广东省汕头市聿怀中学2014届高三上学期期中考试数学（文）试题
文档属性
| 名称 | 广东省汕头市聿怀中学2014届高三上学期期中考试数学（文）试题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 232.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-11-27 15:49:51 | ||
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文档简介
聿怀中学2014届高三上学期期中考试数学文试题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题５分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设（i是虚数单位），则等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
２． 若的终边一定落在直线 （ ）上
A． B．
C． D．
３．函数的定义域为（ ）
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４．某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，
则可以输出的函数是（ ）
A． B．
C． D．
５．已知命题，
命题的解集是，下列结论，其中正确的是（ ）
A．命题“”是真命题 B．命题“”是真命题
C．命题“”是真命题 D．命题“”是假命题
6． 已知函数在R上可导，且，则与的大小关系是( )
A． B． C． D．不确定
7．设，则的大小关系是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
８．函数的零点个数为 （ ）
A.1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
9．函数在定义域R上不是常数函数，且满足条件：对任意R，都有, 则是 （ ）
A. 奇函数非偶函数 B. 偶函数非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D. 是非奇非偶函数
10．若函数在区间上的最大值为4， 则的值为 （ ）
A．1 B．-1 C．1或–1 D．0
11．如右图，函数f(x)＝ln x－x2的图象大致是 ( )
12．已知函数，则函数
的零点个数是 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
13．计算：
14．已知，则=_______ .
15．定义在上的函数，如果，则实数的取值范围为
16. 对于函数. 若有六个不同的单调区间，则的取值范围为
选做题（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
17．（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点P为方程所表示的曲线上一动点，点，则｜PQ｜的最小值为＿＿＿
18. (几何证明选做题) 已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线 AD和
割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB＝3，则切线AD的长为___ ___．
三、解答题：（本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.）
20．（ 13分）某高校组织的自主招生考试，共有1000名同学参加笔试，成绩均介于60分到100分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分为4组：第1组 [60,70），第2组[70,80），第3组[80,90），第4组[90,100]. 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在85分（含85分）以上的同学有面试资格.
（Ⅰ）估计所有参加笔试的1000名同学中，有面试资格的人数；
（Ⅱ）已知某中学有甲、乙两位同学取得面试资格，且甲的笔试比
乙的高；面试时，要求每人回答两个问题，假设甲、乙两人对每一
个问题答对的概率均为；若甲答对题的个数不少于乙，则甲比乙
优先获得高考加分资格.求甲比乙优先获得高考加分资格的概率.
21. （13分）设函数. （Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，且在区间内存在极值，求整数的值.
22．（本题满分13分）已知函数．
（Ⅰ）试判断函数的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．
聿怀中学高三数学（文科）期中考试答案
三、解答题：（共65分）
19．（12分）解：（1）因为
…（3分）
…（5分）
所以的最小正周期为 …（6分）
20．（13分）解：（Ⅰ）设第组的频率为，则由频率分布直方图知
…………………（2分）
所以成绩在85分以上的同学的概率P≈ …（5分）
故这1000名同学中，取得面试资格的约有1000×0.38=380人.…（6分）
（Ⅱ）设答对记为1，打错记为0，则所有可能的情况有：
甲00乙00，甲00乙10，甲00乙01，甲00乙11，甲10乙00，甲10乙10，甲10乙01，
甲10乙11，甲01乙00，甲01乙10，甲01乙01，甲01乙11，甲11乙00，甲11乙10，
甲11乙01，甲11乙11，共16个………………………………………（9分）
甲答对题的个数不少于乙的情况有：
甲00乙00，甲10乙00，甲10乙10，甲10乙01，甲01乙00，甲01乙10，甲01乙01，
甲11乙00，甲11乙01，甲11乙10，甲11乙11，共11个……………（12分）
故甲比乙优先获得高考加分资格的概率为.………………………（13分）
21．（13分）解：（Ⅰ）由已知.……（1分）
当时，函数在内单调递增；……（2分）
当时，由得∴；……………（3分）
由得∴.……………………（4分）
∴在内单调递增，在内单调递减.…………（5分）
（Ⅱ）当时，
∴………………………………（6分）
令，
则∴在内单调递减.……………（8分）
∵
…………………………（10分）
∴即在（3,4）内有零点，即在（3,4）内存在极值. …… （11分）
又∵在上存在极值，且，∴k=3.……………（13分）
22．（13分）解：（I）? （2分） ， ?（3分）
， 故在递减 （5分）
?? （II）? （7分）
记
（9分）
??? 再令 ? 在上递增。（11分）
? ，从而 ?故在上也单调递增
（13分）
23．（14分） 解: (1); （5分）
(2) 当时, ,
（7分）
当,在上递减,故无最大值,不合题意. （13分）
综上所述,存在实数,使得当时, 有最大值1. （14分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题５分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设（i是虚数单位），则等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
２． 若的终边一定落在直线 （ ）上
A． B．
C． D．
３．函数的定义域为（ ）
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４．某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，
则可以输出的函数是（ ）
A． B．
C． D．
５．已知命题，
命题的解集是，下列结论，其中正确的是（ ）
A．命题“”是真命题 B．命题“”是真命题
C．命题“”是真命题 D．命题“”是假命题
6． 已知函数在R上可导，且，则与的大小关系是( )
A． B． C． D．不确定
7．设，则的大小关系是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
８．函数的零点个数为 （ ）
A.1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
9．函数在定义域R上不是常数函数，且满足条件：对任意R，都有, 则是 （ ）
A. 奇函数非偶函数 B. 偶函数非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D. 是非奇非偶函数
10．若函数在区间上的最大值为4， 则的值为 （ ）
A．1 B．-1 C．1或–1 D．0
11．如右图，函数f(x)＝ln x－x2的图象大致是 ( )
12．已知函数，则函数
的零点个数是 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
13．计算：
14．已知，则=_______ .
15．定义在上的函数，如果，则实数的取值范围为
16. 对于函数. 若有六个不同的单调区间，则的取值范围为
选做题（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
17．（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点P为方程所表示的曲线上一动点，点，则｜PQ｜的最小值为＿＿＿
18. (几何证明选做题) 已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线 AD和
割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB＝3，则切线AD的长为___ ___．
三、解答题：（本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.）
20．（ 13分）某高校组织的自主招生考试，共有1000名同学参加笔试，成绩均介于60分到100分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分为4组：第1组 [60,70），第2组[70,80），第3组[80,90），第4组[90,100]. 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在85分（含85分）以上的同学有面试资格.
（Ⅰ）估计所有参加笔试的1000名同学中，有面试资格的人数；
（Ⅱ）已知某中学有甲、乙两位同学取得面试资格，且甲的笔试比
乙的高；面试时，要求每人回答两个问题，假设甲、乙两人对每一
个问题答对的概率均为；若甲答对题的个数不少于乙，则甲比乙
优先获得高考加分资格.求甲比乙优先获得高考加分资格的概率.
21. （13分）设函数. （Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，且在区间内存在极值，求整数的值.
22．（本题满分13分）已知函数．
（Ⅰ）试判断函数的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．
聿怀中学高三数学（文科）期中考试答案
三、解答题：（共65分）
19．（12分）解：（1）因为
…（3分）
…（5分）
所以的最小正周期为 …（6分）
20．（13分）解：（Ⅰ）设第组的频率为，则由频率分布直方图知
…………………（2分）
所以成绩在85分以上的同学的概率P≈ …（5分）
故这1000名同学中，取得面试资格的约有1000×0.38=380人.…（6分）
（Ⅱ）设答对记为1，打错记为0，则所有可能的情况有：
甲00乙00，甲00乙10，甲00乙01，甲00乙11，甲10乙00，甲10乙10，甲10乙01，
甲10乙11，甲01乙00，甲01乙10，甲01乙01，甲01乙11，甲11乙00，甲11乙10，
甲11乙01，甲11乙11，共16个………………………………………（9分）
甲答对题的个数不少于乙的情况有：
甲00乙00，甲10乙00，甲10乙10，甲10乙01，甲01乙00，甲01乙10，甲01乙01，
甲11乙00，甲11乙01，甲11乙10，甲11乙11，共11个……………（12分）
故甲比乙优先获得高考加分资格的概率为.………………………（13分）
21．（13分）解：（Ⅰ）由已知.……（1分）
当时，函数在内单调递增；……（2分）
当时，由得∴；……………（3分）
由得∴.……………………（4分）
∴在内单调递增，在内单调递减.…………（5分）
（Ⅱ）当时，
∴………………………………（6分）
令，
则∴在内单调递减.……………（8分）
∵
…………………………（10分）
∴即在（3,4）内有零点，即在（3,4）内存在极值. …… （11分）
又∵在上存在极值，且，∴k=3.……………（13分）
22．（13分）解：（I）? （2分） ， ?（3分）
， 故在递减 （5分）
?? （II）? （7分）
记
（9分）
??? 再令 ? 在上递增。（11分）
? ，从而 ?故在上也单调递增
（13分）
23．（14分） 解: (1); （5分）
(2) 当时, ,
（7分）
当,在上递减,故无最大值,不合题意. （13分）
综上所述,存在实数,使得当时, 有最大值1. （14分）
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