22.2降次-解一元二次方程[上学期]

22.2 降次——解一元二次方程
疑难分析
1．通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.可以看出, 配方是为了降次,把一个一元二次方程转化成两个一元二次方程来解.
2. 一元二次方程的根由方程的系数a,b,c确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式,当,将a,b,c代入式子就得到方程的根.这个式子就叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知, 一元二次方程最多有两个实数根.
3.用因式分解的方法使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0.从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.
4.配方法要先配方,再降次;通过配方法可以推出求根公式,公式法直接利用求根公式; 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各个一次式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程, 因式分解法用于某些一元二次方程.总之,解一元二次方程的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次.
例题选讲
例1． 用配方法解下列方程：
（1） （2）
解:(1)移项，得
配方
由此可得
.
(2) 移项，得
二次项系数化为1,得
配方 即
∴∴
评注：运用配方法解一元二次方程,先移项把含有未知数的项移到方程左边,常数项移到方程的右边,再在方程的两边同时除以二次项的系数,把二次项的系数化为“1” 的形式,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,把方程化为的形式,再用直接开平方的方法求解.配方的关键是在二次项系数为1的形式下,方程的两边同时加上一次项系数一半的平方.
例2. 解下列方程
(1) (2)
解:(1),
(2)因式分解,得
于是得 或
评注：掌握好一元二次方程的求根公式是本节的重点,这是学好本章内容的关键. 因式分解法求根,解答过程较简单,但并不具有普遍意义.解一元二次方程具有普遍意义的是一元二次方程的求根公式.
基础训练
一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后括号内）
1.用配方法解方程x2+x=2，应把方程的两边同时（ ）.
(A)加 (B)加 (C)减 (D)减
2．用配方法解关于的方程时，此方程可变形为（ ）.
(A) 　 (B)
(C) 　(D)
3. 下列方程中,没有实数根的是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
4.不解方程,判别方程x2-3x+1=0的根的情况是( ).
(A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根
(C)只有一个实数根 (D)没有实数根
5.若关于x的一元二次方程(k-1)x-2kx+k-3=0有不等的两实根,则k的范围是( ).
6. 用因式分解法解方程x(x-3)=2(x+1)-8时, 方程可变形为（ ）.
(A)(x-1)(x+6)=0 (B)(x+1)(x-6)=0 (C)(x+2)(x+3)=0 (D)(x-2)(x-3)=0
7.若关于x的方程x2+mx+n=0的两根为x1=2，x2=-3，三项式x2+mx+n可分解为（ ）.
（A）(x+2)(x+3) （B）(x-2)(x-3) （C）(x+2)(x-3) （D）(x-2)(x+3)
8.若关于x的方程（a+c）x2+2bx-a+c=0有两个相等的实数根，其中a、b、c分别为△ABC的三边，则△ABC的一定是（ ）.
(A)等腰三角形 (B)等边三角形 (C)直角三角形 (D)等腰直角三角形
二、填一填
9.将方程用配方法化成的形式为__________，此方程的根为_____.
10.方程4x2-kx+1=0有两个相等的实数根，则k的值是 .
11.若方程2x2-8x+m=0有解，则m的取值范围为 .
12.多项式可分解为两个一次因式的积，请你任意写出一个符合条件的值
.
三、做一做
13. 解下列方程
(1). (2) (3)
14.阅读材料解答问题
为解方程,我们可以将视为一个整体,设=y,则,原方程化为,解得.
当y=4时,.
当y=1时,.
∴原方程的解为
请利用上述方法解方程:
15．如图，有一块梯形铁板ABCD，AB∥CD，∠A=90°，AB=6 m，CD=4 m，AD=2 m，现在梯形中裁出一内接矩形铁板AEFG，使E在AB上，F在BC上，G在AD上，若矩形铁板的面积为5 m2，则矩形的一边EF长为多少？
四、试一试
16.某商店如果将进货为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,通过一段时间的摸索.该店发现这种商品每涨价0.5元,其销量就减少10件,每降价0.5元,其销量就增加10件.
(1)你能帮助店主设计一种方案,使每天的利润达到700元吗
(2)将售价定为每件多少时,能使这天所获得的利润最大 最大利润是多少
22.2 降次——解一元二次方程
一、1.A 2.A 3.B 4.B 5.B 6.D 7.D 8.C
二、9., 10. 11. 12.13、8等
三、13.(1)；(2)；（3） .
14.．
　 15.设EF=x米，依题意有：.解得∴EF=5米.
16.(1)解:每件商品提高x元,依题意得(x+2)(200-20x)=700,整理得,解得,∴把每件商品定为每件13元或者15元能使每天利润达到700元.
(2)设每天利润为y元.依题意有
.
即每件售价为14元时,每天所获得利润最大,最大利润为720元.