第1课时 基本不等式
1．理解并掌握基本不等式及其推导过程，明确基本不等式成立的条件．
2．能利用基本不等式求代数式的最值．
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥____，当且仅当______时，等号成立．
(1)公式中a，b的取值是任意的，a和b代表的是实数，它们既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此其应用范围比较广泛．今后有不少不等式的证明就是根据条件进行转化，使之可以利用该公式来证明．
(2)公式中a2＋b2≥2ab常变形为ab≤或a2＋b2＋2ab≥4ab或2(a2＋b2)≥(a＋b)2等形式，要注意灵活掌握．
【做一做1】 x2＋y2＝4，则xy的最大值是( )
A. B．1 C．2 D．4
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把____叫做正数a，b的算术平均数，把____叫做正数a，b的几何平均数．
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤____，当且仅当______时，等号成立．
(3)几何意义：半弦不大于半径．如图所示，AC=a，CB=b，则OD=_______，DC= =DE，则DC≤OD.
(4)变形：，a+b≥ (其中a＞0，b＞0，当且仅当a=b时等号成立)．
从数列的角度看，a，b的算术平均数是a，b的等差中项，几何平均数是a，b的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项．
【做一做2】 已知ab＝16，a＞0，b＞0，则a＋b的最小值为__________．
答案：1．2ab a＝b
【做一做1】 C
2．(1) (2) a＝b (3)
【做一做2】 8
1．应用基本不等式≤求最值的条件
剖析：应用基本不等式≤求最值的条件是一正二定三相等，具体如下：
一正：a，b都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误的答案．例如，当x＜0时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，所以函数f(x)的最小值是2.由于f(－2)＝－2＋＝－＜2，那么显然这是一个错误的答案．其原因是当x＜0时，不能直接用基本不等式求f(x)＝x＋的最值．因此，利用基本不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－x＋≥2＝2，此时有f(x)≤－2.由此看，所求最值的代数式中的各项不都是正数时，要利用变形，先转化为各项都是正数的代数式，再求最值．
二定：ab与a＋b有一个是定值．即当ab是定值时，可以求a＋b的最值；当a＋b是定值时，可以求ab的最值．如果ab和a＋b都不是定值，那么就会得出错误的答案，陷入困境．例如，当x＞1时，函数f(x)＝x＋≥2，所以函数f(x)的最小值是2.由于2是一个与x有关的代数式，显然这是一个错误的答案．其原因是没有掌握基本不等式求最值的条件，ab与a＋b有一个是定值．其实，当x＞1时，有x－1＞0，则函数f(x)＝x＋＝＋1≥2＋1＝3.由此看，当ab与a＋b没有一个是定值时，通常要把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．
三相等：等号能够成立，即存在正数a，b使基本不等式两边相等．也就是存在正数a，b，使得＝.如果忽视这一点，就会得出错误的答案．例如，当x≥2时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，所以函数f(x)的最小值是2.很明显x＋中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x＝即x＝1，而函数的定义域是x≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是基本不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用基本不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x≥2时，函数f(x)＝x＋是增函数，所以函数f(x)的最小值是f(2)＝2＋＝.
2．与基本不等式有关的常用结论
剖析：(1)已知x，y∈R，
①若x2＋y2＝S(平方和为定值)，则xy≤，当且仅当x＝y时，积xy取得最大值；
②若xy＝P(积为定值)，则x2＋y2≥2P，当且仅当x＝y时，平方和x2＋y2取得最小值2P.
(2)已知x＞0，y＞0，
①若x＋y＝S(和为定值)，则xy≤，当且仅当x＝y时，积xy取得最大值；
②若xy＝P(积为定值)，则x＋y≥2，当且仅当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
题型一 比较大小
【例题1】 当a，b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是( )
A. B. C. D.
反思：在比较n个数的大小时，若从中确定一个最小(大)者，则可以把n个数分组，在每一组中确定一个最小(大)者，再将这些最小(大)者进行比较．由此题的讨论可以看到≤≤≤(a，b大于0，当且仅当a＝b时，等号成立．)
题型二 利用基本不等式求最值
【例题2】 已知a＞3，求＋a的最小值．
分析：直接使用基本不等式无法约掉字母a，而＋a＝＋(a－3)＋3.这样变形后，再用基本不等式可得证．
反思：如果要求最值的代数式不符合基本不等式的形式，可先通过适当变形，将其配凑成可使用基本不等式的形式，再利用基本不等式求最值．如本题中，将＋a凑成＋(a－3)＋3后就可以用基本不等式求最值．
【例题3】 已知x，y均为正数，且＋＝1，求x＋y的最小值．
分析：由于已知条件右边是一定值1，且左边各项均为正数，所以可以用整体换元、代入消元、“1”的代换等方法求解．
反思：本题易错解为：
由＋＝1，得＋≥2＝，
∴xy≥36.∴x＋y≥2＝12.
这显然是错误的，因为两个不等式中，不能同时取得“等号”，即不存在满足题设条件的x，y，使(x＋y)min＝12.
题型三 易错辨析
【例题4】 求函数y＝x＋的值域．
错解：∵x＋≥2＝2，∴函数值域为[2，＋∞)．
错因分析：上述解题过程中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式的条件——两个数应大于零，因而导致错误．因为函数y＝x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以需对x的符号加以讨论．
答案：【例题1】 D ∵a＞0，b＞0，a≠b，∴＞，
∵a2＋b2＞2ab，∴＞，
∴选项A，B，C中，最小．
又a＋b＞2＞0，∴＜1，
由于＞0，两边同乘以，
得·＜，
∴＜，∴最小．
【例题2】 解：∵a＞3，∴a－3＞0.
由基本不等式，得＋a＝＋a－3＋3
≥2·＋3＝2×＋3＝7.
当且仅当＝a－3，即a＝5时取等号．
∴＋a的最小值是7.
【例题3】 解：∵x，y均为正数，且＋＝1，显然x＞1，
∴y＝.
∴x＋y＝x＋
＝＝
＝(x－1)＋＋10≥2×3＋10＝16.
当且仅当x＝4时取等号，即(x＋y)min＝16.
【例题4】 正解：函数定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x＞0时，由基本不等式，得y＝x＋≥2，
当且仅当x＝1时，等号成立；
当x＜0时，y＝x＋＝－.
∵－x＞0，∴(－x)＋≥2，
当且仅当x＝－1时，等号成立，
∴y＝x＋≤－2.
综上可知，函数y＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
1 (2011·山东济南一模)若x＞0，则的最小值为( )
A．2 B．3 C． D．4
2已知2a＋b＝1，a＞0，b＞0，则的最小值是( )
A． B．
C． D．
3(2011·安徽合肥一模)若M＝(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为( )
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]
C．[4，＋∞) D．[－4,4]
4若a＞b＞1，，，，则下列结论正确的是( )
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R
C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
5设x＋3y－2＝0，则函数z＝3x＋27y＋3的最小值是( )
A． B． C．6 D．9
答案：1．D 2.C 3.A 4.B 5.D
第2课时 基本不等式的应用
1．复习巩固基本不等式．
2．能利用基本不等式求函数的最值，并会解决有关的实际应用问题．
1．重要不等式a2＋b2≥2ab
(1)不等式的证明：课本应用了图形间的面积关系推导出了a2＋b2≥______，也可用分析法证明如下：
要证明a2＋b2≥2ab，只要证明a2＋b2－2ab≥0，即证明(a－b)2≥0，这显然对a，b∈R成立，所以a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．
(2)关于不等式a2＋b2≥2ab的几点说明：
①不等式中的a，b的取值是____实数，它们既可以是具体的某个数，也可以是一个代数式．
②公式中等号成立的条件是______，如果a，b不能相等，则a2＋b2≥2ab中的等号不能成立．
③不等式a2＋b2≥2ab可以变形为ab≤，4ab≤a2＋b2＋2ab,2(a2＋b2)≥(a＋b)2等．
【做一做1】 不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
2．基本不等式
如果a，b为正实数，那么≥____，当且仅当a＝b时，式中等号成立．
我们应该从以下几个方面来理解基本不等式：
(1)基本不等式反映了两个正数的和与积之间的关系，对它的准确理解应抓住两点：一是其成立的条件是a，b都是____；二是“当且仅当_____”时等号成立．
(2)它还可以描述为：
两个正实数的算术平均值大于或等于它的____平均值．
(3)基本不等式是非常重要又极为有用的不等式，它与不等式的性质构成了本章的公理体系，奠定了不等式的理论基础．
【做一做2】 已知0＜α＜π，则2sin α＋的最小值是__________．
答案：1．(1)2ab (2)①任意 ②a＝b
【做一做1】 B
2. (1)正数 a＝b (2)几何
【做一做2】 2
利用基本不等式解应用题的步骤
剖析：(1)审清题意，读懂题；
(2)恰当地设未知数，通常情况下把欲求最值的变量看成函数y；
(3)建立数学模型，即从实际问题中抽象出函数的关系式，并指明函数的定义域，把实际问题转化为求函数最值的问题；
(4)在函数的定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；
(5)根据实际问题写出答案．
不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．若取不到，则必须利用函数的单调性去求函数的最值．
题型一 实际应用题
【例题1】 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
分析：转化为求函数的最小值．
反思：在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：
①先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
②建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
④根据实际背景写出答案．
题型二 易错辨析
【例题2】 求函数y＝的最小值．
错解：y＝＝＋
＝＋≥2，故y有最小值2.
错因分析：错解中在用基本不等式求最值时，没考虑到定理成立的条件，实际上不论x取何值，总有≠.因此本题不能用基本不等式求解．
反思：利用基本不等式求函数的最值时，若出现等号不成立时，则可借助于函数的单调性来解决．
答案：【例题1】 解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)．
所以f(x)＝560＋48x＋
≥560＋2＝2 000，
当且仅当48x＝，
即x＝15时取等号．
因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000，
即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
【例题2】 正解：设t＝，则y＝t＋，t≥.
可以证明y＝t＋在[，＋∞)上为增函数，
则y≥＋＝，
即ymin＝，此时t＝，则x＝0.
1函数y＝3x＋32－x的最小值为__________．
2两直角边之和为4的直角三角形面积的最大值等于__________．
3如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________ dm2.
4函数y＝(x≥5)的最小值为__________．
5已知某企业原有员工2 000人，每人每年可为企业创利3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗员工人数x不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利万元；当待岗员工人数x超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？
答案：1．6 2.2 3.56 4.
5．解：设重组后，该企业年利润为y万元．
当待岗人员不超过1%时，
由＞0，x≤2 000×1%＝20，
得0＜x≤20(x∈N)，
则y＝(2 000－x)
＝；
当待岗人员超过1%且不超过5%时，
由20＜x≤2 000×5%，得20＜x≤100(x∈N)，
则y＝(2 000－x)(3.5＋0.9)－0.5x
＝－4.9x＋8 800.
故y＝
当0＜x≤20，且x∈N时，
有，
则y＝≤－5×32＋9 000.64＝8 840.64，
当且仅当x＝，即x＝16时取等号，此时y取得最大值8 840.64；
当20＜x≤100，且x∈N时，函数y＝－4.9x＋8 800为减函数．
所以y＜－4.9×20＋8 800＝8 702.
又8 840.64＞8 702，
故当x＝16时，y有最大值8 840.64.
即要使企业年利润最大，应安排16名员工待岗．
第一部分 第三章 3.4 基本不等式应用创新演练
1．(2011·上海高考)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
解析：对于A，当a＝b时，有a2＋b2＝2ab，故A不正确；对于B，若a<0，b<0，则有a＋b<2，所以B也不正确，同理，C也不正确；对于D，∵ab>0，∴>0，>0.
∴＋≥2＝2，
当且仅当＝，即a＝b时，取“＝”号，故D正确．
答案：D
2．下列结论正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋ 的最小值为2
D．当0解析：A错误．若0＜x＜1，则lg x＜0，
∴lg x＜0.∴lg x＋≥2，不成立．
C错误．x＋的最小值是2，当且仅当x＝1时成立，
当x≥2时，x＋的最小值是.
D错误．当x＝2时，取到最大值．
答案：B
3．(2011·重庆高考)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4
C. D．5
解析：依题意得＋＝(＋)(a＋b)＝[5＋(＋)]≥(5＋2)＝，当且仅当即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是.
答案：C
4．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
解析：f(x)＝＝[(x－1)＋]，
又∵－40.
∴f(x)＝－[－(x－1)＋]≤－1.
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
答案：D
5．当x>时，函数y＝x＋的最小值为________．
解析：∵x>，∴x－>0.∴y＝x＋＝(x－)＋＋≥2＋＝，当且仅当x－＝，即x＝时取“＝”号．
答案：
6．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：因为x>0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝1时取等号，所以有
＝≤＝，
即的最大值为，故a≥.
答案：[，＋∞)
7．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋.
证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，
∴2(a＋b＋c)≥2＋2＋2，
即a＋b＋c≥＋＋，
由于a，b，c为不全相等的正实数，等号不成立，
∴a＋b＋c＞＋＋.
8．(2012·泰安市高二检测)某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3 000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．
(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)；
(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？
解：(1)由已知xy＝3 000,2a＋6＝y，
则y＝(6≤x≤500)，
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a
＝(2x－10)·＝(x－5)(y－6)
＝3 030－6x－(6≤x≤500)．
(2)S＝3 030－6x－≤3 030－2
＝3 030－2×300＝2 430
当且仅当6x＝，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50，y＝60，Smax＝2 430.
即设计x＝50米，y＝60米时，运动场地面积最大，最大值为2 430平方米．
课件52张PPT。3.4
基本
不等
式：
理解教材新知把握热点考向应用创新演练第三章
不等式考点一考点二考点三问题1：若a、b∈R，则代数式a2＋b2与2ab有何大小关系？
提示：∵(a2＋b2)－2ab＝(a－b)2≥0.
∴a2＋b2≥2ab.
问题2：上述结论中，“＝”号何时成立？
提示：当且仅当a＝b时成立．问题4：问题3的结论中，“＝”何时成立？
提示：当且仅当a＝b时成立． 1.重要不等式
对于任意实数a、b，都有a2＋b2 2ab，当且仅当 时，等号成立．≥a＝b≤a＝b算术平均数几何平均数 [思路点拨] 结合条件a＋b＝1，将不等式左边进行适当变形．然后利用基本不等式进行放缩即可． [一点通]
(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．答案：B [思路点拨] (1)由条件直接利用基本不等式得xy的范围，从而求得最值；
(2)、(3)将所求式变形，再利用基本不等式求解． ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．
以上三点缺一不可．
(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．答案：C答案：B[例3] (12分)(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某测观点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)[思路点拨] (1)依题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，v是x的一次函数，可用待定系数法求得v(x)，从而得分段函数v(x)；
(2)显然f(x)是分段函数，先求得f(x)的解析式，然后分段求出最大值，进而得整个值域内的最大值． [一点通] 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x
吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．答案：208．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理
费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的平均费用最少)? 1．利用基本不等式求最大值或最小值时应注意
(1)x，y一定要都是正数；
(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值；
(3)等号是否能够成立．
以上三点可简记为“一正、二定、三相等”． 3．有关不等式的应用题，大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但应注意自变量的取值范围，严格考察等号是否能取到，若等号不能取到，应考虑利用函数的单调性解决．高中数学 §3.4基本不等式第1课时教案 新人教A版必修5
备课人
授课时间
课题
§3.4基本不等式（第1课时）
课标要求
掌握基本不等式
教
学
目
标
知识目标
理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
技能目标
学会推导并掌握基本不等式
情感态度价值观
引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
重点
应用数形结合的思想理解不等式
难点
基本不等式等号成立条件
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
1.课题导入
基本不等式的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
2．得到结论：一般的，如果
1
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为
当
所以，，即
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，
通常我们把上式写作：
2）从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证 (1)
只要证 a+b (2)
要证（2），只要证a+b- 0 （3）
要证（3），只要证（ - ） （4）
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。
3）理解基本不等式的几何意义
探究：课本第110页的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
2
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及
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法
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评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
[补充例题]
例1 已知x、y都是正数，求证：
(1)≥2；
(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x，y都是正数 ∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0
(1)＝2即≥2.
(2)x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0
∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3
即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
4.课时小结
教
学
小
结
课后
反思
3
高中数学 §3.4基本不等式第2课时教案 新人教A版必修5
备课人
授课时间
课题
§3.4基本不等式（第2课时）
课标要求
进一步掌握基本不等式
教
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目
标
知识目标
会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
技能目标
通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式
情感态度价值观
引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
重点
基本不等式的应用
难点
利用基本不等式求最大值、最小值
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1.课题导入
1．重要不等式：
如果
2．基本不等式：如果a,b是正数，那么
??我们称的算术平均数，称的几何平均数?
成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。
2.讲授新课
例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
1
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解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由，可得 ， 。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
（2）解法一：设矩形菜园的宽为x m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜，其面积
S＝x（36－2x）＝·2x（36－2x）≤
当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2
解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m。由
，可得
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m
归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立.
例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得
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当
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
3.随堂练习
1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋的值最小?最小值是多少?
2．课本第113页的练习1、2、3、4
4.课时小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：
(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
教
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小
结
课后
反思
3
高中数学 §3.4基本不等式第3课时教案 新人教A版必修5
备课人
授课时间
课题
§3.4基本不等式（第3课时）
课标要求
进一步掌握基本不等式
教
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目
标
知识目标
会应用此不等式求某些函数的最值
技能目标
掌握基本不等式
情感态度价值观
引发学生学习和使用数学知识的兴趣
重点
基本不等式的应用
难点
利用基本不等式求最大值、最小值
教
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法
问题与情境及教师活动
学生活动
1.课题导入
1．基本不等式：如果a,b是正数，那么
2．用基本不等式求最大（小）值的步骤。
2.讲授新课
1）利用基本不等式证明不等式
例1 已知m>0,求证。
[思维切入]因为m>0,所以可把和分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。
[证明]因为 m>0,，由基本不等式得
当且仅当=，即m=2时，取等号。
规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和=144为定值的前提条件。
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例2 求证:.
[思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边.这样变形后,在用基本不等式即可得证.
[证明]
当且仅当=a-3即a=5时,等号成立.
规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.
随堂练习1
[思维拓展1] 已知a,b,c,d都是正数，求证.
[思维拓展2] 求证
2)利用不等式求最值
例3 (1) 若x>0,求的最小值;
(2)若x<0,求的最大值.
[思维切入]本题(1)x>0和=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.
解(1) 因为 x>0 由基本不等式得
,当且仅当即x=时, 取最小值12.
(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:
,
所以 .
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当且仅当即x=-时, 取得最大-12
规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.
随堂练习2
[思维拓展1] 求(x>5)的最小值.
[思维拓展2] 若x>0,y>0,且,求xy的最小值.
3.练习（１）．证明：
（２）．若，则为何值时有最小值，最小值为几？
4.课时小结
用基本不等式证明不等式和求函数的最大、最小值。
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