一元二次方程根与系数的关系[下学期]

《发现一元二次方程根与系数的关系》说课稿
路桥实验中学 郑萍芳
一、教材分析：
《发现一元二次方程根与系数的关系》是九年级上册第二十二章的观察与思考中的一个选学内容，。它是学生在学习了一元二次方程的各种解法及根的判别式之后，来进一步揭示根与系数的关系。学好本节内容学生今后在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思路和方法，而且许多时候比直接用根的定义求解方便简洁得多。而且学好本节内容，对高中进一步学习解析几何具有重要作用，解析几何中凡是涉及到线段中点、对称、直线和二次曲线的相交等问题，都要用到根与系数的关系。同时本节学习内容本身是探究性学习的好素材，里面有许多探究性的因素可挖掘。与原教材相比，本节内容新教材的着眼点在于探究性学习，以探究性学习来发展学生的思维能力。基于以上思考，我认为本节课虽是选学内容，但它具有非常好的教学价值，很值得学生学习。
二、教学目标
根据教材的内容及其在教材体系中的作用和地位，确定本节课的教学目标如下：
1、知识目标：
经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，学生最终要能说出一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根x1，x2与系数a、b、c的关系并学会简单运用。
2、能力目标
让学生通过“一元二次方程根与系数关系”的探索，体会“观察—归纳—猜想—证明”的数学思想方法，以及在这一过程中培养学生语言归纳和表达的能力。
3、情感目标：
结合数学家的故事培养学生勇于探索的精神并渗透一元二次方程根与系数关系的简单美、和谐美。
为了实现以上教学目标，确定本节课的教学重点是：一元二次方程根与系数的关系探究过程及其推导。怎样正确理解根与系数的关系是本节课的难点．
三、学情分析：
1、认知方面：学生在前面根的判别式学习过程中已经进行了根的情况与系数关系的探索学习，这为学生对根与系数关系进行进一步的探究打下了基础；
2、能力方面：九年级学生已具备一定的逻辑思维能力和探究学习能力；
3、情感与学习风格方面：我所任教的两班学生，学习积极性较高，对探究性学习很感兴趣，但语言概括能力与合作交流能力有待加强．
四、过程分析：
1 ．创设情景 发现问题
(1) 教师提出：给同学们一个考老师的机会，你们可以任意给定两个整数根，老师能迅速给出它们对应的二次项系数为 1 的方程。
学生出题，教师快速应答。
(2) 师：你们想知道这其中的奥秘吗 解决下面问题，答案就在其中。
问题一：方程 x 2+mx+n=0 (m 2 -4n ≥ 0) 的两根 x1 ， x 2 与系数具有怎样的关系
设计意图：通过以上活动激发学生想知道老师为什么这么快就能得出结论的好奇心，从而对根与系 数关系的进一步探索产生极大的兴趣。
2、探究问题，形成猜想
①观察发现
教师充分利用课堂中动态生成的资源，把上一环节师生互动中生成的资源以下表的形式预以整理呈现 ，并预留一部分空间让学生填写，让学生在小组内分工、协作，例如有的给根，有的根据所给根写出相应的的方程，有的验证方程是否写正确。这里不同水平的学生研究的深度与高度可有所区别，如一般的学生只研究根为整数的情况，学有余力的学生可研究根为分数的情况甚至根为无理数的情况。最后共同观察、探究根与系数的关系。
设计意图：开放的设计可开拓学生的视野，丰富过程资源的生成。
一元二次方程的两个根 对应的一个二次 项系数为 1 的方程 考察根与系数的关系
x 1 x 2 x 2+mx+n=0
②交流和汇报。
在学生充分观察、活动的基础上，组织学生进行归纳交流，教师根据学生的实际情况，重点引导学生得出猜想：x 1+ x 2=-m ， x 1 x 2 =n。
③探索验证的方法。
从实验中观察、归纳、猜测出的结论还要想办法去证明。引导学生求根公式进行演绎证明。
3、验证猜想，得出结论
在学生充分思考的基础上师生共同完成整个证明的推导过程。
结论：对于任意一元二次方程x2 +mx+n=0 （m，n是系数）两根有x1+ x2=-m ，x1 x 2 =n的关系。
师：明白老师刚才为什么如此快地回答问题了吗 谜底在哪儿
设计意图：在让学生感受探究要经历的全过程，从而学会探究。因为学会探究比探究本身更重要。
4、类比引申，再探新知
对于二次项系数不是1的一元二次方程，它的两根又与系数有怎样的关系？
1 方程 5 x 2 +x-2=0 它的两根 x 1 ,x 2 的和与积是多少 你怎样获得
设计意图：先设计一具体问题作铺垫，引导学生对具体问题进行观察和研究，为下面类比、猜想、归纳提供可能。
预计学生可能有各种思路和方法，如求根公式先求出两根计算或方程两边同除5转化为x 2+mx+n=0等，教师可都给予充分的肯定并突出转化思想。 在以上初步感知结论的基础上提出
②若方程为一般形式“ ax 2 十 bx 十 c ＝ 0(a ≠ 0 ， b2 一 4ac ≥ 0) ”它的两根 x1 ,x2 与系数又有怎样的关系呢
(设计意图：根据初中生的思维特点还是以具体、形象思维为主，这样从具体到一般更符合学生的认知规律和思维特点。)
结论：方程ax 2 十 bx 十 c ＝ 0 (a ≠ 0 ， b 2 一 4ac ≥ 0) 的两根x 1 ，x 2 有:
x 1+ x 2=-b/a ， x 1 x 2 =c/a的关系。
对这一结论的证明不需再花大量时间，重在引导学生作类比探究，因为前面对于二次项系数为 1 的方程已进行了充分的探索。
以上结论又叫韦达定理，是由法国伟大的数学家“韦达”首先发现的。同时，希望同学们在未来的数学史上成为中国的“韦达”。象祖冲之发现的圆周率，称“祖率”，陈景润证明“哥得巴赫猜想”称“陈氏定理”一样，将自己的名字载入史册。
(设计意图：介绍与本节内容相关的数学史料和数学家的故事，丰富学生的人文知识，激发学生勇于探究的精神。)
5、回顾反思，延伸发展
本节课我们探究了哪些内容？经历了怎样一个过程？体会到了哪些数学思想方法？布置课余探究题
提出问题：方程 x 2 +mx+n=0(m 2 -4n ≥ 0) 的两根 x 1 ， x 2 差与系数有什么关系？
(设计意图：让学生体会如何拓展研究知识的空间，发展新的问题。让学生课堂研究的兴致能在课外得到更好的延续。)
五、设计说明
1．注意培养学生的数学探究意识与能力
培养探究思维是进行探究学习的根本目标。但数学的许多定理和基本原理是我们前人在大量的实践中通过尝试、观察，归纳、猜想最后探索论证得出来。虽然这些数学知识对于我们成人来说是已知的，但对于学生来说是未知的。这些知识的获得过程，就是一次尝试探索真理、创新实践的过程。教学要关注学生的终身发展，所以本节课我就是本着这样一种精神进行教学设计，引导学生对一元二次方程根与系数的关系进行主动地探究。在探究学习的过程中发展学生的观察、归纳、猜测等多方面的能力。
2．有一定开放度的教学设计能使课堂更具生命的活力。
本课设计我力求开放，例如表格的设计我一反常态，数据学生挑，方程学生写，关系让学生无局限地去探索，最终使这张表格在动态生成中得以完成，使课堂教学更富弹性。当然这对教师课堂调控能力有了更高的要求。我曾主持过一动态生成式教学策略的课题，在实践中也积累了一定的开放性教学的经验。这样的设计更能体现与符合我本人的教学风格，多年的教学实践告诉我，只有开放性的教学设计，才会有资源的动态生成。有资源动态生成的课堂才是涌动着生命气息的课堂。
3．激发学生的学习需要
许多数学课中存在这样的问题，学生没有产生学习新知的需要，也不知道为什么要来学习这些内容，因而没有强烈的学习动机和欲望，达不到理想的教学效果。这节课我通过设定一个同学考老师情境让学生产生一种强烈的探究愿望。从而主动地开展下面的学习探索活动。如何让学生主动学习，主动发展，我认为关键是教师的教学设计要使学生产生主动学习的愿望。
PAGE
1