22.1一元二次方程[上学期]

第二十二章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
疑难分析
1．一元二次方程的概念:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown). 一元二次方程有三个特征:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2(且二次项的系数不能为0).
2．一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
3．一元二次方程的解:能够使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解.对于方程,当x=8时,.所以x=8是方程的解. 一元二次方程的解也叫一元二次方程的根(root).
4.处理一元二次方程的问题时,先要把方程化成一般形式,并分清二次项及其系数、一次项及其系数、常数项各是什么；对于这种形式的方程，必须对进行讨论.
例题选讲
例1 判断下列方程是否为一元二次方程,若是一元二次方程,请写出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) （2）
（3） （4）
（5）
解：（1）原方程整理得,是一元二次方程,它的系数是1,一次项系数是0,常数项是-5.
（2）不是一元二次方程,原方程中含有两个未知数．
（3）不是一元二次方程, 一元二次方程是整式,而该方程分母中含有未知数.
（4）原方程化为,不是一元二次方程, 未知数的最高次数不是2.
（5）原方程化为,
①当=0,即时,该方程不是一元二次方程.
②,即时, 该方程是一元二次方程,此时二次项系数是,一次项系数是4ab,常数项是.
评注：判断一个方程是否为一元二次方程,先把方程化成一般形式,再按照一元二次方程必须具备的几个条件进行判断.如果二次项系数是含字母的代数式,需要对这个代数式进行分类讨论.
例2 关于x的一元二次方程有一根为0,求a的值
解： ∵有一根为0,∴把x=0代入方程中得
∴.又∵此方程为一元二次方程, ∴,∴,∴.
评注：根据方程根的定义,将x=0代入原方程变为关于a的一元二次方程,求得a的值,再根据一元二次方程中,其二次项系数不为0的限制,从而确定a的值.
基础训练
一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后括号内）
1．下列方程中是一元二次方程的有（ ）个．
① ②
③ ④ ⑤
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2．关于的方程是一元二次方程，则的取值是（ ）．
(A)任意实数 (B)1 (C)－1 (D)±1
3.将一元二次方程2(x+1)(x-2)=x(x+3)-5化为一般形式为( ).
(A)x2-5x+1=0 (B)x2+x-9=0 (C)x2-4x+3=0 (D)x2-x+1=0
4.关于的一元二次方程的一次项系数为（ ）．
(A) (B) (C) (D)
5.已知方程x2+x+a=0有一个根是2，则a的值为( ).
(A)4 (B)-4 (C)6 (D)-6
6.若一元二次方程(a-1)x2+(a+5)x+4a-8=0的常数项为0，则方程必有根（ ）.
(A)0或7 (B)0和-7 (C)3 (D)7
7.已知a-b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个根是（ ）.
(A)x=1 (B)x=-1 (C)x=0 (D)x=±1
8．如图所示,在正方形的铁片上,截去2cm宽的一个长方形,余下的面积是48㎝2,则原来的正方形铁片的面积是( ).
(A)81㎝2 (B)8㎝2
(C)16㎝2 (D)64㎝2
二、填一填
9.将一元二次方程2(x+3)(x-3)=4-(x+3)2化为一般
形式为 .
10.已知方程3x2+ax+a-3=0有一个根是2，则a的值为 .
11.若一元二次方程(2a-4)x2+(3a+6)x+a-8=0的没有一次项，则a的值为 .
12.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,参加聚会的有 人.
三、做一做
13.将下列一元二次方程化为一般形式,并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
①
②
③
14.已知方程是关于x的一元二次方程.
（1）求a的取值范围；
（2）若该方程的一次项系数为0，你能想出这个方程的根吗？
15.已知一元二次方程的一个根为１，且a、b满足等式，求方程的根．
16.张老师从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱,且此长方体运输箱底面的长比宽多2米,现已知购买这种铁皮每平方米需要20元钱,问张老师购回这张矩形铁皮共花了多少元钱
22.1 一元二次方程
一、1.B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.B 7.B 8.D
二、9. 10.a=9 11.a=-2 12.6
三、13.(略) 14.（1） （2）
15.解：∵x=1是此方程的一个根，∴a+b+c=0.又，∴a=2,b=-3∴ c=1.故方程.即为
16. 设这种运输箱底部宽为x米,则长为(x+2)米.
依题意有,
化简得
要购买铁皮的面积为
∴要做一个这样的水箱要花700元.