实系数一元二次方程实根分布问题[下学期]

专题三：实系数一元二次方程实根分布问题
命题人：郑飘伶 2005—10—12
一． 学习目标
1．会运用一元二次方程根与系数的关系、判别式以及二次函数、不等式等知识解决有关二次方程根的分布问题，注意灵活运用数形结合和化归的思想方法。
2．进一步培养数学理解能力、辨别能力、判断能力及分析能力和运算能力。
二．重点、难点
重点是实系数一元二次方程实根分布问题；
难点是根的分布问题的求解方法。
三．教与学师生互动
创设情境：
1．二次函数的有关知识。
2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系。
3．若实系数方程的两实根，就下列根的情况，写出各自的充要条件：
序号 根的情况 充要条件
1
2
3
双向沟通：
实系数一元二次方程实根分布问题
设是实系数一元方程的两实根，为实数，试针对下列情况，依据二次函数的图象特征，填出充要条件。
根的分布 有且只有一个在内
图象
充要条件
说明：数形结合，探求二次方程根的分布的充要条件问题，一般要考虑三类条件：①判别式的正负；②顶点的横坐标的大小范围；③区间端点的函数值的正负。
例1．关于的方程的两实根，一个小于1，另一个大于1，求实数的取值范围。
分析：利用一元二次方程根的分布条件列式求解。
例2．若方程的两根分别在和内，求实数的取值范围。
例3．函数的定义域为集合，函数的定义域为非空集合，当时，求实数的取值范围。
练习：
1．已知关于的方程有两个负根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．是方程两根均大于1的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．设二次函数，若，则的值为（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．正数、负数和零都有可能
作业：
4．已知关于的方程的一个根大于2，另一个根小于2，求的取值范围。
5．已知关于的方程的所有根均小于1，求实数的取值范围。
6．已知集合，，且，求实数的取值范围。
练习及作业答案：
1．
方程有两个负根的充要条件是： 且且
2．
方程两根均大于1的充要条件是：
且且，求出
3．
，
画图及由可得，
4．构造函数
由题意可得解得
5．若即时，方程化为
令，由题意得
且且
解得
6．，，
当时，得
当时，有根且根在内
解得
综上，