【成才之路】2014高中数学 4-2-1 直线与圆的位置关系能力强化提升 新人教A版必修2
一、选择题
1．(2012·安徽卷)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
[答案] C
[解析] 圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a,0)到直线x－y＋1＝0的距离为d
则d≤r＝?≤?|a＋1|≤2?－3≤a≤1.
2．圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是( )
A．10 B．10或－68
C．5或－34 D．－68
[答案] B
[解析] 由题意得圆心C(1，－2)，半径r＝5，圆心C到直线5x－12y＋c＝0的距离d＝，又r2＝d2＋42，
所以25＝＋16，解得c＝10或－68.
3．已知直线ax－by＋c＝0(ax≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形( )
A．是锐角三角形 B．是直角三角形
C．是钝角三角形 D．不存在
[答案] B
[解析] 圆心O(0,0)到直线的距离d＝＝1，
则a2＋b2＝c2，即该三角形是直角三角形．
4．过点P(2,3)引圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的切线，其方程是( )
A．x＝2
B．12x－5y＋9＝0
C．5x－12y＋26＝0
D．x＝2和12x－5y－9＝0
[答案] D
[解析] 点P在圆外，故过P必有两条切线，
∴选D.
5．点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为( )
A．9 B．8
C．5 D．2
[答案] D
[解析] 由圆心到直线的距离d＝＝5>3知直线与圆相离，故最短距离为d－r＝5－3＝2，故选D.
6．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是( )
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．3x－y－1＝0 D．3x＋y－5＝0
[答案] A
[解析] x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心为(1，－2)，截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1，－2)
∴直线方程为3x－y－5＝0，故选A.
7．已知直线x＋7y＝10把圆x2＋y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于( )
A. B.
C．π D．2π
[答案] D
[解析] 圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径r＝2，设直线x＋7y＝10与圆x2＋y2＝4交于M，N两点，则圆心O到直线x＋7y＝10的距离d＝＝，过点O作OP⊥MN于P，则|MN|＝2＝2.在△MNO中，|MN|2＋|ON|2＝2r2＝8＝|MN|2，则∠MON＝90°，这两段弧长之差的绝对值等于
＝2π.
8．设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r>0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是( )
A．3C．r>4 D．r>5
[答案] B
[解析] 圆心C(3，－5)，半径为r，圆心C到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝5，由于圆C上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则d－1二、填空题
9．已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝________.
[答案] 8或－18
[解析] 由题意，得圆心C(1,0)，半径r＝1，则＝1，解得m＝8或－18.
10．(2012～2013·北京朝阳一模)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为________．
[答案] 2
[解析] 直线方程是y＝x，即x－y＝0，圆心C(2,0)，半径r＝2，则圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝，所以所截得的弦长为2＝2＝2.
11．(2012－2013·江苏南京模拟)设直线l截圆x2＋y2－2y＝0所得弦AB的中点为(－，)，则直线l的方程为________；|AB|＝________.
[答案] x－y＋2＝0
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋y－2y1＝0，x＋y－2y2＝0，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)－2(y1－y2)＝0，kAB＝＝1.故l的方程为y－＝1·(x＋)，即x－y＋2＝0.又圆心为(0,1)，半径r＝1，故|AB|＝.
12．(2012·江西卷)过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
[答案] (，)
[解析] 本题主要考查数形结合的思想，设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°，由|PO|＝2，由可得.
三、解答题
13．已知直线l：y＝2x－2，圆C：x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0，请判断直线l与圆C的位置关系，若相交，则求直线l被圆C所截的线段长．
[解析] 圆心C为(－1，－2)，半径r＝2.
圆心C到直线l的距离d＝<2，
所以直线l与圆C相交．
设交点为A，B，所以＝＝.
所以|AB|＝.
所以直线l被圆C所截的线段长为.
14．已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x－y－1＝0相切，求圆的方程．
[解析] 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
∵圆心在直线2x＋y＝0上，
∴b＝－2a，即圆心为C(a，－2a)．
又∵圆与直线x－y－1＝0相切，且过点(2，－1)，
∴＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，
即(3a－1)2＝2[(2－a)2＋(－1＋2a)2]，解得a＝1或a＝9，∴a＝1，b＝－2，r＝或a＝9，b＝－18，r＝13.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.
15．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
[解析] (1)设圆A的半径为r，
∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2，
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)当直线l与x轴垂直时，
则直线l的方程为x＝－2，
此时有|MN|＝2，即x＝－2符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，
∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，
∴|AQ|2＋(|MN|)2＝r2.
又∵|MN|＝2，r＝2，
∴|AQ|＝＝1，
解方程|AQ|＝＝1，得k＝，
∴此时直线l的方程为y－0＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.
综上所得，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
16．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
[解析] 设点P、Q的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．
由OP⊥OQ，得kOPkOQ＝－1，即·＝－1，x1x2＋y1y2＝0.①
又(x1，y1)、(x2，y2)是方程组
的实数解，即x1，x2是方程5x2＋10x＋4m－27＝0②的两个根，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝.③
∵P、Q是在直线x＋2y－3＝0上，
∴y1y2＝(3－x1)·(3－x2)
＝[9－3(x1＋x2)＋x1x2]．
将③代入，得y1y2＝.④
将③④代入①，解得m＝3.代入方程②，检验Δ>0成立，
∴m＝3.
高中数学 4.2.1直线与圆的位置关系学案 新人教A版必修2
学习目标：
1、理解直线与圆的位置的种类；
2、利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
3、会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
学习重点、难点
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．
难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系．
学习过程
一、展示目标
二、自主学习
1、认真研读教材126---128页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，研究最佳答案准备展示,不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。（尤其是直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法必需牢记）
三、交流互动
问题1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？
问题2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？
问题3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？
问题4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？
典型例题：
例1.已知直线和圆心为C的圆
，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标。
例2.已知过点的直线被圆，所截得的弦长为，求直线的方程。
四、达标检测
1、从点P(x.3)向圆（x+2)2+(y+2)2=1作切线，则切线长度的最小值是（ ）
A. 4 B. C.5 D. 5.5
2、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是( )
A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0 D.2x+y-6=0
3、直线l: 与圆x2+y2=1的关系是（ ）
A.相交 B.相切 C. 相离 D.不能确定
4、设点P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4内部一点，则以P为中点的弦所在的直线方程是_______
5.已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值
五、归纳总结：
教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。
六、作业布置
教材习题第1、2、3题
七、课后反思
课件52张PPT。第四 章4.2
4.2.1理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三 “大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片． 问题1：图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？
提示：(1)相离 (2)相切 (3)相交
问题2：结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？
提示：3种，分别是相交、相切、相离．
问题3：如何判断直线与圆的位置关系？
提示：可利用圆心到直线距离d与半径r的关系．1．直线与圆有三种位置关系.两个一个没有 2．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断两一零＜＝＞＞＝＜ 判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法． [例1] 若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．
[思路点拨] 思路一，直线和圆的方程联立得方程组，转化为讨论方程组的解的个数问题；
思路二，利用圆心到直线的距离与半径相比较，转化为解不等式或方程问题． [一点通] “代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，是从方程角度考虑，计算较为繁琐；“几何法”侧重了“形”，是从几何的角度考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法．答案：A2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的
值为 ( )
A．0或2 B．0或4
C．2 D．4答案：C答案：D 2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．4．(2011·张家界模拟)以点(2，－1)为圆心且与直线x
＋y＝6相切的圆的方程是________．5．自点(2,3)作圆x2＋y2－2y－4＝0的切线，则切线长
为________．6．过点P(－2,0)向圆x2＋y2＝1引切线，求切线的方程．解析：如图所示．答案：C8．已知直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相
交于点A，B，求弦AB的长． 1．解直线与圆的位置关系问题一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(圆心到直线的距离)去考虑，其中几何特征解题较为简捷．
2．涉及与切线有关的问题时，常用其几何特征，即圆心到直线的距离等于半径来解决，应注意过圆外一点求圆的切线一定有两条． 3．涉及圆的弦长问题时，一般采用几何法．
若用代数法，则联立直线方程和圆的方程．
①解方程组得A、B点的坐标，再由两点间的距离公式求弦长|AB|. 其中k为直线的斜率且k≠0，特别地，当k＝0时，可直接利用|AB|＝|x1－x2|计算，当斜率不存在时，可直接利用|AB|＝|y1－y2|计算．高中数学 第四章《直线与圆的位置关系》教案 新人教A版必修2
1、直线与圆相切，则 。
2、若直线过，且被圆所截得的弦长为，则直线的方程是 。
3、从圆外一点向这个圆引切线，则切线长为 。
4、若直线与圆相离，则点与圆的位置关系是________。
5、求圆心在且与直线相切的圆的方程是________________。
6、当取什么值时，直线与圆。
（1）相切；（2）相交；（3）相离？
7、已知直线与圆
（1）判断直线与圆的位置关系
（2）求当取何值时，直线被圆截得的弦长最短，并求最短弦所在直线方程。
9、光线由照射到轴上反射后与曲线相切于
求：入射光线所在直线方程；光线经点到点走过的路程.
10、圆O：内有点P（–1，2），AB为过P（–1，2）且倾斜角为的弦.
（1）当倾斜角为1350时，弦AB的长；（2）当弦AB被P平分时，求弦AB所在直线方程。
直线与圆的位置关系作业 姓名
1、直线与圆相切，则 。
2、若直线过，且被圆所截得的弦长为，则直线的方程是 。
3、从圆外一点向这个圆引切线，则切线长为 。
4、若直线与圆相离，则点与圆的位置关系是________。
5、求圆心在且与直线相切的圆的方程是________________。
6、当取什么值时，直线与圆。
（1）相切；（2）相交；（3）相离？
7、已知直线与圆
（1）判断直线与圆的位置关系
（2）求当取何值时，直线被圆截得的弦长最短，并求最短弦所在直线方程。
9、光线由照射到轴上反射后与曲线相切于
求：入射光线所在直线方程；光线经点到点走过的路程.
10、圆O：内有点P（–1，2），AB为过P（–1，2）且倾斜角为的弦.
（1）当倾斜角为1350时，弦AB的长；（2）当弦AB被P平分时，求弦AB所在直线方程。
