九年级数学《一元二次方程》整章课件[上学期]

课件59张PPT。第22章一元二次方程
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衷心的感谢.如有不便之处,敬请原谅.引入的例子：某中学在操场中间要建造面积为20 平方米矩形的花坛，且矩形的长比宽长1米，问矩形的长与宽分别是多少米？x+1米x米 则矩形
的长为（x+1）米，分析：设矩形的宽这x米,由题意得：问：这个方程以前我们是否学习过？若没有学过？它有什么特征？ x x2x2 + x － 20=0
观察这个方程，问：此方程有几个未知数？
2 + －20=0一个未知数：x问：这个方程中的未知数的最高次数是几次？
x + x －20 = 0最高次数：2引入一元二次方程的概念： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程
叫做一元二次方程。说明：⑴未知数个数1个。⑵未知数的最高次数是2次。二次项系数二次项一次项一次项系数常数项当b≠0,c ≠0时，当b=0或c =0时，方程ax2+b x+c=0 (a≠0)叫一般的～方程ax2+c=0 (a≠0)或ax2+b x=0都叫特殊的～.(～是一元二次方程)(a ≠0)下面给出一些常见的一元二次方程（不是整式方程）（不是整式方程）（不是一元方程）下面给出一些常见的方程,不是一元二次方程(一元二次方程是整式方程) 一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0
(a≠0)完全的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0, b≠0, c≠0) 特殊的
一元二次方程ax2+c=0 (a≠0,c≠0)ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)ax2=0 (a≠0)例１、方程　　　　　　　　　　是否为一元二次方程？如果不是，说明理由；如果是，指出它的二次项、一次项系数及常数项.解：去括号，得 3x2-3x=2x+4+8.　
移项，得 3x2-3x-2x-4-8=0.　
合并同类项，得 3x2-5x-12=0.　
∴原方程是一元二次方程；二次项系数是３，一次项系数是 - 5，常数项是 – 12.当ac<0时 ， 形如 （a≠0，c ≠ 0）的一元二次方程的解法：当ac＞0时 ，此方程无实数解.按照流程我们了解了一元二次方程的定义,下面来看看一元二次方程的解法一元二次方程的第一种解法:直接开方法例2：解方程 3x2-27=0解：移项，得 3x2=27两边同除以3，得 x2=9由平方根定义，得 x=±3即原方程的根为x = 3或x = -3练习1：解下列方程
（1） 5x2-4=0
（2）-7x2+7=0练习2：解下列方程
（1）（1-x）2=9
可以变成（x-1）2=9
（2）4（1+2x）2-49=0
解：直接开平方法一元二次方程的第二种解法:配方法
配方法的一般步骤：1）把方程化成二次项系数是1的形式2）移项整理使方程左边仅有二次项和一次项，右边仅有常数项。3）配方：方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方。4）再把方程左边化成完全平方式5）最后用直接开平方法求方程的解。例4：解方程解：两边同除以 2 ，得：移项，得：配方，得：即即2-122-3-3-3-1解方程：解：移项，得：配方，得：即即22一般式：1112-5-5 用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
以下内容请不要当公式来背,可以多推导几次熟悉一下.-黄老师
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
2.移项整理 得 x2+px=-q
3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。 x2+px+( )2 = -q+( )24. 用直接开平方法解方程
(x+ )2= -q 用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0解得 x= - ±∴当b2-4ac≥0时, x + =± ∵4a2＞0即 ( x + )2 = 配方，得 x2 + x+( )2 =- +( )2移项，得 x2 + x= -即 x=
用求根公式解一元二次方程的第三种方法叫做 公式法。请默写求根公式例5.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解: a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=491、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
∴ x = =
=即 x1= - 3 x2=用公式法解一元二次方程的一般步骤：求根公式 : X=4、写出方程的解： x1=?, x2=?3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)(a≠0, b2-4ac≥0)（口答）填空：用公式法解方程
3x2+5x-2=0 解：a= ，b= ，c = . b2-4ac= = .
x= = = .
即 x1= , x2= .
35-252-4×3×(-2)49-2求根公式 : X=用公式法解下列方程：
1、x2 +2x =5
2、 6t2 -5 =13t
（x1=-1+ ，x2=-1- ）（t1= ，t2= - ） (a≠0, b2-4ac≥0)例 6用公式法解方程：
x2 – x - =0解：方程两边同乘以 3
得 2 x2 -3x-2=0
a=2，b= -3，c= -2.
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. 求根公式 : X=∴x= 　即 x1=2, x2= - 例7用公式法解方程：
x2 +3 = 2 x 解：移项，得
x2 -2 x+3 = 0a=1，b=-2 ，c=3b2-4ac=(-2 )2-4×1×3=0∴x=x1 = x2 =练习:用公式法解方程
1、 x2 - x -1= 0
2、 2x2 - 2 x+1= 0====
一元二次方程解法有几种？
我们已经介绍了解一元二次方程的三种通法.还有第四种,也就是最快捷最常用的方法:因式分解法.但这种不是解一元二次方程的通法.那么我们应该对各解法比较,灵活选择.
一元二次方程 一元二次方程当b=0，a、c异号时，
方程宜用 法解 当c=0时，方程宜用 法解当b≠0,c ≠0时，首先考虑用 法解；其次若二次项系数为1，一次项的系数为偶数，宜用 解； 最后考虑用
解。因式分解因式分解配方法公式法直接开方解法举例例8 选用适当的方法解下列方程
解：两边开平方，得：
解：两边同加上1，得
解：把方程左边分解因式，得化简，得
例9 解方程
解：化简得
解：化简得较复杂的方程，先整理化简，再寻找合适的解法练习1 用适当的方法解下列方程练习2 用适当的方法解下列方程解：想一想：你能想出方程
的最简便的解法吗？直接开平方法
b=0,a、c异号0因式分解法
c=00公式法知识
梳理有实根巩固练习45复习引入判别式
一元二次方程的一般形式是什么？配方，得：（x+ )2=一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
ax2+bx+c=0(a≠0)⊿=b2-4ac＞0 =>
⊿=b2-4ac=0 =>
⊿=b2-4ac＜0 =>
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根没有实数根
＜＜＜其中 叫做一元二次方程根的判别式例10
若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 （ ）
A m ﹥0 B m ≥ 0 C m ﹥ 0 且m≠1 D m ≥0且m≠1解：由题意，得
m-1≠0①
⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0②
解之得，m﹥0且m≠1，故应选DD 练习1 选择题
1 不解方程，判断方程0.2x2-5=1.5x的根的情况是（ ）
A )有两个不相等的实数根 B) 有两个相等的实数根
C) 没有实数根 D)无法确定
2 . 若关于的一元二次方程（k-1）x2+2kx+k+3=0有实数根，
则k的取值范围是（ ）
A)k ≤1.5 B)k ﹤1.5 C) k ≤1.5 且k≠1
D)k≥1.5
AC练一练例11
求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）
=m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157
=（m-11）2+36∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0
∴（m-11）2+36＞0，即⊿＞0
∴不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根
练习2
一、填空题
1、关于x的方程x２+2kx+k-１＝0的根的情况是 _______________

二、求证:不论a为任何实数,2x2+3(a-1)+a2-4a-7=0必有两个不相等的实数根.有两个不相等的实数根
例12
已知关于x的一元二次方程 没有实数根，求k的最小整数值。解：将原方程整理，得
（2 k-1）x2-8x+6=0 根据题意，得
? =（-8）2-4（2k-1）×6<0
2k-1≠ 0
解这个不等式组，得k>
∴ k的最小整数值是2{练习3
若关于x的一元二次方程x2+2x-m+1=0没有实数根，求证关于y的方程y2+my+12m=1一定有两个不相等的实数根。提示：将y2+my+12m=1化为一般形式 y2+my+12m-1=0达标练习一、选择题：
1、已知关于X的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，
则k的取值范围是（　　　　　）
Ａ）k<１　Ｂ）k≤１　Ｃ）k<１且k≠0　Ｄ）k≤１且k≠0
　　2、若关于y的方程ay２-4y+１＝0有实数根，则a的最
大整数值为（ ）
A）0 B） 4 C）0或4 D）3二、填空
1、已知关于y的一元二次方程
有两个实数根,那么m的取值范围是

2、若 且关于 x的一元二次方程 有两个不相等实数根.则k的取值范围
且且三、解答题
已知关于x的方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有两个相等的实数根，化简
|1-m|+解：∵方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有两个相等的实数根
∴ ? =[-(2m+2)]2-4(m2+5)
=8m-16=0 ∴ m=2
原式=1+0=1

一元二次方程第二部分内容
一、一元二次方程根的判别式
二、一元二次方程根与系数的关系
三、二次三项式的因式分解
四.一元二次方程应用题 一元二次方程根的判别式两不相等实根两相等实根无实根一元二次方程一元二次方程 根的判式是: 判别式的情况根的情况定理与逆定理两个不相等实根 两个相等实根 无实根(无解)一、判别式的应用:所以，原方程有两个不相等的实根。说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△，然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情况，得出结论。1、不解方程，判别方程的根的情况 例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：
（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；
解：△=(1).当△>0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 >0 , 即 (2).当△ = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即 (3).当△ <0 ，方程有没有实数根, 8k+9 <0 , 即 2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围 说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出待定系数的取值范围K＜例3、已知m为非负整数，且关于x的方程 ：
有两个实数根，求m的值。 解：∵方程有两个实数根
∴
解得：∵m为非负数∴m=0或m=1说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取值范围.例4、求证：关于x的方程：
有两个不相等的实根。证明： 所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。无论m取任何实数都有：即：△>03、证明方程根的情况说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出△，如果不能直接判断△情况，就利用配方法把△配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断△的情况，从而证明出方程根的情况2、已知关于x 的方程： 有两个
不相等的实数根，k为实数，求k 的取值范围。3、设关于x 的方程： ，证明，不论m
为何 值时，方程总有两个不相等的实数根。二、一元二次方程根与系数的关系以两个数x1、x2为根的一元二次方程
（二次项系数为1）是
设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表56解：设方程的另一个根为x1，那么例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程


两个根的；（1）平方和；（2）倒数和解：设方程的两个根是x1 x2，那么例3 已知方程x2-5x-2=0，作一个新方程，
使它的根分别是已知方程各根平方的倒数解：设x1、x2为方程x2-5x-2=0的两根，则
x1+x2=5 x1x2=-2设所求方程两根为y1、y2则：
例6 .已知方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值．
解：设x1、x2为方程的两根∵方程有两个实数根，
解得m≤0．
依题意，得

∵m≤0，
　　∴m＝－1．
(x12+x22)-x1x2=21
例7. 试确定m的值，使关于x的方程8x2－(2m2＋m－6)x＋2m－1＝0的两根互为相反数．
解：设此方程的两个根为x1、x2,要使方程的两个根互为相反数,必需满足条件:
Δ
x1＋x2＝0,
x1x2≤0．
0,
得2m2＋m－6＝0
∴当m＝－2时，原方程的两根互为相反数．
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？ 2、已知方程 的一个根是 1，
求它的另一个根和m的值。 3、设 x1 、 x2是方程 利用
根与系数的 关系，求下列各式的值：
三、二次三项式的因式分解中的因式 千万不能忽略。2.在分解二次三项式的因式时，可先用求根公式求出方程的两个根x1,x2然后,写成a例题讲解例1 把分解因式此步的目的是去掉括号内的分母例2本题是关于x的二次三项式，所以应把y看作常数 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。
解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理得 x2– 25+100=0得 x1=20, x2=5当=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10答:这个长方形框的框边宽为5cm四.应用题1月的数量为A，3月的数量为B，经过两个月，求增长率x。某季度数量为B，头一个月数量为A，求后两个月的增长率x.
1月的数量A，经过两个月后数量增加m%，求增长率.增加m%==A+A(1+x)+A(1+x)2=B大家都知道，中考的命题为了加强对人才的区分度，在题目的新颖性和综合性方面下了很大的功夫.很多大城市的中考把压轴的两题(每题8分)共16分从2006年开始改成三题(每题12分)共36分.而且在21世纪这个信息化的年代，你们的新教材体现“信息化”、“对新问题的探究思想”，自然在中考命题中也体现这种思想。你们学习的时候,应该注意不是把题目背下来,应该学完以后只记得系统的公式是如何推导出来,当然该记的公式也要记.最后在脑海里有第四页的整个流程图,那是你思考的根据.
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