人教A版（2019）必修 第二册第六章 平面向量及其应用 测试题（含答案）

平面向量 测试题
（时间120分钟 满分150分）
班级 学号 姓名 得分
第Ⅰ卷　(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、你认为下面正确的是(　　)
A．单位向量都相等
B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0
D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1.
2、如果向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则 2a－b＝(　　)
A．(3,9)　 B．(5,9) C．(3,7) D．(5,7)
3、在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则·等于(　　)
A．6 B． 8 C．－8 D．－6
4、已知＝(2,3)，＝(－3，y)，且⊥，则y等于(　　)
A．－ B．－2 C. D． 2
5、关于平面向量a，b，c，有下列四个命题：
①若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λa；
②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
③存在不全为零的实数λ，μ使得c＝λa＋μb；
④若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)．
其中正确的命题是(　　)
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
6、如果|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，那么向量a与向量b的夹角是(　　)
A. B. C. D.
7、若O，A，M，B为平面上四点，＝λ＋(1－λ)·，且λ∈(1,2)，则(　　)
A．点M在线段AB上 B． 点A在线段BM上
C．点B在线段AM上 D．O，A，B，M四点共线
8、已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A．2 m/s B． 10 m/s C．4 m/s D．12 m/s
9、如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝(　　)
A．2 B．3 C. D.
10、P是△ABC内的一点，＝(＋)，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为(　　)
A. 3 B． C．2 D．6
11、已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为(　　)
A．2 B．－3
C．0 D．3
12、定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是(　　)
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13、已知两个粒子A、B从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4,3)，vb＝(3,4)，则va在vb上的投影为________．
14、已知点A(0,0)，B(，0)，C(0,1)．设AD⊥BC于D，那么有＝λ，其中λ＝________.
15、已知向量＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设M是直线OP上任意一点(O为坐标原点)，则·的最小值为________．
16、在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(本小题满分10分)
已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)．若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，(1)点P在第一、三象限的角平分线上？(2)点P在第三象限内？
18、(本小题满分12分)
设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
19、(本小题满分12分)
已知a＝(，－1)，b＝(，)，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
20、(本小题满分12分)
已知A(2,1)、B(3,2)、D(－1,4)．
(1)求证：⊥；
(2)若四边形ABCD为矩形，试确定点C的坐标，并求该矩形两条对角线所成的锐角的余弦值．
21、(本小题满分12分)
已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数g(x)＝a·b.
(1)求f (x)的最小正周期；
(2)求g (x)在上的最大值和最小值．
22、(本小题满分12分)
已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设＝a，＝b，＝ma，＝nb.
求证：＋＝3.
参考答案
C　 ∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b |a－b|2＝a2＋b2－2a·b |a＋b|＝|a－b|.∴a·b＝0.故选C
D　解析：因为a＝(2,4)，b＝(－1,1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)，故选D
B　解析：∵＝＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，
∴·＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8. 故选B
D　解析：　∵⊥，∴·＝－6＋3y＝0，
∴y＝2.故选D
A　解析：由向量共线定理知①正确；若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，所以②错误；在a，b能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，所以③错误；若a·b＝a·c，则a(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，所以④正确，即正确命题序号是①④.故选A　
B　解析：∵a(b－a)＝a·b－|a|2＝2，∴a·b＝3，∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴〈a，b〉＝.，故选B.
C　解析：∵＝λ＋(1－λ)＝＋λ(－)∴＝λ，λ∈(1,2)，∴点B在线段AM上，故选C.
A　解析：设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝＝2(m/s)．故选A.
C 解析：建系如图．
设B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)，
＝(xC－xB，yC)，
＝(－xB,1)．
∵＝ ，
∴xC－xB＝－xB xC＝(1－)xB，yC＝.
＝((1－)xB，)，＝(0,1)，·＝.
故选 C.
A　解析： 设△ABC边BC的中点为D，则＝＝. ∵＝(＋)＝，∴＝，
∴||＝||.∴＝3.故选A.
11、D　解析：由原式可得
解得所以x－y＝3.
故选D
12、B 解析：若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确，故选B
13、
解析：　由题知va与vb的夹角θ的余弦值为cosθ＝＝.
∴va在vb上的投影为|va|cosθ＝5×＝.
14、　
解析：如图，||＝，||＝1，||＝2，由于AD⊥BC，且＝λ，所以C、D、B三点共线，所以＝，即λ＝
15、－8
解析：设＝t＝(2t，t)，故有·＝(1－2t,7－t)·(5－2t,1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，故当t＝2时，·取得最小值－8.
16、30
解析：＝－＝(3,6)＝，∵·＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴⊥，∴四边形ABCD为矩形，||＝，||＝，∴S＝||·||＝30.
17、解：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2,3)
＝(x－2，y－3)．
＋λ＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋λ，
∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∴∴
∴点P的坐标为(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，此时λ＝.
(2)若点P在第三象限内，则
∴∴λ＜－1.
即当λ＜－1时，点P在第三象限内．
18、解：由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.
欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7<0，得－7设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ<0)，
∴∴2t2＝7.∴t＝－，此时λ＝－.
即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.
∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是
∪.
19、解：由题知，|a|＝2，|b|＝1，
a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.
由x⊥y得，[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－t2k＋3k)a·b＝0，
∴－k|a|2＋(t3－3t)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，∴k＝.
∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.
即当t＝－2时，有最小值－.
20、解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥.
(2)∵四边形ABCD为矩形，且AB⊥AD，
∴＝.
设C(x，y)，则(－3,3)＝(x－3，y－2)，
，∴
∴点C(0,5)．
又∵＝(－2,4)，＝(－4,2)，
∴·＝(－2)×(－4)＋4×2＝16.
而||＝＝2 ，||＝＝2 ，
设与的夹角为θ，则
cosθ＝＝＝
∴该矩形两条对角线所成锐角的余弦值为.
21、解：g(x)＝·(sin x，cos 2x)
＝cos xsin x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝cossin 2x－sincos 2x
＝sin.
(1)g(x)的最小正周期为T＝＝＝π，
即函数g(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤.
由正弦函数的性质，
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－，
当2x－＝，即x＝时，f＝，
∴g(x)的最小值为－.
因此，g(x)在上的最大值是1，最小值是－.
22、证明　如下图所示，
∵＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝＝(a＋b)．
∴＝－＝(a＋b)－ma＝(－m)a＋b.
＝－＝nb－ma.
又P、G、Q三点共线，
所以存在一个实数λ，使得＝λ.
∴(－m)a＋b＝λnb－λma，
∴(－m＋λm)a＋(－λn)b＝0.
∵a与b不共线，
∴
由①②消去λ得：＋＝3