人教B版（2019）必修第一册 2.2.4均值不等式及其应用 第2课时 教案

2．2不等式
《2.2.4均值不等式及其应用》教学设计
第2课时
教学目标
掌握均值不等式以及几个例题中的结论，要熟记并学会推导．
教学重难点
教学重点：不等式的证明．
教学难点：熟记并学会推导均值不等式的多种变形．
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、整体概述
问题1：阅读课本第71~75页，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节将要研究均值不等式及其应用．（2）起点是不等式的性质以及比较法，目标是知道均值不等式，会证明均值不等式定理，会用均值不等式解决简单的最大（小）问题．进一步提升数学运算、逻辑推理等素养．
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
二、探索新知
1．情境与问题
复习：上节课我们一起学习了均值不等式，请同学们回顾一下均值不等式的内容，以及我们利用均值不等式可以解决什么样的问题？
师生活动：学生回答：如果a，b都是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立．利用均值不等式可以求最值、解决实际应用问题等．
问题1：我们利用均值不等式还能解决什么问题呢？
设计意图：温故知新．
2. 探究新知
知识点1 证明不等式
问题2：我们利用均值不等式可以证明不等式，可以直接利用（a，b都是正数），也可使用．你还有哪些变形呢？
师生活动：学生回答，教师完善．
预设的答案：，．
设计意图：一方面说明均值不等式的多种变形，一方面说明可以多种形式使用均值不等式．
三、初步应用
例1 已知ab>0，求证：，并推导出等号成立的条件．
师生活动：与学生一起探讨利用均值不等式证明不等式．教师书写规范解答．
预设的答案：证明 : 因为ab>0，所以，
根据均值不等式，得，即，
当且仅当，即a2=b2时，等号成立．因为ab>0，所以等号成立的条件是a=b．
设计意图：利用均值不等式证明一些简单的不等式．
例2 已知a，b是实数，求证：a2+b2≥2ab．
并说明等号成立的条件．
师生活动：与学生一起探讨如何证明．教师书写规范解答．
预设的答案：证明 : 因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，
所以a2+b2-2ab≥0，即a2+b2≥2ab．
等号成立时，当且仅当(a-b)2=0，即a=b．
教师总结：例2的结论也是经常要用的．不难看出，均值不等式与例5的结论既有联系，又有区别．区别在于例2中去掉了a，b是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例2结论的一种特殊情况．
教师还可以利用右图给出例2的一个几何意义：假设图中直角三角形的直角边分别为a，b， 则显然图中大正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和，即a2+b2≥2ab，当且仅当小正方形的面积为0即a=b时取等号．
设计意图：该不等式是一个重要不等式，在证明中可直接使用．均值不等式是该不等式的特例．
例3 已知a，b∈R，求证：
（1）(a+b)2≥4ab；
（2）2(a2+b2)≥(a+b)2．
师生活动：学生思考并尝试证明．教师书写规范解答．
预设的答案：证明 ：（1）因为a2+b2≥2ab，两边同时加上2ab，得
a2+b2+2ab≥4ab，
即(a+b)2≥4ab；
因为a2+b2≥2ab，两边同时加上a2+b2，得
2(a2+b2)≥a2+b2+2ab，
即2(a2+b2)≥(a+b)2．
教师总结：(a+b)2≥4ab以及2(a2+b2)≥(a+b)2都是均值不等式的变形，又其中2(a2+b2)≥(a+b)2又常变形为．
设计意图：进一步熟悉利用综合法以及使用均值不等式证明不等式．
例4（1) 已知a，b，cR， 求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
（2) 已知a，b，c为正实数，求证：；
（3) 已知a2+b2=1，x2+y2=1， 求证：ax+by≤1．
师生活动：学生分组讨论，派代表回答！教师书写大致证明思路．
预设的答案：证明 ：（1) 由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca， 三个不等式相加即能得证；
（2) 注意到a2b2+b2c2≥2ab2c，b2c2+c2a2≥2bc2a，c2a2+a2b2≥2ca2b即可；
（3) 注意到a2十x2≥2ax，b2+y2≥2by，两式相加即可得到．
方法总结：利用均值不等式证明不等式的两种题型 ：(1)无附加条件的不等式的证明．其解题思路：观察待证不等式的结构形式，若不能直接使用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用均值不等式的条件．(2)有附加条件的不等式的证明．观察已知条件与待证不等式之间的关系，恰当地使用已知条件，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．
设计意图：进一步熟悉利用综合法以及使用均值不等式证明不等式．
【探索与研究】用Excel或其他计算机软件，完成下列数学实验：
（1）任取多组三个正教a，b，c，计算和运后，比较它们的大小，总结出一般规律；
（2）对四个正数、五个正数做同样的实验，总结出普遍规律．
师生活动：与学生一起探究，一起探讨猜想．
教师总结：一般地， ， 当且仅当 时，等号成立．
设计意图：“探索与研究”旨在引导学生对均值不等式做更深入的探究，猜想两项的均值不等式能否推广到多项，培养学生的发散思维和思考的习惯．
练习：教科书P76练习A2
四、归纳小结，布置作业
1．板书设计：
2．2．4均值不等式及其应用
1． 利用均值不等式证明不等式
2． 有附加条件的不等式的证明
例1 例2
例3 例4
2．总结概括：
回顾本节课，你有什么收获？
（1）均值不等式有哪些变形？如何证明？
（2）如何利用均值不等式及其变形证明不等式？
师生活动：学生总结，老师适当补充．
教师总结：利用均值不等式证明不等式的注意点：
(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立．
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用．
(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不等式的条件．
作业：教科书P76练习B 3
补充作业：已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9．
参考答案：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋＝1＋＝2＋．
同理1＋＝2＋．
故(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)＝5＋2(＋)≥5＋4＝9．
所以(1＋)(1＋)≥9，当且仅当a＝b＝时取等号．