课件46张PPT。第四 章4.3理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二(1)如图数轴上A点、B点(2)如图在平面直角坐标系中，P、Q点的位置 (3)下图是一个房间的示意图，我们如何表示板凳和气球的位置？问题1：上述(1)中如何确定A、B两点的位置？
提示：利用A、B两点的坐标2和－2.
问题2：上述(2)中如何确定P、Q两点的位置？
提示：利用P、Q两点的坐标(a，b)和(m，n)． 问题3：对于上述(3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？ 提示：可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系，如图示． 1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴： ，这样就建立了 Oxyz.
(2)相关概念： 叫做坐标原点，
叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面．x轴、y轴、z轴空间直角坐标系点Ox轴、y轴、z轴xOyyOzzOx 2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．x轴y轴z轴 3．空间一点的坐标
空间一点M的坐标可以用 来表示， 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ．其中 叫点M的横坐标， 叫点M的纵坐标， 叫点M的竖坐标.有序实数组(x，y，z)有序实数组(x，y，z)M(x，y，z)xyz(1)已知数轴上A点的坐标2，B点的坐标－2.
(2)已知平面直角坐标系中P(a，b)，Q(m，n)． 问题1：如何求数轴上两点间的距离？
提示：|AB|＝|x1－x2|＝|x2－x1|.
问题2：如何求平面直角坐标系中，P、Q两点间距离？
问题3：若在空间中已知P1(x1，y1，z1)P2(x2，y2，z2) 如何求|P1P2|.
提示：与平面直角坐标系中两点的距离求法类似． 1．空间直角坐标系的建立
建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上，对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． [例1] 如图，在长方体ABCD－
A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1
上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶
|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的
坐标系，写出E，F点的坐标．
[思路点拨] 可选取A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系． [精解详析] 以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示． [一点通] 空间中点P坐标的确定方法
(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px，Py，Pz，
这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．
(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．1．已知三棱锥S－ABC，SA⊥面
ABC，SA＝2，△ABC为正三角形且边长为2，如图建立空间直角坐标系后，试写出各顶点坐标． [例2] 点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于M(1,2,1)的对称点是________．
[思路点拨] 结合图形，利用图象对称的思想找准对称点．答案：(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3) [一点通] 平面直角坐标系中的对称性可以推广到空间直角坐标系中．在空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊的对称点的坐标如下：
①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；
②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；
③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；
⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；
⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；
⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．2．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是 ( )
A．(－3,3，－1) B．(－3，－3,1)
C．(3，－3，－1) D．(3,3,1)解析：∵点(a，b，c)关于xOz平面的对称点
为(a，－b，c)，
∴(3，－3,1)关于xOz平面的对称点为(3,3,1)．
答案：D3．点M(3，－3,1)关于z轴的对称点是 ( )
A．(－3,3,1) B．(－3，－3，－1)
C．(3，－3，－1) D．(－3，－3,1)
解析：∵点(a，b，c)关于z轴的对称点为(－a，－b，c)，
∴(3，－3,1)关于z轴的对称点为(－3,3,1)．
答案：A [例3] 如图所示，在长方体ABCD
－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|
＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，
N在D1C上且为D1C中点，求M、N两
点间的距离．
[思路点拨] 建立空间直角坐标系，求出M，N的坐标，用空间两点间距离公式求解． [精解详析] 如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，
∵N为CD1的中点， [一点通] 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．答案：B5．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|
＝|PB|，则点P的坐标为________．答案：(0,0,3)6．已知点A(1，－2,1)关于坐标平面xOy的对称点为A1，
求A，A1两点间的距离． 1．求空间直角坐标系中的点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标．
2．空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角坐标系． 3．利用空间中两点间距离公式求空间直角坐标系中点的坐标时，要把握好公式的形式．设出点的坐标，同时要注意方程思想的运用．2013版高中数学 7.6空间直角坐标系同步训练 理 新人教A版
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )
(A)y轴上 (B)xOy平面上
(C)xOz平面上 (D)yOz平面上
2.在空间直角坐标系中，点过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为( )
(A)(0, ,0) (B)(0, ,)
(C)(1,0,) (D)(1, ,0)
3.以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为( )
(A)(0, , ) (B)( ,0, )
(C)( , ,0) (D)( , , )
4.到点A(-1，-1，-1)，B(1，1，1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足( )
(A)x+y+z=-1 (B)x+y+z=1
(C)x+y+z=4 (D)x+y+z=0
5. (2012·孝感模拟)点M(x,y,z)在坐标平面xOy内的射影为M1，M1在坐标平面yOz内的射影为M2，M2在坐标平面xOz内的射影为M3，则M3的坐标为( )
(A)(-x,-y,-z)
(B)(x,y,z)
(C)(0,0,0)
(D)(,,)
6.(易错题)若两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1),B(2cosβ,
2sinβ,1),则|AB|的取值范围是( )
(A)［0,5］ (B)［1,5］
(C)(0,5) (D)［1,25］
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(易错题)给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为，则该点的坐标为________.
8.已知三角形的三个顶点A(2,-1,4)，B(3,2,-6)，C(5,0,2)，则过A点的中线长为_________.
9. (2011·宜城模拟)如图，BC=4，原点O是BC的中点，点A(,,0),点D在平面yOz上，且∠BDC=90°,∠DCB=30°，则AD的长度为_________.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·宜昌模拟)如图ABCD-A1B1C1D1是正方体,M、N分别是线段AD1和BD的中点.
(1)证明:直线MN∥平面B1CD1；
(2)设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,若以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,试写出B1、M两点的坐标,并求线段B1M的长.
11.在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1),B(1,0,-3).
(1)在y轴上是否存在点M，使|MA|=|MB|成立?
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
【探究创新】
(16分)解答下列各题:
(1)已知实数x,y,z满足(x-3)2+(y-4)2+z2=4,求x2+y2+z2的最小值.
(2)已知空间四个点O(0,0,0),A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),求三棱锥O-ABC的体积.
答案解析
1.【解析】选C.由点的坐标的特征可得该点在xOz平面上.
2.【解析】选D.由于点Q在xOy内，故其竖坐标为0，又PQ⊥xOy平面，故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同．从而点Q的坐标为(1,,0).
3.【解析】选B.由题意知所求点即为AB1的中点，由于A(0,0,0),B1(1,0,1),所以AB1的中点坐标为(,0,).
4.【解析】选D.到点A(-1，-1，-1)，B(1，1，1)的距离相等的点C应满足，
即(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2，化简得x+y+z=0.
5.【解析】选C.依题意得，M1的坐标为(x,y,0),M2的坐标为(0,y,0),M3的坐标为(0,0,0).
【方法技巧】空间直角坐标系中求对称点坐标的技巧
(1)关于哪个轴对称，对应轴上的坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数；
(2)关于坐标平面对称，另一轴上的坐标变为原来的相反数，其余不变；
(3)关于原点对称，三个坐标都变为原坐标的相反数；
(4)空间求对称点的坐标的方法，可类比平面直角坐标系中对应的问题进行记忆.
6.【解题指南】利用两点间距离公式求出|AB|，然后结合三角函数知识求范围.
【解析】选B.∵|AB|=
.
∴,
即1≤|AB|≤5.
7.【解析】设点P的坐标是(x,0,0),
由题意得，|P0P|=,
即,∴(x-4)2=25.
解得x=9或x=-1.
∴点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).
答案：(9,0,0)或(-1,0,0)
【误区警示】解答本题时容易忽视对解的讨论而造成结果不全.
【变式备选】在z轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C的坐标为__________.
【解析】设点C的坐标为(0,0,z)，
由条件得|AC|=|BC|,
即
,
解得.
答案：(0,0,)
8.【解析】由题意知BC的中点为D(4,1,-2)，
故|AD|.
答案：
9.【解题指南】先求点的坐标，再利用两点间距离公式求线段长度.
【解析】由于点D在平面yOz上，
所以点D的横坐标为0，
又BC=4，原点O是BC的中点，
∠BDC=90°,∠DCB=30°.
∴点D的竖坐标z=4×sin30°×sin60°=,
纵坐标y=-(2-4×sin30°×cos60°)=-1.
∴D(0,-1,).
∴|AD|.
答案：
10.【解析】(1)连接CD1、AC，则N是AC的中点,
在△ACD1中,又M是AD1的中点,
∴MN∥CD1.
又MN平面B1CD1,CD1?平面B1CD1,
∴MN∥平面B1CD1.
(2)由条件知B1(a,a,a),M(,0,),
∴|B1M|=,
即线段B1M的长为.
11.【解题指南】(1)先假设点M存在，然后利用两点间距离公式作出判断.(2)先假设点M存在,然后利用两点间的距离公式及等边三角形的三边相等列方程求解.
【解析】(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|=|MB|，可设点M(0,y,0)，则
,
由于上式对任意实数都成立，故y轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立.
(2)假设在y轴上存在点M(0,y,0)，使△MAB为等边三角形.
由(1)可知y轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立，所以只要再满足|MA|=|AB|，就可以使△MAB为等边三角形.
因为|MA|,
|AB|=.
于是，
解得y=±.
故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0,,0)或
(0,-,0).
【探究创新】
【解析】(1)由已知得,点P(x，y，z)在以M(3，4，0)为球心，2为半径的球面上，x2+y2+z2表示原点O与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O与M之间时，|OP|最小.
此时|OP|=|OM|-2==3.
∴|OP|2=9.
即x2+y2+z2的最小值是9.
(2)由题意可知，O,A,B,C为一正方体中的四个顶点，且该正方体的棱长为1，其中VO-ABC=V正方体-4V三棱锥.
高中数学 4.3.1空间直角坐标系学案 新人教A版必修2
学习目标：
能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法。
学习重点、难点：
重点: 在空间直角坐标系中，确定点的坐标
难点: 通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标
学习过程
一、展示目标
二、自主学习
1、先阅读教材134—135页，然后仔细审题，认真思考、独立规范作答。
2、、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
三、交流互动
问题1：什么是空间直角坐标系？什么是坐标平面？坐标轴？
问题2：如何建立空间直角坐标系？
问题3：空间一点的坐标如何表示？
问题4：原点O的坐标是什么？
探究:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程。
典型例题：
例题：在长方体中，
写出四点坐标.
四、达标检测
1．练习：P136 1, 2
2. 已知M (2, -3, 4)，画出它在空间的位置。
五、归纳总结
1．空间直角坐标系内点的坐标的确定过程.
2．有序实数组；
六、作业布置
课本P136 3 138页B组3题
七、课后反思
备课人
授课时间
课题
4.3.1空间直角坐标系
4.3.2空间两点间的距离公式
课标要求
在空间直角坐标系下，两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离
教
学
目
标
知识目标
感受空间直角坐标系建立的背景
2、掌握两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离。
技能目标
掌握在空间直角坐标系下，两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离
情感态度价值观
类比思想的运用
重点
1、空间直角坐标系中点的表示；2、空间直角坐标下两点间距离公式及其应用。
难点
两点间距离公式的推导。
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
一、空间直角坐标系
1、空间直角坐标系的建立：
如右图，OABC-D’A’B’C’为单位正方体，以_________为原点，以___________________为单位正方向，以______________为单位长，建立三条数轴______________,这样就建立了空间直角坐标系_______，其中O为________，x轴、y轴、z轴为_______，__________为坐标平面，分别为__________。
2、右手直角坐标系
本书中建立的空间直角坐标系均为___________，右手拇指指向________，食指指向 ________，中指指向____________
3、空间直角坐标系中任意一点M的坐标表示
如下图，设点M为空间一定点，过点M分别做垂直于x轴、y轴、z轴的平面依次交x轴、y轴、z轴于P、Q、R，设P、Q、R在x轴、y轴、z轴的坐标分别为x、y、z，则的坐标为（x，y，z）。
1
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
反之，给定有序实数组（x，y，z），在x轴、y轴、z轴上依次取坐标为x、y、z的点P、Q、R，分别经过各做一个平面，分别垂直于x轴、y轴、z轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点M。
有序实数组（x，y，z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x，y，z），其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。
二、合作探究
例1 如图，在长方体中，|OA|=3，|OC|=4，
|OD’|=2，写出D’、C、A’、B’四点的坐标。
解：D’（0,0,2）
C（0,4,0）
A’（3,0,2）
B’（3,4,2）
例2 结晶体的基本单位为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为1/2的小正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氧原子，如图4.3-5，建立空间直角坐标系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。
[析]把图中的钠原子分成上、下、中三层来写他们所在位置的坐标
2
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
三、空间两点间的距离公式
1、求空间中两点间距离的引入
距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？
2、空间中两点间距离公式的推导
（1）先求点P（x，y，z）到坐标原点的距离。
如图，设点P在xOy平面上的射影是B（PB垂直平面xOy），点B坐标为（x，y，0）。
∣OB∣＝，
∣OP∣＝，
由∣PB∣＝z，得：
∣OP∣＝，
这说明，在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点P（x，y，z）到坐标原点的距离
∣OP∣＝
（2）求空间任意两点间的距离
设点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）是空间中任意两点，且点P1，P2在xOy平面的射影分别为M，N，那么M，N坐标为M（x1，y1，0），N（x2，y2，0），
在xOy平面上，
∣MN∣＝
过点P1作P2N的垂线，垂足为H，则
∣MP1∣＝∣z1∣，∣NP2∣＝∣z2∣
所以，∣HP2∣＝∣z1－z2∣，
∣HP1∣＝∣MN∣＝
根据勾股定理，得
∣P1P2∣＝
＝
3
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
因此，空间中两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）之间的距离为：
∣P1P2∣＝＝
类比平面两点间的距离公式，有什么不同？有何相似之处？通过对比已经熟悉的公式来记忆新的公式，能加深印象。
3、练习
P138 第1、2题
四、小结：
1、空间直角坐标系中点的表示
2、在空间直角坐标系下，两点间的距离公式的推导，并对比平面上两点间距离公式，学会类比思想，会求空间两点间的距离。
教
学
小
结
课后
反思
4
