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资源详情
高中数学
人教新课标A版
必修5
第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
【金识源】(2013秋)高中数学 31不等关系与不等式教案+学案+课件+练习(打包5套)新人教A版必修5
文档属性
名称
【金识源】(2013秋)高中数学 31不等关系与不等式教案+学案+课件+练习(打包5套)新人教A版必修5
格式
zip
文件大小
4.6MB
资源类型
教案
版本资源
人教新课标A版
科目
数学
更新时间
2013-11-27 15:53:12
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文档简介
第1课时 不等关系
1.了解生活中存在的不等关系.
2.会用不等式表示不等关系.
不等关系
现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系,不等关系常用______表示.
常见文字语言与数学符号之间的转换如下表:
文字语言
数学符号
文字语言
数学符号
大于
>
至多
≤
小于
<
至少
≥
大于等于
≥
不少于
≥
小于等于
≤
不多于
≤
【做一做1-1】 实数x大于-1,用不等式表示为( )
A.x>-1 B.x≥-1 C.x<-1 D.x≤-1
【做一做1-2】 某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,则经过该隧道的物体的高度h米满足的关系为( )
A.0<h<4.5 B.h>4.5 C.0<h≤4.5 D.h≥4.5
答案:不等式
【做一做1-1】 A
【做一做1-2】 C
“不等关系”与“不等式”的区别
剖析:不等关系强调的是关系,可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示,其中前三者是严格的不等关系,后两者是非严格的不等关系.而不等式则是表现两者的不等关系,可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示,前三者是严格不等式,后两者是非严格不等式.不难发现,不等关系是可以通过不等式来体现的,离开了不等式,不等关系无从体现.
题型一 用不等式表示不等关系
【例题1】 一房地产公司有50套公寓出租,当月租金定为1 000元时,公寓会全部租出去;欲增加月租金,但每增加50元,就会有一套公寓租不出去.已知租出去的公寓每月需花100元的维修费,若将房租定为x元,怎样用不等式表示所获得的月收入不低于50 000元?
分析:收入=销售量×单位商品的售价,不等关系是月收入不低于50 000元.
反思:用不等式表示不等关系的步骤:
(1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等.
(2)适当设未知数表示变量.
(3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式.(不等式中各数据的单位通常省略不写)
题型二 用不等式组表示不等关系
【例题2】 已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:
食物
甲
乙
维生素A/(单位/kg)
600
700
维生素B/(单位/kg)
800
400
设用甲、乙两种食物各x kg,y kg配成混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.
试用不等式组表示x,y所满足的不等关系.
分析:根据维生素A和B分别至少为56 000单位和63 000单位列不等式.
反思:用不等式组表示不等关系的步骤:
①审清题意,明确条件中的不等关系的个数;
②适当设未知数表示变量;
③用不等式表示每一个不等关系,并写成不等式组的形式.
答案:【例题1】 解:若房租定为x(x≥1 000)元,
则租出公寓的套数为,
月收入为元.
故月收入不低于50 000元可表示为不等式
x-100≥50 000.
【例题2】 解:x kg甲种食物含有维生素A 600x单位,含有维生素B 800x单位,y kg乙种食物含有维生素A 700y单位,含有维生素B 400y单位,则x kg甲种食物与y kg乙种食物总共含有维生素A 600x+700y(单位),含有维生素B 800x+400y(单位),则有即
1 2004年,震惊全国的某劣质奶粉事件中,劣质奶粉的蛋白质含量远远低于国家质量标准(蛋白质含量应为10%~20%),若劣质奶粉的蛋白质的含量为p,则用不等式表示为__________.
2 一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程将超过2 200 km,用不等式表示为__________.
3 某工人有一根长2.5 m的条形钢铁,要截成60 cm和42 cm两种规格的零件毛坯,则满足上述不等关系的不等式为__________.
4 某商场如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现在采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元,销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元,怎样用不等式表示每天的利润不低于300元?
5工厂生产甲、乙两种产品,已知生产甲种产品1 t需耗A种矿石10 t,B种矿石5 t,煤4 t;生产乙种产品1 t需耗A种矿石4 t,B种矿石4 t,煤9 t.工厂现有A种矿石300 t,B种矿石200 t,煤360 t,设工厂可以生产甲、乙两种产品分别为x t,y t,写出x,y应满足的不等关系式.
答案:1.0≤p<10% 2.8(x+19)>2 200
3.
4.解:若提价后商品的售价为x元,
则每件的利润为x-8(元),销售量减少(件),
则销售量为100-10(x-10)(件),
因此,每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)]元,
则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x-8)[100-10(x-10)]≥300.
5.解:由题意知应有如下的不等关系:①消耗A种矿石总量不超过300 t,②消耗B种矿石总量不超过200 t;③煤的消耗量不超过360 t;④甲、乙两种产品数量均为非负数.
所以列出不等式组为
第一部分 第三章 3.1 不等关系与不等式应用创新演练
1.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是( )
A.M>N B.M=N
C.M<N D.与x有关
解析:M-N=x2+x+1=(x+)2+>0,
∴M>N.
答案:A
2.(2012·中山高三期中)已知a
A.|a|>-b B.<1
C.< D.<
解析:∵a
0.
故|a|>-b.
答案:A
3.(2011·安阳高二检测)若a>b>c,a+b+c=0,下列不等式恒成立的是( )
A.ac>bc B.ab>ac
C.a|b|>c|b| D.a2>b2>c2
解析:由a>b>c,a+b+c=0
得a>0,c<0,∵b>c,
∴ab>ac.
答案:B
4.某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买两套,则买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示为
A. B.
C. D.0.8×5x+2×4y≤50
答案:A
5.已知三个不等式:①ab>0,②>,③bc>ad.以其中两个作条件,余下一个作结论,则可组成________个正确命题.
解析:将②作等价变形:>?>0.由ab>0,bc>ad.可得②成立.即①③?②;若ab>0,>0,则bc>ad.故①②?③;若bc>ad,>0,则ab>0,故②③?①,所以可组成3个正确命题.
答案:3
6.已知12
解析:∵15
又∵12
∵15
又∵12
∴a-b,的取值范围分别为(-24,45),(,4).
答案:(-24,45) (,4)
7.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠”,乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠”.这两车队的原价、车型都是一样的,试根据单位的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.
解:设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,
则y1=x+x·(n-1)=x+nx,y2=nx.
因为y1-y2=x+nx-nx
=x-nx=x(1-),
当n=5时,y1=y2;
当n>5时,y1<y2;
当n<5时,y1>y2.
因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.
8.已知a>1,m>n>0,比较A=am+,
B=an+的大小.
解:A-B=(am+)-(an+)
=am-an+-=(am-an)(1-),
∵a>1,且m>n>0,∴am+n>1.
∴<1.∴1->0,而am-an>0.
∴A-B>0,∴A>B.
综上所述,A>B.
课件48张PPT。3.1
不等关系与不等式理解教材新知把握热点考向应用创新演练第三章
不等式考点一考点二考点三知识点一知识点二知识点三在日常生活中,我们经常看到下列标志:问题1:你知道各图中的标志有何作用?其含义是什么吗?
提示:①最低限速:限制行驶时速v不得低于50公里;
②限制质量:装载总质量G不得超过10 t;
③限制高度:装载高度h不得超过3.5米;
④限制宽度:装载宽度a不得超过3米;
⑤时间范围:t∈[7.5,10].
问题2:你能用一个数学式子表示上述关系吗?如何表示?
提示:①v≥50;②G≤10;③h≤3.5;④a≤3;⑤7.5≤t≤10.文字语言与数学符号间的转换>≤<≥≤≤ 实数可以用数轴上的点表示,数轴上的每个点都表示一
个实数,且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
问题1:怎样判断两个实数a、b的大小?
提示:若a-b是正数,则a>b;若a-b是负数,则a
若a-b是零,则a=b.
问题2:你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法?
提示:能.通过两个实数作差,判断差的正负比较大小. 比较两个实数a、b大小的依据问题1:若a>b,b>c,则a>c,对吗?为什么?
提示:正确.∵a>b,b>c,∴a-b>0,b-c>0.
∴(a-b)+(b-c)>0.即a-c>0.∴a>c.问题2:若a>b,c>0,则ac与bc有何大小关系?为什么?若c<0呢?
提示:ac>bc.∵a>b,c>0,∴a-b>0,∴(a-b)·c>0.
∴ac-bc>0,∴ac>bc;若c<0,则有ac
(1)在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着形形色色的不等关系,它们都是客观存在的基本数量关系,是数学研究的重要内容.在数学中,我们用不等式表示不等关系. (2)“不等关系”与“不等式”的关系:
不等关系强调的是关系,可用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”、“≤”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用“a>b”、“a<b”、“a≠b”、“a≥b”、“a≤b”等式子表示,不难发现,不等关系是可以通过不等式来体现的,离开了不等式,不等关系就无从体现. 2.比较两个实数a,b的大小,一般用作差比较法,其根据是:a≥b?a-b≥0,a<b?a-b<0,其实质是判定(a-b)的值与0的大小关系.
3.在使用不等式的性质时,一定要搞清它们成立的前提条件.例如:
(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的.如
a≤b,b<c?a<c. (2)在乘法法则中,要特别“注意乘数c的符号”.例
如当c≠0时,有a>b?ac2>bc2;若无c≠0这个条件,
则a>b?ac2>bc2就是错误结论(∵当c=0时,取“=”). [例1] (1)某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.根据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本,若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元?
(2)某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.试写出满足上述所有不等关系的不等式. [思路点拨] (1)根据“销售总收入=销售量×销售单价”,
“不低于”即“大于或等于”,可列出不等式;
(2)应先设出相应变量,找出其中的不等关系,即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm;②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍;③两种钢管的数量都不能为负.于是可列不等式组表示上述不等关系. [一点通] 用不等式(组)表示实际问题中不等关系
的步骤:
(1)审题.通读题目,分清楚已知量和待求量,设出待求量;
(2)列不等关系.列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件);
(3)列不等式(组).挖掘题意,建立已知量和待求量之间的关系式,并分析某些变量的约束条件(包含隐含
条件).答案:D2.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,是指示
司机要安全通过隧道,应使车载货物高度h满足关系为 ( )
A.h<4.5 B.h>4.5
C.h≤4.5 D.h≥4.5
答案:C3.用不等式表示“a与b的差是非负数”为________.
答案:a-b≥04.配制A、B两种药剂,需要甲、乙两种原料.已知
配一剂A种药需甲料3克,乙料5克;配一剂B种药需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若A、B两种药至少各配一剂,设A、B两种药分别配x、y剂(x、y∈N),请写出x、y应满足的不等关系式. [例2] 比较下列各组中两个代数式的大小:
(1)x2+3与3x;
(2)已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2.
[思路点拨] 将两个代数式作差,并对差式进行变形(因式分解或配方),判断变形后式子的符号,即可得解. [一点通] 本例比较大小的方法称为“作差比较法”,其解答问题的一般步骤为
(1)作差:对要比较大小的两个式子作差;
(2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形;
(3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号;
(4)作出结论.6.已知x<1,试比较x3-1与2x2-2x的大小.其中正确命题的序号是________.
[思路点拨] 直接利用不等式的基本性质逐一判断;答案:②④ [一点通] 利用不等式性质判断式子是否成立的方法
(1)运用不等式的性质判断.要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想象捏造性质.
(2)特值法.取特值时要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.答案:C 1.比较两个实数或者代数式的大小的依据
a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b.
常用的方法是作差法.
2.不等式的性质是解决不等式问题的依据,依据不等式性质可以判断命题的真伪,可以对不等式变形求解和比较代数式的大小,可以证明复杂不等式.特别是涉及字母的取值范围问题时,必须依据所给条件和不等式性质进行求解,否则就容易出错. 3.同向不等式相加方向不变,即a>b,c>d?a+c>b+d,不具有可逆性;注意:不能确定正负的代数式,不等式的两边不能同乘,都是正数时不等式才满足:同向不等式相乘方向不变,即a>b>0且c>d>0时,才有ac>bd.高中数学 §3. 1不等关系与不等式(2)教案 新人教A版必修5
备课人
授课时间
课题
§3. 1不等关系与不等式(2)
课标要求
掌握不等式的基本性质,会用不等式的性质证明简单的不等式;
教
学
目
标
知识目标
不等式的基本性质
技能目标
学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法
情感态度价值观
通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
重点
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式;
难点
利用不等式的性质证明简单的不等式。
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
【教学过程】
1.课题导入
在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不改变;
即若
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变;
即若
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变。
即若
2.讲授新课
1、不等式的基本性质:
师:同学们能证明以上的不等式的基本性质吗?
证明:
1)∵(a+c)-(b+c)
=a-b>0,
∴a+c>b+c
学生回答
1
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
2),
∴.
实际上,我们还有,(证明:∵a>b,b>c,
∴a-b>0,b-c>0.
根据两个正数的和仍是正数,得(a-b)+(b-c)>0,
即a-c>0, ∴a>c.
于是,我们就得到了不等式的基本性质:
(1)
(2)
(3)
(4)
2、探索研究
思考,利用上述不等式的性质,证明不等式的下列性质:
(1);
(2);
(3)
证明:
1)∵a>b,∴a+c>b+c.①
∵c>d ∴b+c>b+d ②
由①、②得 a+c>b+d.
2)
3)反证法)假设,
则:若这都与矛盾,
∴.
学生分析回答
2
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
[范例讲解]:
例1、已知求证 。
[补充例题]
例2、比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小。
分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判断差值正负(注意是指差的符号,至于差的值究竟是多少,在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
解:由题意可知:
(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)
=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)
=-7<0
∴(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4)
3.随堂练习1
1、课本P82的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号:
(1)(+)2 6+2;
(2)(-)2 (-1)2;
(3) ;
(4)当a>b>0时,loga logb
(答案:(1)< (2)< (3)< (4)<
学生独立完成
教
学
小
结
课时小结
本节课学习了不等式的性质,并用不等式的性质证明了一些简单的不等式,还研究了如何比较两个实数(代数式)的大小——作差法,其具体解题步骤可归纳为:
第一步:作差并化简,其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式;
第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论;
第三步:得出结论
课后
反思
3
高中数学 §3.1不等关系与不等式(1)教案 新人教A版必修5
备课人
授课时间
课题
§3. 1不等关系与不等式(1)
课标要求
实际背景的前提下,能列出不等式与不等式组.
教
学
目
标
知识目标
不等式表示不等关系不等式的有关基本性
技能目标
学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法
情感态度价值观
通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。
重点
用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。
难点
用不等式(组)正确表示出不等关系。
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
1.课题导入
在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课
1)用不等式表示不等关系
引例1:限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不等式就是:
引例2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示
问题1:设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点,则。
问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?
学生回答
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河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
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程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
解:设杂志社的定价为x?元,则销售的总收入为 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求,600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?
解:假设截得500 mm的钢管 x根,截得600mm的钢管y根。根据题意,应有如下的不等关系:
(1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍;
(3)截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:
3.随堂练习
(一)1.、课本P74的练习1、2
2.提问:除了以上列举的现实生活中的不等关系,你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗?
归纳:
文字语言与数学符号间的转换.
文字语言
数学符号
文字语言
数学符号
大于
>
至多
≤
小于
<
至少
≥
大于等于
≥
不少于
≥
小于等于
≤
不多于
≤
小组合作发现,代表发言。可能结果
学生完成
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河北武中·宏达教育集团教师课时教案
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法
问题与情境及教师活动
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(二)典例分析
例1:某校学生以面粉和大米为主食.已知面食每100克含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位;米饭每100克含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位.某快餐公司给学生配餐,现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉.设每盒快餐需面食百克、米饭百克,试写出满足的条件.
(三)知识拓展
1.设问:等式性质中:等式两边加(减)同一个数(或式子),结果仍相等。不等式是否也有类似的性质呢?
从实数的基本性质出发,实数的运算性质与大小顺序之间的关系:对于任意两个实数a,b,
如果a>b,那么a-b是正数; 如果a
2.例3、比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.
例4、已知x≠0,比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.
归纳:作差比较法的步骤是:
1、作差;
2、变形:配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等;
3、判断符号;
4、作出结论.
(学生讨论)
教
学
小
结
课堂小结
1.通过具体情景,建立不等式模型;
2.比较两实数大小的方法——求差比较法
课后
反思
3
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同课章节目录
第一章解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.2 应用举例
探究与发现 解三角形的进一步讨论
第二章 数列
2.1 数列的概念与简单表示法
2.2 等差数列
2.3 等差数列的前n项和
2.4 等比数列
2.5 等比数列的前n项和
第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
3.2 一元二次不等式及其解法
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性
3.4 基本不等式
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