一元二次方程的根的判别式[上学期]

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主 讲余小芳一元二次方程判别式一复习提问：
1、一元二次方程的标准式是什么？
2、一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：b -4ac的符号与ax +bx+c=0会有关系吗？
做一做：用求根公式法解下列方程
（1）x -x-2=0 （2）x -6x+9=0 （3）x -x+1=0
看一看：上列三个方程的根与b -4ac的符号有关系吗？有什么关系？222222一元二次方程判别式猜一猜：对于一般ax +bx+c=0 （a≠0）的根与b -4ac的符号有会么关系？22故对于方程ax +bx+c=0 （a≠0）有下列关系：
当b -4ac≥0时，方程有两个不相等的根
x =
当b-4ac=0时，方程有两个相等的根x =x = -
当b - 4ac＜0时，方程没有实数根.因为ax +bx+c=0（a≠0）的求根公式是
-b±√b -4ac2ax=2222222-b+√b -4ac 2a21x =-b-√b -4ac2a2212b2a一元二次方程判别式反过来方程ax +bx+c=0有两个实数根时b -4ac＞0
有两个相等的根时b -4ac=0
没有实数根时b -4ac＜0
由此可见b -4ac的值决定一元二次方程的根的情况，所以把它叫一元二次方程ax +bx+c=0（a ≠0）的根的判别式。记作“△”读作“delta”222222二、例1，不解下列方程判别下列方程的根的情况
（1）3x -4x+7=0 （2） x +x+1=0 （3）2x- √6x-1=0一元二次方程判别式22214解：a=3，
b=-4，c=7，
b -4ac
=16-4×3×7 ＜0
所以原方程没有实
数根解：a= ，b=1，c=1
b -4ac
=1-4× ×1=0，所以原方程有两个相等的实数根414解：a=2
b=√6，c=-1
b -4ac
=6-4×2×（-1）
=14＞0，所以原方程有两个不相等的根2221做练习：不解方程试判断下列方程的根的情况
（1）3x -7x+2=0 （2）9x +6x+1=0
（3）2x -（2+√2）x+3+√2=0
例2：关于x的方程2x +mx-2=2x-m，当m为何值时方程有两个相等的根？并求出它的根
一元二次方程判别式解；原方程可以整理成；2x +（m-2）x+m-2=0
a=2, b=m-2, c=-2+m ，b-4ac=（m-2）-4×2（-2+m）
据题意有m -12m+20=0∴m =2， m =10
当m=2时，x =x =0；当m=10时x =x =-222222221211222练习：当K为何值时方程（k-2）x +2kx-1=0有两个相等的实数根，并求出方程的根。
例3：当K为何值时，方程kx +（2k+1）x+k=0（k≠0）
（1）有两个不相等的根（2）有两个相等的根
（3）没有实数根一元二次方程判别式22解：∵b -4ac=（2k+1） -4k·k=4k+1，而方程有两个不相等的根∴4k+1≥0，即k≥-422若有两个相等根4k+1=0即k= -4若没有实数根则4k+1＜0即k＜ -1411例4：求证：
（1）关于x的方程x +kx+k +1 =0没有实数根
（2）关于x的方程（x+a)(x-a)-x=2(x-1)总有两个不相等的根。一元二次方程判别式22（1）证明：∵△=b -4ac=k -4（k +1）= -3k -4无论k为何实数k ≥0∴△＜0故原方程没有实数根。
22222（2）证明：整理原方程得 x -3x+2 -a =0
∵△=9-4×（2-a ）=1+a 无论a为何值a ≥0
∴ △＞0,故原方程有两个不相等的根22222课堂练习;
1、对于方程4(m+1)x +2(2m-1)x=1-m (m≠-1）
（1）方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围
（2）方程有两个相等的实数根，求m的取值范围
（3）方程没有实数根，求m的取值范围
2、已知a+c≠0，a +b =c 求证（a+c）x +2bx+c-a=0总有相等的实数根
一元二次方程判别式22222一元二次方程判别式小结：方程ax +bx+c=0 （a≠0）
1、△=b -4ac叫一元二次方程的判别式
当△＞0时方程有两个不相等的实数根
当△=0时方程有两个相等的实数根
△＜0时方程无实数根
2、能灵活运用△讨论方程根的情况或知道根的情况，能正确运用△具备的条件解出待定系数的值
3、能正确运用△的符号证明方程何时有不相等的实数根，何时有相等的实数根，何时没有实数根的问题22