一元二次方程根与系数的关系[上学期]

课件24张PPT。2006.3一元二次方程根的判式
及根与系数的关系　　一元二次方程的四种解法帮助我们能解出方程的根，但有时我们不需要知道方程具体的根,而只需要知道方程的根的情况，这时我们该怎么办呢？？ 思考 用配方法可将其变形为:(1) 当 b2 －4ac > 0时,(3) 当b2 - 4ac < 0时，方程无实数根.一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a?0)(2) 当b2 - 4ac = 0时,（一）、根的判别式对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a?0)
根的判别式：Δ= b2－4ac
注意隐含条件：a?0 ！ 例1：不解方程,判别下列方程根的情况：
2x2 – 3x – 2 = 4x 解:原方程化为:2x2 – 7x - 2 = 0∴原方程有两个不相等的实数根.∵Δ= b2 - 4ac =(-7)2 - 4×2 ×（-2） = 65 > 0二、巩固定理：　1、下列一元二次方程中，没有实数 根的方程是 ( )
A．3y2 + 4 y + 4 = 0
B．3x2 – 2x + 1 = 0
Ｃ.x2 – 10x + 1 = 0
Ｄ.2x2 – x - 9 = 0
B2、关于x的方程ax2 + bx + c = 0 的根，下列说法正确的是（ ）A．当ac = 0时，两根都为0 B．当bc = 0时，两根都为0C．当 b = 0时，必有实数根D．当ac < 0时，必有两个相异实数根 DΔ= b2－4ac3、若方程3x(kx-1) = x2-1没有　 实数根，则整数k最小值是(　) A．1 B．2 C．-1 D．0方程整理为:(3 k -1)x2 - 3x + 1= 0分析:
由题意:Δ= b2－4ac = 9-4(3k-1)< 0∴ k >
∴ 整数k的最小值是 2.B4、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解5、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？引申:例2.（1）求证:不论k为何值，关于x的方程x2＋(２k＋1)x＋k -1 = ０总有两个不相等的实数根。 6、关于x的方程 x2+(2k+1)x+k-1=０的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根　 C．没有实数根 D. 根的情况无法确定A分析:Δ=(2k+1)2 - 4（k-1）= 4k2 + 5 > 0判断判别式的正负，通常通过配方
将其变为“一个完全平方式+正数”
或“ -（ ）2 –正数”的形式。例3、在关于x的方程4x2-(k+2)x+k=1 中,当k为何值时，方程有两个相 等的实数根？求出这个实数根。解题思路:(1) 将方程化为标准形式:(2)由题意列出等式:(3)算出k的值:(4)求出方程的根:7、如果关于x的一元二次方程 kx2-4x+2=0有两个不相等的 实数根，那么k的取值范围 是 ；K＜2且k≠0 6、K取何值时，方程 (k-2)x2-2(k-1)x+k+1=0(1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？引申：方程 (k-2)x2-2(k-1)x+k+1=0，(1) K取何值时，上述方程仅有一个实数根？
(2) K取何值时，上述方程有两个实数根？
(3) K取何值时，上述方程有实数根？友情提醒：运用根的判别式解决有关问题时，是在：“一元二次方程”这样的隐含条件下解决的，因此，要确认二次项系数不为 0 时,才能用判别式解决相关问题;否则要进行讨论。 方程(k-2)x2-2(k-1)x+k+1=0(3) K取何值时，上述方程有实数根？解:1)当k≠2时,
若Δ= 4(k-1)2-4(k-2)(k+1)≥0
即得 k≤3.2)当k＝2时,方程为-2x＋3＝0,
必有一个实数根.综上所得,当k≤3时,方程有实数根.一、知识要点
1、一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根的判别式Δ= ；
2、一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）
（1）有两个相等的实根的条件 ；
（2）有两个不相等的实根的条件 ；
（3）有两个实根的条件 ；
（4）有两个正根的条件 ；有两个负根的条件 ；有两异号根的条件 ；
（5）一根比m大，一根比m小的条件 ；3、一元二次方程的根与系数的关系：
若 ax2+bx+c=0 的两根为 X1、x2，则x1+x2= ；x1x2= ；
4、以x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程为 ；二、基础训练
1、方程 2x2-9x+2=0 的两根为x1、x2 ，则x1+x2= ；x1x2= ；
则 ； = ;
2、以2，-3为根的一元二次方程是 ；
3、方程4x2+4kx+k2=0的一个根是-2，则k= ；
4、若关于x的方程 （m+3）x2+（2m+5）x+m
=0 ，有两个实根，
则m= ；5、已知α、β是方程x2-x-1=0的两实根，则α2+2β2+α= ；
6、已知：m、n是方程x2+2x-1=0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）= ；
7、已知a、b满足6a=a2+4，6b=b2+4，
求
8、在一元二次方程x2+bx+c=0中，若实数b和c在1，2，3，4，5中取值，则其中有不等实数解的方程有 个。三、例题分析
1、已知方程x2-2（m+2）x+2m2-1=0，且x12-x22=0，求m2、已知关于X的方程x2+（2m+1）x+m2-2=0的两实根的平方和为11，
求证：关于x的方程（k-3）x2+kmx-m2+6m-4=0一定有实根3、已知等腰ΔABC 的两边a、b是方程x2-k x+12=0的两根，
第三边C=4，
求k、a、b的值4、已知方程组
的两个解是 ，且x1≠x2
（1）求实数k的取值范围
（2）当k为何值时，只有一个实数解？
（3）若y1y2+k（x1+x2）=4，求实数k的值小结：
1、根的判别式与方程根的关系
2、一元二次方程根与系数的关系
3、字母系数二次方程中字母的值或范围的确定时要注意的几个问题
4、二元二次方程组解的个数的讨论思路