专题 3.2 函数的基本性质
知识点一：函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数 f x 的定义域为 A，区间 D A：
如果对于 D 内的任意两个自变量的值 x1 、 x2 ，当 x1 x2 时，都有 f x1 f x2 ，
那么就说 f x 在区间 D 上是增函数.
如果对于 D 内的任意两个自变量的值 x1 、 x2 ，当 x1 x2 时，都有 f x1 f x2 ，
那么就说 f x 在区间 D 上是减函数.
知识点诠释：
(1)属于定义域 A 内某个区间上；
(2)任意两个自变量 x1, x2 且 x1 x2 ；
(3)都有 f (x1) f (x2 )(或f (x1) f (x2 )) ；
(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向
右是下降的.
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 f x 在区间 D 上具有
单调性， D 称为函数 f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
知识点诠释：
①单调区间与定义域的关系：单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子
集；
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
③不能随意合并两个单调区间；
④有的函数不具有单调性.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
3.证明函数单调性的步骤
(1)取值.设 x1，x2是 f (x) 定义域内一个区间上的任意两个量，且 x1 x2 ；
(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
(3)定号.判断差的正负或商与 1 的大小关系；
(4)得出结论.
4.函数单调性的判断方法
(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进
行判断。
(2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性。
(3)直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直
接写出它们的单调区间。
(4)记住几条常用的结论
①若 f (x) 是增函数，则 f (x) 为减函数；若 f (x) 是减函数，则 f (x) 为增函数；
②若 f (x) 和 g(x) 均为增（或减）函数，则在 f (x) 和 g(x) 的公共定义域上 f (x) g(x)
为增（或减)函数；
1
③若 f (x) 0 且 f (x) 为增函数，则函数 f (x) 为增函数， 为减函数；若
f (x)
f (x) 0 且 f (x) 1为减函数，则函数 f (x) 为减函数， 为增函数.
f (x)
5．复合函数单调性的判断
讨论复合函数 y f g(x) 的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本
函数的单调性。一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函
数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
（1）若 u g(x), y f (u) 在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则
y f g(x) 为增函数；
（2）若 u g(x), y f (u) 在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则
y f g(x) 为减函数。
列表如下：
u g(x) y f (u) y f g(x)
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时
递减。
因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：
（1）将复合函数分解成基本初等函数： y f (u) ，u g(x) ；
（2）分别确定各个函数的定义域；
（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间。
若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则 y f g(x) 为增
函数；若为一增一减或一减一增，则 y f g(x) 为减函数。
知识点诠释：
（1）单调区间必须在定义域内；
（2）要确定内层函数u g(x) 的值域，否则就无法确定 f (u) 的单调性。
（ 3 ） 若 f (x) 0 ， 且 在 定 义 域 上 f (x) 是 增 函 数 ， 则
n f (x),kf (x)(k 0), f n (x)(n 1且n N )都是增函数。
6．利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值。常用到下面
的结论：
（1）如果函数 y f (x) 在区间 a,b 上是增函数，在区间 b,c 上是减函数，则函
数 y f (x)(x a,c)在 x b 处有最大值 f (b) 。
（2）如果函数 y f (x) 在区间 a,b 上是减函数，在区间 b,c 上是增函数，则函
数 y f (x)(x a,c)在 x b 处有最小值 f (b) 。
若函数 y f (x) 在 a,b 上是严格单调函数，则函数 y f (x) 在 a,b 上一定有最大、
最小值。
（3）若函数 y f (x) 在区间 a,b 上是单调递增函数，则 y f (x) 的最大值是
f (b) ，最小值是 f (a) 。
（4）若函数 y f (x) 在区间 a,b 上是单调递减函数，则 y f (x) 的最大值是
f (a) ，最小值是 f (b) 。
7．利用函数单调性求参数的范围
若已知函数的单调性，求参数 a的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于
参数 a的不等式，利用下面的结论求解。
（1） a f (x) 在 m,n 上恒成立 a f (x) 在 m,n 上的最大值。
（2） a f (x) 在 m,n 上恒成立 a f (x) 在 m,n 上的最小值。
实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大
值和最小值问题。
知识点二：基本初等函数的单调性
1．正比例函数 y kx(k 0)
当 k>0 时，函数 y kx 在定义域 R 是增函数；当 k<0 时，函数 y kx 在定义域 R 是
减函数.
2．一次函数 y kx b(k 0)
当 k>0 时，函数 y kx b 在定义域 R 是增函数；当 k<0 时，函数 y kx b 在定义
域 R 是减函数.
3 y k．反比例函数 (k 0)
x
k
当 k 0时，函数 y 的单调递减区间是 ,0 , 0, ，不存在单调增区间；
x
当 k k 0 时，函数 y 的单调递增区间是 ,0 , 0, ，不存在单调减区间.
x
4．二次函数 y ax2 bx c(a 0)
若 a>0 b b，在区间 ( ， ]，函数是减函数；在区间[ ，+ ) ，函数是增函数；
2a 2a
若 a<0，在区间 ( b b ， ]，函数是增函数；在区间 [ ，+ ) ，函数是减函
2a 2a
数．
知识点三：函数的最大值
(1)定义：一般地，设函数 y＝f x 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
① x I ，都有 f x M ；
② x0 I ，使得 f x0 ＝M .
那么，称 M 是函数 y＝f x 的最大值．
(2)几何意义：函数 y＝f x 的最大值是图象最高点的纵坐标．
知识点四：函数的最小值
(1)定义：一般地，设函数 y＝f x 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
① x I ，都有 f x M ；
② x0 I ，使得 f x0 ＝M .
那么，称 M 是函数 y＝f x 的最小值．
(2)几何意义：函数 y＝f x 的最小值是图象最低点的纵坐标．
知识点五：函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个 x ，都有 f x f x ，那么 f x 称为偶函
数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个 x ，都有 f x f x ，那么 f x 称为奇函
数.
知识点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2） x 在定义域中，那么 x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定
是关于原点对称的；
（3） f x f x f ( x)的等价形式为： f (x) f ( x) 0, 1( f (x) 0) ，
f (x)
f x f ( x) f x 的等价形式为： f (x) f ( x) 0， 1( f (x) 0) ；
f (x)
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有 f 0 0；
（5）若 f x 既是奇函数又是偶函数，则必有 f x 0 .
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心
对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这
个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于 y 轴对称；反之，如果一个函数的
图像关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数 f (x) 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点
对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数 f (x) 的定义域，化简函数 f (x) 的解析式；
（3）求 f ( x) ，可根据 f ( x) 与 f (x) 之间的关系，判断函数 f (x) 的奇偶性.
若 f ( x) =- f (x) ，则 f (x) 是奇函数；
若 f ( x) = f (x) ，则 f (x) 是偶函数；
若 f ( x) f (x) ，则 f (x) 既不是奇函数，也不是偶函数；
若 f ( x) f (x)且 f x f x ，则 f (x) 既是奇函数，又是偶函数
知识点六：判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇
函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 f ( x) 与 f (x) 之一是
否相等.
（2）验证法：在判断 f ( x) 与 f (x) 的关系时，只需验证 f ( x) f (x) =0 及
f ( x)
1是否成立即可.
f (x)
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（ y 轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇
函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量 x 的不
同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，
而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断
f ( x) 与 f (x) 的关系.首先要特别注意 x 与 x的范围，然后将它代入相应段的函数表达
式中， f (x) 与 f ( x) 对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
知识点七：关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间 [a,b]和 [ b， a] 上具有相同的单调性，即已知 f (x) 是奇函数，
它在区间 [a,b]上是增函数（减函数），则 f (x) 在区间 [ b， a] 上也是增函数（减函数）；
偶函数在其对称区间 [a,b]和 [ b， a] 上具有相反的单调性，即已知 f (x) 是偶函数且在
区间[a,b]上是增函数（减函数），则 f (x) 在区间[ b， a] 上也是减函数（增函数）.
题型一：函数单调区间的确定
1．函数 f (x)
1
的单调递减区间是（ ）
x
A． ( ,0), (0, ) B． (0, ) C． ( ,0) (0, ) D． ( ,0)
【答案】A
1
【解析】解：因为 f (x) 定义域为 ( ,0) (0, )，函数在 ( ,0)和 (0, )上单调递
x
减，故函数的单调递减区间为 ( ,0)和 (0, )；故选：A
2．已知函数 f x x2 2ax 4在[0, ) 上是增函数，则实数 a的取值范围为（ ）
A． , 1 B． 1, C． 0, D． ,0
【答案】D
2
【解析】函数 f x x 2ax 4的单调递增区间是[a, )，依题意，[0, ) [a, )，
所以 a 0，即实数 a的取值范围是 ,0 .故选：D
x2 4ax 2, x 1,
3．已知函数 f x 对于任意两个不相等实数 x , x ，都有
a
x , x 1, 1 2
f x1 f x2 0成立，则实数 a的取值范围是（
x x ）1 2
A 0,
1 B
1 , 3 3 1 ． ． C
2 2 5 ．
0, D． ,1
5 2
【来源】山东省潍坊市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】由题可得，函数 f x 为单调递减函数，
当 x 1时，若 f x 1单减，则对称轴 x 2a 1，得： a ,
2
当 x 1时，若 f x 3单减，则 0 a 1，在分界点处，应满足1 4a 2 a，即 a ，
5
1 3
综上： a 故选：B
2 5
4．已知 f x ax2 1是定义在 R 上的函数，若对于任意1 x1 x2 3，都有
f x1 f x2 2，则实数 a 的取值范围是（
x x ）1 2
A． 0 B． 0, 1 , 1 C．
D ． ,0
3 3
【来源】四川省凉山州 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】C【解析】因为1 x1 x2 3，所以由
f x1 f x2 2 f x1 f x2 2(x1 x2 ) f x1 2x1 f xx x 2 2x2 ，1 2
构造函数 g(x) f (x) 2x，由 f x1 2x1 f x2 2x2 g(x1) g(x2 )，
因为1 x1 x2 3，所以函数 g(x) f (x) 2x ax2 1 2x是[1,3]上的增函数，
当 a 0时，函数 g(x) 1 2x 是[1,3]上的增函数，符合题意；
当 a 0时，函数 g(x) ax2
1
1 2x的对称轴为： x ，
a
当 a 0时，显然函数 g(x) ax2 1 2x是[1,3]上的增函数，符合题意；
2 [1,3] 3 1 1当 a 0时，要想函数 g(x) ax 1 2x是 上的增函数，只需 a ，而
a 3
1
a 0，所以 a 0，
3
1
综上所述：实数 a 的取值范围是 ,
，故选：C
3
x2 1, x 0
5．已知函数 f (x) 2 ，则满足不等式 f 1 x f (2x) 的 x 的取值范围是
1, x 0
（ ）
A． 0, 2 B． 0, 2 C． 1, 2 1 D． 1, 2
【来源】陕西省西安高新第一中学 2021-2022 学年高一下学期月考 2 数学试题
【答案】C
2x 0
画出 f (x)
2
的图象如图所示，要使不等式 f 1 x f (2x) 成立，必有 2 或
1 x 0
2x 0 2x 0 2x 0
2 ，由 2 可得 1 x 0
1 x 2x 1 x 0
；由 1 x2 可得 ，综上可得 2x
0 x 2 1
x 1, 2 1 .故选：C.
6．若函数 f x x2 mx 10在 2, 1 上是减函数，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 2, B． 2, C． , 2 D． , 2
【来源】陕西省咸阳市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
m
【解析】函数 f (x) x2 mx 10的对称轴为 x ，
2
m
由于 f x 在 2, 1 上是减函数，所以 1 m 2 .
2
故选：B
7．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知函数
f (x) x 3,g(x) x2 2ax 2a 1(a R)．
(1)若函数 g(x)的值域为[0, ) ，求 a 的取值集合；
(2)若对于任意的 x1 [ 2,2]，总存在 x2 [ 2,2]，使得 f x1 g x2 成立，求实数 a 的
取值范围．
1
【答案】(1) a 1(2) ( , 1]
,
3
【解析】(1)∵函数 g(x) x2 2ax 2a 1的值域为[0, ) 2，∴ (2a) 4(2a 1) 0，
解得 a 1；
f x g x
(2)由题意可知 min
min
f x g xmax max
对于函数 f (x) x 3在[ 2,2]上是减函数，∴ f (x)min f (2) 1, f (x)max f ( 2) 5，
函数 g(x) x2 2ax 2a 1图象开口向上，对称轴为直线 x a．
①当 a 2时，函数 g(x)在[ 2,2]上为增函数，
g(x)min g( 2) 6a 3,g(x)max g(2) 2a 3，
1 6a 3,
∴ 此时 a 2；
5 2a 3,
②当 2 a≤0 时，函数 g(x)在区间[ 2,a]上为减函数，在[a, 2]上为增函数，
g(x) 2min g(a) a 2a 1,g(x)max g(2) 2a 3，
1 a2 2a 1,
∴ 此时 2 a 1；
5 2a 3,
③当0 a 2 时，函数 g(x)在区间[ 2,a]上为减函数，在[a, 2]上为增函数，
g(x)min g(a) a
2 2a 1,g(x)max g( 2) 6a 3，
1 a2 2a 1, 1
∴ 此时 a 2；
5 6a 3, 3
④当 a 2时，函数 g(x)在[ 2,2]上是减函数，∴
g(x)max g( 2) 6a 3,g(x)min g(2) 2a 3，
1 2a 3, 1
∴ 5 6a 3, 此时
a 2；综上所述，实数 a 的取值范围是 ( , 1] , ． 3
题型二：利用函数单调性求最值、求参数
1．（2022·辽宁·高一期末）已知函数 f x x2 1 2 1，则 f x 的最小值（ ）x 2
1
A． B． 1 C．0 D．1
2
【答案】A
【解析】对于函数 g x x 1 3 x 2 ，
x
x x x x 1
任取 2 x1 x2 ， g x1 g x x
1 1
2 1 3 x 3
1 2 1 2
x 2
，
1 x2 x1x2
其中 x1 x2 0, x1x2 1 0，所以 g x1 g x2 ，
所以 g x 在 2, 上递增.
f x x2 2 1 3，
x2 2
令 t x2 2, t 2，
则 y t
1
3，
t
由于 y t
1
3在 2, 上递增，
t
1 1
当 t 2时有最小值为 2 3 ，
2 2
所以 f x 1的最小值为 .
2
故选：A
2．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）若函数 f (x) mx2 (m 1)x 1在区间 ( ,1]上
为减函数，则实数m 的取值范围为________．
0, 1 【答案】 3
【解析】m 0时， f (x) x 1满足题意；
m 0
m 0 1 时， m 1 ，解得0 m ，
1 3 2m
综上m [0,
1] 1 ，故答案为：[0, ]．
3 3
3．（2022·浙江浙江·高一期中）若函数 g(x) 2x2 | x t | (x t) 在区间[0,2]上是单调函数，
则实数 t 的取值范围是__________．
【答案】 ( , 2] {0} [6, )
2 2x
2 (x t)2 , x t x2 2tx t 2 , x t
【解析】 g(x) 2x x t (x t) 2x2 (x t)2
，
, x t
3x
2 2tx t 2 , x t
t 0时， x [0, 2]时， g(x) x2 ，满足题意，
t 0时， x [0, 2]时， g(x) x2 2tx t 2 (x t)2 2t 2， g(x)单调，则
t 2， t 2，
t 2时， x [0, 2]时， g(x) 3x2 2tx t 2， g(x)单调，则
t
2 ， t 6 ，
3
x2 2tx t 2 , t x 2
0 t 2时， g(x) 2 ，
3x 2tx t
2 ,0 x t
t 0，因此 y x2 2tx t 2 在[t, 2]是单调递增，
要使得 g(x)在[0,2]上单调，则 g(x) 3x2 2tx t 2在[0, t)上是增函数，
t
因此 0，即 t 0，无解，
3
综上， t 的范围是 ( , 2] {0} [6, ) ．
故答案为： ( , 2] {0} [6, ) ．
a
4．（2022·湖北·黄石一中高一期中）已知函数 f (x) x 在区间 (0,1]上单调递减，则
x
实数 a的取值范围为___________.
【答案】 ( , 1] [1, )
【解析】当 a 0时， f (x) | x |在 (0, )上单调递增，故在区间 (0,1]上单调递增，不合
a
题意；当 a 0时， f (x) x 在区间 (0, a ]上单调递减，在区间x [ a , )上单调递增，
若 f (x) 在区间 (0,1]上单调递减，则 a 1， a 1；
当 a 0时， f (x) x
a
在区间 (0, a ]上单调递减，在区间x [ a , )上单调递增，若
f (x) 在区间 (0,1]上单调递减，则 a 1， a 1；
综上，实数 a的取值范围为 ( ,1] [1, ) .故答案为： ( ,1] [1, ) .
5．（2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）若函数
f (x) ax2 2x 1在区间 ,6 上单调递增，则实数 a的取值范围是__________.
1
【答案】 ,0 6
【解析】当 a 0时，函数 f (x) 2x 1在R上单调递增，即 f (x) 在 ,6 上递增，则 a 0，
当 a 0时，函数 f (x) 是二次函数，又 f (x) 在 ,6 上单调递增，由二次函数性质知，
a 0，
1
6 1
则有 a ，解得 a 0，
a 0 6
1
所以实数 a的取值范围是 ,0 . 6
1
故答案为： ,0
6
6．（2022·重庆·高一期末）设函数 f (x) ax (x a)2 3，其中 a R .
(1)当 a 1时，求函数 f (x) 的零点；
(2)若 x a, a 1 ，求函数 f (x) 的最大值.
【答案】(1)1 3+ 17和 (2)答案见解析
2
x
2 x 2, x 0
【解析】(1)当 a 1时， f x 2
x 3x 2, x 0
当 x 0 时，由 f (x) 0 得 x 1；
x 0 3+ 17 3 17当 时，由 f (x) 0 得 x （ x 舍去）
2 2
当 a 1时，函数 f (x) 3+ 17的零点为 1 和
2
(2)①当 a 0时， x a, a 1 ， ax 0 ， f (x) x2 ax a2 3
由二次函数的单调性可知 f (x) 在 a, a 1 上单调递减
f (x) f (a) 3a2max 3
②当 a 1 0即 a 1时， x a,a 1 ， ax 0 ， f (x) x2 ax a2 3
由二次函数的单调性可知 f (x) 在 a, a 1 上单调递增
f (x)max f (a+1) 3a
2 3a+2
x2 ax a2 3, x
f x a,0 ③当 1 a 0时，
x
2 3ax a2 3, x 0, a 1
f (x)在 x a,0 上递增， f (x)在 x a,0 上的最大值为 f (0) a2 3
2 0 3a 3a当 a 0 f (x) 时 在 ，
5
递增，在 ,a 1 上递减，
2 2
2
f (x)在 x 0, a 1 3a 5a上的最大值为 f ( ) 3
2 4
f (0) f ( 3a ) 2
2
， 当 a 0 时 f (x) f ( 3a ) 5amax 32 5 2 4
2
当 1 a 时 f (x) 在 0,a 1 上递增，
5
f (x)在 x 0, a 1 上的最大值为 f (a 1) 5a2 5a 2
f (0) f (a 1)，当 1 a
2
时 f (x)max f (a 1) 5a
2 5a 2
5
综上所述：
当 a 0时， f (x)max 3a
2 3
2 2
当 a 0 时， f (x) 5a
5 max
3
4
1 2当 a f (x) 2时，
5 max
5a 5a 2
当 a 1 2时， f (x)max 3a 3a 2
7．（2022·江西·临川一中高一阶段练习）已知函数 f x 1 x ，
x
g x x2 ax a 1．
(1)若 g x 的值域为 0, ，求 a 的值．
(2)证明：对任意 x1 1,2 ，总存在 x2 1,3 ，使得 f x1 g x2 成立．
【答案】(1)2(2)证明见解析
【解析】(1)解：因为 g x 的值域为 0, ，所以
a2 4 a 1 a2 4a 4 a 2 2 0，解得 a 2．
(2)证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得 f x x
1
1 1 在 1,2 x 上单调递增，所以1
f x 1 2,
5
．
2
设 g x x2 ax a 1在 1,3 上的值域为 M，
a
当 1，即 a 2时， g(x)在[ 1,3]上单调递增，因为 g(x)max g(3) 8 2a 12，2
g(x) 5min g( 1) 2a 4
，所以 2,
M ；
2
a
当 3，即 a 6时， g(x)在[ 1,3]上单调递减，因为 g(x)max g( 1) 2a 12 ，2
g(x) min g(3) 8 2a 4 ，所以 2,
5 M ；
2
a g(x) g a 1 a2 a 1 1当 1 3，即 2 a 6时， min (a 2)
2 ( 4,0]，
2 2 4 4
g(x)max max{2a,8 2a} [4,12)
5
，所以 2, M ； 2
2, 5 综上， M 恒成立，即 f (x) 在[1, 2]上的值域是 g(x)在[ 1,3]上值域的子集恒成立， 2
所以对任意 x1 [1,2]总存在 x2 [ 1,3]，使得 f x1 g x2 成立.
题型三：利用函数奇偶性求值、求表达式、求参数
1．（江苏省徐州市第三十六中学 2021-2022 学年高一上学期期中数学试题）设 f x 为
奇函数，且当 x 0 时， f (x) x2 x ，则当 x 0 时， f x （ ）
A． x2 x B． x2 x
C． x2 x D． x2 x
【答案】B
【解析】设 x 0 ，则 x 0 2，所以 f x x x，
又 f x 2 2为奇函数，所以 f x f x x x x x ，
所以当 x 0 时， f x x2 x .故选：B.
2．（陕西省宝鸡市渭滨区 2019-2020 学年高二下学期期末数学（文）试题）已知 f (x) 是
R 上的奇函数，且当 x 0时， f (x) 3x2 2x 1，则当 x 0 时， f (x) （ ）
A． 3x2 2x 1 B． 3x2 2x+1
C．3x2 2x 1 D．3x2 2x 1
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，设 x 0 ，则 x 0 ，则 f ( x) 3x2 2x 1，
因为函数 f x 为 R 上的奇函数，则 f ( x) f (x) ，
得 f (x) f ( x) 3x2 2x+1，
2即当 x 0 时， f x 3x 2x+1 .
故选：B.
3．（河南省林州市 2021-2022 学年高一上学期期末考试理科数学试题）已知 f x 是定
义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x x2 2x，则当 x 0 时， f x ______．
【答案】 x2 2x
【解析】 x 0 时， x 0 ， f x 是奇函数，此时 f (x) f ( x) (x2 2x) x2 2x
故答案为： x2 2x
4．（四川省攀枝花市第七高级中学校 2021-2022 学年高一上学期第一次月考数学试题）
ax b 1 2
已知函数 f x 2 是定义在 1,1 上的函数， f x f x 恒成立，且 f1 x 2
.
5
(1)确定函数 f x 的解析式；
(2)用定义证明 f x 在 1,1 上是增函数；
(3)解不等式 f x 1 f x 0．
x 1
【答案】(1) f (x) 2 (2)证明见解析(3) (0, )1 x 2
【解析】(1)
解：因为函数 f x ax b 2 ， f x f x 恒成立，1 x
ax b ax b
所以 2 2 ，则b 0，1 x 1 x
1
1 aax 2 2
此时 f x ，所以 f 2 ，
1 x2 2 1 1
5
2
x
解得 a 1，所以 f (x) ；
1 x2
(2)证明：设 1 x1 x2 1，
则 f (x1) f (x )
x
1
x (x x
2 1 2
)(1 x1x2 )
2 1 x21 1 x
2
2 (1 x
2 2 ，
1 )(1 x2 )
1 x1 x2 1，
1 x1x2 1，且 x1 x2 0，则1 x1x2 0，
则 f (x1) f (x2 ) 0 ，即 f (x1) f (x2 )，
所以函数 f (x) 是增函数．
(3) f (x 1) f (x) 0 ， f (x 1) f (x) f ( x)， f (x)是定义在 ( 1,1) 上的增函数，
1 x 1 1
1 x 1 0 x 1 (0, 1 ，得 ，所以不等式的解集为 )．
2 2
x 1 x
题型四：函数单调性与奇偶性的综合问题
经典例题：
1．下列说法正确的是（ ）
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数 f(x)的定义域为R ，且 f 0 0，则 f x 是奇函数
【来源】2.4.4 函数的奇偶性 （分层练习）-2022 年初升高数学无忧衔接
【答案】B
【解析】
奇偶函数的定义域一定关于原点对称，B 正确；
定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如 R 上的函数 y x 1既不是奇函数，
也不是偶函数，A，C 都错误，
如函数 g(x) x2 的定义域是 R，且有 g(0) 0，但 g(x)不是奇函数，D 错误．
故选：B
2．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． y log3 x B． y x3 2x C． y ex D． y x 3
【答案】B
【解析】解：由题意得：
对于选项 A：函数 y log3 x 是偶函数，故不符合题意；
对于选项 B：函数 y x3 2x 是奇函数，且是单调递增函数，故符合题意；
对于选项 C：函数 y ex 是非奇非偶函数，故不符合题意；
对于选项 D：根据幂函数的性质可知函数 y x 3 是奇函数，但不是单调递增函数，故不
符合题意；
故选：B
3．已知函数 f x 1 是偶函数， f x 1 的图象关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为
（ ）
A． x 2 B． x 1 C． x 1 D． x 2
【来源】陕西省西安地区八校 2022 届高三下学期 5 月联考理科数学试题
【答案】A
【解析】因为函数 f x 1 是偶函数，所以 f (x 1)的图象关于直线 x 0对称，
向左平移两个单位可得 f (x 1)的图象关于直线 x 2 对称.
故选：A
4．若偶函数 f x 在 , 1 上是减函数，则（ ）
A f
3 3
． f 1 f 2 B． f 1 f
f 2
2 2
C f 2 f 1 f
3
D f 2 f
3
． 2 ．
f 1
2
【答案】B
【解析】 f x 为偶函数， f 2 f 2 ；
f x 3在 , 1 上是减函数， f 1 f f 2 ，
2
f 1 f 3即
f 2 2 .
故选：B.
5．设 f x 是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A． f x f x 是奇函数 B． f x f x 是奇函数
C． f x f x 是奇函数 D． f x f x 是奇函数
【答案】C
【解析】A 选项：设F x f x f x ，F x f x f x F x ，则 f x f x
为偶函数，A 错误；
B 选项：设G x f x f x ，则G x f x f x ，G x 与G x 关系不定，
即不确定 f x f x 的奇偶性，B 错误；
C 选项：设M x f x f x ，则M x f x f x M x ，则 f x f x
为奇函数，C 正确；
D 选项：设 N x f x f x ，则 N x f x f x N x ，则 f x f x
为偶函数，D 错误．
故选：C.
6．已知函数 f x 的定义域为R ， f x 2 为奇函数， f 2x 1 为偶函数，则函数 f x
的周期是（ ）
A． 2 B．3 C． 4 D．5
【来源】陕西省西安市长安区第一中学 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】因为 f x 2 为奇函数，所以 f x 2 f x 2 ，
因为 f 2x 1 为偶函数，所以 f 2x 1 f 2x 1 ，则 f x 1 f x 1 ，
则 f x 1 1 f x 2 ，即 f x f x 2 ，
所以 f x 2 f x ，即 f x 2 f x ，则 f x 4 f x 2 f x ，
所以 f x 的周期是 4.
故选：C.
7．已知函数 f x 的定义域是R， f 1 x 为偶函数， x R ， f 4 x f x 成立，
f 1 2 ，则 f 2023 （ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【来源】安徽省池州市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】因为 f 1 x 为偶函数，所以 f 1 x f 1 x ，则 f 2 x f x ，
所以 f 4 x f x f 2 x ，则 f 2 x f x f x ，
所以 f 4 x f x ，所以 f x 是周期为 4 的函数，
因为 f 4 1 f 1 f 1 2， f 3 2 ，
所以 f 2023 f 505 4 3 f 3 2 .
故选：C.
8．已知函数 f x 为定义在 1 a, 4 上的偶函数，在 0,4 上单调递减，并且
f m a f 2 ，则实数m 的取值范围是（ ）
5
A． 3,1 B． , 3 1,
C． 3,1 3,5 D． 5, 3 1,3
【来源】安徽省阜阳市界首中学 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
【解析】：由题得1 a 4, a 5 .
因为在 0, 4 上单调递减，并且 f m 1 f 2 ，
4 m 1 4
所以 m 1 2 ，所以1 m 3或 5 m 3 .
故选：D
a x 1
9．已知偶函数 f x 的定义域为R ，当 x 0, 时， f x ，若 f 1 ，则
x 1 2
f x 1 1的解集为（ ）
1
A． ,
3
B
1 3
． ,
C ． ,
2 2 2 2
, 1 3D．
,
2 2
【来源】河北省秦皇岛市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
a 1 1
【解析】因为 f x 为偶函数，所以 f 1 f 1 ，解得 a 2 .
1 1 2
f x 2 x 1 3 1 在 0, 上单调递减，且 f 1 .x 1 x 1 2
1 1 3 1
因为 f x 1 1 f ，所以 x 1 ，解得 x 或 x .
2 2 2 2
故选：D
10 2．设奇函数 f x 在[ 1,1]上是增函数， f ( 1) 1．若函数 f x t 2at 1对所有
的 x [ 1,1]都成立，则当 a [ 1,1]时，t 的取值范围是（ ）
1 1
A． 2 t 2 B． t
2 2
1 1
C． t 2，或 t 0，或 t 2 D． t ，或 t 0，或 t
2 2
【来源】陕西省西安市长安区第一中学 2021-2022 学年高一下学期期中数学试题
【答案】C
【解析】因奇函数 f x 在[ 1,1]上是增函数， f ( 1) 1，则
f (x)max f (1) f ( 1) 1，
依题意， a [ 1,1]， t 2 2at 1 1 g(a) 2ta t 2 0恒成立，
g( 1) t 2 2t 0
则有 2 ，解得 t 2或 t 0或 t 2，
g(1) t 2t 0
所以 t 的取值范围是 t 2或 t 0或 t 2 .
故选：C
11．已知函数 f x 是定义在 ,0 0, 上的奇函数，且 f 1 0，若对于任意两
x x 0, f xx x 1 f x2 个实数 1， 2 且 1 2 ，不等式 0恒成立，则不等式 xf x 0x1 x2
的解集是（ ）
A． , 1 0,1 B． , 1 1,
C． 1,0 1, D． 1,0 0,1
【来源】湖北省新高考联考协作体 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】D
【解析】：由题可知， f (x) 在区间 (0, )上单调递减，
又 f (x) 为奇函数，则 f ( x) f (x) ，且 f ( 1) 0，故 f (1) 0，
设 g(x) xf (x)，则 g( x) xf ( x) xf (x) g(x)，故 g(x)为偶函数，
又 g(x)在区间 ( ,0)上单调递增，在区间 (0, )上单调递减，
又 g( 1) g(1) 0，所以 g(x) 0 的解集为 ( 1,0) (0,1)，
即 xf (x) 0的解集为 ( 1,0) (0,1) .
故选：D.
12．设函数 f x 的定义域为 R， f x 1 为奇函数， f x 2 为偶函数，当 x 1,2 时，
f (x) ax2 b．若 f 0 f 3 6 f 9 ，则 （2 ）
9 3 7 5
A． B． C． D．
4 2 4 2
【来源】北京一零一中学 2021-2022 学年高一下学期期末考试数学模拟试题（一）
【答案】D
【解析】因为 f x 1 是奇函数，所以 f x 1 f x 1 ①；
因为 f x 2 是偶函数，所以 f x 2 f x 2 ②．
令 x 1，由①得： f 0 f 2 4a b ，由②得： f 3 f 1 a b ，
因为 f 0 f 3 6，所以 4a b a b 6 a 2，
令 x 0，由①得： f 1 f 1 f 1 0 b 2，所以 f x 2x2 2．
思路一：从定义入手．
f 9 f 5 2
f
5 2 f 1
2 2 2
2
f 1 f 3 1 f 3 1
5
f
2 2 2 2
f 5 f
1 2 f 1 2 = f 3
2
2 2 2
所以 f
9 3 5
f
．
2 2 2
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 f x 的周期T 4．
f 9 f 1 f 3 5所以 2 2
．
2 2
故选：D．
二、多选题
13 2．已知函数 f x 是定义在R 上的偶函数，当 x 0 时， f x x 2x，则（ ）
A． f x 的最小值为 1 B． f x 在 2,0 上单调递减
C． f x 0 的解集为 2,2 D．存在实数 x 满足 f x 2 f x 0
【来源】广东省深圳市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】ACD
【解析】：函数 f (x) 是定义在R 上的偶函数，当 x 0时， f (x) x2 2x (x 1)2 1，
设 x 0 ，则 x 0 ，所以 f ( x) x2 2x，因为 f (x) 是偶函数，所以 f ( x) f (x) ，
x2 2x, x 0
所以 f (x) x2 2x，所以 f (x) x2
，
2x, x 0
函数图象如下所示：
可得 x 0时， f (x) 在 x 1时取得最小值 1，由偶函数的图象关于 y 轴对称，可得 f (x)
在R 上取得最小值 1，故 A 正确；
f (x) 在 ( , 1)上单调递减，在 ( 1,0) 上单调递增，故 B 错误；
x 0 x 0
由 x2 2x 0或
0 x 2 2 x 0 f x 0
x
2 2x 0，解得 或 ，综上可得 的解集为
2,2 ，故 C 正确；
由 f (0) 0， f 2 f 2 0，即存在实数 x 满足 f (x 2) f ( x) 0，故 D 正确；
故选：ACD．
14．已知函数 f x 为R 上的奇函数， g x f x 1 为偶函数，下列说法正确的有
（ ）
A． f x 图象关于直线 x 1对称 B． g 2023 0
C． g x 的最小正周期为 4 D．对任意 x R 都有 f 2 x f x
【来源】湖南省邵阳市第二中学 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】ABD
【解析】由 f x 的对称中心为 0,0 ，对称轴为 x 1，
则 f x 也关于直线 x 1对称且 f (x) f (2 x)，A、D 正确，
由 A 分析知： f (x) f (2 x) f ( x)，故 f (2 x) f (x)，
所以 f (4 x) f (2 x) f (x)，
所以 f x 的周期为 4，则 g 2023 f 2024 f 0 0，B 正确；
但不能说明 f x 最小正周期为 4，C 错误；
故选：ABD
四、解答题
15．已知函数 f (x) 对任意 x, y R ，都有 f (x y) f (x) f (y) 1，且当 x 0时， f (x) 1．
(1)求证： f (x) 在R 上是增函数；
(2)若关于 a 的方程 f (a2 7a 5) 2的一个实根是 1，求 f (6)的值；
(3)在（2）的条件下，已知m R ，解关于 x 的不等式 f (mx) f (x 2) 3．
【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】(1)证明见解析(2)3 (3)详见解析
【解析】(1)依题意 f (x y) f (x) f (y) 1，且 x 0时， f x 1，
令 x y 0 ，则 f 0 f 0 f 0 1, f 0 1，
f x x f x f x 1, f x f x 2，
任取 x1 x2， f x1 f x2 f x1 f x2 x1 x1
f x1 f x2 x1 f x1 1 f x2 x1 1，
由于 x2 x1 0，所以 f x2 x1 1，
所以 f x1 f x2 0, f x1 f x2 ，所以 f x 在R 上递增.
(2)
由（1）知， f x 在R 上递增，
f 12 7 5 f 3 2 ，
f 6 f 3 3 f 3 f 3 1 3 .
(3)
依题意 f (x y) f (x) f (y) 1， f x 在R 上递增， f (mx) f (x 2) 3 .
f (mx) f (x 2) 1 2， f mx x 2 2, f mx x 2 f 3 ，
mx x 2 3, m 1 x 5，
当m 1时，不等式的解集为空集.
5
当m 1 时，不等式的解集为 x | x m 1 .
x | x 5 当m 1时，不等式的解集为 .
m 1
16．已知函数 f (x) x 2， g(x) x2 mx 4（m R）．
(1)当m 4 时，求不等式 g(x) f (x) 的解集；
(2)若对任意 x R ，不等式 g(x) f (x) 恒成立，求m 的取值范围；
(3)若对任意 x1 [1,2]，存在 x2 4,5 ，使得 g(x1) f (x2 )，求m 的取值范围．
【来源】北京市朝阳区 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
5
【答案】(1){x | x 2或 x 3}(2) ( 2 6 1,2 6 1) (3) , 2 2 2
(1)当m 4 时，由 x2 4x 4 x 2得 x2 5x 6 0 ，
即 (x 3)(x 2) 0 ，解得 x 2 或 x 3．
所以不等式 g(x) f (x) 的解集为{x | x 2或 x 3}．
(2)由 g(x) f (x) 得 x2 mx 4 x 2，
即不等式 x2 (m 1)x 6 0的解集是 R ．
所以 (m 1)2 24 0，解得 2 6 1 m 2 6 1．
所以m 的取值范围是 ( 2 6 1,2 6 1) ．
(3)当 x2 4,5 时， f x2 x2 2 2,3 ．
2
又 g(x) m m x2 mx 4 (x )2 4 ．
2 4
m
①当 1，即m 2时，
2
对任意 x1 [1,2]， g(x1) [5 m,8 2m] [2,3]．
m 2
所以 5 m 2 ，此时不等式组无解，
8 2m 3
②当1
m 3
，即 2 m 3时，
2 2
2
对任意 x1 [1,2]， g(x1) [4
m
,8 2m] [2,3]．
4
2 < ≤ 3,
2 5
所以 4 ≥ 2,解得 m 2 2 ，
4
8 2 ≤ 3, 2
3 m
③当 2，即3 m 4时，
2 2
m2
对任意 x1 [1,2]， g(x1) [4 ,5 m] [2,3]．4
3 m 4,
m2
所以 4 2,此时不等式组无解，
4
5 m 3,
m
④当 2，即m≥4 时，
2
对任意 x1 [1,2]， g(x1) [8 2m,5 m] [2,3]．
m 4
所以 8 2m 2 此时不等式组无解．
5 m 3
综上，实数m
5
的取值范围是 , 2 2
2 ．
一、单选题
1．若函数 y f x 在R 上单调递增，且 f 2m 3 f m ，则实数m 的取值范围是
（ ）
A． , 1 B． 1, C． 1, D． ,1
【来源】甘肃省庆阳市宁县 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】C
【解析】 f x 在R 上单调递增， f 2m 3 f m ， 2m 3 m ，解得：m 1，
实数m 的取值范围为 1, .故选：C.
2．设函数 f x 是奇函数，在 0, 内是增函数，又 f 3 0，则 xf x 0的解集是
（ ）
A． x 3 x 0或 x 3 B． x x 3或0 x 3
C． x x 3或 x 3 D． x 3 x 0或0 x 3
【来源】江西省宜春市铜鼓中学 2021-2022 学年高一下学期开学考数学试题
【答案】D∵函数 f x 是奇函数，在 0, 内是增函数，
∴ f x 在 ,0 内也是增函数．又 f 3 0，∴ f 3 0．∵ xf x 0，∴①当 x 0时，
f x 0 f 3 ，∴ 0 x 3；②当 x 0 时， f x 0 f 3 ，∴ 3 x 0 ；
③当 x 0时，不等式的解集为 ．综上， xf x 0的解集为 x 3 x 0或
0 x 3 ．
故选：D．
x2 ax a , x 1
3．若函数 f x 2 在R 上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
2a 2 x 5, x 1
1, 8A
8
． B． 1, C． 1,2 D． 1,2 5 5
【来源】3.2 函数的基本性质 C 卷
【答案】B
a
1
2 8
【解析】由题意 2a 2 0 ，解得 1 a ，故选：B
5
1 a 2a 3
2
4．已知函数 f x 的定义域为R ， f x 2 为奇函数， f 2x 1 为偶函数，则函数 f x
的周期是（ ）
A． 2 B．3 C． 4 D．5
【来源】陕西省西安市长安区第一中学 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】因为 f x 2 为奇函数，所以 f x 2 f x 2 ，
因为 f 2x 1 为偶函数，所以 f 2x 1 f 2x 1 ，则 f x 1 f x 1 ，
则 f x 1 1 f x 2 ，即 f x f x 2 ，
所以 f x 2 f x ，即 f x 2 f x ，则 f x 4 f x 2 f x ，
所以 f x 的周期是 4.
故选：C.
5．若定义在R 上的函数 f (x) 满足 x R, f (x) f (2 x) 0 ，函数 f (x) 在 ( ,1)上单调递
减且 f (5) 0，则满足 xf (x 2) 0 的实数 x 的取值范围是（ ）
A．[ 1,3] [7, ) B．[ 7, 1] [0,3]
C．[ 1，0] [3, ) D．[ 1,0] [3,7]
【来源】重庆市南开中学 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
【分析】因为 x R, f (x) f (2 x) 0 ，即 f 1 x f 1 x 0 ， f x 对称中心为
1,0 ，又 f (x) 在 ( ,1)上单调递减且 f (5) 0，故 f x 大致图象为：
x 0 x 0 x 0
由图可知，若 xf (x 2) 0 ，则满足 f x 2 0或 f x 2 0，即 x 2 1,5 或
x 0
，解得 x 3,7 1,0 x 2 3,0
.
故选：D
6．定义在 R 上的偶函数 f (x) 在 ,0 上单调递增，且 f 1 0，则 xf (x) 0的解集是
（ ）
A． , 1 0,1 B． 1,1
C． , 1 0,1 D． 1,0 0,1
【来源】四川省达州市 2021-2022 学年高一下学期期末数学理科试题
【答案】A
【解析】因为 f (x) 为R 的偶函数，又 f 1 0， f (x) 在 ,0 上单调递增，
所以 f ( 1) 0，函数 f (x) 在在 0， 上单调递减，
所以当 x 1时， f (x) 0， xf (x) 0，
当 1 x 0时， f (x) 0 ， xf (x) 0，
当0 x 1时， f (x) 0 ， xf (x) 0，
当 x 1时， f (x) 0， xf (x) 0，
又当 x 1或 x 0或 x 1时， xf (x) 0，
所以 xf (x) 0的解集为 , 1 0,1 ，
故选：A.
7．已知函数 f x x2 3x, g x 2x 1 ,对任意 x 1,2 ，存在 x 1,3 ，使得
x 1 1 2
mf x1 m2 g x2 ，则实数m 的取值范围为（ ）
8 9A ． ,0 B． 5
,
2
C． 4,0 9D． ,0
2
【来源】湖南省益阳市箴言中学 2021-2022 学年高一下学期 2 月入学考试数学试题
【答案】C
2
【解析】：因为 f (x) x2 3x x 3 9
在区间[1， 2]上满足： f (x)min f (
3) 9
2 4 2 4
，
f x max f 1 f 2 2；
g(x) 2x 1 3 2 ，所以 g(x)在[1，3]x 1 x 1 上单调递增，
g(x) 1 5所以 min g 1 ， g(x)2 max g 2 4 ，
又因为mf (x1) m2 g(x2 ) ，
所以m[ f (x1) mg(x2 )] 0，
当m 0时显然成立；
所以当m 0时， f (x1) mg(x2 ) 0，即 f (x1) mg(x2 ) ，
因为 f (x1) 0，mg(x2 ) 0 ，
所以不成立，舍去；
当m 0时，m[ f (x1) mg(x2 )] 0 f (x1) mg(x2 ) 对 x1 1,2 成立，
只需满足 f (x1)max g(x2 )max ，
即 2
1
m
2 ，解得
m 4，
综上所述m 的范围为 4,0 ．
故选：C．
8 2．若函数 f x =x ax b在区间[0,1]上的最大值是 M,最小值是 m,则M m的值
A．与 a 有关，且与 b 有关 B．与 a 有关，但与 b 无关
C．与 a 无关，且与 b 无关 D．与 a 无关，但与 b 有关
【答案】B
2
因为最值在 f (0) b, f (1) 1 a b, f ( a a ) b 中取，所以最值之差一定与b 无关，
2 4
选 B．
9．已知 f x 是定义域为 ，0 0，+ 的奇函数，函数 g x f x 1 ，
x
f x f
f 1 1 x ，当 x2 x 0 1 21 时，不等式 0恒成立，则下列选项正确的是x1 x2
（ ）
A． f x 在 0， 是增函数 B． g x 在 ，0 是增函数
C．不等式 g x 0的解集为 ， 1 0，1 D．函数 g x 只有一个零点
【来源】浙江省湖州市安吉县高级中学等 2021-2022 学年高一下学期返校联考数学试题
【答案】C
f x1 f x2
【解析】：因为当 x2 x1 0 时，不等式 0恒成立，即 f x1 f x2 0，x1 x2
所以 f x 在 0, 上单调递减，故 A 错误，
由奇函数的对称性可知 f x 在 ,0 1上单调递减，又 y 在 ,0 和 0, x 上单调
1
递减且 y x 为奇函数，
所以 g x 1 f x 为奇函数且在 ,0 和 0, 上单调递减，故B错误，又 f 1 1，
x
所以 g 1 f 1 1 0，
所以 g 1 g 1 0，故 D 错误，所以当 x 1时 g x 0，当 0 x 1时 g x 0，
即 g x 0的解集为 , 1 0,1 ，故 C 正确；
故选：C
10．已知定义域为R 的偶函数 f x 在 ,0 上单调递减，且 f 2 0 ，则满足 xf x 0
的 x 取值范围是（ ）
A． , 2 2, B． 2,2
C． 2,0 0,2 D． 2,0 2,
【来源】湖南省邵阳市邵东市 2021-2022 学年高一上学期期末质量检测数学试题
【答案】D
【解析】∵定义域为R 的偶函数 f x 在 ,0 上单调递减，且 f 2 0 ，
f ( 2) 0 ，且在[0, ) 上单调递增，
x 0 x 0
xf (x) 0 ，可得 f (x) 0 或 f (x) 0 或
x 0，
即 x 2或 2 x 0或 x 0，即 x 2,0 2, .
故选：D.
11．已知函数 f x 的定义域为 R ，且 f 2x 1 是偶函数， f x 1 是奇函数，则下列命
题正确的个数是（ ）
① f x f x 16 ；② f 11 0；③ f 2022 f 0 ；④ f 2021 f 3 .
A．1 B．2 C．3 D．4
【来源】河南省林州市第一中学 2021-2022 学年高一下学期开学检测数学试题
【答案】D
【解析】：因为 f 2x 1 是偶函数，所以 f 2x 1 f 2x 1 ，
令 t 2x 1，则 2x t 1，故 2x 1 2 t ，
所以 f t f 2 t ，即 f x f 2 x ，
所以函数 f x 关于直线 x 1对称，
因为 f x 1 是奇函数，所以 f 1 0，且函数 f x 1 关于 0,0 对称，
又因函数 f x 1 是由函数 f x 向右平移 1 个单位得到，
所以 f x 关于 1,0 对称，所以 f x 1 f x 1 ，所以 f x f x 2 ，
所以 f 2 x f x 2 ，则 f x f x 4 f x 8 ，
即 f x f x 8 ，所以函数 f x 的一个周期为8，
故有 f x f x 2 8 f x 16 ，故①正确；
由函数 f x 关于直线 x 1对称， f 1 0，所以 f 3 f 1 0 ，
所以 f 11 f 3 0 ，故②正确；
因为 f 2022 f 8 253 2 f 2 ，
因为 f x 关于 1,0 对称，所以 f 2 f 0 ，所以 f 2022 f 0 ，故③正确；
又 f 2021 f 8 253 3 f 3 ，故④正确，所以正确的个数为 4 个故选：D.
12．已知函数 f (x2 1) 2 x2 x ，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数 f x 是单调增函数
B．函数 f x 的值域为 0,2
C．函数 f x 为偶函数
D．函数 f x 的定义域为 1,3
【来源】黑龙江省绥化市部分学校 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
【解析】由题意，由 f x2 1 2 x2 x ，则 2 x2 0，即 2 x 2 .
令 x2 1 t ，则 x2 t 1, x t 1(1 t 3),
∴ f t 2 (t 1) t 1 3 t t 1，其定义域为 1,3 , f x 不是偶函数，
又 f 1 f 3 2,故 f x 不是单调增函数，
2
易得 f
2
t 3 t t 1 2 2 3 t t 1 2 2 t 2 4t 3 1 t 3 ，则
f t
2
2, 4 ，
∴ f t 2,2 .
故选：D.
f x1 f xf x x x 0, 2 13．若 是偶函数，且 1、 2 都有 0，若 f 2 1，则不x1 x2
等式 f x 1 1 0的解集为（ ）
A． x x 1或 3 x 0 B． x x 1或 x 3
C． x x 1或0 x 3 D． x 1 x 3
【来源】吉林省长春市十一高中 2021-2022 学年高一上学期第二学程考试数学试题
【答案】D
f x f x
【解析】 x x 0, 1 2 1、 2 都有 0，不妨设 x1 x2 0，则x1 x2
f x1 f x2 ，
故函数 f x 在 0, 上为增函数，
因为函数 f x 为偶函数，故 f 2 f 2 1，
由 f x 1 1 0可得 f x 1 1 f 2 ，可得 x 1 2，解得 1 x 3 .
因此，不等式 f x 1 1 0的解集为 x 1 x 3 .
故选：D.
14．函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，下列说法：
① f 0 0；
②若 f x 在 0, 上有最小值 1，则 f x 在 ,0 上有最大值1；
③若 f x 在 1, 上为增函数，则 f x 在 , 1 上为减函数．
其中正确的个数是（ ）
A． 0 B．1 C． 2 D．3
【来源】陕西省安康市六校联考 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】C
【解析】对于①， f 0 f 0 ，可得 f 0 0，①对；
对于②，由题意可知，存在 x0 0, ，使得对任意的 x 0, ，都有 f x f x0 1，
则 x0 ,0 ，且 f x0 f x0 1，
对任意的 x ,0 ， x 0, ，所以， f x f x f x0 f x0 1，
即函数 f x 在 ,0 上有最大值1，②对；
对于③，任取x1、 x2 , 1 且 x1 x2 1，则 x1 x2 1，
因为函数 f x 在 1, 上为增函数，则 f x1 f x2 ，即 f x1 f x2 ，故
f x1 f x2 ，
所以，函数 f x 在 , 1 上为增函数，③错.故选：C.
15．若函数 y x2
25
3x 4 的定义域为 0,m ，值域为 , 4 ，则m 的取值范围是 4
（ ）
0, 4 3 ,4 3 ,3 3A． B． C． D
． ,
2 2 2
【来源】重庆市巫山县官渡中学等两校 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】C
3
【解析】 y x2 3x 4为开口方向向上，对称轴为 x 的二次函数
2
y 9 9 25 min 4 4 2 4
3
令 x2 3x 4 4，解得： x1 0 ， x2 3 m 32
3
即实数m 的取值范围为 ,3 2
故选：C
16．已知函数 f x 的定义域是 0， ，且满足 f xy f x f y f 1 ， 1，如果
2
对于0 x y，都有 f x f y ，不等式 f x f 3 x 2的解集为 （ ）
1 1 A． ，0 3，4 B． 1， C． 4， 3 D． 1，0 2
【来源】第 14 讲 函数的单调性-【暑假自学课】2022 年新高一数学暑假精品课（苏教
版 2019 必修第一册）
【答案】D
【解析】由于 f xy f x f y ，
令 x y 1则 f 1 2 f 1 ，即 （f 1 0 1 1 ） ，则 f 1 f 2 2 f 2 f 0， 2
f 1 由于 1，则 f 2 1，即有 f 4 2 f 2 2 ，
2
由于对于0 x y，都有 f x f y ，则 f x 在 0， 上递减，
不等式 f x f 3 x 2即为 f x 3 x f 4 ．
x 0 x 0
则原不等式即为 3 x 0
，即有 x 3 ，
x 3 x 4 1 x 4
即有 1 x 0，即解集为 1，0 ．故选：D．
二、多选题
17．已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，当 x 0 时， f x 单调递减，则（ ）
A． f 0 0 B．当 x 0 时， f x 单调递减
C．当 x 0 时， f x 0 D． x R ， xf x 0
【来源】湖北省咸宁市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】ABD
【解析】：因为函数 f x 是定义在R 上的奇函数，所以 f x f x ，则 f 0 f 0 ，
所以 f 0 0，故 A 正确．
因为当 x 0 时， f x 单调递减，所以当 x 0 时， f x 单调递减，所以 f x 0 ，故
B 正确，C 错误；
当 x 0 时， f x 0，所以 x R ， xf x 0，D 正确．
故选：ABD
18．已知定义在R 上的函数 f x 满足： f x 关于 0,0 中心对称， f x 关于 x 1对称，
f 3 且 1.则下列选项中说法正确的有（2 ）
A． f x 为奇函数 B． f x 周期为 2
f 9C ． 1 D． f x 2 是奇函数
2
【来源】河北省衡水市冀州区第一中学 2021-2022 学年高一下学期期中数学试题
【答案】AD
【解析】由于 f x 的定义域为R ，且关于 0,0 中心对称，可得 f (x) 是奇函数，故 A 项
正确；
因为 f (x) 关于直线 x 1对称，即 f (x) f (2 x)，所以 f (x) f (x 2) f x 4 ，
所以函数 f (x) 的周期T 4，故 B 项错误；
f 9 f 4 1 f 1 f
2
1
f
3 3
f
1，故 C 项错误；
2 2 2 2 2 2
f x 2 f x 2 f x 2 4 f x 2 ，所以 f (x 2)是奇函数，故 D 项正
确.故选：AD.
19．已知定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f x 4 f x f 2 ，且在区间[0，2]上是增
函数，则下列说法正确的是（ ）
A．4 是函数 f (x) 的一个周期
B．直线 x 4，是函数 f (x) 的一条对称轴
C．函数 f (x) 在区间[ 6, 5)上单调递增
D．函数 f (x) 在区间[ 2,98]上有 26 个零点
【来源】贵州省贵阳市第一中学 2021-2022 学年高一下学期第二次月考数学试题
【答案】ABD
20．若函数 f x 1 x R 是奇函数， g x x f x 是奇函数，则下列选项一定正确
的是（ ）
A．函数 f x 图象关于点 1,0 对称 B．函数 f x 的周期为 1
C． f 2021 0 D． f 2022 0
【来源】江苏省南通市海安市曲塘中学 2021-2022 学年高一下学期期中数学试题
【答案】AC
【解析】 f x 1 x R 是奇函数，则 f x 1 f x 1 ，即 f 1 x f 1 x 0 ，
所以函数 f x 图象关于点 1,0 对称，故 A 选项正确；
又 g x x f x 是奇函数， x 0时， g 0 0； x 0时，
g x g x x f x x f x ，得 f x f x ，
又 f x 1 f x 1 ，令 x x 1得， f x f x 2 f x f x 2 ，即
f x f x 4 ，所以函数 f x 的周期为 4，故 B 选项错误；
因为 f 2021 f 505 4 1 f 1 0 ， f 2022 f 505 4 2 f 2 无法判断，故 C 选
项正确，D 选项错误；
故选：AC.
21．已知函数 f x 是定义在 R 2上的偶函数，当 x 0 时 f x x 2x，则（ ）
A． f x 的最小值为-1
B． f x 在 2,0 上单调递减
C． f x 0的解集为 , 2 2,
D．存在实数 x 满足 f x 2 f x 0
【来源】福建省福州市 2021-2022 学年高一下学期期中质量抽测数学试题
【答案】ACD
【解析】依题意，作出函数 f x 的图象，如图所示：
观察图象可得： f x 的最小值为-1，A 正确；
f x 在 , 1 和 0,1 上单调递减，B 错误；
f x 0的解集为 , 2 2, ，C 正确；
令 x 2，则有 f 0 2 f 0 f 2 f 0 0 ，D 正确；
故选：ACD.
x, 0 x 1
22．已知 y f (x) 是周期为 4 的奇函数，且当0 x 2时， f x ，设
2 x, 1 x 2
g(x) f (x) f (x 1)，则（ ）
A． g(2022) 1 B．函数 y g(x) 为周期函数
C．函数 y g(x) 在区间 (6,7)上单调递减 D．函数 y g(x) 的图象既有对称轴又有
对称中心
【来源】福建省莆田第一中学 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】BD
【解析】因为 f (x) 周期为 4，则 g(x)的周期为 4，又 f (x) 是奇函数，
所以 g(2022) g(505 4 2) g(2) f (2) f (3) f (2) f ( 1) f (1) 1，A 错误，B
正确；令 2 x 1，即1 x 2，则 f ( x) 2 x f (x) ，即 f (x) x 2；
令 1 x 0，即0 x 1，则 f ( x) x f (x)，即 f (x) x；
x 2, 2 x 1
f (x) 所以 x, 1 x 1 ，
2 x,1 x 2
根据周期性 y g(x) 在 (6,7)上的图象与在 ( 2, 1)相同，
所以，当 2 x 1，即 1 x 1 0时， g(x) f (x) f (x 1) x 2 x 1 1
，C 错误；
由 f (x) 是周期为 4 的奇函数，则 f (x 2) f (x) f (x 2)且 f (x 1) f (x 1)，
所以 g(1 x) f (1 x) f (2 x) f (x 1) f (x 2) f (x) f (x 1) g(x)，故 g(x)关
x 1于 对称，
2
g(x) g(3 x) f (x) f (x 1) f (3 x) f (4 x) f (x) f (x 1) f (1 x) f (x) 0，
所以 g(x)
3
关于 ,0
对称，D 正确.故选：BD
2
三、填空题
23．已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足：函数 f (x 1)的图象关于点 (1,0)中心对称，函数
f (x 1) 3 9是偶函数，且 f 1 f
，则 _________.
2 2
【来源】黑龙江省齐齐哈尔市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】 1
【解析】：因为函数 f (x 1)的图象关于点 (1,0)中心对称，
所以函数 f x 关于原点对称，即函数 f x 为奇函数，
又函数 f (x 1)是偶函数，
所以 f x 1 f x 1 ，函数 f x 关于 x 1对称，
则 f x 2 f x f x ，
所以 f x 4 f x ，
所以函数 f x 是以 4 为周期的一个周期函数，
又 f
3 3 1 1
，所以 f 1 f
2 2 2
9
所以 f f
1
1 .
2 2
故答案为： 1 .
24．对 x R ，函数 f x 满足 f 1 x f x 1 ， f x 4 f x 0 .当 0 x 1时，
f x 1 x2 1 5 2023 . 设 a f ，b f2 3 ， c f 4 ，则
a，b ， c的大小关系为
____________.
【来源】贵州省遵义市 2021-2022 学年高一下学期期末质量监测数学试题
【答案】 c b a ## a b c
【解析】：对 x R ，函数 f x 满足 f 1 x f x 1 ，则 f x 关于直线 x 1对称，
所以 f x f 2 x ①；
函数 f x 满足 f x 4 f x 0，则 f x 关于点 (2,0)对称，所以 f x f 4 x ②；
由①②得： f 2 x f 4 x ，则 f x 是周期函数，周期为T 4
5 2
所以b f f 1 f
2 1
3 3
1 f
3 3
c f 2023 2020 3 f
f 1
3 f 1 3 f 1
4 4 4 4 4 4
又0 x 1时， f x 1 x2，即 f x 在 x [0,1]上单调递减
f 1 1 1所以 f
f
，即 c b a .
4 3 2
故答案为： c b a或 a b c .
25 2．函数 f x x 2 x ，若 f 2m 1 f 3 ，则实数 m 的取值范围是____________．
【来源】贵州省黔东南州凯里市第一中学 2021-2022 学年高一下学期期中数学试题
【答案】 2,1
【解析】因为 f x ( x)2 2 x x2 2 x f x
所以 f x 是偶函数，作出 f x 的图象如下：
由 f 2m 1 f 3 f 3 得， 3 2m 1 3，
∴ 2 m 1．故答案为： 2,1
x2 2tx t 2 , x 0
26．已知函数 f x 1 ，若 f 0 是 f x 的最大值，则实数 t 的取值
x t, x 0 x
范围是______．
【来源】安徽省宣城市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】 2,0
【解析】当 x 0 时， f x x 1 t，由对勾函数的性质可得：在 x 1时取得最大值
x
t 2 ；当 x 0 时， f x x2 2tx t 2 x t 2 ，且 f 0 t 2是 f x 的最大值，
所以 t 2 t 2, t 0，解得： 2 t 0 .故答案为： 2,0
27．已知定义在 (0, )上的函数 f (x) 满足 f (xy) f (x) f (y) ，当 x 1时， f (x) 0，
且 f (2) 2，则不等式 f (x 2) f (x 4) 8 0的解集为___________.
【来源】江苏省无锡市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】 (2, 4)
【解析】由 f (xy) f (x) f (y) 可得， f (x 2) f (x 4) f (x 4)(x 2)
又 f (2) 2，则 f (16) f (4) f (4) 2 f (2) 2 f (2) 4 f (2) 8
x
设任意 x1, x2 0，且 x
2
1 x2，则 1x ，又当 x 1时，
f (x) 0，
1
f (x x2
则 2 ) f (x1) f (x1 ) f (x1) f (x1)
x
f ( 2 ) f (x ) f ( x 2 ) 0
x1 x
1
1 x1
即 f (x1) f (x2 )，故函数 f (x) 在 (0, )上为减函数.
则不等式 f (x 2) f (x 4) 8 0
x 2 0
等价于 x 4 0 ，解之得 2 x 4
(x 2)(x 4) 16
故答案为： (2, 4)
四、解答题
28．定义在 0， 上的函数 f x 满足下面三个条件：
① 对任意正数 a，b ，都有 f a f b f ab ；② 当 x 1时， f x 0 ；③
f 2 1
(1)求 f 1 f 1 和 的值；
4
(2)试用单调性定义证明：函数 f x 在 0， 上是减函数；
(3) f 4x3求满足 12x2 2 f 18x 的 x 的取值集合．
【来源】3.2 函数的单调性
【答案】(1) f 1 0 1, （f ） 2 (2)证明见解析(3) x （3，6）
4
【解析】(1) x＝y＝1得 f 1 ＝f 1 f 1 ，则 f 1 ＝0，
而 f 4 ＝f 2 f 2 ＝－1－1＝－2，
f 4 f 1 f 1 1 且 ＝ ＝0 ，则 f ＝2；
4 4
x
(2) 2取定义域中的任意的x1，x2，且0 x1 x2 ， 1x ，1
当 x 1时， f x 0 f x ， 2 0，
x1
x f x2 －f x1 ＝f x 21 －f x1
x1
x2 ＝f x x21 f －f x1 ＝fx 0， 1 x1
f x 在 0， 上为减函数．
(3)由条件①及（1）的结果得， f 4x3－12x2 2 f 18x
， f 4x3－12x2 f 1 f 18x ，
4
x3 3x2 0
f x3－3x2 f 18x ， 18x 0 ，解得3 x 6 ，
3
x 3x
2 18x
故 x 的取值集合为 3，6 .
29．已知函数 g x 2 x 2 x 1 .
(1)求函数 g x 的解析式；
g x 2x(2)设 f x ，若存在 x 2,3 使 f x kx 0成立，求实数 k 的取值范围.
x
【来源】云南省曲靖市第二中学 2021-2022 学年高一下学期期末考试数学试题
3
【答案】(1) g x x 1 2 x 2 ；(2) ,
4
2 2
【解析】(1) g x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 1 ，则 g x x 1 2 ，又
x 2 2，则 g x x 1 2 x 2 ；
2
(2) f g x 2xx x 2x 1 2x x 1 4 x 2 ，又存在 x 2,3 使 f x kx 0
x x x
k 1 4成立，即 2 1在 x 2,3 上有解，x x
t 1 , t 1 , 1 2 2 1 1令 ，设 h t t 4t 1 t 2 3，易得 h t
在 , 单减，则x 3 2 3 2
h t h 1 3 3 , min ，故实数 k 的取值范围为2 4 4 .
2
30 x．已知函数 f x
x2 1
(1)证明： f x 为偶函数；
(2)判断 g x f x x的单调性并用定义证明；
(3)解不等式 f x f x 2 2x 2
【来源】湖北省重点高中智学联盟 2021-2022 学年高一下学期 5 月联考数学试题
【答案】(1)证明见解析(2) g x 为R 上的增函数，证明见解析(3) 1,
【解析】(1)证明： f x 的定义域为R ，
2 2
又 f x
x x
f x ，故 f x 为偶函数；
x 2 1 x2 1
2
(2)解： g x f x x x 2 x ，所以 g x 为R 上的增函数，x 1
证明： 任取x1， x2 R ，且 x1 x2 ，
x2 x2 x2 2g x1 g x2
x
1 x 22 1 2 x2 x1 x2
1 2
x1 1 x 1 x
2
2 1 1 x
2
2 1
x21 x22 1 x2 2 2 2 x x 2 x1 1 x x1 2 x1 x 1 2 x2 1 x2 1 2 (x2 1)(x21 2 1 2 1)
(x x ) 1 x1 x21 2
(x
2
1 1)(x
2
2 1)
2
(x x ) x1 x
2 2 2
2 x1 x2 1 x 1 x2
1 2 (x2 1 1)(x
2
2 1)
x2x2 (x 1 1 1 1 2 1 )
2 (x )2 2
(x x ) 2 2 21 2 (x2 2
.
1 1)(x2 1)
2 2
x2x2 x 1 x 1 1
∵ x1 x2 ，∴ x2 x 0
1 2 1 2
2 ，又 2 2 2 0 ，
x21 1 x22 1
x2x2 (x 1 )2 1 (x )2 1 1 2 1 2
∴ (x1 x2 ) 2 2 22 2 0 ，即 g x1 g x ，
(x1 1)(x2 1)
2
∴ g x 为R 上的增函数；
(3)：不等式 f x f x 2 2x 2，
等价于 f x x f x 2 2 x f 2 x 2 x
即 g x g 2 x ，
∵ g x 为R 上的增函数，
∴ x 2 x ，解得 x 1，故不等式的解集为 1, .
31．已知函数 f x 的定义域为 0, ，且对一切m 0， n 0，都有
f m f m f n 2 ，当 x 1时，总有 f x 2 .
n
(1)求 f 1 的值；
(2)证明： f x 是定义域上的减函数；
(3)若 f 4 1，解不等式 f x 2 f 8 2x 1 .
【来源】河北省张家口市 2021-2022 学年高一上学期期末数学（B）试题
34
【答案】(1) f 1 2 ；(2)证明见解析；(3) , 49 .
【解析】(1)令m n 1，则 f 1 f 1 f 1 2 ，解得： f 1 2 ；
x
(2)设0 x1 x2 ，则 f x2 f x f 21 2，
x
1
x2 1 x， f 2
2， f x2 f x1 0 f xx ， 是定义域上的减函数；1 x1
(3)由 f x 2 f 8 x 2 x 2 2x 1 得： f 2 1，即 f 1，
8 2x 8 2x
又 f 4 1 f x 2 ， 8 2x f 4 ，
f x x 2是定义域上的减函数， 4 34，解得： x 4；
8 2x 9
x 2 0
又 ， 2 x 4，
8 2x 0
34
f x 2 f 8 2x 1 的解集为 , 49 .
32．已知定义在 R 上的偶函数 f (x) ，当 x 0 时， f (x) x2 4x 3．
(1)求函数 f (x) 在 R 上的解析式；
(2)若函数 f (x) 在区间 1，a 2 上单调递增，求实数 a的取值范围．
【来源】云南省丽江市 2021-2022 学年高一上学期期末质量监测数学试题
x
2 4x 3, x 0
【答案】(1) f x 2 ；(2)（1，2].
x 4x 3, x 0
【解析】(1)当 x 0 时，则 x 0 ， f ( x) x 2 4（ x） 3 x2 4x 3，
又∵ f (x) 为偶函数，∴ f ( x) f (x) x2 4x 3．
x2 4x 3, x 0
∴当 x 0 时， f (x) x2 4x 3，∴ f x 2 .
x 4x 3, x 0
(2)
由（1）知 f (x) x 2 2 1 x 0 在 0,2 上单调递减，函数 f (x) 是偶函数.∴
f x x2 4x 3(x 0) 在 2，0 上单调递增.
又∵ f (x) 在 1, a 2 上单调递增，∴ 1,a 2 2,0 .
a 2 1
∴ ，则1 a 2a 2 0 ，故实数
a的取值范围是（1，2].
33．已知函数 f x 为定义在 3,3 上的奇函数．
(1)若当 x 0,3 3时， f x x 2x 1，求 f x 在 3,3 上的解析式；
(2)若 f x 在 0,3 上单调递增， g x f x ，且 g 3 m g m 2 ，求实数 m 的取值
范围．．
【来源】广东省肇庆市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
x3 2 x 1，x 3，0 ，
【答案】(1) f x 5 0，x 0， (2) 0，
3 x 2
x 2 1，x 0
，3 .
【解析】(1)当 x 0时， f x 0 ，当 x 3,0 时， x 0，3 ，
f x x 3则 2 x 1 x3 2 x 1 f x ，
x3 2 x 1，x 3，0 ，
∴ f x x3 2 x 1，∴ f x 0，x 0，
x3 2
x 1，x 0，3 .
(2)∵ f x 为奇函数，∴ f x f x ，
g x f x f x f x g x ，
∴ g x 为偶函数，且 g x 在 0，3 上为增函数， g 3 m g m 2 ，
3 3 m 3， 0 m 6，
5
∴ 3 m 2 3，∴ 1 m 5
5
，∴ 0 m ，∴m 的取值范围为 0,
2
．
3 m m 2 5
2
， m ，
2
f (x) x m34．已知函数 2 是定义在[ 1,1]上的奇函数，且 f (1)
1
.
nx 1 2
(1)求m ， n的值；
(2)判断 f (x) 在[ 1,1]上的单调性，并用定义证明；
(3)设 g(x) kx 5 2k ，若对任意的 x1 [ 1,1]，总存在 x2 [0,1]，使得 f (x1) g(x2 )成立，
求实数 k 的取值范围.
【来源】安徽省六安中学 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】(1) m 0， n 1 (2) f (x)
9
在[ 1，1]上单调递增，证明见解析(3) ( , ]
2
f (x) x m 1【解析】(1)因为函数 2 是定义在[ 1，1]上的奇函数，且 f （1） ，nx 1 2
f (0)
m
0
1
则 ，解得m 0 n 1
f (1) 1 m 1
， ，
n 1 2
f (x) x所以函数 ，
x2 1
经检验，函数为奇函数，
所以m 0， n 1；
(2) f (x) 在[ 1，1]上单调递增.
证明如下：设 1 x1 x2 1，
f (x ) f (x ) x1 x2 (x1x 2 1)(x2 x1)则 1 2 x 2 2 2 2 ，1 1 x2 1 (x1 1)(x2 1)
其中 x1x2 1 0， x2 x1 0，
所以 f (x1) f (x2 ) 0 ，即 f (x1) f (x2 )，
故函数 f (x) 在[ 1，1]上单调递增；
(3)因为对任意的 x1 [ 1，1]，总存在 x2 [0，1]，使得 f (x1) g(x2 )成立，
所以 f (x)max g(x)max ，
因为 f (x) 在[ 1，1]上单调递增，
所以 f (x)max f (1)
1
，
2
当 k 0时， g(x) 5
1
；所以 5恒成立，符合题意；
2
当 k 0时， g(x) kx 5 2k 在[0，1]上单调递增，则 g(x)max g （1） 5 k ，
1
所以 5 k
9
，解得0 k ；
2 2
当 k 0时，函数 g(x) kx 5 2k 在[0，1]上单调递减，则 g(x)max g(0) 5 2k ，
1
所以 5 2k ，解得 k 0 .
2
9
综上所述，实数 k 的取值范围为 ( , ] .
2专题 3.2 函数的基本性质
知识点一：函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数 f x 的定义域为 A，区间 D A：
如果对于 D 内的任意两个自变量的值 x1 、 x2 ，当 x1 x2 时，都有 f x1 f x2 ，
那么就说 f x 在区间 D 上是增函数.
如果对于 D 内的任意两个自变量的值 x1 、 x2 ，当 x1 x2 时，都有 f x1 f x2 ，
那么就说 f x 在区间 D 上是减函数.
知识点诠释：
(1)属于定义域 A 内某个区间上；
(2)任意两个自变量 x1, x2 且 x1 x2 ；
(3)都有 f (x1) f (x2 )(或f (x1) f (x2 )) ；
(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向
右是下降的.
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 f x 在区间 D 上具有
单调性， D 称为函数 f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
知识点诠释：
①单调区间与定义域的关系：单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子
集；
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
③不能随意合并两个单调区间；
④有的函数不具有单调性.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
3.证明函数单调性的步骤
(1)取值.设 x1，x2是 f (x) 定义域内一个区间上的任意两个量，且 x1 x2 ；
(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
(3)定号.判断差的正负或商与 1 的大小关系；
(4)得出结论.
4.函数单调性的判断方法
(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进
行判断。
(2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性。
(3)直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直
接写出它们的单调区间。
(4)记住几条常用的结论
①若 f (x) 是增函数，则 f (x) 为减函数；若 f (x) 是减函数，则 f (x) 为增函数；
②若 f (x) 和 g(x) 均为增（或减）函数，则在 f (x) 和 g(x) 的公共定义域上 f (x) g(x)
为增（或减)函数；
1
③若 f (x) 0 且 f (x) 为增函数，则函数 f (x) 为增函数， 为减函数；若
f (x)
f (x) 0 且 f (x) 1为减函数，则函数 f (x) 为减函数， 为增函数.
f (x)
5．复合函数单调性的判断
讨论复合函数 y f g(x) 的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本
函数的单调性。一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函
数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
（1）若 u g(x), y f (u) 在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则
y f g(x) 为增函数；
（2）若 u g(x), y f (u) 在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则
y f g(x) 为减函数。
列表如下：
u g(x) y f (u) y f g(x)
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时
递减。
因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：
（1）将复合函数分解成基本初等函数： y f (u) ，u g(x) ；
（2）分别确定各个函数的定义域；
（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间。
若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则 y f g(x) 为增
函数；若为一增一减或一减一增，则 y f g(x) 为减函数。
知识点诠释：
（1）单调区间必须在定义域内；
（2）要确定内层函数u g(x) 的值域，否则就无法确定 f (u) 的单调性。
（ 3 ） 若 f (x) 0 ， 且 在 定 义 域 上 f (x) 是 增 函 数 ， 则
n f (x),kf (x)(k 0), f n (x)(n 1且n N )都是增函数。
6．利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值。常用到下面
的结论：
（1）如果函数 y f (x) 在区间 a,b 上是增函数，在区间 b,c 上是减函数，则函
数 y f (x)(x a,c)在 x b 处有最大值 f (b) 。
（2）如果函数 y f (x) 在区间 a,b 上是减函数，在区间 b,c 上是增函数，则函
数 y f (x)(x a,c)在 x b 处有最小值 f (b) 。
若函数 y f (x) 在 a,b 上是严格单调函数，则函数 y f (x) 在 a,b 上一定有最大、
最小值。
（3）若函数 y f (x) 在区间 a,b 上是单调递增函数，则 y f (x) 的最大值是
f (b) ，最小值是 f (a) 。
（4）若函数 y f (x) 在区间 a,b 上是单调递减函数，则 y f (x) 的最大值是
f (a) ，最小值是 f (b) 。
7．利用函数单调性求参数的范围
若已知函数的单调性，求参数 a的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于
参数 a的不等式，利用下面的结论求解。
（1） a f (x) 在 m,n 上恒成立 a f (x) 在 m,n 上的最大值。
（2） a f (x) 在 m,n 上恒成立 a f (x) 在 m,n 上的最小值。
实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大
值和最小值问题。
知识点二：基本初等函数的单调性
1．正比例函数 y kx(k 0)
当 k>0 时，函数 y kx 在定义域 R 是增函数；当 k<0 时，函数 y kx 在定义域 R 是
减函数.
2．一次函数 y kx b(k 0)
当 k>0 时，函数 y kx b 在定义域 R 是增函数；当 k<0 时，函数 y kx b 在定义
域 R 是减函数.
3 y k．反比例函数 (k 0)
x
k
当 k 0时，函数 y 的单调递减区间是 ,0 , 0, ，不存在单调增区间；
x
当 k k 0 时，函数 y 的单调递增区间是 ,0 , 0, ，不存在单调减区间.
x
4．二次函数 y ax2 bx c(a 0)
若 a>0 b b，在区间 ( ， ]，函数是减函数；在区间[ ，+ ) ，函数是增函数；
2a 2a
若 a<0，在区间 ( b b ， ]，函数是增函数；在区间 [ ，+ ) ，函数是减函
2a 2a
数．
知识点三：函数的最大值
(1)定义：一般地，设函数 y＝f x 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
① x I ，都有 f x M ；
② x0 I ，使得 f x0 ＝M .
那么，称 M 是函数 y＝f x 的最大值．
(2)几何意义：函数 y＝f x 的最大值是图象最高点的纵坐标．
知识点四：函数的最小值
(1)定义：一般地，设函数 y＝f x 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
① x I ，都有 f x M ；
② x0 I ，使得 f x0 ＝M .
那么，称 M 是函数 y＝f x 的最小值．
(2)几何意义：函数 y＝f x 的最小值是图象最低点的纵坐标．
知识点五：函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个 x ，都有 f x f x ，那么 f x 称为偶函
数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个 x ，都有 f x f x ，那么 f x 称为奇函
数.
知识点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2） x 在定义域中，那么 x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定
是关于原点对称的；
（3） f x f x f ( x)的等价形式为： f (x) f ( x) 0, 1( f (x) 0) ，
f (x)
f x f ( x) f x 的等价形式为： f (x) f ( x) 0， 1( f (x) 0) ；
f (x)
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有 f 0 0；
（5）若 f x 既是奇函数又是偶函数，则必有 f x 0 .
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心
对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这
个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于 y 轴对称；反之，如果一个函数的
图像关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数 f (x) 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点
对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数 f (x) 的定义域，化简函数 f (x) 的解析式；
（3）求 f ( x) ，可根据 f ( x) 与 f (x) 之间的关系，判断函数 f (x) 的奇偶性.
若 f ( x) =- f (x) ，则 f (x) 是奇函数；
若 f ( x) = f (x) ，则 f (x) 是偶函数；
若 f ( x) f (x) ，则 f (x) 既不是奇函数，也不是偶函数；
若 f ( x) f (x)且 f x f x ，则 f (x) 既是奇函数，又是偶函数
知识点六：判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇
函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 f ( x) 与 f (x) 之一是
否相等.
（2）验证法：在判断 f ( x) 与 f (x) 的关系时，只需验证 f ( x) f (x) =0 及
f ( x)
1是否成立即可.
f (x)
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（ y 轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇
函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量 x 的不
同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，
而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断
f ( x) 与 f (x) 的关系.首先要特别注意 x 与 x的范围，然后将它代入相应段的函数表达
式中， f (x) 与 f ( x) 对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
知识点七：关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间 [a,b]和 [ b， a] 上具有相同的单调性，即已知 f (x) 是奇函数，
它在区间 [a,b]上是增函数（减函数），则 f (x) 在区间 [ b， a] 上也是增函数（减函数）；
偶函数在其对称区间 [a,b]和 [ b， a] 上具有相反的单调性，即已知 f (x) 是偶函数且在
区间[a,b]上是增函数（减函数），则 f (x) 在区间[ b， a] 上也是减函数（增函数）.
题型一：函数单调区间的确定
1．函数 f (x)
1
的单调递减区间是（ ）
x
A． ( ,0), (0, ) B． (0, ) C． ( ,0) (0, ) D． ( ,0)
【答案】A
1
【解析】解：因为 f (x) 定义域为 ( ,0) (0, )，函数在 ( ,0)和 (0, )上单调递
x
减，故函数的单调递减区间为 ( ,0)和 (0, )；故选：A
2．已知函数 f x x2 2ax 4在[0, ) 上是增函数，则实数 a的取值范围为（ ）
A． , 1 B． 1, C． 0, D． ,0
【答案】D
2
【解析】函数 f x x 2ax 4的单调递增区间是[a, )，依题意，[0, ) [a, )，
所以 a 0，即实数 a的取值范围是 ,0 .故选：D
x2 4ax 2, x 1,
3．已知函数 f x 对于任意两个不相等实数 x , x ，都有
a
x , x 1, 1 2
f x1 f x2 0成立，则实数 a的取值范围是（
x x ）1 2
A 0,
1 B
1 , 3 3 1 ． ． C
2 2 5 ．
0, D． ,1
5 2
【来源】山东省潍坊市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】由题可得，函数 f x 为单调递减函数，
当 x 1时，若 f x 1单减，则对称轴 x 2a 1，得： a ,
2
当 x 1时，若 f x 3单减，则 0 a 1，在分界点处，应满足1 4a 2 a，即 a ，
5
1 3
综上： a 故选：B
2 5
4．已知 f x ax2 1是定义在 R 上的函数，若对于任意1 x1 x2 3，都有
f x1 f x2 2，则实数 a 的取值范围是（
x x ）1 2
A． 0 B． 0, 1 , 1 C．
D ． ,0
3 3
【来源】四川省凉山州 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】C【解析】因为1 x1 x2 3，所以由
f x1 f x2 2 f x1 f x2 2(x1 x2 ) f x1 2x1 f xx x 2 2x2 ，1 2
构造函数 g(x) f (x) 2x，由 f x1 2x1 f x2 2x2 g(x1) g(x2 )，
因为1 x1 x2 3，所以函数 g(x) f (x) 2x ax2 1 2x是[1,3]上的增函数，
当 a 0时，函数 g(x) 1 2x 是[1,3]上的增函数，符合题意；
当 a 0时，函数 g(x) ax2
1
1 2x的对称轴为： x ，
a
当 a 0时，显然函数 g(x) ax2 1 2x是[1,3]上的增函数，符合题意；
2 [1,3] 3 1 1当 a 0时，要想函数 g(x) ax 1 2x是 上的增函数，只需 a ，而
a 3
1
a 0，所以 a 0，
3
1
综上所述：实数 a 的取值范围是 ,
，故选：C
3
x2 1, x 0
5．已知函数 f (x) 2 ，则满足不等式 f 1 x f (2x) 的 x 的取值范围是
1, x 0
（ ）
A． 0, 2 B． 0, 2 C． 1, 2 1 D． 1, 2
【来源】陕西省西安高新第一中学 2021-2022 学年高一下学期月考 2 数学试题
【答案】C
2x 0
画出 f (x)
2
的图象如图所示，要使不等式 f 1 x f (2x) 成立，必有 2 或
1 x 0
2x 0 2x 0 2x 0
2 ，由 2 可得 1 x 0
1 x 2x 1 x 0
；由 1 x2 可得 ，综上可得 2x
0 x 2 1
x 1, 2 1 .故选：C.
6．若函数 f x x2 mx 10在 2, 1 上是减函数，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 2, B． 2, C． , 2 D． , 2
【来源】陕西省咸阳市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
m
【解析】函数 f (x) x2 mx 10的对称轴为 x ，
2
m
由于 f x 在 2, 1 上是减函数，所以 1 m 2 .
2
故选：B
7．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知函数
f (x) x 3,g(x) x2 2ax 2a 1(a R)．
(1)若函数 g(x)的值域为[0, ) ，求 a 的取值集合；
(2)若对于任意的 x1 [ 2,2]，总存在 x2 [ 2,2]，使得 f x1 g x2 成立，求实数 a 的
取值范围．
1
【答案】(1) a 1(2) ( , 1]
,
3
【解析】(1)∵函数 g(x) x2 2ax 2a 1的值域为[0, ) 2，∴ (2a) 4(2a 1) 0，
解得 a 1；
f x g x
(2)由题意可知 min
min
f x g xmax max
对于函数 f (x) x 3在[ 2,2]上是减函数，∴ f (x)min f (2) 1, f (x)max f ( 2) 5，
函数 g(x) x2 2ax 2a 1图象开口向上，对称轴为直线 x a．
①当 a 2时，函数 g(x)在[ 2,2]上为增函数，
g(x)min g( 2) 6a 3,g(x)max g(2) 2a 3，
1 6a 3,
∴ 此时 a 2；
5 2a 3,
②当 2 a≤0 时，函数 g(x)在区间[ 2,a]上为减函数，在[a, 2]上为增函数，
g(x) 2min g(a) a 2a 1,g(x)max g(2) 2a 3，
1 a2 2a 1,
∴ 此时 2 a 1；
5 2a 3,
③当0 a 2 时，函数 g(x)在区间[ 2,a]上为减函数，在[a, 2]上为增函数，
g(x)min g(a) a
2 2a 1,g(x)max g( 2) 6a 3，
1 a2 2a 1, 1
∴ 此时 a 2；
5 6a 3, 3
④当 a 2时，函数 g(x)在[ 2,2]上是减函数，∴
g(x)max g( 2) 6a 3,g(x)min g(2) 2a 3，
1 2a 3, 1
∴ 5 6a 3, 此时
a 2；综上所述，实数 a 的取值范围是 ( , 1] , ． 3
题型二：利用函数单调性求最值、求参数
1．（2022·辽宁·高一期末）已知函数 f x x2 1 2 1，则 f x 的最小值（ ）x 2
1
A． B． 1 C．0 D．1
2
【答案】A
【解析】对于函数 g x x 1 3 x 2 ，
x
x x x x 1
任取 2 x1 x2 ， g x1 g x x
1 1
2 1 3 x 3
1 2 1 2
x 2
，
1 x2 x1x2
其中 x1 x2 0, x1x2 1 0，所以 g x1 g x2 ，
所以 g x 在 2, 上递增.
f x x2 2 1 3，
x2 2
令 t x2 2, t 2，
则 y t
1
3，
t
由于 y t
1
3在 2, 上递增，
t
1 1
当 t 2时有最小值为 2 3 ，
2 2
所以 f x 1的最小值为 .
2
故选：A
2．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）若函数 f (x) mx2 (m 1)x 1在区间 ( ,1]上
为减函数，则实数m 的取值范围为________．
0, 1 【答案】 3
【解析】m 0时， f (x) x 1满足题意；
m 0
m 0 1 时， m 1 ，解得0 m ，
1 3 2m
综上m [0,
1] 1 ，故答案为：[0, ]．
3 3
3．（2022·浙江浙江·高一期中）若函数 g(x) 2x2 | x t | (x t) 在区间[0,2]上是单调函数，
则实数 t 的取值范围是__________．
【答案】 ( , 2] {0} [6, )
2 2x
2 (x t)2 , x t x2 2tx t 2 , x t
【解析】 g(x) 2x x t (x t) 2x2 (x t)2
，
, x t
3x
2 2tx t 2 , x t
t 0时， x [0, 2]时， g(x) x2 ，满足题意，
t 0时， x [0, 2]时， g(x) x2 2tx t 2 (x t)2 2t 2， g(x)单调，则
t 2， t 2，
t 2时， x [0, 2]时， g(x) 3x2 2tx t 2， g(x)单调，则
t
2 ， t 6 ，
3
x2 2tx t 2 , t x 2
0 t 2时， g(x) 2 ，
3x 2tx t
2 ,0 x t
t 0，因此 y x2 2tx t 2 在[t, 2]是单调递增，
要使得 g(x)在[0,2]上单调，则 g(x) 3x2 2tx t 2在[0, t)上是增函数，
t
因此 0，即 t 0，无解，
3
综上， t 的范围是 ( , 2] {0} [6, ) ．
故答案为： ( , 2] {0} [6, ) ．
a
4．（2022·湖北·黄石一中高一期中）已知函数 f (x) x 在区间 (0,1]上单调递减，则
x
实数 a的取值范围为___________.
【答案】 ( , 1] [1, )
【解析】当 a 0时， f (x) | x |在 (0, )上单调递增，故在区间 (0,1]上单调递增，不合
a
题意；当 a 0时， f (x) x 在区间 (0, a ]上单调递减，在区间x [ a , )上单调递增，
若 f (x) 在区间 (0,1]上单调递减，则 a 1， a 1；
当 a 0时， f (x) x
a
在区间 (0, a ]上单调递减，在区间x [ a , )上单调递增，若
f (x) 在区间 (0,1]上单调递减，则 a 1， a 1；
综上，实数 a的取值范围为 ( ,1] [1, ) .故答案为： ( ,1] [1, ) .
5．（2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）若函数
f (x) ax2 2x 1在区间 ,6 上单调递增，则实数 a的取值范围是__________.
1
【答案】 ,0 6
【解析】当 a 0时，函数 f (x) 2x 1在R上单调递增，即 f (x) 在 ,6 上递增，则 a 0，
当 a 0时，函数 f (x) 是二次函数，又 f (x) 在 ,6 上单调递增，由二次函数性质知，
a 0，
1
6 1
则有 a ，解得 a 0，
a 0 6
1
所以实数 a的取值范围是 ,0 . 6
1
故答案为： ,0
6
6．（2022·重庆·高一期末）设函数 f (x) ax (x a)2 3，其中 a R .
(1)当 a 1时，求函数 f (x) 的零点；
(2)若 x a, a 1 ，求函数 f (x) 的最大值.
【答案】(1)1 3+ 17和 (2)答案见解析
2
x
2 x 2, x 0
【解析】(1)当 a 1时， f x 2
x 3x 2, x 0
当 x 0 时，由 f (x) 0 得 x 1；
x 0 3+ 17 3 17当 时，由 f (x) 0 得 x （ x 舍去）
2 2
当 a 1时，函数 f (x) 3+ 17的零点为 1 和
2
(2)①当 a 0时， x a, a 1 ， ax 0 ， f (x) x2 ax a2 3
由二次函数的单调性可知 f (x) 在 a, a 1 上单调递减
f (x) f (a) 3a2max 3
②当 a 1 0即 a 1时， x a,a 1 ， ax 0 ， f (x) x2 ax a2 3
由二次函数的单调性可知 f (x) 在 a, a 1 上单调递增
f (x)max f (a+1) 3a
2 3a+2
x2 ax a2 3, x
f x a,0 ③当 1 a 0时，
x
2 3ax a2 3, x 0, a 1
f (x)在 x a,0 上递增， f (x)在 x a,0 上的最大值为 f (0) a2 3
2 0 3a 3a当 a 0 f (x) 时 在 ，
5
递增，在 ,a 1 上递减，
2 2
2
f (x)在 x 0, a 1 3a 5a上的最大值为 f ( ) 3
2 4
f (0) f ( 3a ) 2
2
， 当 a 0 时 f (x) f ( 3a ) 5amax 32 5 2 4
2
当 1 a 时 f (x) 在 0,a 1 上递增，
5
f (x)在 x 0, a 1 上的最大值为 f (a 1) 5a2 5a 2
f (0) f (a 1)，当 1 a
2
时 f (x)max f (a 1) 5a
2 5a 2
5
综上所述：
当 a 0时， f (x)max 3a
2 3
2 2
当 a 0 时， f (x) 5a
5 max
3
4
1 2当 a f (x) 2时，
5 max
5a 5a 2
当 a 1 2时， f (x)max 3a 3a 2
7．（2022·江西·临川一中高一阶段练习）已知函数 f x 1 x ，
x
g x x2 ax a 1．
(1)若 g x 的值域为 0, ，求 a 的值．
(2)证明：对任意 x1 1,2 ，总存在 x2 1,3 ，使得 f x1 g x2 成立．
【答案】(1)2(2)证明见解析
【解析】(1)解：因为 g x 的值域为 0, ，所以
a2 4 a 1 a2 4a 4 a 2 2 0，解得 a 2．
(2)证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得 f x x
1
1 1 在 1,2 x 上单调递增，所以1
f x 1 2,
5
．
2
设 g x x2 ax a 1在 1,3 上的值域为 M，
a
当 1，即 a 2时， g(x)在[ 1,3]上单调递增，因为 g(x)max g(3) 8 2a 12，2
g(x) 5min g( 1) 2a 4
，所以 2,
M ；
2
a
当 3，即 a 6时， g(x)在[ 1,3]上单调递减，因为 g(x)max g( 1) 2a 12 ，2
g(x) min g(3) 8 2a 4 ，所以 2,
5 M ；
2
a g(x) g a 1 a2 a 1 1当 1 3，即 2 a 6时， min (a 2)
2 ( 4,0]，
2 2 4 4
g(x)max max{2a,8 2a} [4,12)
5
，所以 2, M ； 2
2, 5 综上， M 恒成立，即 f (x) 在[1, 2]上的值域是 g(x)在[ 1,3]上值域的子集恒成立， 2
所以对任意 x1 [1,2]总存在 x2 [ 1,3]，使得 f x1 g x2 成立.
题型三：利用函数奇偶性求值、求表达式、求参数
1．（江苏省徐州市第三十六中学 2021-2022 学年高一上学期期中数学试题）设 f x 为
奇函数，且当 x 0 时， f (x) x2 x ，则当 x 0 时， f x （ ）
A． x2 x B． x2 x
C． x2 x D． x2 x
【答案】B
【解析】设 x 0 ，则 x 0 2，所以 f x x x，
又 f x 2 2为奇函数，所以 f x f x x x x x ，
所以当 x 0 时， f x x2 x .故选：B.
2．（陕西省宝鸡市渭滨区 2019-2020 学年高二下学期期末数学（文）试题）已知 f (x) 是
R 上的奇函数，且当 x 0时， f (x) 3x2 2x 1，则当 x 0 时， f (x) （ ）
A． 3x2 2x 1 B． 3x2 2x+1
C．3x2 2x 1 D．3x2 2x 1
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，设 x 0 ，则 x 0 ，则 f ( x) 3x2 2x 1，
因为函数 f x 为 R 上的奇函数，则 f ( x) f (x) ，
得 f (x) f ( x) 3x2 2x+1，
2即当 x 0 时， f x 3x 2x+1 .
故选：B.
3．（河南省林州市 2021-2022 学年高一上学期期末考试理科数学试题）已知 f x 是定
义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x x2 2x，则当 x 0 时， f x ______．
【答案】 x2 2x
【解析】 x 0 时， x 0 ， f x 是奇函数，此时 f (x) f ( x) (x2 2x) x2 2x
故答案为： x2 2x
4．（四川省攀枝花市第七高级中学校 2021-2022 学年高一上学期第一次月考数学试题）
ax b 1 2
已知函数 f x 2 是定义在 1,1 上的函数， f x f x 恒成立，且 f1 x 2
.
5
(1)确定函数 f x 的解析式；
(2)用定义证明 f x 在 1,1 上是增函数；
(3)解不等式 f x 1 f x 0．
x 1
【答案】(1) f (x) 2 (2)证明见解析(3) (0, )1 x 2
【解析】(1)
解：因为函数 f x ax b 2 ， f x f x 恒成立，1 x
ax b ax b
所以 2 2 ，则b 0，1 x 1 x
1
1 aax 2 2
此时 f x ，所以 f 2 ，
1 x2 2 1 1
5
2
x
解得 a 1，所以 f (x) ；
1 x2
(2)证明：设 1 x1 x2 1，
则 f (x1) f (x )
x
1
x (x x
2 1 2
)(1 x1x2 )
2 1 x21 1 x
2
2 (1 x
2 2 ，
1 )(1 x2 )
1 x1 x2 1，
1 x1x2 1，且 x1 x2 0，则1 x1x2 0，
则 f (x1) f (x2 ) 0 ，即 f (x1) f (x2 )，
所以函数 f (x) 是增函数．
(3) f (x 1) f (x) 0 ， f (x 1) f (x) f ( x)， f (x)是定义在 ( 1,1) 上的增函数，
1 x 1 1
1 x 1 0 x 1 (0, 1 ，得 ，所以不等式的解集为 )．
2 2
x 1 x
题型四：函数单调性与奇偶性的综合问题
经典例题：
1．下列说法正确的是（ ）
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数 f(x)的定义域为R ，且 f 0 0，则 f x 是奇函数
【来源】2.4.4 函数的奇偶性 （分层练习）-2022 年初升高数学无忧衔接
【答案】B
【解析】
奇偶函数的定义域一定关于原点对称，B 正确；
定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如 R 上的函数 y x 1既不是奇函数，
也不是偶函数，A，C 都错误，
如函数 g(x) x2 的定义域是 R，且有 g(0) 0，但 g(x)不是奇函数，D 错误．
故选：B
2．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． y log3 x B． y x3 2x C． y ex D． y x 3
【答案】B
【解析】解：由题意得：
对于选项 A：函数 y log3 x 是偶函数，故不符合题意；
对于选项 B：函数 y x3 2x 是奇函数，且是单调递增函数，故符合题意；
对于选项 C：函数 y ex 是非奇非偶函数，故不符合题意；
对于选项 D：根据幂函数的性质可知函数 y x 3 是奇函数，但不是单调递增函数，故不
符合题意；
故选：B
3．已知函数 f x 1 是偶函数， f x 1 的图象关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为
（ ）
A． x 2 B． x 1 C． x 1 D． x 2
【来源】陕西省西安地区八校 2022 届高三下学期 5 月联考理科数学试题
【答案】A
【解析】因为函数 f x 1 是偶函数，所以 f (x 1)的图象关于直线 x 0对称，
向左平移两个单位可得 f (x 1)的图象关于直线 x 2 对称.
故选：A
4．若偶函数 f x 在 , 1 上是减函数，则（ ）
A f
3 3
． f 1 f 2 B． f 1 f
f 2
2 2
C f 2 f 1 f
3
D f 2 f
3
． 2 ．
f 1
2
【答案】B
【解析】 f x 为偶函数， f 2 f 2 ；
f x 3在 , 1 上是减函数， f 1 f f 2 ，
2
f 1 f 3即
f 2 2 .
故选：B.
5．设 f x 是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A． f x f x 是奇函数 B． f x f x 是奇函数
C． f x f x 是奇函数 D． f x f x 是奇函数
【答案】C
【解析】A 选项：设F x f x f x ，F x f x f x F x ，则 f x f x
为偶函数，A 错误；
B 选项：设G x f x f x ，则G x f x f x ，G x 与G x 关系不定，
即不确定 f x f x 的奇偶性，B 错误；
C 选项：设M x f x f x ，则M x f x f x M x ，则 f x f x
为奇函数，C 正确；
D 选项：设 N x f x f x ，则 N x f x f x N x ，则 f x f x
为偶函数，D 错误．
故选：C.
6．已知函数 f x 的定义域为R ， f x 2 为奇函数， f 2x 1 为偶函数，则函数 f x
的周期是（ ）
A． 2 B．3 C． 4 D．5
【来源】陕西省西安市长安区第一中学 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】因为 f x 2 为奇函数，所以 f x 2 f x 2 ，
因为 f 2x 1 为偶函数，所以 f 2x 1 f 2x 1 ，则 f x 1 f x 1 ，
则 f x 1 1 f x 2 ，即 f x f x 2 ，
所以 f x 2 f x ，即 f x 2 f x ，则 f x 4 f x 2 f x ，
所以 f x 的周期是 4.
故选：C.
7．已知函数 f x 的定义域是R， f 1 x 为偶函数， x R ， f 4 x f x 成立，
f 1 2 ，则 f 2023 （ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【来源】安徽省池州市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】因为 f 1 x 为偶函数，所以 f 1 x f 1 x ，则 f 2 x f x ，
所以 f 4 x f x f 2 x ，则 f 2 x f x f x ，
所以 f 4 x f x ，所以 f x 是周期为 4 的函数，
因为 f 4 1 f 1 f 1 2， f 3 2 ，
所以 f 2023 f 505 4 3 f 3 2 .
故选：C.
8．已知函数 f x 为定义在 1 a, 4 上的偶函数，在 0,4 上单调递减，并且
f m a f 2 ，则实数m 的取值范围是（ ）
5
A． 3,1 B． , 3 1,
C． 3,1 3,5 D． 5, 3 1,3
【来源】安徽省阜阳市界首中学 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
【解析】：由题得1 a 4, a 5 .
因为在 0, 4 上单调递减，并且 f m 1 f 2 ，
4 m 1 4
所以 m 1 2 ，所以1 m 3或 5 m 3 .
故选：D
a x 1
9．已知偶函数 f x 的定义域为R ，当 x 0, 时， f x ，若 f 1 ，则
x 1 2
f x 1 1的解集为（ ）
1
A． ,
3
B
1 3
． ,
C ． ,
2 2 2 2
, 1 3D．
,
2 2
【来源】河北省秦皇岛市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
a 1 1
【解析】因为 f x 为偶函数，所以 f 1 f 1 ，解得 a 2 .
1 1 2
f x 2 x 1 3 1 在 0, 上单调递减，且 f 1 .x 1 x 1 2
1 1 3 1
因为 f x 1 1 f ，所以 x 1 ，解得 x 或 x .
2 2 2 2
故选：D
10 2．设奇函数 f x 在[ 1,1]上是增函数， f ( 1) 1．若函数 f x t 2at 1对所有
的 x [ 1,1]都成立，则当 a [ 1,1]时，t 的取值范围是（ ）
1 1
A． 2 t 2 B． t
2 2
1 1
C． t 2，或 t 0，或 t 2 D． t ，或 t 0，或 t
2 2
【来源】陕西省西安市长安区第一中学 2021-2022 学年高一下学期期中数学试题
【答案】C
【解析】因奇函数 f x 在[ 1,1]上是增函数， f ( 1) 1，则
f (x)max f (1) f ( 1) 1，
依题意， a [ 1,1]， t 2 2at 1 1 g(a) 2ta t 2 0恒成立，
g( 1) t 2 2t 0
则有 2 ，解得 t 2或 t 0或 t 2，
g(1) t 2t 0
所以 t 的取值范围是 t 2或 t 0或 t 2 .
故选：C
11．已知函数 f x 是定义在 ,0 0, 上的奇函数，且 f 1 0，若对于任意两
x x 0, f xx x 1 f x2 个实数 1， 2 且 1 2 ，不等式 0恒成立，则不等式 xf x 0x1 x2
的解集是（ ）
A． , 1 0,1 B． , 1 1,
C． 1,0 1, D． 1,0 0,1
【来源】湖北省新高考联考协作体 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】D
【解析】：由题可知， f (x) 在区间 (0, )上单调递减，
又 f (x) 为奇函数，则 f ( x) f (x) ，且 f ( 1) 0，故 f (1) 0，
设 g(x) xf (x)，则 g( x) xf ( x) xf (x) g(x)，故 g(x)为偶函数，
又 g(x)在区间 ( ,0)上单调递增，在区间 (0, )上单调递减，
又 g( 1) g(1) 0，所以 g(x) 0 的解集为 ( 1,0) (0,1)，
即 xf (x) 0的解集为 ( 1,0) (0,1) .
故选：D.
12．设函数 f x 的定义域为 R， f x 1 为奇函数， f x 2 为偶函数，当 x 1,2 时，
f (x) ax2 b．若 f 0 f 3 6 f 9 ，则 （2 ）
9 3 7 5
A． B． C． D．
4 2 4 2
【来源】北京一零一中学 2021-2022 学年高一下学期期末考试数学模拟试题（一）
【答案】D
【解析】因为 f x 1 是奇函数，所以 f x 1 f x 1 ①；
因为 f x 2 是偶函数，所以 f x 2 f x 2 ②．
令 x 1，由①得： f 0 f 2 4a b ，由②得： f 3 f 1 a b ，
因为 f 0 f 3 6，所以 4a b a b 6 a 2，
令 x 0，由①得： f 1 f 1 f 1 0 b 2，所以 f x 2x2 2．
思路一：从定义入手．
f 9 f 5 2
f
5 2 f 1
2 2 2
2
f 1 f 3 1 f 3 1
5
f
2 2 2 2
f 5 f
1 2 f 1 2 = f 3
2
2 2 2
所以 f
9 3 5
f
．
2 2 2
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 f x 的周期T 4．
f 9 f 1 f 3 5所以 2 2
．
2 2
故选：D．
二、多选题
13 2．已知函数 f x 是定义在R 上的偶函数，当 x 0 时， f x x 2x，则（ ）
A． f x 的最小值为 1 B． f x 在 2,0 上单调递减
C． f x 0 的解集为 2,2 D．存在实数 x 满足 f x 2 f x 0
【来源】广东省深圳市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】ACD
【解析】：函数 f (x) 是定义在R 上的偶函数，当 x 0时， f (x) x2 2x (x 1)2 1，
设 x 0 ，则 x 0 ，所以 f ( x) x2 2x，因为 f (x) 是偶函数，所以 f ( x) f (x) ，
x2 2x, x 0
所以 f (x) x2 2x，所以 f (x) x2
，
2x, x 0
函数图象如下所示：
可得 x 0时， f (x) 在 x 1时取得最小值 1，由偶函数的图象关于 y 轴对称，可得 f (x)
在R 上取得最小值 1，故 A 正确；
f (x) 在 ( , 1)上单调递减，在 ( 1,0) 上单调递增，故 B 错误；
x 0 x 0
由 x2 2x 0或
0 x 2 2 x 0 f x 0
x
2 2x 0，解得 或 ，综上可得 的解集为
2,2 ，故 C 正确；
由 f (0) 0， f 2 f 2 0，即存在实数 x 满足 f (x 2) f ( x) 0，故 D 正确；
故选：ACD．
14．已知函数 f x 为R 上的奇函数， g x f x 1 为偶函数，下列说法正确的有
（ ）
A． f x 图象关于直线 x 1对称 B． g 2023 0
C． g x 的最小正周期为 4 D．对任意 x R 都有 f 2 x f x
【来源】湖南省邵阳市第二中学 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】ABD
【解析】由 f x 的对称中心为 0,0 ，对称轴为 x 1，
则 f x 也关于直线 x 1对称且 f (x) f (2 x)，A、D 正确，
由 A 分析知： f (x) f (2 x) f ( x)，故 f (2 x) f (x)，
所以 f (4 x) f (2 x) f (x)，
所以 f x 的周期为 4，则 g 2023 f 2024 f 0 0，B 正确；
但不能说明 f x 最小正周期为 4，C 错误；
故选：ABD
四、解答题
15．已知函数 f (x) 对任意 x, y R ，都有 f (x y) f (x) f (y) 1，且当 x 0时， f (x) 1．
(1)求证： f (x) 在R 上是增函数；
(2)若关于 a 的方程 f (a2 7a 5) 2的一个实根是 1，求 f (6)的值；
(3)在（2）的条件下，已知m R ，解关于 x 的不等式 f (mx) f (x 2) 3．
【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】(1)证明见解析(2)3 (3)详见解析
【解析】(1)依题意 f (x y) f (x) f (y) 1，且 x 0时， f x 1，
令 x y 0 ，则 f 0 f 0 f 0 1, f 0 1，
f x x f x f x 1, f x f x 2，
任取 x1 x2， f x1 f x2 f x1 f x2 x1 x1
f x1 f x2 x1 f x1 1 f x2 x1 1，
由于 x2 x1 0，所以 f x2 x1 1，
所以 f x1 f x2 0, f x1 f x2 ，所以 f x 在R 上递增.
(2)
由（1）知， f x 在R 上递增，
f 12 7 5 f 3 2 ，
f 6 f 3 3 f 3 f 3 1 3 .
(3)
依题意 f (x y) f (x) f (y) 1， f x 在R 上递增， f (mx) f (x 2) 3 .
f (mx) f (x 2) 1 2， f mx x 2 2, f mx x 2 f 3 ，
mx x 2 3, m 1 x 5，
当m 1时，不等式的解集为空集.
5
当m 1 时，不等式的解集为 x | x m 1 .
x | x 5 当m 1时，不等式的解集为 .
m 1
16．已知函数 f (x) x 2， g(x) x2 mx 4（m R）．
(1)当m 4 时，求不等式 g(x) f (x) 的解集；
(2)若对任意 x R ，不等式 g(x) f (x) 恒成立，求m 的取值范围；
(3)若对任意 x1 [1,2]，存在 x2 4,5 ，使得 g(x1) f (x2 )，求m 的取值范围．
【来源】北京市朝阳区 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
5
【答案】(1){x | x 2或 x 3}(2) ( 2 6 1,2 6 1) (3) , 2 2 2
(1)当m 4 时，由 x2 4x 4 x 2得 x2 5x 6 0 ，
即 (x 3)(x 2) 0 ，解得 x 2 或 x 3．
所以不等式 g(x) f (x) 的解集为{x | x 2或 x 3}．
(2)由 g(x) f (x) 得 x2 mx 4 x 2，
即不等式 x2 (m 1)x 6 0的解集是 R ．
所以 (m 1)2 24 0，解得 2 6 1 m 2 6 1．
所以m 的取值范围是 ( 2 6 1,2 6 1) ．
(3)当 x2 4,5 时， f x2 x2 2 2,3 ．
2
又 g(x) m m x2 mx 4 (x )2 4 ．
2 4
m
①当 1，即m 2时，
2
对任意 x1 [1,2]， g(x1) [5 m,8 2m] [2,3]．
m 2
所以 5 m 2 ，此时不等式组无解，
8 2m 3
②当1
m 3
，即 2 m 3时，
2 2
2
对任意 x1 [1,2]， g(x1) [4
m
,8 2m] [2,3]．
4
2 < ≤ 3,
2 5
所以 4 ≥ 2,解得 m 2 2 ，
4
8 2 ≤ 3, 2
3 m
③当 2，即3 m 4时，
2 2
m2
对任意 x1 [1,2]， g(x1) [4 ,5 m] [2,3]．4
3 m 4,
m2
所以 4 2,此时不等式组无解，
4
5 m 3,
m
④当 2，即m≥4 时，
2
对任意 x1 [1,2]， g(x1) [8 2m,5 m] [2,3]．
m 4
所以 8 2m 2 此时不等式组无解．
5 m 3
5
综上，实数m 的取值范围是 , 2 2 2 ．
一、单选题
1．若函数 y f x 在R 上单调递增，且 f 2m 3 f m ，则实数m 的取值范围是
（ ）
A． , 1 B． 1, C． 1, D． ,1
2．设函数 f x 是奇函数，在 0, 内是增函数，又 f 3 0，则 xf x 0的解集是
（ ）
A． x 3 x 0或 x 3 B． x x 3或0 x 3
C． x x 3或 x 3 D． x 3 x 0或0 x 3
x2 ax
a
, x 1
3．若函数 f x 2 在R 上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
2a 2 x 5, x 1
8 8
A ． 1, B． 1, C． 1,2 D． 1,2 5 5
4．已知函数 f x 的定义域为R ， f x 2 为奇函数， f 2x 1 为偶函数，则函数 f x
的周期是（ ）
A． 2 B．3 C． 4 D．5
5．若定义在R 上的函数 f (x) 满足 x R, f (x) f (2 x) 0 ，函数 f (x) 在 ( ,1)上单调递
减且 f (5) 0，则满足 xf (x 2) 0 的实数 x 的取值范围是（ ）
A．[ 1,3] [7, ) B．[ 7, 1] [0,3]
C．[ 1，0] [3, ) D．[ 1,0] [3,7]
6．定义在 R 上的偶函数 f (x) 在 ,0 上单调递增，且 f 1 0，则 xf (x) 0的解集是
（ ）
A． , 1 0,1 B． 1,1
C． , 1 0,1 D． 1,0 0,1
7．已知函数 f x x2 3x, g x 2x 1 ,对任意 x1 1,2 ，存在 x2 1,3 ，使得x 1
mf x1 m2 g x2 ，则实数m 的取值范围为（ ）
8
A
9
． ,0 B． , 5 2
4,0 9C． D． ,0
2
8．若函数 f x =x2 ax b在区间[0,1]上的最大值是 M,最小值是 m,则M m的值
A．与 a 有关，且与 b 有关 B．与 a 有关，但与 b 无关
C．与 a 无关，且与 b 无关 D．与 a 无关，但与 b 有关
1
9．已知 f x 是定义域为 ，0 0，+ 的奇函数，函数 g x f x ，
x
f
f 1 1 x1 f x x 2，当 2 x1 0 时，不等式 0恒成立，则下列选项正确的是x1 x2
（ ）
A． f x 在 0， 是增函数 B． g x 在 ，0 是增函数
C．不等式 g x 0的解集为 ， 1 0，1 D．函数 g x 只有一个零点
10．已知定义域为R 的偶函数 f x 在 ,0 上单调递减，且 f 2 0 ，则满足 xf x 0
的 x 取值范围是（ ）
A． , 2 2, B． 2,2
C． 2,0 0,2 D． 2,0 2,
11．已知函数 f x 的定义域为 R ，且 f 2x 1 是偶函数， f x 1 是奇函数，则下列命
题正确的个数是（ ）
① f x f x 16 ；② f 11 0；③ f 2022 f 0 ；④ f 2021 f 3 .
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知函数 f (x2 1) 2 x2 x ，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数 f x 是单调增函数
B．函数 f x 的值域为 0,2
C．函数 f x 为偶函数
D．函数 f x 的定义域为 1,3
13．若 f x
f x f x
是偶函数，且 x1、 x2 0, 1 2都有 0，若 f 2 1，则不x1 x2
等式 f x 1 1 0的解集为（ ）
A． x x 1或 3 x 0 B． x x 1或 x 3
C． x x 1或0 x 3 D． x 1 x 3
14．函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，下列说法① f 0 0；
②若 f x 在 0, 上有最小值 1，则 f x 在 ,0 上有最大值1；
③若 f x 在 1, 上为增函数，则 f x 在 , 1 上为减函数．
其中正确的个数是（ ）
A． 0 B．1 C． 2 D．3
25
15．若函数 y x2
3x 4 的定义域为 0,m ，值域为 , 4 ，则m 的取值范围是 4
（ ）
A 0, 4 3 ,4 3 ,3 3B C D , ． ． ． ． 2 2 2
16．已知函数 f x 的定义域是 0， ，且满足 f xy f x f y f 1 ， 2 1，如果
对于0 x y，都有 f x f y ，不等式 f x f 3 x 2的解集为 （ ）
A． 1，0 3 4 1 1 ， B． ， C． 4， 3 D． 1，0 2
二、多选题
17．已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，当 x 0 时， f x 单调递减，则（ ）
A． f 0 0 B．当 x 0 时， f x 单调递减
C．当 x 0 时， f x 0 D． x R ， xf x 0
18．已知定义在R 上的函数 f x 满足： f x 关于 0,0 中心对称， f x 关于 x 1对称，
f 3 且 1.则下列选项中说法正确的有（2 ）
A． f x 为奇函数 B． f x 周期为 2
9
C f ． 1 D． f x 2 是奇函数
2
19．已知定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f x 4 f x f 2 ，且在区间[0，2]上是增
函数，则下列说法正确的是（ ）
A．4 是函数 f (x) 的一个周期
B．直线 x 4，是函数 f (x) 的一条对称轴
C．函数 f (x) 在区间[ 6, 5)上单调递增
D．函数 f (x) 在区间[ 2,98]上有 26 个零点
20．若函数 f x 1 x R 是奇函数， g x x f x 是奇函数，则下列选项一定正确
的是（ ）
A．函数 f x 图象关于点 1,0 对称 B．函数 f x 的周期为 1
C． f 2021 0 D． f 2022 0
21．已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时 f x x2 2x，则（ ）
A． f x 的最小值为-1
B． f x 在 2,0 上单调递减
C． f x 0的解集为 , 2 2,
D．存在实数 x 满足 f x 2 f x 0
x, 0 x 1
22．已知 y f (x)
是周期为 4 的奇函数，且当0 x 2时， f x
2 x, 1
，设
x 2
g(x) f (x) f (x 1)，则（ ）
A． g(2022) 1 B．函数 y g(x) 为周期函数
C．函数 y g(x) 在区间 (6,7)上单调递减 D．函数 y g(x) 的图象既有对称轴又有
对称中心
三、填空题
23．已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足：函数 f (x 1)的图象关于点 (1,0)中心对称，函数
f (x 1) 3 9 是偶函数，且 f 2
1，则 f _________.
2
24．对 x R ，函数 f x 满足 f 1 x f x 1 ， f x 4 f x 0 .当 0 x 1时，
f x 1 5 1 x2 . a f b f c f 2023 设 ， ， 4 ，则
a，b ， c的大小关系为
2 3
____________
25．函数 f x x2 2 x ，若 f 2m 1 f 3 ，则实数 m 的取值范围是____________．
x2 2tx t 2 , x 0
26．已知函数 f x 1 ，若 f 0 是 f x 的最大值，则实数 t 的取值
x t, x 0 x
范围是______．
27．已知定义在 (0, )上的函数 f (x) 满足 f (xy) f (x) f (y) ，当 x 1时， f (x) 0，
且 f (2) 2，则不等式 f (x 2) f (x 4) 8 0的解集为___________.
四、解答题
28．定义在 0， 上的函数 f x 满足下面三个条件：
① 对任意正数 a，b ，都有 f a f b f ab ；② 当 x 1时， f x 0 ；③
f 2 1
(1)求 f 1 和 f 1 的值；
4
(2)试用单调性定义证明：函数 f x 在 0， 上是减函数；
(3) 3 2求满足 f 4x 12x 2 f 18x 的 x 的取值集合．
29．已知函数 g x 2 x 2 x 1 .
(1)求函数 g x 的解析式；
g x 2x
(2)设 f x ，若存在 x 2,3 使 f x kx 0成立，求实数 k 的取值范围.
x
2
30 x．已知函数 f x
x2 1
(1)证明： f x 为偶函数；
(2)判断 g x f x x的单调性并用定义证明；
(3)解不等式 f x f x 2 2x 2
31．已知函数 f x 的定义域为 0, ，且对一切m 0， n 0，都有
f m f m f n 2 ，当 x 1时，总有 f x 2 .
n
(1)求 f 1 的值；
(2)证明： f x 是定义域上的减函数；
(3)若 f 4 1，解不等式 f x 2 f 8 2x 1 .
32．已知定义在 R 上的偶函数 f (x) ，当 x 0 时， f (x) x2 4x 3．
(1)求函数 f (x) 在 R 上的解析式；
(2)若函数 f (x) 在区间 1，a 2 上单调递增，求实数 a的取值范围．
33．已知函数 f x 为定义在 3,3 上的奇函数．
(1)若当 x 0,3 3 x时， f x x 2 1，求 f x 在 3,3 上的解析式；
(2)若 f x 在 0,3 上单调递增， g x f x ，且 g 3 m g m 2 ，求实数 m 的取值
范围．．
f (x) x m34．已知函数 2 是定义在[ 1,1]
1
上的奇函数，且 f (1) .
nx 1 2
(1)求m ， n的值；
(2)判断 f (x) 在[ 1,1]上的单调性，并用定义证明；
(3)设 g(x) kx 5 2k ，若对任意的 x1 [ 1,1]，总存在 x2 [0,1]，使得 f (x1) g(x2 )成立，
求实数 k 的取值范围.
