而可列方程： ∴x2-x-420=0 解得：x1=21,x2=-20
但x2=-20不符合题意，故x=21 答：参加会议的有21人
20．解（1）设鸡场的宽为x米，则长为(35-2x)米，则根据题意可列方程：x(35-2x)=150
∴2x2-35x+150=0 解之x1=,x2=10 当x1=时，35-2x=20,当x=10时35-2x=15
即：鸡场的长为20米，宽为米或长为15米，宽为10米。
（2）题中墙的长度a可作为判断方程的根是否符合题意的依据。
4 分解因式法
[本节必学]
1.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.
2.会用分解因式法(提取公因式法,公式法)解某些简单系数的一元二次方程.
[预习导引]
对于方程3(x-2)2=2-x,张明的解法如下:
解:方程整理得:3(x-2)2=-(x-2)
方程两边同时除以(x-2)得:3(x-2)=-1
去括号得:3x-6=-1
移项并合并同类项得,3x=5 ∴
你认为张明解方程的过程有错误吗 如果有,请指出错在哪一步 并说明错误的原因.你能解这个方程吗 并与同伴交流自己的心得.
[点拔]张明在解方程的过程中,在方程两边同时除以一个含有未知数的代数式(x-2),这样得到的方程与原方程不一定是同解方程.因为含有未知数的代数式的值可能是0,这时变形的过程就是在方程左右两边同时除以0了,正确的解法应是:3(x-2)2+(x-2)=0,∴(x-2)[3(x-2)+1]=0 ∴(x-2)(3x-5)=0 ∴x-2=0或3x-5=0 ∴x1=2,x2=.这也就是本节学习的一元二次方程的一种解法——分解因式法.
[知能互动]
1.因式分解法解一元二次方程的根据:
如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,反过来,如果两个因式中有一个因式为0那么它们之积为0.
例如:(2x-1)(3-x)=0,则2x-1=0或3-x=0
(2-7x)(5x-3)=0,则 或
(2-7x=0 5x-3=0)
2.因式分解法解一元二次方程的方法及步骤:
解方程或方程组的思想方法是:消元和降次,解一元二次方程不存在消元的问题,而是需要降次,将二次转化为一次,因式分解法能帮助我们实现这一目标.用因式分解法解一元二次方程,一定要把方程化为右边为0,而左边为两个关于未知数的一次因式之积的形式.例如:一元二次方程(2x-1)(3x-)=0可转化为 , 两个一元一次方程.如方程(2x-1)(3x-)=2化为2x-1=1或是错误的.
分解因式法解一元二次方程的步骤为:
(1)将方程的右边化为0;
(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积;
(3)令每个因式为0,得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程得原方程的解.
(2x-1=0,3x-=0)
3.选择适当的方法解一元二次方程.
根据方程的不同特点,选择合适的方法解方程,可以使计算简便,效率提高.
选择解法的思路是:先特殊后一般.选择解法的顺序是:直接开平方法—因式分解法—公式法或配方法.
配方法是普遍适用的方法,但不够简便,一般不常用.不过对于二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要简单些.
[名题探究]
例1.用因式分解法解下列方程:
(1)(2x-1)2+3(1-2x)=0 (2)(1-3x)2=16(2x+3)2 (3)x2+6x-7=0
[解析](1)经过变形可以用提取公因式法;(2)经过变形可以用平方差公式分解法因式;(3)方程为一般形式,尝试用十字相乘法.
解;(1)原方程变形为：(2x-1)2-3(2x-1)=0 (2x-1)[(2x-1)-3]=0 ，
∴2x-1=0或(2x-1)-3=0。 ∴x1= x2=2。
(2)原方程变形为(1-3x)2-[4(2x+3)]2=0，
∴[(1-3x)+4(2x+3)][(1-3x)-4(2x-3)]=0
即(13+5x)(11x+11)=0 ∴ x2=-1
(3)原方程化为（x-7）(x+1)=0 ∴x1=7 x2=-1
[思路探究]用因式分解法解一元二次方程,关键是把方程化为左边为关于未知数的一次因式之积,右边为0的形式.
例2:用适当的方法解一元二次方程
(1)(2x-3)2=9(2x+3)2 (2)x2-8x+6=0
(3)(x+2)(x-1)=10 (4)2x2-5x-2=0
[解析](1)方程两边为完全平方式,可以移项使方程一边为0,另一边用平方差公式分解因式,因而可用因式分解法来解,但运用直接开平方法解更简便.(2)方程是一般形式,且不易用因式分解法解,可以考虑用公式法解,但此题的二次项系数为1,一次项系数为偶数,用配方法解更简便.(3)不经过变形,无”法”可解,先将其化为一般形式,再观察其特征选择解法.(4)不宜用直接开平方法,因式分解法,就用公式法求解.
解(1)方程两边开平方,得:2x-3=±3(2x+3) 2x-3=3(2x+3)或2x-3=-3(2x+3)
解这两个一元一次方程得,x1=-3,x2=。
(2)移项得:x2-8x=-6 配方得:x2-8x+16=-6+16 (x-4)2=10 x-4=±
x-4=± 或x-4= ∴x1= x2= －
(3)将原方程化为一般形式,得x2+x－12=0， (x-3)(x+4)=0， x-3+0或x+4=0，
∴x1=3或x2=-4。
(4)将方程化为一般形式,得:2x2-5x-2=0 ∴b2-4ac=(-5)2-4×2×(-2)=41。
x= ∴ 。
[思路探究]在解一元二次方程时，若方程不是一般形式，不要首先把它化为一般形式，而要观察其是否能直接开平方或因式分解法解答，若不能直接采用某种方法，就将其化为一般形式，尝试用因式分解法求解，若不易分解的考虑用公式法求解，配方法最麻烦，除系数非常特殊外，一般不采用此法。
例3．解方程(4x-1)2-3(1-4x)-4=0
[解析]本例有三种解法：（1）先化为一般形式求解；（2）将方程化为(4x－1)2+3(4x－1)-4=0,再令4x－1=y,使原方程化为y2+3y－4=0;（3）将(4x－1)看作一个整体，则(4x—1)2+3(4x－1)－4=0可以看作是关于(4x－1)的方程。
解法一：原方程化为(4x－1)2+3(4x－1)-4=0，令4x-1=y，则方程化为y2+3y-4=0
∴(y+4)(y-1)=0 ∴y1=-4 y2=1 当y1=-4时，4x-1=-4 ∴
当y2=1时，4x-1=1 ∴
解法二：原方程化为(4x－1)2+3(4x－1)-4=0
[（4x-1）+4][(4x-1)-1]=0 ∴4x-1+4=0或4x-1-1=0 ∴
解法三：原方程化为8x2+2x-3=0 (4x+3)(2x-1)=0 ∴
[思路探究]一题多解，培养思维灵活性。结合方程的特征，从不同的思考问题角度出发就是不同的解法。
[中考链接]
例4．阅读下题的解答过程，请判断是否有错？若有错误，请给出正确解答。
已知m是关于x的一元二次方程mx2-2x+m=0的一个根，求m的值。
解：把m代入原方程，化简得m3=m，两边同除以m，得m2=1,∴m=1,把m=1代入方程，检验知m=1符合题意。
[解析]本例的解法中出现了两处错误：（1）方程两边同时除以含未知数的整式；（2）开平方时遗失了负的平方根。
解：正确的解法是：把x=m代入原方程，得m3-m=0,即m(m+1)(m-1)=0 ∴m1=0,m2=-1,m3=1。
又∵方程mx2-2x+m=0为一元二次方程, ∴m≠0 ∴m=1或-1。
[达标训练]
1.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)的最适当的方法是
A直接开平方法 B.配方法
C.公式法 D.因式分解法
2.方程的根是
A.x=1 B. C. D.以上均不对
3.若要使2x2-3x-5的值等于4-6x的值,则x应为
A. B. C. D
4.若(a2+b2)(a2+b2-2)=8,则a2+b2=
A.-2 B.4 C.4或-2 D.-4或2
5.若方程x2+ax-2a=0的一根为1,则a的取值和方程的另一根分别是
A.1,-2 B.-1,2 C.1,2 D.-1,-2
6.若a、b、c为三角形ABC的三边,且a、b、c满足(a-b)(a-c)=0,则△ABC为 三角形.
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或等边三角形
7.一元二次方程x2-3x-1=0与x2-x+3=0的所有实数根之和为
A.2 B.-4 C.4 D.3
8.对方程(1)(2x-1)2=5,(2)x2-x-1=0,(3)选择合适的解法是
A.分解因式法、公式法、分解因式法
B.直接开平方法、公式法、分解因式法
C.公式法、配方法、公式法
D.直接开平方法、配方法、公式法
9.若则x的值为
A.2 B.2或 C. D.以上均不对
10.若x2-5∣x∣+4=0,则所有x值的和是
A．1 B.4 C.0 D.1或4
11.一元二次方程当一边是 ,而另一边是 时,方程就可以用因式分解法来解.
12.方程的根是
方程(x-2)2=2-x的根是 ；方程(x-5)(x+2)=9的根是 。
13.方程(2y+1)2+3(2y+1)+2=0的解是 ,当x= 时,分式没有意义。
14．已知方程x2-x-m=0有整数根，则整数m= 。(填上一个你认为正确的答案)
15．已知3x2y2-xy-2=0，则x与y之积等于
16．关于x的一元二次方程(m+2)x2+x-m2-5m-6=0有一根为0，则m= 。
17．方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1,x2，且x1>x2,则x1-2x2的值是 。
18．方程x2=∣x∣的解是 。
19．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2,则此长方形的周长为
20．有一间长20米，宽15米的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的 ，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为
21.选用适当的方法解下列方程:
(1)(3-x)2+x2=9 (2)(2x-1)2+(1-2x)-6=0
(3)(3x-1)2=4(1-x)2 (4)(x-1)2=(1-x)
22.解下列关于x的方程:
(1)x2+(1+2)x+3+=0 (2)x2-3|x|-4=0
(3)(x-3)2+(x+4)2-(x-5)2=17x+24
23．已知c的定数，并且x2-3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x-c=0的一个根，你能求出方程x2+3x-c=0的根和C 的值吗？
24．方程(2002x)2-2001×2003x-1=0较大根为a,方程x2-2002x-2003=0的较小根为b,求(a+b)2003的值.
25.已知等腰三角形两边长分别是x2-8x+15=0的两根，求此等腰三角形的周长。
26．已知是方程x2-4x+C=0的一个根，求方程的另一个根及C的值。
27．我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根x1,x2,则, ，则x1+x2= ,
x1x2= .
请运用上面你发现的结论,解答问题:
已知x1,x2是方程x2-x-1=0的两根,不解方程求下列式子的值:①x12+x22,②,③(x1+1)(x2+1).
答案提示
1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.C 7.C 8.B 9.C 10.C
11.两个关于未知数的一次因式之积,0
12.;x1=2,x2=1;x1=6,x2=-3 13.y1=-1,;1或-3 14.-2(答案不唯一) 15. 16.-3 17.0 18.x1=0,x2=1,x3=-1 19.12cm2 20.5米
21.解 (1) (1)(3-x)2+x2=9,移项得:(3-x)2+x2-9=0
(x-3)2+(x+3)(x-3)=0, (x-3)[(x-3)+(x+3)]=0,
x(x-3)=0, 所以 x1=0,x2=3
(2)(2x-1)2+(1-2x)-6=0,(2x-1)2-(2x-1)-6=0
(2x-1-3)(2x-1+2)=0,(2x-4)(2x+1)=0
所以x1=2,x2=-
(3)(3x-1)2=4(1-x)2, (3x-1)2-[2(1-x)]2=0,
[(3x-1)+2(1-x)][(3x-1)-2(1-x)]=0,即(x+1)(5x-3)=0
所以 x1=-1,x2=.
(4)(x-1)2=(1-x), (x-1)2+(x-1)=0,
(x-1)( x-+1)=0 所以x1=1,x2=
22.解:(1) x2+(1+2)x+3+=0 ,(x+)( x++1)=0
所以x1=-,x2=--1.
(2)x2-3|x|-4=0,所以|x|2-3|x|-4=0,
所以(|x|-4)(|x|+1)=0,又因为|x|+1>0,
所以|x|-4=0,所以|x|=4,所以x1=4,x2=-4
(3)(x-3)2+(x+4)2-(x-5)2=17x+24
所以x2-5x-24=0,所以(x-8)(x+3)=0,
所以x1=8,x2=-3.
23.解:设方程x2-3x+C=0的一个根为a,则-a是x2+3x-a=0的一个根,由题意得:
由(2)-(1)得C=0,当C=0 时,x2-3x+C=0变为x2-3x=0 ∴x1=0,x2=3
25.解:∵x2-8x+15=0 ∴(x-3)(x-5)=0 ∴x1=3，x2=5，即这个等腰三角形两边长为3，5.
当腰长为3时，底边为5，则周长为11; 当腰长为5时，底边为3，则周长为13.
26．解：当时，，∴,∴c=-1. ∴原方程为:x2-4x+1=0.
∴ ∴除以外的另一根为
27． 根据结论有：x1+x2=1,x1x2=-1
∴(x1+x2)2-2x1x2=1-2×(-1)=3
(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-1+1+1=1.
2.5为什么是0.618
[本节必学]
1.经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解实际问题的重要性.
2.通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题,解决问题的能力.
[预习导引]
在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下:
试题:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元
解:设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为(40-x)元,但每天可多销出2x件,每天可卖(20+2 x)件,根据题意可列方程:
(40-x)(20+2x)=1200 方程化简整理为:x2-30x+200=0 解得:x1=20 x2=10
答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元.
当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢 你能帮赵亮同学找找原因吗 与同伴交流自己的想法.
[点拔]当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元,因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题,不能漏掉任何一个条件.
[知能互动]
1.列一元二次方程解应用题的特点:
一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可用算术方程解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法求解.
由于一元二次方程的次数为二次,所以其应用相当广泛,其中面积问题,两次增长的平均增率和储蓄问题,经营问题,数字问题中涉及到积的一些问题,都是代表类型.
(1)数字问题:要能正确地表示诸如多位数,奇偶数,连续整数的形式.
如:一个三位数abc可表示为
连续两个偶数可表示为
连续两个整数可表示为
这类问题常常间接设未知数,相等关系由题目的关键语句”译”出.
(2)平均增长率(增长率或降低常)问题;在此例问题中,一般有变化前的基数(a),增长率(x)变化的次数(n),变化后的基数(b),这四者之间的关系可用公式___________ 表示.
这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语”译”出.
(3)经营问题,这也是近年来中考中出现频率高的应用问题.
在这类问题中有进价(a)售价(b)利润(p)件数(n)等相关的量.这些量之间的关系可用公
式 表示,同时件数(n)又经常与售价(b)关联,在解答此类问题时,一定要准确地找到反映它们关系的代数式.
(4)其它问题,在近年的中考中,常常出现一些贴进生活,生产的实际问题,如:规划、方案设计、测量统计、几何应用,与物理及其它学科之间的渗透的问题等.解答这些问题时,等量关系一般从已知公式或题目中的关键词句”译”出.
(1.(1)100a+10b+c 2n 2n+2 n n+1 (2)a(1+x)n=b (3)p=(b-a)n)
2.列一元二次方程解应用题的一般步骤:
和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的步骤可归纳为”审,设,列,解,答”.
(1)审:认真审题,分析题意,弄清已知和未知,寻找相等关系;
(2)设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数.到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出方程为准则.
(3)列:就是根据题目中的已知量与未知量之间的相等关系列出方程.
(4)解:就是求出所列方程的解.
(5)答:就是书写答案,在答之前应对解得的方程
的解进行检验,舍去不符合实际意义的解.
3.如何探求应用问题中的等量关系.
列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量关系.如何迅速地探求出相等关系列出方案呢
(1)要正确熟练地作语言与式子的互化.
(2)充分运用题目中所给的条件.
(3)要善于发现利用间接的,潜在的等量关系.
(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找相等关系.
①利用题目中的关键语句作为相等关系.
②利用公式、定理作为等量关系.
③从生活、生产实际经验中发现等量关系.
[名题探究]
例1.已知一直角三角形三边长为三个连续偶数,试求这个直角三角形三边长及面积.
[命题意图]本例考查列一元二次方程解答有关的数字问题.
[解析]用含未知数的代数式表示出三个连续的偶数,再根据勾股定理列出方程求解.
解:设直角三角形三边长分别为n,n+2,n+4,(n为偶数)根据题意可列方程:n2+(n+2)2=(n+4)2。
化简,整理,得:n2-4n-12=0 解得: n1=6,n2=-2 由于三角形的边长不能为负数,所以取n=6
∴n+2=8,n+4=10 即,两直角边为6,8,斜边为10. 三角形面积为.
答:直角三角形三边长为6,8,10,面积为24.
[思路探究]几何中的定理是我们列方程的等量关系的重要来源.
例2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为12万元,求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少
[命题意图]本题主要考查平均增长率问题.
[解析]本例属于平均增长率问题,若设平均增长率为x,则今年的投资额为2(x+1)万元,明年的投资额为2(x+1)2万元,由今明两年的投资总额为12万元可列方程.
解:设这两年在实验器材投资上的平均增长率为x,根据题意可列方程:2(1+x)+2(1+x)2=12化简整理得:x2+3x-4=0 解这个方程得:x1=1,x2=-4(负值不合题意,应舍去)
答:该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为100%.
[思路探究]在本例中,12万元是两年的投资总额,不是最后一年的投资额,不能错误地列出方程2(1+x)2=12;另外在解这个方程时,还可把(1+x)当作一个整体,用换元法解.
例3.如图2-5-1所示,△ABC中,∠B=90°,点P从A 点开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,经几秒钟,使△PDQ的面积等于8厘米2
(2)如果P,Q,分别从A,B同时出发,并且P到B点又继续在BC边上前进,Q点到达C点后又继续在CA边上前进,经过几秒钟,使△PCQ的面积等于12.6厘米2
[命题意图]本例主要考查一元二次方程知识与几何知识的综合运用,培养学生分析问题解决问题的能力. 图2-5-1
[解析]先用含未知数的代数式表示出三角形的底和高,再根据三角形的面积公式列方程.
解(1)如图2-5-1所示,设经过x秒,使得△PBQ的面积为8厘米2,则PB的长度为(6-x)cm,BQ的长度为2xcm,根据题意可列方程得:， 解之得:x1=2,x2=4 经过 2秒,点P到离B点4cm处,点Q到离B点的4cm处；经过4秒，点P距离B点2cm处,点Q到距离B点8cm处.即经过2秒或4秒,△PBQ面积为8cm2.
(2)设经过y秒,点P移到BC上,且有CP=(14-y) cm,点Q移到CA上,且有CQ=(2y-8) cm,作PD⊥AC于D.(如图2-5-1)
AC=由△CPD∽△CAB得 ∴PD=.
根据题意可列方程：
解这个方程得：y1=7,y2=11 当y=7时，点P在BC上距C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使△PCQ面积为12.62。
当y=11时，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，14>10，点Q已不在CA上，即此解不存在 ∴y=7
即经过7秒钟，△PCQ的面积为12.6厘米2.
[思路探究]象本例这一类动点问题一般要考查代数知识与几何知识的综合运用.解题的关键是要有动态观点,弄清点的运动特征.动态问题,作静态分析,分类讨论,列出方程.
例4.某儿童玩具商店将进货价为30元的一种玩具以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:这种玩具售价每上涨1元,其销售量将减少10个,为了实现平均每月12000元的销售利润,这种玩具的售价应定为多少 这时进这种玩具多少个
[命题意图]本例考查经营销售问题.
[解析]设每玩具涨价x元,则售价为(40-x)元,每一只玩具的利润为(40+x-30)元,销售的件数为(600-10x)件,根据总利润为12000元列出方程.
[思路探究]每一只玩具利润和销售总量均与上涨的价格有关,因而设上涨的价格为未知数较合适,用含未知数的代数式表示每一只玩具的利润和销售量.
[中考链接]
例5.(2002,河北,10分,限时10分钟)
某农户1988年承包荒山若干亩,投资7800元改造后种果树2000棵,其成活率为90%,在2001年夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果,称得重量如下(单位:千克):8,9,12,13,8,9,10,11,12,8
(1)根据样本平均数估计该农户2001年水果的总产量是多少
(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售1.1元,该农户用农用车将水果拉到市场出售,平均每天出售1000千克,需8人帮助,每人每天付工资25元,若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果,选择哪 种出售方式合理 为什么
(3)该农户加强果园管理,力争到2003年三年合计纯收入达57000元,求2002年,2003年平均每年增长率是多少
[命题意图]本例考查平均数意义及应用,方案的选择,平均增长率等知识.
[解析](1)中由样本平均数估计出总体平均数,进而估计出2001年水果的总产量,(2)通过计算,比较哪种销售方式所获收入多,(3)根据2001,2002,2003年纯收入的和为57000元,列方程求解.
解(1)(千克)
∴2001年水果总产量为2000×90%×10=18000(千克)
(2)在果园出售时收入为1.1×18000=19800元
送到市场销售收入为23400元,用人工费为3600元,实际收入19800元,因市场销售还有运输费等费用,故在果园出售合理.
(3)设平均每年的增长率为x,根据题意可列方程:(19800-7800)[1+(1+x)+(1+x)2]=57000
解得:x1=-3.5(不合题意,应舍去)x2=0.5=50%
答(1)2001年的水果总产量为18000千克.(2)在果园销售合算.(3)年平均增长率为50%.
[达标训练]
(一)基础知识
1.某商品两次价格下调后,单价从5元变为4.05元,则平均每次调价的百分率为
A.9% B.10% C.11% D.12%
2.容器里装满纯酒精,倒出一半后用水加满,再倒出,再用水加满,此时容器内酒精浓度为
A.15% B.12.5% C.37.5% D.25%
3.某超市一月份的营业额为200万元,一,二,三月份的营业额为1000万元,设平均每月的营业额为增长率为x,则由题意列方程为
A.200+200×2x=1000 B.200(1+x)2=1000
C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
4.从正方形的铁片上,截去5cm宽的一个长方形铁皮,余下的面积为84cm2,则原来正方形面积最大可能为 cm2.
A.84 B.109 C.144 D.420
5.一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调下得到一个两位数,这两个数之积是2296,则这个两位数为
A.28 B.82 C.28或82 D.不确定
6.元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则这个小组共有 人.
A.11 B.12 C.13 D.14
7.北京市政府为迎接2008年奥运会,决定改善城市面貌,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均每年绿地面积的增长率是
A.19% B.20% C.21% D.25%
8.两个连续奇数的平方和为202,则这两个奇数是
9.直角三角形的面积为6,两直角边的和为7,则斜边长为
10.某工厂第一季度平均每月增产10%,一月份产值a元,那么三月份产值为
11.一块耕地大小尺寸如图所示,要在这块耕地上沿东西和南北方向分别挖二条和四条水渠,如果水渠的宽相等,而且要保证余下的可耕地面积为9600平方米,那么水渠应挖多宽
12.某网络公司2000年各项经营收入中,经营电脑配件收入600万元,占全部经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入达到2160万元,且计划从2000到2002年每年经营总收入的年增长率相同,问2001年的预计经营总收入为多少万元
13.用篱笆围成一个长方形花坛,其中一面靠墙,且在与墙平行的一边开一个2米宽的门,现有能围成91米长的篱笆,墙长为50米,花坛的面积要达到1080平方米,你能设计出符合要求的方案吗 不妨试试看.
14.据2001年中国环境状况公报,我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里,其中风蚀造成水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里.(1)问水蚀,风蚀造成的水土流失面积各是多少平方公里 (2)西北某省重视水土流失问题,2001年治理了水土流失面积400平方公里,该省逐年加大治理力度,计划今明两年治理水土流失面积都比前一年增长 一个相同的百分数,到2003年底,使这三年治理水土流失面积达到1324平方公里,求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数.
15.某玩具厂生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元),售价为每只P(元),且R,P与x的关系式为R=500+30x,P=170-2x,当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元
(二)学以致用
16.已知直角三角形周长为,斜边上的中线长为1,求这个直角三角形的面积.
17.某公司向银行贷款20万元资金,约定两年到期时一次性还本付息,利息是本金的12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金及利息外,还盈余6.4万元,若在经营期间每一年比前一年资金增长百分数相同,试求出这个百分数.
18.某电厂规定,该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A度,那么这居民这个月只须交10元电费;如果超过A度,则这个月除了仍要交10元的用电费以外,超过的部份还要每度按交费.
(1)该厂某户居民2月份用电90度,超过了规定的A度,则超过的部份应交电费 多少元(用A表示)
(2)下表是这户居民3月、4月用电情况和交费情况:
月份 用电量(度) 交电费总数(元)
3 80 25
4 45 10
根据上表数据,你能求电厂规定的A的值吗 试试看.
19.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AB于D,已知AB=4 cm,你能求出底边BC吗 试试看.
(三)综合提高
20.如图所示,客轮沿折线A---B---C从A点出发经B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速度直线航行,将一批货物送达客轮,两船同时起航,并且同时到达折线A-----B---C的某点E处,已知AB=BC=200海里,∠ABC=90°,客轮是货轮速度的2倍.
(1)选择:两船相遇之处E点
A.在线段AB上 B.在线段BC上
C.可以在线段AB上,也可以在线段BC上
(2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里
21.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品 每件商品售价多少元
22.宏达汽车租货公司共有出租车120辆,每辆汽车的日租金为160元,出租业务天\天供不应求,为适应市场需求,经有关部门批准,公司准备适当提高日租金,经市场调查发现,一辆汽车日租金每增加10元,每天出租的汽车相应地减少6辆.若不考虑其它因素,公司将每辆汽车的日租金提高几个10元 (1)能使公司的日租金总收入达到19380元 (2)使公司的日租金总收入最高 最高是多少
[名题探究]答案提示
例4.解:设每件玩具涨价x元，根据题意可列方程：(40+x-30)(600-10x)=12000
解之，得：x1=20,x2=30 检验知x1=20,x2=30均符合题意
所以，每只玩具售价应定为60元或70元，进货量应为400只或300只。
[达标训练]答案提示
（一）基础知识
1．B 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.-11,-9或9,11 9.5 10.1.21a元
11.解:如图所示,把这六条路移到靠边的部位,设路宽为x米,根据题意可列方程(162-2x)(64-4x)=9600, 整理为:x2-97x+96=0 解之:x1=1 x2=96 .
而x2=96不符合题意
∴ x=1
答:路宽为1米.
12.解:2000年的经营总收入为600÷40%=1500(万元)
设年增长率为x,则1500(1+x)2=2160 (1+x)2=1.44 1+x=±1.2(舍去1+x=-1.2)
∴1500(1+x)=1500×1.2=1800(万元)
答:2001年预计经营总收入为1800万元.
13.解:设垂直于墙的边长为x米,则平行于墙的长为(91+2-2x)米,根据题意,得x(91+2-2x)=1080
解之:x1=24,x2=22.5 经检验均符合题意. 当x1=24时,91+2-2x=45;当x2=22.5时,91+2-2x=48米
答:花坛的长和宽分别为45米,24米或48米,22.5米.
14.解(1)设水蚀造成的水土流失面积为x平方公里,则风蚀造成的水土流失面积为(x+26)万平方公里,根据题意有:x+(x+26)=356, 解之:x=165, ∴x+26=191.
故水蚀与风蚀造成的水土流失面积分别为165万平方公里和191万平方公里.
(2)设该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数为x,依题意,得400+400(1+x)+400(1+x)2=1324 解得:x1=0.1 x2=-3.1(不符合题意,应舍去)
故平均每年增长的百分数为10%
15.解:依据题意有(170-2x)x-(500+30x)=1750, 解之得x1=25,x2=45(不符合题意应舍去),即日产量为25只时,每月获得利润为1750元.
(二)学以致用
16.解:设直角边分别为a,b,根据题意有:a+b=①,②,①2-②2得:2ab=1.
∴.
答:此三角形面积为.
17.解:设这个百分数为x,根据题意有:20(1+x)2=6.4+20(1+12%). 解得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意应舍去).
答:这个百分数为20%.
18.解(1) (2)根据题意有, 解之:A1=50,A2=30(不符合题意应舍去). 故电厂规定的A值为50度.
19.解:∵∠A=36°,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=72°. 又∵BD平分∠ABC, ∴∠DBC=36°, 在△CBD与△CAB中,∠C=∠C=72°, ∠CBD=∠A=36° ∴△CBD∽△CAB ∴ . ∴BC2=AB·CD.
又∵BC=BD=AD, ∴AD2=AC·CD, 设AD=x, 则CD=(4-x) ∴x2=4(4-x) 即x2+4x-16=0. 解之:
x1=-2+ (不合题意应舍去) ∴BC的长为()cm.
20.(1)B (2)货轮从出发到两船相遇共航行了海里 提示:设货船从出发到两船相遇共航行了x海里,过D作DF⊥CB于F,连结DE,则DE=x AB+BE=2x ∵D是AC中点 ∴DF=100 ,EF=300-2x, ∴ x2=1002+(300-2x)2.
21.解:设每件商品应售x元,才能使商店赚400元,根据题意,得(x-21)(350-10x)=400 解之得:
x1=25 x2=31(不合题意应舍去). 当x1=25时,350-10x=350-250=100.
答:该商店需要卖出100件商品,每件商品应售25元,才使商品赚400元.
22.解1)设公司将每辆汽车日租金提高x个10元,才能使公司的日租金总收入达到19380元,根据题意有(160+10x)(120-6x)=19380 即x2-4x+3=0 解之得x1=1 x2=3 检验知x1=1 x2=3均符合题意.
故公司将每辆汽车租金提高10元或30元,公司的日租金总收入达到19380元.
(2)设公司的将每辆汽车日租金提高x个10元,则公司每天出租的汽车为(120-6x)辆,则每天的租金总收入为
(160+10x)(120-6x)=-60(x+16)(x-20)=-60(x2-4x-320)=-60[x2-4x+4-324]=-60(x-2)2+19440 ∴当x=2时,此时有最大值19440 即公司将每辆汽车的日租金提高2个10元时,公司的日租金收入最高,最高租金收入为19440元.
[数学史话]
《九章算术》是哪九章
我们经常听到或看到《九章算术》这个词或书名,可是, 《九章算术》到底是哪九章却是很多人不知道的.
《九章算术》是我国流传至今最早的数学专著之一,它成书于我国汉代,距今一千九百年,全书264个问题,按性质分为九类,组成九章.
第一章”方田”
讲述各种平面图形有地亩面积算法及分数的运算法则.
第二章”粟米”
讲述各种粮食比例及四项比例算法.
第三章”衰分”
讲述配分比例算法.
第四章”少广”
讲述开平方,开立方问题.
第五章”商功”
讲述各种立体图形体积算法.
第六章”均输”
讲述比较复杂的配分比例计算法.
第七章”盈不足”
讲述盈亏问题的解法.
第八章”方程”
讲述线性方程组(一次方程组)的解法.
第九章”勾股”
讲述勾股问题解法及勾股测量的问题.
对于每一类应用题,书中都给出了统一的解法,相当于定理和公式.
第二章单元检测题
一.填空题:
1.将方程(2-x)(x+1)=8化为二次项系数为1的一元二次方程的一般形式是_________,它的一次项系数是___________,常数项是___________.
2.若方程x2-6x+k=0的一根为1,则k=___________,另一根是__________.
3.若kx2+x=2x2+1是一元一次方程,则k=______________.
4.若方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则m=____________.
5.当a=________时,方程(x-1)2-a=0有实根,这时实根是____________.当a__________________时,方程无实根.
6.若a2+b2+2a-4b+5=0,则关于x的方程ax2-bx+5=0的根是___________.
7.解关于x的方程(2x+m)(3x-n)=0的根是_____________________.
8.已知x=-1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则=__________.
9.某人购买某种债券2000元,两个月后获纯利311.25元,则购这种债券的月利率是__________.
10.要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边是10cm的直角三角形,则两直角边长分别是________________.
二.选择题
11.方程2x(x-3)=5(x-3)的根是( )
A.x= B.x=3 C.x1=,x2=3 D.x=-
12.用直接开平方法解方程(x-3)2=8,得方程的根为( )
A.x=3+2 B.x=3-2 C.x=3±2 D.x=3±2
13.一元二次方程ax2-c=0(a≠0)的根是( )
A. B. C. ±
D.a、c异号时,无实根; a、c同号时,两根是±.
14.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是x=0,则a的值是( )
A.1 B.-1 C.1或-1 D.
15.若1-=9,则的值是____________.
A.4 B.-2 C.4或-2 D. ±3
16.解下列方程x2-6x+7=0,2x2-50=0,3(4x-1)2=(1-4x),3x2-5x-6=0,较简便的方法依次是( )
A.因式分解法、公式法、配方法、公式法
B.用配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法
C.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
D.公式法、直接开平方法、因式分解法、配方法
17.有一个两位数,它的数字和等于8,交换数字位置后,得到的新的两位数与原两位数之积为1612,则原来的两位数为
A.26 B.62 C.26或62 D.以上均不对
18.若(x2+y2)(x2+y2+6)=7,则x2+y2的值是
A.-1 B.1 C.7 D.-7
19.若2x2+x-4=0则4x2+2x-3=0的值是
A.4 B.5 C.6 D.8
20.将进货单价为40元的商品按50元出售时,售出500个,经市场调查发现:该商品每涨价1元,其销量减少10个,为了赚8000元,则售价应定为
A.60元 B.80元 C.60元或80元 D.70元
三.解答题
21.用适当的方法解下列方程
(1)x2-4x+1=0 (2)(5x-3)2+2(3-5x)=0
(3)(2x-)2=32 (4)4x2+2=7x
22.已知方程(m+2)x∣m∣+(m+1)x+3m-7=0,(1)若它是关于x的一元二次方程,求m的值,并求出此时一元二次方程的根.(2)若它是关于x的一元一次方程,求m的值.
23.阅读材料,解答问题.
为解方程(x2+1)2-5(x2+1)-6=0,我们将x2+1视为一个整体,然后设x2+1=y,则(x2+1)2=y2,原方程化为y2-5y-6=0,(1)解得y1=6,y2=-1.当y=6时,x2+1=6 ∴x2=5 ∴x=±,当y=-1时,x2+1=-1这不成立
∴原方程的解为
解答问题(1)填空:由原方程得到方程(1)的过程中,利用 法达到了降次的目的.体现了 的数学思想.
(2)解方程:x4-x2-12=0
24.填空:
(1)方程x2+2x+1=0的根x1= ,x2= ,x1+x2= ,
x1x2= .
(2)方程x2-3x-1=0的根x1= ,x2= ,x1+x2= ,
x1x2= .
(3)方程3x2+4x-7=0的根x1= ,x2= ,x1+x2= ,
x1x2= .
由(1)(2)(3)你能得到什么猜想 你能证明你的猜想吗
25.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1,且a,b满足等式试求方程=0的根.
26.若方程(2003x)2-2002×2004x-1=0的较大根为a,方程x2-2003x-2004=0的较小根为b,求a-b的值.
27.某商场第一年初投入50万元进行商品经营,以后每年年终将当年获得的年利润与当年年初投入资金相加所得的总资金,作为下一年年初投入资金继续进行经营.
(1)如果第一年的年利率为p,则第一年年终的总金可用代数式表示为 万元.
(2)如果第二年的年获利率比第一年的年获利率多10个百分点,第二年年终的总资金为66万元,求第一年的年获利率.
28.某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,现在采用提高售价,减少进货量的方法增加利润,已知这种商品每涨价0.5元,其销量就减少10件.
(1)要使每天获得利润700元,请你帮忙确定售价.
(2)问售价定在多少时,能使每天获得的利润最多 并求出最大利润.
[单元检测]答案提示
一.1.x2+5x-6=0,5,-6 2.5,5 3.2 4.2 5.a≥0,x=,
a<0 6. 7., 8.1 9.7.5% 10.6cm,8cm 二.11.C 12.D 13.D 14.B 15.C 16.B 17.C 18.B 19.B 20.C
三.21解(1)x2-4x=-1 x2-4x+4=3 (x-2)2=3 ∴x-2=±
∴x1=2+,x2=2- (2)(5x-3)2-2(5x-3)=0 (5x-3)(5x-3-2)=0
(5x-3)(5x-5)=0 ∴ x2=1 (3)2x-
∴ (4)4x2-7x+2=0 这里a=4,b=-7,c=2
∴b2-4ac=49-4×4×2=17 ∴
∴
22.解1)要使此方程是一元二次方程,则必须∣m∣=2且m+2≠0,∴m=2此时方程即为:4x2+3x-1=0,解得x1=,x2=-1 (2)要使此方程是一元一次方程,则须m+2=0或∣m∣=1,当m+2=0,即m=-2时,方程即为-x-13=0,当m=1时方程为5x-4=0,当x=-1时,方程为x-10=0 ∴当m=-2或±1时,此方程为一元一次方程.
23.解1)换元,转化 (2)方程化为(x2)2-x2-12=0 设x2=y,则y2-y-12=0 解之y1=4,y2=-3 又∵x2≥0 ∴y=4 即x2=4 ∴x=±2 ∴方程的根为x1=2,x2=-2
24.解1)x1=1,x2=1,x1+x2=2,x1x2=1 (2)
x1+x2=3,x1x2=-1 (3),x1+x2=,x1x2=
由(1)(2)(3)猜想到:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根x1,x2,则x1+x2=,x1x2=
证明:如果ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根x1,x2,
则
25.解:∵ ∴a2-16=0,且a+4≠0 ∴a=4,b=-
又∵ax2+bx+c=0有一根0为1， ∴a+b+c=0 ∴c= ∴方程+c=0
即为 ∴y2=15 ∴y1=.
26.解:(2003x)2-2002×2004x-1=0 化为20032x2-(2003-1)(2003+1)x-1=0
∴20032x2-20032x2+x-1=0 20032x(x-1)+(x-1)=0 ∴(x-1)(20032x+1)=0
∴x1=1,x2= ∴a=1 x2-2003x-2004=0 ∴(x-2004)(x+1)=0
∴x1=2004,x2=-1 ∴b=-1 ∴a-b=2
27.解：（1）50(1+p) (2)设第一年的年获利率为x,依题意有:50(1+x)(1+x+)=66 解这个方程并舍去不符合题意的根得x=10% 即：第一年的年获利率为10%
28.解1)设商品应提价x元,才能获得利润700元,根据题意可列方程(10+x-8)(200-20x)=700 解之得:x1=3,x2=5 故商品应是价为每件13元或15元才能获得利润700元. (2)设商品应提价x元,则所获利润为(10+x-8)(200-20x)=-20
(x2-8x-20)=-20[(x2-8x+16)-36]=-20(x-4)2+720 ∴当x=4时,此式有最大值720.即:商品每件定价为14元时,每天获得最大利润为720元.
实际问题的解,不仅要满足所列方程,还应符合题目中的每一个条件.
列一元二次方程解应用题时,一般会产生两个解,必须检验每个解是否符合题意,正确取舍.
1 . 一元二次 方程
[重点难点]
1．经历抽象一元二次 方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，理解一元二次方程及相互概念。
2．经历方程的解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算能力及意识，能列出方程来刻画实际问题。
[预习导引]
从前有一天，一个醉汉拿着一根竹竿进屋横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，这时一道的另一个醉汉教他沿着门的两个对角线斜着拿竿，这个醉汉一试不多不少刚好把竹竿拿进去了，你知道竹竿有多长吗？
请你根据这一问题列出方程，并把自己所列的方程与以前学习过的一元一次方程，二元一次方程比较有什么不同之处，并与其它的同伴交流自己的看法。
[点拔]本例中，设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，门框的对角线长为x尺，根据“宽2+高2=对角线2”可列方程，（x-4）2+(x-2)2=x2,即x2-12x+20=0,这个方程与以前学习过的方程相比较有（1）只含一个未知数，（2）未知数的最高次数为2，这两个特点，从本例中逐步体会一元二次方程的概念，本例实则是一个笑话，实际上不必这么麻烦，只须将竹竿垂直于门所在的平面就很方便地进去了，但我们还应在谈笑之后，明白其中的数学知识。
[知识分析]
1．一元二次方程的引入
在前面，我们已经学习过通过列一元一次方程，二元一次方程组来解决实际问题，但有些问题，如课本中的“花边有多宽”，“五个连续整数，前三个数平方和等于后面两个数的平方和”，“梯子的底端滑动了多少米”等所列出的方程：①（8-2x）(5-2x)=18,②x2+(x+1)+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2,③(x+6)2+72=102,它们是一元一次方程吗？是二元一次方程吗？它们又有什么特点呢？
把上述三个方程化简：①2x2-13x+11=0,②x2-7x+10=0,③x2+12x-15=0,这三个方程都能化成ax2+bx+c=0的形式，并且只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，这就是我们要学习的一元二次方程。
2．一元二次方程的概念
方程中只含一个未知数，并且未知数最高次数是二次，这样的整式方程叫一元二次方程。
下列方程是一元二次方程吗？为什么？
①2x2-3x+1=0 ②x2+y+2=3x ③
④(2x+1)2-(4x+1)(x+1)=2
任何一个关于x的一元二次方程都可化为
ax2+bx+c=0的形式（a，b，c为常数，且a≠0）。 因此我们把这种形式叫一元二次方程的
一般形式。其中ax2,bx，c分别叫二次项，一次项，常数项。a,b分别为二次项系数和一次系数。如4x2-3x-2=0中，4x2是二次项，-3x是一次项，-2为常数项，而4,-3分别是二次项、一次项的系数。
一元二次方程的项以及系数是针对方程的一般形式而言的，因此，我们在确定一元二次方程的项或系数时必须先把方程化为一般形式，然后再确定，另外，这类问题的答案并不唯一，如方程2x2-4x-6=0,x2-2x-3=0都是同一个方程的一般形式，因而依据不同形式确定的项及系数也是不同的。
3．一元二次方程的解
能够使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，这与一元一次方程，二元一次方程的解的意义一样。
检验一个未知数的值是否是一元二次方程的解的方法：将未知数的值代入方程的左，右两边，分别计算结果，再比较左右两边是否相等，如果左右两边相等，则未知数的值是原方程的解，否则就不是原方程的解。
判断方程后面的数是否是方程的解：
（1）2x2-3x+1=0 (,1) (2)x2-=0 ()
(3)(2x-1)2=3 ()
((1)x=,x=1是此方程的解。（2）x=是此方程的解，x=1不是此方程的解。
（3）x=,x=均是此方程的解。)
4．求实际问题中一元二次方程的近似解。
对于实际问题列出的一元二次方程，我们可先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体计算进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解。
[例题讲解]
例1．判断下列式子是不是关于x的一元二次方程。
下列关于x的方程（1）ax2+bx+c=0,(2)k2+5k+b=0,(3);
(4)(m2+3)x2+-2=0,(5)x2+是一元二次方程的是 （只填序号）
[解析]所谓关于“x”的一元二次方程，就是方程中只含有x为未知数，而其它的字母均理解为已知数。（1）不一定是一次方程，因为当a=0时，它不是一元二次方程；（2）中不含未知数x;(3)中x的最高指数为3，故（3）也不是一元二次方程；（4）中含一个未知数x，且其最高次数为2，其系数(m2+2)>0,故它是关于x的一元二次方程；（5）是分式方程，故它也不是一元二次方程。
解：应填（4）
[思路探究]判断一个方程是否一元二次方程，看方程是否满足以下三个条件：
（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数为2。三个条件缺一不可才是一元二次方程。
例2．求出下列方程二次项，一次项及常数项：（1）6x2=5x+2,(2)(3x-1)(x+2)=
[解析]（1）通过移项方程化成一般形式：6x2-5x-2=0,从而确定其二次项，一次项，常数项分别为 6x2,-5x,-2。（2）先把方程变形整理为一般形式：3x2+5x-=0
故二次项，一次项，常数项分别为3x2,5x,-
解：（1）把方程化成一般形式为：6x2-5x-2=0 ∴这个方程的二次项，一次项，常数项分别为6x2,-5x,-2。
（2）把方程化成一般形式为：3x2+5x-=0 ∴这个方程的二次项，一次项，常数项分别为3x2,5x,-
[思路探究]一元二次方程的二次项，一次项，常数项这三个概念都是相对一般形式而言的，求解时必须先把一元二次方程化为一般形式；此外还应注意，确定一元二次方程的项还应包括前面的符号。
例3．如图 所示，要建一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16米）并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有能围成32米长的木板，求仓库的长和宽，对于这个问题，你能列出方程吗？试着求其解来，并与同伴交流一下自己的心得。
[解析]本例中要求仓库的长与宽两个未知量，但这两个量之间有着相应的代数关系，设宽为x米，则长就为（32-2x）米，根据长方形面积为130平方米，可列出方程。
解:设仓库的宽为x米,则长应为(32-2x)米,根据题意可列方程:
x(33-2x)=130 方程整理得:2x2-33x+130=0 (2x-13)(X-10)=0
∴,x2=10 . ∵当时，33-2x=20>16（墙长16米），
∴不合题意应舍去，当x=10时，33-2x=13
∴仓库的宽为10米，长为13米。
[点拔]题中“墙长16米”这一实际条件易被忽视，从而导致长宽分别为13米，10米和20米，米的错误，因而在作答前必须检验是否符合实际问题的条件，不符合实际的应舍去。对实际问题，求出的方程的解要检验其是否符合题意，从而作出取舍。
[中考链接]
例4．关于x的一元二次方程
（a-1）x2+x+a2-1=0有一根为0,则a的值应为
A．1 B.-1 C.1或-1 D.
[解析]根据方程根的定义,将x=0代入原方程中,则原方程变为关于a的一元二次方程,求得a的值,再根据一元二次方程中,其二次项系数不能为0,从而确定a的值.
解:∵（a-1）x2+x+a2-1=0有一根为0 ∴把x=0代入方程中得:a2-1=0
∴a=±1 又∵此方程为一元二次方程 ∴a-1≠0 ∴a≠1 ∴a=-1 故选B
[思路探究]本题易忽视二次项的系数a-1≠0这一隐含条件,容易错选C,因此在本章解有关一元二次方程的题目中,若二次项系数中有字母已知数时,一定要注意到二次项系数不能为0.
[达标训练]
1.下列方程不是整式方程的是( )
A. B.0.2x2-0.4x3=0
C. D.
2.在下列方程中,一元二次方程的个数是( )
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-+4=0,
⑤x2-(+1)x+=0,⑥3x2-+6=0
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.关于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法完全正确的是( )
A.3,-5,-2 B.3,-5x,2
C.3,5x,-2 D.3,-5,2
4.一元二次方程-5x2+x-3=0,把二次项系数变为正数,且使方程的根不变的是( )
A.5x2-x+3=0 B.5x2-x-3=0
C.5x2+x-3=0 D.5x2+x+3=0
5.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0的一个根为0,则m的值为( )
A.1 B.-3 C.1和-3 D.不等于1的任何数
6.已知2y2+y-2的值为3，则4y2+2y+1值为（ ）
A．10 B.11 C.10或11 D.3或1
7.若一元二次方程ax2+bx+c=0中,二次项系数,一次项系数,常数项之和为0,则方程必有一根是( )
A.0 B.1 C.-1 D.±1
8.若b(b≠0)是方程x2+cx+b=0的根,则b+c的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
9.如图所示,在正方形的铁片上,截去2cm宽的一个长方形,余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是( )
A.81cm2 B.64cm2 C.16cm2 D.8cm2
10.方程(m+2)+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则( )
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2
11.一元二次方程的一般形式是 ,其中 是二次项,
是一次项, 是常数项.
12.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是
13.方程4x2=3x-+1的二次项是 ,一次项是 ,常数项是
14.已知关于x的方程是一元二次方程,则m=
15.已知关于x的方程x2-(2m-1)x-(2m-1)=0有一根为0,则m=
16.关于x的一元二次方程(a-1)x2+a2-1=0有一根为0,则a=
17.已知关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1,一根为-1,则a+b+c= ,
a-b+c=
18.小王在超市用24元买了某种品牌的牛奶若干盆,过一段时间再去超市,发现这种牛奶进行让利销售,每盒让利0.4元,他用24元钱比上次多买2盒,若设这种牛奶原价为每盒x元,则可列方程为 ,若设后来买了y盒,则依题意可列方程为
19.某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨,若设平均每年的增长率为x,则所列方程为
20.已知方程(x+a)(x-3)=0和方程x2-2x-3=0的解完全相同,则a=
21.已知x2+7xy-60y2=0,则=
22.若分式的值为0,则x=
23.关于x的方程(a-b)x2+ax+b=0在什么条件下是一元一次方程 在什么条件下是一元二次方程
24.关于x的方程(2m2+m-3)xm+1+5x=13能是一元二次方程吗 为什么
25.当m为何值时,关于x的方程 (m2-9)x2+(m-3)x+2m=0,(1)是一元一次方程,
(2)是一元二次方程.
26.已知关于x的方程(n-2)+3nx+3=0是一元二次方程,试求n的值并写出这个一元二次方程.
27.已知a、b、c均为有理数,试判定关于x的方程ax2-x-+b=c是不是一元二次方程,如果是,请写出二次项系数,一次项系数及常数项.
28.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1,且a、b满足等式b=-3,求方程-c=0的根.
29.一块矩形耕地大小尺寸如图所示,要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠,如果水渠的宽度相等,而且要保证余下的耕地面积为9600米2,那么水渠应挖多宽
30.已知x2-3x+2=0,试求的值.
[答案]
1．D 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.B 9.B 10.B
11.ax2+bx+c=0(a≠0) ax2 bx c 12.k≠3 13.4x2,-3x, 14.m=4
15. 16.a=-1 17.0,0 18.
19.3000(1+x)2=3630 20.1 21. 22.8
23.要使此方程为一元一次方程,则:a-b=0,a≠0 ∴a=b≠0 要使此方程为一元二次方程,则必须a-b≠0,即a≠b.
24.原方程化为:(2m2-m-3)+3x-13=0 要使此方程为一元二次方程,则必须m+1=2,解得m=1,但当m=1时,二次项系数2m2+m-3=2+1-3=0故此方程不可能为一元二次方程.
25. (1)当m2-9=0且m-3≠0时,此方程为一元二次方程,即m=-3时,此方程为一元一次方程.(2)当m2-9≠0时,即m≠±3时,此方程为一元二次方程.
26.要使这个方程是一元二次方程,则必须∣3n-4∣=2,且n-2≠0,由
∣3n-4∣=2得3n-4=2或-2 ∴n=2或 由n-2≠0得n≠2 ∴n= 当n=时,此方程是一元二次方程,此时方程为:
27.原方程化为一般形式为: ∵a为有理数 ∴≠0 故此方程一定是一元二次方程,它的二次项系数是,一次项系数是,常数项是b-c.
28．∵x=1是此方程的一个根 ∴a+b+c=0 又∵
∴a=2 b=3 ∴c=5故方程-c=0 即为-5=0 ∴y2=20 ∴y=±
29．为了研究问题的方便，分别把沿东西和南北方向挖的渠道移到一起，如图所示，设水渠的宽度为x米，则剩下可耕的长方形地的长为（162-2x）米，宽为（64-4x）米，依题意可列方程(162-2x)(64-4x)=9600 整理得x2-97x+96=0
即(x-96)(x-1)=0 ∴x=96或1 。 显然x=96时不合题意。 故x=1。
答：水渠应挖1米宽
30．方法（1）原式=
=（x-1）2-(X+1)=X2-3X ∴x2-3x+2=0 ∴x2-3x=-2 即原式值为-2
方法（2）：∵x2-3x+2=0 ∴（x-2）(x-1)=0 ∴x=2或1 但x-1≠0
∴x=2 当x=2时，原式=
2. 配方法
[重点难点]
1.会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；理解配方法,会用配方法解简单数字系数的一元二次方程.
2.能够建立一元二次方程刻画现实世界中的数量关系,增强应用数学知识的意识和能力.
3.体会转化的数学思想.
4.能根据具体实际问题检验结果的合理性.
[预习导引]
在学习了一元二次方程后,数学课王老师出示了一道解方程的题目.解方程(4x-3)2=(1-2x)2小明是这样解答的:∵(4x-3)2=(1-2x)2 ∴4x-3=1-2x∴6x=4∴x=
你觉得小明的解方程的过程正确吗 如果不正确,你觉得应如何修正 不妨大胆谈谈自己的想法与同伴交流.
[点拔]由(4x-3)2=(1-2x)2可知:4x-3与1-2x相等若互为相反数,所以4x-3=1-2x或(4x-3)+(1-2x)=0解这两个一元一次方程可得:x=或x=1,小明的解法遗漏4x-3与1-2x还能互为相反数的情况,从本例中我们体会到解一元二次方程可以把一元二次方程转化为一元一次方程来解.
[知能互动]
1.直接开平方法解一元二次方程.
对于形如x2=m或(ax+n)2=m(a≠0,m≥0)的型的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用直接开平方法求解.
X2=m的解为x=,即
(ax+n)2=m转化为ax+n=,即ax+n=,或ax+n=-,这两个一元一次方程来解.
因为负数没有平方根,所以当m<0时,x2=m或(ax+n)2=m无解
你能解下列方程吗 并结合自己解方程的过程与结果探索方程的解的情况.
① ②(3x-1)2=0 ③
(①;②;③无实根)
2.运用配方法解一元二次方程
通过配方的方法把一元二次方程转化成形如(ax+b)2=m的形式,再运用直接开平方的方法求解.
用配方法解一元二次方程的步骤如下:
(1)把方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边.
(2)根据等式的性质把二次项的系数化为1.
(3)把方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边配成一个完全平方式.
这时,方程右边如果是一个非负数,就可直接用开平方的方法求出它的解,如果方程右边是负数,则这个方程无解.
用配方法解一元二次方程比较麻烦,在解一元二次方程时一般不用配方法,这是为公式法作准备的一种方法.但在今后的学习中,配方法经常用到,因而必须正确掌握配方法的方法.
3.建立一元二次方程模型解决实际问题
回顾以前学习过的列一元一次方程解应用题的方法与步骤.你能说说如何列一元二次方程解应用题吗 与同伴交流自己的想法.
列一元二次方程解应用题步骤:
(1)审题:弄清题意,找出已知量和未知量,并分清数量关系,明确所求的量.
(2)设出未知数,根据题意,设出合适的未知数,根据所设未知数,列出有关的代数式.
(3)分析等量关系:即找到能反映全部意义的相等关系.
(4)列方程:根据等量关系列出方程。
(5)解方程
(6)检验:检验所求得的解是否符合题意,正确取舍。
(7)写出答案
在解一元一次方程时,只要题目,方程及解法正确,那么得出的根便是所列方程的根,一般也就是所解应用题的解,而一元二次方程有两个根,这些根虽然满足所列一元二次方程,但未必符合题意,因此在解完一元二次方程之后,要按题意检验这些根是否符合实际问题,作出正确取舍.
[名题探究]
例1.解下列方程:(1)4(2x-1)2-9=0 (2)9(3x-2)2=(1-2x)2
[解析](1)方程可化为,直接开平方法即可求解.(2)中方程可化为[3(3x-2)]2=(1-2x)2因而方程化转化为3(3x-2)=1-2x或3(3x-2)+(1-2x)=0两个一元一次方程求解.
解（1)原方程化为 , 开平方得:2x-1=±, 即2x-1=或2x-1=-, 所以:.
(2)原方程化为: [3(3x-2)]2=(1-2x)2 所以:3(3x-2)=1-2x或3(3x-2)+(1-2x)=0
∴.
[思路探究]形如(ax+b)2=c形的一元二次方程用直接开平方法解较简单.注意两边开平方时不要漏掉负号的情况.
例2.用配方法解下列方程
(1)2x2+4x-9=0 (2)3x2=-6+8
[解析]运用配方法解一元二次方程,先移项把含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程中的右边,再在方程左右两边同时除以二次项的系数,把二次项的系数化为”1”的形式,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,把方程化为(ax+b)2=c的形式,再用直接开平方的方法求解.
解(1)方程两边都除以2得,
移项得:x2+2x= 配方得:x2+2x+1=+1 即(x+1)2=
∴. ∴
(2)方程两边都除以3,得: 移项得:
配方得: , .
即
所以此方程的根为:.
[思路探究]配方的关键是在二次项系数为1的形式下,方程两边同时加上一次项系数一半的平方.
例3.阅读材料解答问题
为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0我们可以将x2-1视为一个整体,设x2-1=y,则(x2-1)2=y2,原方程化为y2-5y+4=0(1)解得y1=4,y2=1
当y=4时,x2-1=4, ∴x2=5 , ∴.
当y=1时,x2-1=1, ∴x2=2, ∴x=.
∴原方程的解为:.
解答问题:
(1)填空:在由原方程得到方程(1)的过程 ,利用 方法达到降次的目地,体现了 的数学思想.
(2)解方程:x4-x2-6=0
[解析]阅读理解,并运用材料中所反映的方法,结论解决问题,这是近年中考中热点题型,解答此例问题的关键是弄懂材料内容.发现材料所揭示的方法或结论.
解(1)换元, 转化, (2)设x2=y,则此方程化为:y2-y-6=0 解得:y1=3,y2=-2
又∵x2≥0 ∴y=3 , 即x2=3 . ∴. ∴原方程的根是x1=3, x2=-.
[思路探究]换元,转化的数学思想方法在很多时候是我们解决问题的有效途径.
[中考链接]
例4.某商店如果将进货为8元的商品每件10元售出,每天可销售200件,通过一段时间的摸索,该店主发现这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件,每降价0.5元,其销售量就增加10件.
(1)你能帮助店主设计一种方案,使每天的利润达到700元吗
(2)将售价定为每价多少元时,能使这天所获利润最大 最大利润是多少
[解析]本例中售价与销量之间互相关联,设每件销售价提高了x元,则每件利润为(10+x-8)=(x+2)元,每天销量减少到(200-20x)件,则每一天的利润可用代数式(x+2)(200-20x)表示,再据此建立方程或函数模型解答.
解(1)设每件商品提高x元,则每件利润为(10+x-8)=(x+2)元,每天销售量为(200-20x)件,根据题意可列方程(x+2)(200-20x)=700. 整理得:x2-8x+15=0.
解得:x1=3,x2=5. 检验知: x1=3,x2=5均符合题意. ∴把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元.
(2)设每天利润为y元,由(1)中可知:
y=(x+2)(200-20x)=-20(x2-8x-20)=-20(x2-8x+16-36)=-20(x-4)2+720
∵-20(x-4)2≤0 ∴当x=4时,-20(x-4)2+720最大,最大值为720.
即每件售价为14元时,每天所获利润最大,最大利润为720元.
[思路探究]通过配方的方法,可以求得一个二次三项式的最大值或最小值.
[达标训练]
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6 B.-0.6 C.±6 D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解为
A.x1=2 x2=-2 B.
C.x1=4 x2=-4 D.此方程无实根
3.关于x的一元二次方程2mx2-x+m2=0有一根为-1,则m的值应为
A.1,-1 B.-1 C.1 D.
4.方程(x+1)2-2=0的根是
A. B.
C. D.
5.将方程-5x2=2x+10化为二次项系数为1的一般形式是
A. B.
C. D.x2-2x-10=0
6.方程x2-a2=(x-a)2(a≠0)的根是
A.a B.0 C.1或a D.0或a
7.已知关于x的方程(m+3)x2+x+m2+2m-3=0一根为0,另一根不为0,则m的值
为
A.1 B.-3 C.1或-3 D.以上均不对
8.对于方程(ax+b)2=c下列叙述正确的是
A.不论c为何值,方程均有实数根 B.方程的根是
C.当c≥0时,方程可化为:
D.当c=0时,
9.若x2-mx+是一个完全平方式,则m=
A.1 B.-1 C.±1 D.以上均不对
10.方程(x-2)2=(3-2x)2可化为
A.x-2=3-2x B.x-2=2x-3
C.x-2=3-2x或x-2=2x-3 D.以上均不对
11.对于二次三项式2x2+4x+5的值,下列叙述正确的是
A.一定为正数 B.可为正数,也可能为负数
C.一定为负数 D.其值的符号与x值有关
12.方程x2=5的解是 ,方程(x-1)2=5的解是 ,方程(3x-1)2=5的解是
13.① =(x- )2 ② =(x+ )2
14.若(2x-1)2=1-m有实数解,则∣m-1∣=
15.一小球以15米/秒的速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(米)与时间t(秒)满足关系式:h=15t-5t2,当t= 秒时,小球高度为10米,小球所能达到的最大高度为 米.
16.已知(x2+y2-2)(x2+y2)=3,则x2+y2= .
17.若a2+b2+a-2b+=0 ,则=________________.
18.将方程化成二次项系数为1的一般形式,则一次项系数是__________,常数项是_______________.
19.方程(3x-1)2=(2-x)2的根是_______________.
20.某种手表的成本在两年内以100元降低到81元,那么平均每年降低成本的百分率是_____________.
21.解下列方程:
①5x2-40=0 ②(x+1)2-9=0
③(2x+4)2-16=0 ④9(x-3)2-49=0
⑤(3x-)2=27 ⑥x2-4x+4=0
22.把下列方程化为(x+m)2=n的形式.
①x2+4x=21 ②t2-2=2t
③2x2+3x=1 ④4y2-16y=7
23.你能用配方法解下列方程吗 试试看.
①x2-2=4x ②x2+x+=0
③3x2-2=4x ④2x2-4x+1=0
24.在矩形的场地的中央修建一个正方形花坛,花坛四周的面积与花坛面积相等,如果场地的长比花坛的边长多6米,场地的宽比花坛多4米,求矩形场地的长与宽及正方形花坛的边长.
25.一建筑工地要用木栏围出一片长方形的安全地带,如图所示,安全区一边靠着建筑物,现有木栏长400米.
(1)围出的安全区面积能到达19200平方米吗 能达到20000平方米吗 如果能请给出设计方案;如果不能请说明理由.
(2)你能设计出一种方案,使围出的安全区面积最大吗 与同伴交流一下自己的设计方案.
26.若方程(2x-1)2=a有两不等的实数根,(2x-1)2=b有两相等的实根， (2x-1)2=c无实根.试比较a、b、c三数的大小.
27.设a、b为实数,求a2+2ab+b2-4b+5的最小值,并求此时a与b的值.
28.如图,一个长为15米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的距离为12米,如果梯子的顶端下滑了1米,那么梯子的底端也向后滑动1米吗 试列出方程解答此问题,并论证前面的结论.
答案提示
1.D 2.D 3.C 4.D 5.A 6.A 7.A 8.C 9.C 10.C 11.A 12.;
13. 14.1-m 15.1或2 16.3 17.-3 18.-, 19. 20.10%
21.解（1)5x2=40， x2=8， x=， x1= x2=。
(2)(x+1)2=9， x+1=， x+1=±3 ， x1=2 ， x2=-4。
(3)(2x+4)2=16 2x+4=±4 x1=0 x2=-4
(4)9(x-3)2=49， (x-3)2=， x-3=± ， 。
(5)，。 。
(6)(x-2)2=0， x-2=0， x1=x2=0
22.解(1)x2+4x+22=21+22 即(x+2)2=25。
(2)t2-=2 即
(3)2x2+3x=1 即
(4)y2-4y= ， y2-4y+22=+4， 即。
23.解(1)x2+2x=5 x2+2x+1=6 (x+1)2=6 ，
∴。
(2) ∴ ∴
(3)3x2-4x=2
(4)2x2-4x=-1 ， x2-2x=， x2-2x+1=， . ，。
24.解:设正方形的花坛边长为x米,则矩形场地的长为(x+6)米,宽为(x+4)米,依据题意可列方程(x+6)(x+4)=2x2 方程整理为:x2-10x-24=0 x2-10x=24 x2-10x+25=49， (x-5)2=49， x-5=±7， ∴x1=12,x2=-2。 而x2=-2不符合题意应舍去。
∴x=12 ∴x+6=18 x+4=16。
答:矩形场地长为18米,宽为16米,正方形的花坛边长为12米.
25.解1)设围出的安全区宽为x米,则长为(400-2x)米,则安全区的面积为x(400-2x) 当x(400-2x)=19200时,即x2-200x+9600=0 解之:x1=80,x2=120 故有两种方案,当长为240米,宽为80米或长为160米宽为120米,安全区的面积将达到19200平方米. 当x(400-2x)=20000时,即x2-200x+10000=0 解之:x=100 即当宽为100米,长为200米时,安全区的面积为20000平方米.
(2)安全区面积S=x(400-2x)=-2x2+400x=-2(x2-200x)=-2[(x2-200x+1002)]
=-2(x-100)2+20000 所以当宽为100米,长为200米时,安全区面积达到最大值为20000米.
26.解:根据题意有:a>0,b=0,c<0, ∴a>b>c
27.解:a2+2ab+2b2-4b+5=(a2+2ab+b2)+b2-4b+4+1=(a+b)2+(b-2)2+1 ∴当a+b=0,
b-2=0时,原式有最小值, 即当a=-2,b=2时,原式有最小值1
28.解:设梯子的下端向后滑动x米,根据题意可列方程(12-1)2+(9+x)2=152 即
(x+9)2=104 ∴ 而不符合题意应舍去， ∴。 即梯子的下端向后滑动米,故此结论不成立.
3 公式法
重点难点
1．能够推导出一元二次方程的求根公式。
2．会用公式法解简单系数的一元二次方程。
[预习导引]
方华在学习了一元二次方程及其解法就思考：一个一元二次方程是由其各项的系数确定的，那么它们的解肯定与其系数有关系，于是他写出了二个一元二次方程（1）x2-3x-4=0（2）3x2-4x+1=0并分别求出它们的解：方程（1）的解为x1=4,x2=-1,方程（2）的解为x1=,x2=1.通过尝试他发现：方程（1）中，x1+x2=3=,x1x2=-4=;在方程（2）中也有：x1+x2=,x1x2=
于是他就猜测，对于一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,则，
你认为方华的对于一元二次方程两个根与方程系数关系的猜测正确吗？能运用前面学习过的有关一元二次方程知识帮助方华证明吗？不妨与同伴交流一下。
[点拔]方华同学从两个特殊的方程猜测归纳出一元二次方程根与系数的关系，这种思考问题的方法是数学中一种常见的方法。至于方华的这种猜想是否正确，通过后面学习，大家自然就知道了。
[知能互动]
1．求根公式的推导
推导求根公式的过程，实际上就是运用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
∵a≠0 ∴可以把方程两边同时除以二次项的系数a，得： 移项得：
配方得：
即∵a≠0 ∴4a2>0 ∴当b2-4ac≥0时，两边开方得：即
∴
这样就得到了一元二次方程的求根公式。对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时，它的根为。
2．运用求根公式解一元二次方程。
因为任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式，由求根公式表示式可知，它的根由系数a,b,c确定，因此求根时，只需将方程各项的系数分别代入公式即可求出方程的解。
对于任何一个一元二次方程并不是都有实数根。因此在运用求根公式之前，应先求b2-4ac，当b2-4ac≥0时可继续把根求出；当b2-4ac<0时，由于负数没有平方根，所以方程无解，这时不必代入公式求解了。
运用公式解一元二次方程的步骤：
（1）将方程化为一元二次方程一般形式。
（2）确定a、b、c的值。
（3）求出b2-4ac的值,确定方程是否有实根.
（4）代入求根公式求根。
3．选择合适的方法解一元二次方程。
前面学习了用直接开平方法，配方法，公式法解一元二次方程。直接开平方法只能解左边是含未知数的平方式，右边是一个非负数的方程;而公式法是由配方法推导出来的，它比配方法简单，所以选用适当的方法解方程，首先要看方程是含符合直接开平方法的条件，符合条件的就用直接开平方法来解，其它的时候用公式法。
例如：方程(2x+1)2-5=0宜用 求解
方程2x2+5(2x+1)=0 求解
（直接开平方法，公式法）
[名题探究]
例1．运用求根公式解下列方程：
（1）5x2=3x (2)x2-+2=0 (3)(y-1)(y+3)+5=0
[解析]运用公式法解一元二次方程应先把一元二次方程化为一般形式，正确确定a、b、c的值；计算出b2-4ac的值再代入公式求解。（1）中应注意到常数项 c=0
解：（1）移项得：5x2-3x=0, ∵a=5,b=-3,c=0, ∴b2-4ac=(-3)2-4×5×0=9>0.
∴。 ∴, x2=0。
(2)这里a=1,b=,c=2 ∴b2-4ac=（）2-4×1×2=0
∴。 ∴。
（3）方程化为一般形式为：y2+2y+2=0. ∵a=1,b=2,c=2, ∴b2-4ac=22-4×1×2=-4<0。
∴此方程无实根。
[思路探究]一元二次方程的根可以会出现三种情况：有两不等实根，有两相等实根，无实根。
例2．选择适当的方法解下列方程。
（1）4(3x-2)2=36 (2)3x2+5(2x+1)=0
[解析]方程（1）变形为(3x-2)2=9,根据其特点选择用直接开平方法解。方程无其它这特殊性，故选择用公式法解。
解：（1）将原方程化为(3x-2)2=9，两边直接开平方得：3x-2=±3, ∴。
(2)将原方程整理得：3x2+10x+5=0, ∵a=3,b=10,c=5, ∴b2-4ac=102-4×3×5=40>0。
∴。 ∴。
[思路探究]结合不同问题的特点，选择适当的方法求解，是煅炼思维灵活性的有效途径，选择的标准是使解答过程简便。
例3．已知一个直角三角形的两直角边的长恰当方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是
A. B.3 C.6 D.9
[解析]解答本题,关键是正确求出方程的两根,即得直角三角形的两直角边,然后利用勾股定理求解.
解：∵a=2,b=-8,c=7 ∴b2-4ac=(-8)2-4×2×7=8>0
∴ ∴
∴斜边长为 故选B
[思路探究]通过解方程求解是本例的一种解法,在以后的学习中,我们还可以运用根与系数的关系求解.
[中考链接]
例4.先从括号内①②③④备选项中选出合适的一项,填在横线上,将题目补充完整后再解答.
(1)如果a是关于x的方程x2+bx+a=0的根,并且a≠0,求 的值.
(①ab ② ③a+b ④a-b)
(2)已知7x2+5y2=12xy,并且xy≠0,求 的值.
(①xy ② ③x+y ④x-y
[解析](1)把x=a代入方程x2+bx+a=0中,得到a2+ab+a=0,因为a≠0,所以a+b+1=0,即a+b=-1因此可以求出a+b的值;(2)7x2+5y2=12xy可变为7x2-12xy+5y2=0,因而可求得x与y之间的关系,从而能确定求出哪一个式子的值.
[思路探究]留空回填，完善试题，是近年中考试题的创新亮点处。解答这类问题应着眼于题设条件，通过推导分析等，看从中能推出何种结果。
[达标训练]
1．方程2x(x-3)=5(x-3)的根为
A. B.x=3 C. D.
2.若代数式4x2-2x-5与2x2+1的值互为相反数,则x的值为
A.1或 B.1或 C.-1或 D.1或
3.利用求根公式求的根时,a,b,c的值分别是
A.5, ,6 B.5,6, C.5,-6, D.5,-6,-
4.方程(x-1)(x-5)=1的两个根等于
A.x1=5,x2-1 B.x1=6,x2=2
C.x1= D.
5.对于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列叙述正确的是
A.方程总有两个实数根
B.只有当b2-4ac≥0时,才有两实根
C.当b2-4ac<0时,方程只有一个实根
D.当b2-4ac=0时,方程无实根
6.如果分式的值为0,则x值为
A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-3
7.一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数,则这个直角三角形三边的长分别是
A.2、4、6 B.4、6、8 C.6、8、10 D.3、4、5
8.已知关于x的一元二次方程的一个根是0,则m的值为
A. B. C. D.不能求出
9.已知三角形两边长分别是1和2,第三边的长为2x2-5x+3=0的根,则这个三角形的周长是
A.4 B. C.4或 D.不存在
10.已知x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则△=b2-4ac与M=（2ax0+b2）的关系是
A.△>M B.△=M C.△
12.当x= 时,既是最简根式又是同类根式.
13.请写出一个一元二次方程,使其一根为-1,你写的方程是
14.若分式的值为0,则x=
15.已知(x2+y2+1)2=4,则x2+y2=
16.方程x2=|x|的根是
17.解方程,有一位同学解答如下:
解:这里a=,b=,c= ∴b2-4ac=(-
∴
∴
请你分析以上解答有无错误,如有错误,指出错误的地方,并写出正确的结果.
18.用适当的方法解下列方程:
(1) (2)
(3)(y-3)2-18=0 (4)
19.一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,有人统计一共握了210次手,你能根据上述提供的信息求出参加此次会议的有多少人吗
20.要建一个面积为150m2的长方形养猪场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一堵墙,墙长为a米,另三边用竹篱笆围成,如果篱笆长为35米
(1)你能求出鸡场的长与宽吗 试试看.
(2)题中的墙的长度a对解题有什么作用.
答案提示
1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.B 10.B 11.1,
12.-5 13.答案不唯一:如x2+3x+2=0等 14.x=-2 15.1 16.x1=0,x2=1,x3=-1
17.这位同学的解答过程中有错误,利用公式法解一元二次方程时,确定a、b、c的值应先把一元二次方程化成一般形式,再正确确定a、b、c的值,正确的解答过程是:原方程整理为,这里,
∴
∴=
∴
18.解(略)
19．设参加会议的有x人，则每个人与除自己以外的(x-1) 人均握一次手，而握手又是相互的，故共握手x(x-1)/2次，因而可列方程： ∴x2-x-420=0 解得：x1=21,x2=-20
但x2=-20不符合题意，故x=21 答：参加会议的有21人
20．解（1）设鸡场的宽为x米，则长为(35-2x)米，则根据题意可列方程：x(35-2x)=150
∴2x2-35x+150=0 解之x1=,x2=10 当x1=时，35-2x=20,当x=10时35-2x=15
即：鸡场的长为20米，宽为米或长为15米，宽为10米。
（2）题中墙的长度a可作为判断方程的根是否符合题意的依据。
4 分解因式法
[本节必学]
1.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.
2.会用分解因式法(提取公因式法,公式法)解某些简单系数的一元二次方程.
[预习导引]
对于方程3(x-2)2=2-x,张明的解法如下:
解:方程整理得:3(x-2)2=-(x-2)
方程两边同时除以(x-2)得:3(x-2)=-1
去括号得:3x-6=-1
移项并合并同类项得,3x=5 ∴
你认为张明解方程的过程有错误吗 如果有,请指出错在哪一步 并说明错误的原因.你能解这个方程吗 并与同伴交流自己的心得.
[点拔]张明在解方程的过程中,在方程两边同时除以一个含有未知数的代数式(x-2),这样得到的方程与原方程不一定是同解方程.因为含有未知数的代数式的值可能是0,这时变形的过程就是在方程左右两边同时除以0了,正确的解法应是:3(x-2)2+(x-2)=0,∴(x-2)[3(x-2)+1]=0 ∴(x-2)(3x-5)=0 ∴x-2=0或3x-5=0 ∴x1=2,x2=.这也就是本节学习的一元二次方程的一种解法——分解因式法.
[知能互动]
1.因式分解法解一元二次方程的根据:
如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,反过来,如果两个因式中有一个因式为0那么它们之积为0.
例如:(2x-1)(3-x)=0,则2x-1=0或3-x=0
(2-7x)(5x-3)=0,则 或
(2-7x=0 5x-3=0)
2.因式分解法解一元二次方程的方法及步骤:
解方程或方程组的思想方法是:消元和降次,解一元二次方程不存在消元的问题,而是需要降次,将二次转化为一次,因式分解法能帮助我们实现这一目标.用因式分解法解一元二次方程,一定要把方程化为右边为0,而左边为两个关于未知数的一次因式之积的形式.例如:一元二次方程(2x-1)(3x-)=0可转化为 , 两个一元一次方程.如方程(2x-1)(3x-)=2化为2x-1=1或是错误的.
分解因式法解一元二次方程的步骤为:
(1)将方程的右边化为0;
(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积;
(3)令每个因式为0,得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程得原方程的解.
(2x-1=0,3x-=0)
3.选择适当的方法解一元二次方程.
根据方程的不同特点,选择合适的方法解方程,可以使计算简便,效率提高.
选择解法的思路是:先特殊后一般.选择解法的顺序是:直接开平方法—因式分解法—公式法或配方法.
配方法是普遍适用的方法,但不够简便,一般不常用.不过对于二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要简单些.
[名题探究]
例1.用因式分解法解下列方程:
(1)(2x-1)2+3(1-2x)=0 (2)(1-3x)2=16(2x+3)2 (3)x2+6x-7=0
[解析](1)经过变形可以用提取公因式法;(2)经过变形可以用平方差公式分解法因式;(3)方程为一般形式,尝试用十字相乘法.
解;(1)原方程变形为：(2x-1)2-3(2x-1)=0 (2x-1)[(2x-1)-3]=0 ，
∴2x-1=0或(2x-1)-3=0。 ∴x1= x2=2。
(2)原方程变形为(1-3x)2-[4(2x+3)]2=0，
∴[(1-3x)+4(2x+3)][(1-3x)-4(2x-3)]=0
即(13+5x)(11x+11)=0 ∴ x2=-1
(3)原方程化为（x-7）(x+1)=0 ∴x1=7 x2=-1
[思路探究]用因式分解法解一元二次方程,关键是把方程化为左边为关于未知数的一次因式之积,右边为0的形式.
例2:用适当的方法解一元二次方程
(1)(2x-3)2=9(2x+3)2 (2)x2-8x+6=0
(3)(x+2)(x-1)=10 (4)2x2-5x-2=0
[解析](1)方程两边为完全平方式,可以移项使方程一边为0,另一边用平方差公式分解因式,因而可用因式分解法来解,但运用直接开平方法解更简便.(2)方程是一般形式,且不易用因式分解法解,可以考虑用公式法解,但此题的二次项系数为1,一次项系数为偶数,用配方法解更简便.(3)不经过变形,无”法”可解,先将其化为一般形式,再观察其特征选择解法.(4)不宜用直接开平方法,因式分解法,就用公式法求解.
解(1)方程两边开平方,得:2x-3=±3(2x+3) 2x-3=3(2x+3)或2x-3=-3(2x+3)
解这两个一元一次方程得,x1=-3,x2=。
(2)移项得:x2-8x=-6 配方得:x2-8x+16=-6+16 (x-4)2=10 x-4=±
x-4=± 或x-4= ∴x1= x2= －
(3)将原方程化为一般形式,得x2+x－12=0， (x-3)(x+4)=0， x-3+0或x+4=0，
∴x1=3或x2=-4。
(4)将方程化为一般形式,得:2x2-5x-2=0 ∴b2-4ac=(-5)2-4×2×(-2)=41。
x= ∴ 。
[思路探究]在解一元二次方程时，若方程不是一般形式，不要首先把它化为一般形式，而要观察其是否能直接开平方或因式分解法解答，若不能直接采用某种方法，就将其化为一般形式，尝试用因式分解法求解，若不易分解的考虑用公式法求解，配方法最麻烦，除系数非常特殊外，一般不采用此法。
例3．解方程(4x-1)2-3(1-4x)-4=0
[解析]本例有三种解法：（1）先化为一般形式求解；（2）将方程化为(4x－1)2+3(4x－1)-4=0,再令4x－1=y,使原方程化为y2+3y－4=0;（3）将(4x－1)看作一个整体，则(4x—1)2+3(4x－1)－4=0可以看作是关于(4x－1)的方程。
解法一：原方程化为(4x－1)2+3(4x－1)-4=0，令4x-1=y，则方程化为y2+3y-4=0
∴(y+4)(y-1)=0 ∴y1=-4 y2=1 当y1=-4时，4x-1=-4 ∴
当y2=1时，4x-1=1 ∴
解法二：原方程化为(4x－1)2+3(4x－1)-4=0
[（4x-1）+4][(4x-1)-1]=0 ∴4x-1+4=0或4x-1-1=0 ∴
解法三：原方程化为8x2+2x-3=0 (4x+3)(2x-1)=0 ∴
[思路探究]一题多解，培养思维灵活性。结合方程的特征，从不同的思考问题角度出发就是不同的解法。
[中考链接]
例4．阅读下题的解答过程，请判断是否有错？若有错误，请给出正确解答。
已知m是关于x的一元二次方程mx2-2x+m=0的一个根，求m的值。
解：把m代入原方程，化简得m3=m，两边同除以m，得m2=1,∴m=1,把m=1代入方程，检验知m=1符合题意。
[解析]本例的解法中出现了两处错误：（1）方程两边同时除以含未知数的整式；（2）开平方时遗失了负的平方根。
解：正确的解法是：把x=m代入原方程，得m3-m=0,即m(m+1)(m-1)=0 ∴m1=0,m2=-1,m3=1。
又∵方程mx2-2x+m=0为一元二次方程, ∴m≠0 ∴m=1或-1。
[达标训练]
1.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)的最适当的方法是
A直接开平方法 B.配方法
C.公式法 D.因式分解法
2.方程的根是
A.x=1 B. C. D.以上均不对
3.若要使2x2-3x-5的值等于4-6x的值,则x应为
A. B. C. D
4.若(a2+b2)(a2+b2-2)=8,则a2+b2=
A.-2 B.4 C.4或-2 D.-4或2
5.若方程x2+ax-2a=0的一根为1,则a的取值和方程的另一根分别是
A.1,-2 B.-1,2 C.1,2 D.-1,-2
6.若a、b、c为三角形ABC的三边,且a、b、c满足(a-b)(a-c)=0,则△ABC为 三角形.
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或等边三角形
7.一元二次方程x2-3x-1=0与x2-x+3=0的所有实数根之和为
A.2 B.-4 C.4 D.3
8.对方程(1)(2x-1)2=5,(2)x2-x-1=0,(3)选择合适的解法是
A.分解因式法、公式法、分解因式法
B.直接开平方法、公式法、分解因式法
C.公式法、配方法、公式法
D.直接开平方法、配方法、公式法
9.若则x的值为
A.2 B.2或 C. D.以上均不对
10.若x2-5∣x∣+4=0,则所有x值的和是
A．1 B.4 C.0 D.1或4
11.一元二次方程当一边是 ,而另一边是 时,方程就可以用因式分解法来解.
12.方程的根是
方程(x-2)2=2-x的根是 ；方程(x-5)(x+2)=9的根是 。
13.方程(2y+1)2+3(2y+1)+2=0的解是 ,当x= 时,分式没有意义。
14．已知方程x2-x-m=0有整数根，则整数m= 。(填上一个你认为正确的答案)
15．已知3x2y2-xy-2=0，则x与y之积等于
16．关于x的一元二次方程(m+2)x2+x-m2-5m-6=0有一根为0，则m= 。
17．方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1,x2，且x1>x2,则x1-2x2的值是 。
18．方程x2=∣x∣的解是 。
19．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2,则此长方形的周长为
20．有一间长20米，宽15米的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的 ，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为
21.选用适当的方法解下列方程:
(1)(3-x)2+x2=9 (2)(2x-1)2+(1-2x)-6=0
(3)(3x-1)2=4(1-x)2 (4)(x-1)2=(1-x)
22.解下列关于x的方程:
(1)x2+(1+2)x+3+=0 (2)x2-3|x|-4=0
(3)(x-3)2+(x+4)2-(x-5)2=17x+24
23．已知c的定数，并且x2-3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x-c=0的一个根，你能求出方程x2+3x-c=0的根和C 的值吗？
24．方程(2002x)2-2001×2003x-1=0较大根为a,方程x2-2002x-2003=0的较小根为b,求(a+b)2003的值.
25.已知等腰三角形两边长分别是x2-8x+15=0的两根，求此等腰三角形的周长。
26．已知是方程x2-4x+C=0的一个根，求方程的另一个根及C的值。
27．我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根x1,x2,则, ，则x1+x2= ,
x1x2= .
请运用上面你发现的结论,解答问题:
已知x1,x2是方程x2-x-1=0的两根,不解方程求下列式子的值:①x12+x22,②,③(x1+1)(x2+1).
答案提示
1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.C 7.C 8.B 9.C 10.C
11.两个关于未知数的一次因式之积,0
12.;x1=2,x2=1;x1=6,x2=-3 13.y1=-1,;1或-3 14.-2(答案不唯一) 15. 16.-3 17.0 18.x1=0,x2=1,x3=-1 19.12cm2 20.5米
21.解 (1) (1)(3-x)2+x2=9,移项得:(3-x)2+x2-9=0
(x-3)2+(x+3)(x-3)=0, (x-3)[(x-3)+(x+3)]=0,
x(x-3)=0, 所以 x1=0,x2=3
(2)(2x-1)2+(1-2x)-6=0,(2x-1)2-(2x-1)-6=0
(2x-1-3)(2x-1+2)=0,(2x-4)(2x+1)=0
所以x1=2,x2=-
(3)(3x-1)2=4(1-x)2, (3x-1)2-[2(1-x)]2=0,
[(3x-1)+2(1-x)][(3x-1)-2(1-x)]=0,即(x+1)(5x-3)=0
所以 x1=-1,x2=.
(4)(x-1)2=(1-x), (x-1)2+(x-1)=0,
(x-1)( x-+1)=0 所以x1=1,x2=
22.解:(1) x2+(1+2)x+3+=0 ,(x+)( x++1)=0
所以x1=-,x2=--1.
(2)x2-3|x|-4=0,所以|x|2-3|x|-4=0,
所以(|x|-4)(|x|+1)=0,又因为|x|+1>0,
所以|x|-4=0,所以|x|=4,所以x1=4,x2=-4
(3)(x-3)2+(x+4)2-(x-5)2=17x+24
所以x2-5x-24=0,所以(x-8)(x+3)=0,
所以x1=8,x2=-3.
23.解:设方程x2-3x+C=0的一个根为a,则-a是x2+3x-a=0的一个根,由题意得:
由(2)-(1)得C=0,当C=0 时,x2-3x+C=0变为x2-3x=0 ∴x1=0,x2=3
25.解:∵x2-8x+15=0 ∴(x-3)(x-5)=0 ∴x1=3，x2=5，即这个等腰三角形两边长为3，5.
当腰长为3时，底边为5，则周长为11; 当腰长为5时，底边为3，则周长为13.
26．解：当时，，∴,∴c=-1. ∴原方程为:x2-4x+1=0.
∴ ∴除以外的另一根为
27． 根据结论有：x1+x2=1,x1x2=-1
∴(x1+x2)2-2x1x2=1-2×(-1)=3
(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-1+1+1=1.
2.5为什么是0.618
[本节必学]
1.经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解实际问题的重要性.
2.通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题,解决问题的能力.
[预习导引]
在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下:
试题:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元
解:设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为(40-x)元,但每天可多销出2x件,每天可卖(20+2 x)件,根据题意可列方程:
(40-x)(20+2x)=1200 方程化简整理为:x2-30x+200=0 解得:x1=20 x2=10
答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元.
当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢 你能帮赵亮同学找找原因吗 与同伴交流自己的想法.
[点拔]当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元,因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题,不能漏掉任何一个条件.
[知能互动]
1.列一元二次方程解应用题的特点:
一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可用算术方程解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法求解.
由于一元二次方程的次数为二次,所以其应用相当广泛,其中面积问题,两次增长的平均增率和储蓄问题,经营问题,数字问题中涉及到积的一些问题,都是代表类型.
(1)数字问题:要能正确地表示诸如多位数,奇偶数,连续整数的形式.
如:一个三位数abc可表示为
连续两个偶数可表示为
连续两个整数可表示为
这类问题常常间接设未知数,相等关系由题目的关键语句”译”出.
(2)平均增长率(增长率或降低常)问题;在此例问题中,一般有变化前的基数(a),增长率(x)变化的次数(n),变化后的基数(b),这四者之间的关系可用公式___________ 表示.
这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语”译”出.
(3)经营问题,这也是近年来中考中出现频率高的应用问题.
在这类问题中有进价(a)售价(b)利润(p)件数(n)等相关的量.这些量之间的关系可用公
式 表示,同时件数(n)又经常与售价(b)关联,在解答此类问题时,一定要准确地找到反映它们关系的代数式.
(4)其它问题,在近年的中考中,常常出现一些贴进生活,生产的实际问题,如:规划、方案设计、测量统计、几何应用,与物理及其它学科之间的渗透的问题等.解答这些问题时,等量关系一般从已知公式或题目中的关键词句”译”出.
(1.(1)100a+10b+c 2n 2n+2 n n+1 (2)a(1+x)n=b (3)p=(b-a)n)
2.列一元二次方程解应用题的一般步骤:
和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的步骤可归纳为”审,设,列,解,答”.
(1)审:认真审题,分析题意,弄清已知和未知,寻找相等关系;
(2)设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数.到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出方程为准则.
(3)列:就是根据题目中的已知量与未知量之间的相等关系列出方程.
(4)解:就是求出所列方程的解.
(5)答:就是书写答案,在答之前应对解得的方程
的解进行检验,舍去不符合实际意义的解.
3.如何探求应用问题中的等量关系.
列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量关系.如何迅速地探求出相等关系列出方案呢
(1)要正确熟练地作语言与式子的互化.
(2)充分运用题目中所给的条件.
(3)要善于发现利用间接的,潜在的等量关系.
(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找相等关系.
①利用题目中的关键语句作为相等关系.
②利用公式、定理作为等量关系.
③从生活、生产实际经验中发现等量关系.
[名题探究]
例1.已知一直角三角形三边长为三个连续偶数,试求这个直角三角形三边长及面积.
[命题意图]本例考查列一元二次方程解答有关的数字问题.
[解析]用含未知数的代数式表示出三个连续的偶数,再根据勾股定理列出方程求解.
解:设直角三角形三边长分别为n,n+2,n+4,(n为偶数)根据题意可列方程:n2+(n+2)2=(n+4)2。
化简,整理,得:n2-4n-12=0 解得: n1=6,n2=-2 由于三角形的边长不能为负数,所以取n=6
∴n+2=8,n+4=10 即,两直角边为6,8,斜边为10. 三角形面积为.
答:直角三角形三边长为6,8,10,面积为24.
[思路探究]几何中的定理是我们列方程的等量关系的重要来源.
例2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为12万元,求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少
[命题意图]本题主要考查平均增长率问题.
[解析]本例属于平均增长率问题,若设平均增长率为x,则今年的投资额为2(x+1)万元,明年的投资额为2(x+1)2万元,由今明两年的投资总额为12万元可列方程.
解:设这两年在实验器材投资上的平均增长率为x,根据题意可列方程:2(1+x)+2(1+x)2=12化简整理得:x2+3x-4=0 解这个方程得:x1=1,x2=-4(负值不合题意,应舍去)
答:该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为100%.
[思路探究]在本例中,12万元是两年的投资总额,不是最后一年的投资额,不能错误地列出方程2(1+x)2=12;另外在解这个方程时,还可把(1+x)当作一个整体,用换元法解.
例3.如图2-5-1所示,△ABC中,∠B=90°,点P从A 点开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,经几秒钟,使△PDQ的面积等于8厘米2
(2)如果P,Q,分别从A,B同时出发,并且P到B点又继续在BC边上前进,Q点到达C点后又继续在CA边上前进,经过几秒钟,使△PCQ的面积等于12.6厘米2
[命题意图]本例主要考查一元二次方程知识与几何知识的综合运用,培养学生分析问题解决问题的能力. 图2-5-1
[解析]先用含未知数的代数式表示出三角形的底和高,再根据三角形的面积公式列方程.
解(1)如图2-5-1所示,设经过x秒,使得△PBQ的面积为8厘米2,则PB的长度为(6-x)cm,BQ的长度为2xcm,根据题意可列方程得:， 解之得:x1=2,x2=4 经过 2秒,点P到离B点4cm处,点Q到离B点的4cm处；经过4秒，点P距离B点2cm处,点Q到距离B点8cm处.即经过2秒或4秒,△PBQ面积为8cm2.
(2)设经过y秒,点P移到BC上,且有CP=(14-y) cm,点Q移到CA上,且有CQ=(2y-8) cm,作PD⊥AC于D.(如图2-5-1)
AC=由△CPD∽△CAB得 ∴PD=.
根据题意可列方程：
解这个方程得：y1=7,y2=11 当y=7时，点P在BC上距C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使△PCQ面积为12.62。
当y=11时，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，14>10，点Q已不在CA上，即此解不存在 ∴y=7
即经过7秒钟，△PCQ的面积为12.6厘米2.
[思路探究]象本例这一类动点问题一般要考查代数知识与几何知识的综合运用.解题的关键是要有动态观点,弄清点的运动特征.动态问题,作静态分析,分类讨论,列出方程.
例4.某儿童玩具商店将进货价为30元的一种玩具以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:这种玩具售价每上涨1元,其销售量将减少10个,为了实现平均每月12000元的销售利润,这种玩具的售价应定为多少 这时进这种玩具多少个
[命题意图]本例考查经营销售问题.
[解析]设每玩具涨价x元,则售价为(40-x)元,每一只玩具的利润为(40+x-30)元,销售的件数为(600-10x)件,根据总利润为12000元列出方程.
[思路探究]每一只玩具利润和销售总量均与上涨的价格有关,因而设上涨的价格为未知数较合适,用含未知数的代数式表示每一只玩具的利润和销售量.
[中考链接]
例5.(2002,河北,10分,限时10分钟)
某农户1988年承包荒山若干亩,投资7800元改造后种果树2000棵,其成活率为90%,在2001年夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果,称得重量如下(单位:千克):8,9,12,13,8,9,10,11,12,8
(1)根据样本平均数估计该农户2001年水果的总产量是多少
(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售1.1元,该农户用农用车将水果拉到市场出售,平均每天出售1000千克,需8人帮助,每人每天付工资25元,若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果,选择哪 种出售方式合理 为什么
(3)该农户加强果园管理,力争到2003年三年合计纯收入达57000元,求2002年,2003年平均每年增长率是多少
[命题意图]本例考查平均数意义及应用,方案的选择,平均增长率等知识.
[解析](1)中由样本平均数估计出总体平均数,进而估计出2001年水果的总产量,(2)通过计算,比较哪种销售方式所获收入多,(3)根据2001,2002,2003年纯收入的和为57000元,列方程求解.
解(1)(千克)
∴2001年水果总产量为2000×90%×10=18000(千克)
(2)在果园出售时收入为1.1×18000=19800元
送到市场销售收入为23400元,用人工费为3600元,实际收入19800元,因市场销售还有运输费等费用,故在果园出售合理.
(3)设平均每年的增长率为x,根据题意可列方程:(19800-7800)[1+(1+x)+(1+x)2]=57000
解得:x1=-3.5(不合题意,应舍去)x2=0.5=50%
答(1)2001年的水果总产量为18000千克.(2)在果园销售合算.(3)年平均增长率为50%.
[达标训练]
(一)基础知识
1.某商品两次价格下调后,单价从5元变为4.05元,则平均每次调价的百分率为
A.9% B.10% C.11% D.12%
2.容器里装满纯酒精,倒出一半后用水加满,再倒出,再用水加满,此时容器内酒精浓度为
A.15% B.12.5% C.37.5% D.25%
3.某超市一月份的营业额为200万元,一,二,三月份的营业额为1000万元,设平均每月的营业额为增长率为x,则由题意列方程为
A.200+200×2x=1000 B.200(1+x)2=1000
C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
4.从正方形的铁片上,截去5cm宽的一个长方形铁皮,余下的面积为84cm2,则原来正方形面积最大可能为 cm2.
A.84 B.109 C.144 D.420
5.一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调下得到一个两位数,这两个数之积是2296,则这个两位数为
A.28 B.82 C.28或82 D.不确定
6.元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则这个小组共有 人.
A.11 B.12 C.13 D.14
7.北京市政府为迎接2008年奥运会,决定改善城市面貌,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均每年绿地面积的增长率是
A.19% B.20% C.21% D.25%
8.两个连续奇数的平方和为202,则这两个奇数是
9.直角三角形的面积为6,两直角边的和为7,则斜边长为
10.某工厂第一季度平均每月增产10%,一月份产值a元,那么三月份产值为
11.一块耕地大小尺寸如图所示,要在这块耕地上沿东西和南北方向分别挖二条和四条水渠,如果水渠的宽相等,而且要保证余下的可耕地面积为9600平方米,那么水渠应挖多宽
12.某网络公司2000年各项经营收入中,经营电脑配件收入600万元,占全部经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入达到2160万元,且计划从2000到2002年每年经营总收入的年增长率相同,问2001年的预计经营总收入为多少万元
13.用篱笆围成一个长方形花坛,其中一面靠墙,且在与墙平行的一边开一个2米宽的门,现有能围成91米长的篱笆,墙长为50米,花坛的面积要达到1080平方米,你能设计出符合要求的方案吗 不妨试试看.
14.据2001年中国环境状况公报,我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里,其中风蚀造成水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里.(1)问水蚀,风蚀造成的水土流失面积各是多少平方公里 (2)西北某省重视水土流失问题,2001年治理了水土流失面积400平方公里,该省逐年加大治理力度,计划今明两年治理水土流失面积都比前一年增长 一个相同的百分数,到2003年底,使这三年治理水土流失面积达到1324平方公里,求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数.
15.某玩具厂生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元),售价为每只P(元),且R,P与x的关系式为R=500+30x,P=170-2x,当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元
(二)学以致用
16.已知直角三角形周长为,斜边上的中线长为1,求这个直角三角形的面积.
17.某公司向银行贷款20万元资金,约定两年到期时一次性还本付息,利息是本金的12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金及利息外,还盈余6.4万元,若在经营期间每一年比前一年资金增长百分数相同,试求出这个百分数.
18.某电厂规定,该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A度,那么这居民这个月只须交10元电费;如果超过A度,则这个月除了仍要交10元的用电费以外,超过的部份还要每度按交费.
(1)该厂某户居民2月份用电90度,超过了规定的A度,则超过的部份应交电费 多少元(用A表示)
(2)下表是这户居民3月、4月用电情况和交费情况:
月份 用电量(度) 交电费总数(元)
3 80 25
4 45 10
根据上表数据,你能求电厂规定的A的值吗 试试看.
19.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AB于D,已知AB=4 cm,你能求出底边BC吗 试试看.
(三)综合提高
20.如图所示,客轮沿折线A---B---C从A点出发经B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速度直线航行,将一批货物送达客轮,两船同时起航,并且同时到达折线A-----B---C的某点E处,已知AB=BC=200海里,∠ABC=90°,客轮是货轮速度的2倍.
(1)选择:两船相遇之处E点
A.在线段AB上 B.在线段BC上
C.可以在线段AB上,也可以在线段BC上
(2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里
21.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品 每件商品售价多少元
22.宏达汽车租货公司共有出租车120辆,每辆汽车的日租金为160元,出租业务天\天供不应求,为适应市场需求,经有关部门批准,公司准备适当提高日租金,经市场调查发现,一辆汽车日租金每增加10元,每天出租的汽车相应地减少6辆.若不考虑其它因素,公司将每辆汽车的日租金提高几个10元 (1)能使公司的日租金总收入达到19380元 (2)使公司的日租金总收入最高 最高是多少
[名题探究]答案提示
例4.解:设每件玩具涨价x元，根据题意可列方程：(40+x-30)(600-10x)=12000
解之，得：x1=20,x2=30 检验知x1=20,x2=30均符合题意
所以，每只玩具售价应定为60元或70元，进货量应为400只或300只。
[达标训练]答案提示
（一）基础知识
1．B 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.-11,-9或9,11 9.5 10.1.21a元
11.解:如图所示,把这六条路移到靠边的部位,设路宽为x米,根据题意可列方程(162-2x)(64-4x)=9600, 整理为:x2-97x+96=0 解之:x1=1 x2=96 .
而x2=96不符合题意
∴ x=1
答:路宽为1米.
12.解:2000年的经营总收入为600÷40%=1500(万元)
设年增长率为x,则1500(1+x)2=2160 (1+x)2=1.44 1+x=±1.2(舍去1+x=-1.2)
∴1500(1+x)=1500×1.2=1800(万元)
答:2001年预计经营总收入为1800万元.
13.解:设垂直于墙的边长为x米,则平行于墙的长为(91+2-2x)米,根据题意,得x(91+2-2x)=1080
解之:x1=24,x2=22.5 经检验均符合题意. 当x1=24时,91+2-2x=45;当x2=22.5时,91+2-2x=48米
答:花坛的长和宽分别为45米,24米或48米,22.5米.
14.解(1)设水蚀造成的水土流失面积为x平方公里,则风蚀造成的水土流失面积为(x+26)万平方公里,根据题意有:x+(x+26)=356, 解之:x=165, ∴x+26=191.
故水蚀与风蚀造成的水土流失面积分别为165万平方公里和191万平方公里.
(2)设该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数为x,依题意,得400+400(1+x)+400(1+x)2=1324 解得:x1=0.1 x2=-3.1(不符合题意,应舍去)
故平均每年增长的百分数为10%
15.解:依据题意有(170-2x)x-(500+30x)=1750, 解之得x1=25,x2=45(不符合题意应舍去),即日产量为25只时,每月获得利润为1750元.
(二)学以致用
16.解:设直角边分别为a,b,根据题意有:a+b=①,②,①2-②2得:2ab=1.
∴.
答:此三角形面积为.
17.解:设这个百分数为x,根据题意有:20(1+x)2=6.4+20(1+12%). 解得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意应舍去).
答:这个百分数为20%.
18.解(1) (2)根据题意有, 解之:A1=50,A2=30(不符合题意应舍去). 故电厂规定的A值为50度.
19.解:∵∠A=36°,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=72°. 又∵BD平分∠ABC, ∴∠DBC=36°, 在△CBD与△CAB中,∠C=∠C=72°, ∠CBD=∠A=36° ∴△CBD∽△CAB ∴ . ∴BC2=AB·CD.
又∵BC=BD=AD, ∴AD2=AC·CD, 设AD=x, 则CD=(4-x) ∴x2=4(4-x) 即x2+4x-16=0. 解之:
x1=-2+ (不合题意应舍去) ∴BC的长为()cm.
20.(1)B (2)货轮从出发到两船相遇共航行了海里 提示:设货船从出发到两船相遇共航行了x海里,过D作DF⊥CB于F,连结DE,则DE=x AB+BE=2x ∵D是AC中点 ∴DF=100 ,EF=300-2x, ∴ x2=1002+(300-2x)2.
21.解:设每件商品应售x元,才能使商店赚400元,根据题意,得(x-21)(350-10x)=400 解之得:
x1=25 x2=31(不合题意应舍去). 当x1=25时,350-10x=350-250=100.
答:该商店需要卖出100件商品,每件商品应售25元,才使商品赚400元.
22.解1)设公司将每辆汽车日租金提高x个10元,才能使公司的日租金总收入达到19380元,根据题意有(160+10x)(120-6x)=19380 即x2-4x+3=0 解之得x1=1 x2=3 检验知x1=1 x2=3均符合题意.
故公司将每辆汽车租金提高10元或30元,公司的日租金总收入达到19380元.
(2)设公司的将每辆汽车日租金提高x个10元,则公司每天出租的汽车为(120-6x)辆,则每天的租金总收入为
(160+10x)(120-6x)=-60(x+16)(x-20)=-60(x2-4x-320)=-60[x2-4x+4-324]=-60(x-2)2+19440 ∴当x=2时,此时有最大值19440 即公司将每辆汽车的日租金提高2个10元时,公司的日租金收入最高,最高租金收入为19440元.
[数学史话]
《九章算术》是哪九章
我们经常听到或看到《九章算术》这个词或书名,可是, 《九章算术》到底是哪九章却是很多人不知道的.
《九章算术》是我国流传至今最早的数学专著之一,它成书于我国汉代,距今一千九百年,全书264个问题,按性质分为九类,组成九章.
第一章”方田”
讲述各种平面图形有地亩面积算法及分数的运算法则.
第二章”粟米”
讲述各种粮食比例及四项比例算法.
第三章”衰分”
讲述配分比例算法.
第四章”少广”
讲述开平方,开立方问题.
第五章”商功”
讲述各种立体图形体积算法.
第六章”均输”
讲述比较复杂的配分比例计算法.
第七章”盈不足”
讲述盈亏问题的解法.
第八章”方程”
讲述线性方程组(一次方程组)的解法.
第九章”勾股”
讲述勾股问题解法及勾股测量的问题.
对于每一类应用题,书中都给出了统一的解法,相当于定理和公式.
第二章单元检测题
一.填空题:
1.将方程(2-x)(x+1)=8化为二次项系数为1的一元二次方程的一般形式是_________,它的一次项系数是___________,常数项是___________.
2.若方程x2-6x+k=0的一根为1,则k=___________,另一根是__________.
3.若kx2+x=2x2+1是一元一次方程,则k=______________.
4.若方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则m=____________.
5.当a=________时,方程(x-1)2-a=0有实根,这时实根是____________.当a__________________时,方程无实根.
6.若a2+b2+2a-4b+5=0,则关于x的方程ax2-bx+5=0的根是___________.
7.解关于x的方程(2x+m)(3x-n)=0的根是_____________________.
8.已知x=-1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则=__________.
9.某人购买某种债券2000元,两个月后获纯利311.25元,则购这种债券的月利率是__________.
10.要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边是10cm的直角三角形,则两直角边长分别是________________.
二.选择题
11.方程2x(x-3)=5(x-3)的根是( )
A.x= B.x=3 C.x1=,x2=3 D.x=-
12.用直接开平方法解方程(x-3)2=8,得方程的根为( )
A.x=3+2 B.x=3-2 C.x=3±2 D.x=3±2
13.一元二次方程ax2-c=0(a≠0)的根是( )
A. B. C. ±
D.a、c异号时,无实根; a、c同号时,两根是±.
14.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是x=0,则a的值是( )
A.1 B.-1 C.1或-1 D.
15.若1-=9,则的值是____________.
A.4 B.-2 C.4或-2 D. ±3
16.解下列方程x2-6x+7=0,2x2-50=0,3(4x-1)2=(1-4x),3x2-5x-6=0,较简便的方法依次是( )
A.因式分解法、公式法、配方法、公式法
B.用配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法
C.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
D.公式法、直接开平方法、因式分解法、配方法
17.有一个两位数,它的数字和等于8,交换数字位置后,得到的新的两位数与原两位数之积为1612,则原来的两位数为
A.26 B.62 C.26或62 D.以上均不对
18.若(x2+y2)(x2+y2+6)=7,则x2+y2的值是
A.-1 B.1 C.7 D.-7
19.若2x2+x-4=0则4x2+2x-3=0的值是
A.4 B.5 C.6 D.8
20.将进货单价为40元的商品按50元出售时,售出500个,经市场调查发现:该商品每涨价1元,其销量减少10个,为了赚8000元,则售价应定为
A.60元 B.80元 C.60元或80元 D.70元
三.解答题
21.用适当的方法解下列方程
(1)x2-4x+1=0 (2)(5x-3)2+2(3-5x)=0
(3)(2x-)2=32 (4)4x2+2=7x
22.已知方程(m+2)x∣m∣+(m+1)x+3m-7=0,(1)若它是关于x的一元二次方程,求m的值,并求出此时一元二次方程的根.(2)若它是关于x的一元一次方程,求m的值.
23.阅读材料,解答问题.
为解方程(x2+1)2-5(x2+1)-6=0,我们将x2+1视为一个整体,然后设x2+1=y,则(x2+1)2=y2,原方程化为y2-5y-6=0,(1)解得y1=6,y2=-1.当y=6时,x2+1=6 ∴x2=5 ∴x=±,当y=-1时,x2+1=-1这不成立
∴原方程的解为
解答问题(1)填空:由原方程得到方程(1)的过程中,利用 法达到了降次的目的.体现了 的数学思想.
(2)解方程:x4-x2-12=0
24.填空:
(1)方程x2+2x+1=0的根x1= ,x2= ,x1+x2= ,
x1x2= .
(2)方程x2-3x-1=0的根x1= ,x2= ,x1+x2= ,
x1x2= .
(3)方程3x2+4x-7=0的根x1= ,x2= ,x1+x2= ,
x1x2= .
由(1)(2)(3)你能得到什么猜想 你能证明你的猜想吗
25.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1,且a,b满足等式试求方程=0的根.
26.若方程(2003x)2-2002×2004x-1=0的较大根为a,方程x2-2003x-2004=0的较小根为b,求a-b的值.
27.某商场第一年初投入50万元进行商品经营,以后每年年终将当年获得的年利润与当年年初投入资金相加所得的总资金,作为下一年年初投入资金继续进行经营.
(1)如果第一年的年利率为p,则第一年年终的总金可用代数式表示为 万元.
(2)如果第二年的年获利率比第一年的年获利率多10个百分点,第二年年终的总资金为66万元,求第一年的年获利率.
28.某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,现在采用提高售价,减少进货量的方法增加利润,已知这种商品每涨价0.5元,其销量就减少10件.
(1)要使每天获得利润700元,请你帮忙确定售价.
(2)问售价定在多少时,能使每天获得的利润最多 并求出最大利润.
[单元检测]答案提示
一.1.x2+5x-6=0,5,-6 2.5,5 3.2 4.2 5.a≥0,x=,
a<0 6. 7., 8.1 9.7.5% 10.6cm,8cm 二.11.C 12.D 13.D 14.B 15.C 16.B 17.C 18.B 19.B 20.C
三.21解(1)x2-4x=-1 x2-4x+4=3 (x-2)2=3 ∴x-2=±
∴x1=2+,x2=2- (2)(5x-3)2-2(5x-3)=0 (5x-3)(5x-3-2)=0
(5x-3)(5x-5)=0 ∴ x2=1 (3)2x-
∴ (4)4x2-7x+2=0 这里a=4,b=-7,c=2
∴b2-4ac=49-4×4×2=17 ∴
∴
22.解1)要使此方程是一元二次方程,则必须∣m∣=2且m+2≠0,∴m=2此时方程即为:4x2+3x-1=0,解得x1=,x2=-1 (2)要使此方程是一元一次方程,则须m+2=0或∣m∣=1,当m+2=0,即m=-2时,方程即为-x-13=0,当m=1时方程为5x-4=0,当x=-1时,方程为x-10=0 ∴当m=-2或±1时,此方程为一元一次方程.
23.解1)换元,转化 (2)方程化为(x2)2-x2-12=0 设x2=y,则y2-y-12=0 解之y1=4,y2=-3 又∵x2≥0 ∴y=4 即x2=4 ∴x=±2 ∴方程的根为x1=2,x2=-2
24.解1)x1=1,x2=1,x1+x2=2,x1x2=1 (2)
x1+x2=3,x1x2=-1 (3),x1+x2=,x1x2=
由(1)(2)(3)猜想到:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根x1,x2,则x1+x2=,x1x2=
证明:如果ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根x1,x2,
则
25.解:∵ ∴a2-16=0,且a+4≠0 ∴a=4,b=-
又∵ax2+bx+c=0有一根0为1， ∴a+b+c=0 ∴c= ∴方程+c=0
即为 ∴y2=15 ∴y1=.
26.解:(2003x)2-2002×2004x-1=0 化为20032x2-(2003-1)(2003+1)x-1=0
∴20032x2-20032x2+x-1=0 20032x(x-1)+(x-1)=0 ∴(x-1)(20032x+1)=0
∴x1=1,x2= ∴a=1 x2-2003x-2004=0 ∴(x-2004)(x+1)=0
∴x1=2004,x2=-1 ∴b=-1 ∴a-b=2
27.解：（1）50(1+p) (2)设第一年的年获利率为x,依题意有:50(1+x)(1+x+)=66 解这个方程并舍去不符合题意的根得x=10% 即：第一年的年获利率为10%
28.解1)设商品应提价x元,才能获得利润700元,根据题意可列方程(10+x-8)(200-20x)=700 解之得:x1=3,x2=5 故商品应是价为每件13元或15元才能获得利润700元. (2)设商品应提价x元,则所获利润为(10+x-8)(200-20x)=-20
(x2-8x-20)=-20[(x2-8x+16)-36]=-20(x-4)2+720 ∴当x=4时,此式有最大值720.即:商品每件定价为14元时,每天获得最大利润为720元.
实际问题的解,不仅要满足所列方程,还应符合题目中的每一个条件.
列一元二次方程解应用题时,一般会产生两个解,必须检验每个解是否符合题意,正确取舍.
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