第六节 一元二次方程的应用[上学期]

课件42张PPT。一元二次方程应用一元二次方程应用题（一）教学目标：
1、会列一元二次方程解应用题;
2、进一步掌握解应用题的步骤和关键;
3、通过一题多解使学生体会列方程的实质， 培养灵活处理问题的能力.
重点：列方程解应用题.
难点：会用含未知数的代数式表示题目里的中 间量（简称关系式）；会根据所设的不 同意义的未知数，列出相应的方程。一、复习 解一元一次方程应用题的一般步骤？
第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；
第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；
第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；
第四步：解这个方程，求出未知数的值；
第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）。二、新课1、在三位数345中，3，4，5是这个三位数的什么？
2、如果a ,b ,c 分别表示百位数字、十位数字、个位数字，这个三位数能不能写成abc形式？为什么？注意：检验这一步，作业上虽可不写出，但不要忽略这一步.例1、两个连续奇数的积是323，求这两个数。解一元二次方程的应用题的步骤与解一元一次方程应用题的步骤一样。　解：设较小的一个奇数为x，则另一个为x+2, 根据题意得：x(x+2)=323
整理后得：x2+2x-323=0
解这个方程得：x1=17 x2=-19
由x1=17 得：x+2=19
由 x2=-19 得：x+2=-17
答：这两个数奇数是17，19，或者-19，-17。问：如果设这两个数奇数中较小的一个为x-1, 另一个为x+1,这道题该怎么解？例2、有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。解：设原来的两位数的个位数为x,则十位上的数为8-x，根据题意得：
［10（8-x）+x］［10x+(8-x)］=1855
整理后得： x2-8x+15=0
解这个方程得：x1=3 x2=5
答：原来的两位数为35或53.例3、有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。解：设个位上的数为x,则十位上的数为 x+3,根据题意得：
10(x+3)+x-2x(x+3)=5
解得： x1=5 x2=- 5/2（舍去）
∴ x+3=8
答：所求两位数为85.三、课堂练习：
1、两个连续整数的积是210，则这两个 数是 。2、已知两个数的和等于12，积等于32，则这两个数是 。4、三个连续整数两两相乘后，再求和，得362，求这三个数。3、一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a ,高位上的三个数是b，现将a，b互换，得到的六位数是_____________。14，15或 -4，-154，81000a+b7、有两个数，一个是两位数，另一个是一位数，其中的两位数是这个一位数的平方，如果把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个一位数与两位数。6、一个两位数等于它个位上的数的平方,个位上的数比十位上的数大3，求这个两位数。5、求x:(x-1)=(x+2):3中的x.例4、一个容器盛满纯药液20升，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的升数，再用水加满，这时容器内剩下的纯药液为5升，问每次倒出的药液为多少升？提示: 设每次倒出的药液是x升，则第一次倒出的纯药液是x升，再用水加满后，第二次倒出的药液中含有纯药液 升。练习：
1、浓度为m% 的盐酸n千克，含纯盐酸---------
千克；若再加p千克水，此时浓度 。mn% %2、将一升水加入到硫酸和水的混合液中，
得到新的混合液含硫酸20%，再将一升硫酸
加入到新的混合液中，如果使混合液含硫酸
%，在原混合液中含硫酸的百分 。 25%四、小结：
1.连续整数，后一个数比前一个数多1, 连续奇数或偶数，后一个数比前一个数多2。
2．三位数的表示方法：
三位数=百位数×100 + 十位数×10 + 个位数
其余以此类推。 五、作业：P42 1. 2. P67 11.
补充：
3.有三个连续正整数，最大数的立方与最小数的立方的差比中间数的40倍大16，求这三个数。
4.已知三个连续奇数，它们的平方和等于２５１，求这三个奇数。复习：列方程解应用题有哪些步骤？
对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。
上一节，我们学习了解决“数字问题”，今天，我们要学习解决“面积、体积问题。一元二次方程应用（二）面积、体积问题例1、用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.整理后，得x2-11x+30=0
解这个方程，得x1=5,x2=6(与题设不符，舍去)答：这个矩形的长是6cm，宽是5cm。由x1=5得由x2=6，得解：设这个矩形的长为xcm，则宽为 （cm）.
根据题意，得例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。解法一、
如图，设道路的宽为x米，32x 米2纵向的路面面积为 。20x 米2注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2化简得，其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.
取x=2时，道路总面积为： =100 (米2)答：所求道路的宽为2米。解法二：
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）横向路面 ，如图，设路宽为x米，32x 米2纵向路面面积为 。20x 米2耕地矩形的长（横向）为 ，耕地矩形的宽（纵向） 。相等关系是：耕地长×耕地宽=540米2(20-x) 米（32-x) 米即化简得：再往下的计算、格式书写与解法1相同。例3、建造成一个长方体形的水池，原计划水池深3米，水池周围为1400米，经过研讨，修改原方案，要把长与宽两边都增加原方案中的宽的2倍，于是新方案的水池容积为270万米3,求原来方案的水池的长与宽各是多少米？原方案新方案练习：1、如图ABC是一根垂直于地面的木杆，AB=2米，AD=3米，在B处有甲、乙两只猴子，D处有一堆食物，甲猴由B往下爬到A处再从地面直奔D处，乙猴则向上爬到木杆顶C处，从C处腾空直扑到D处，如果两猴所经过的距离相等，问木杆顶点C离地有多高？小结：1、关于面积、体积的问题，应尽可能画图，借助直观形象，帮助寻找思路。
2、图形的割、补、移动，是解决面积、体积问题的常用技法。2、某林场修建一条断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6米2，上口宽比渠深多2米，渠底宽比渠深多0.4米，。求渠道的上口宽与渠底宽各是多少？3、要做一个容积是750cm3，高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，求底面的长及宽应该各是多少？4、如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向，一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地分成大小相等的六块试验地，要使试验地面积为570m2，问道路的宽为多少？5、甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B,C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲、乙两人的速度分别为1千米/分及2千米/分，若正方形周长为40千米，问几分钟后，两人相距 千米？ 6、如图?ABC的边BC=8cm,高AM =6cm.长方形DEFG的一边EF落在BC上，顶点D、G分别落在边AB和AC上。如果这长方形面积为12cm2,试求这长方形的边长。 解：如图，设这长方形一边长为xcm,
由题意可得
∴ DG =
∴ x· =12
整理得: x2－6x+9=0
∴ x=3,DG= =4
答：这长方形的两边长分别为3cm和4cm.xxx6－x小结：列方程解应用题的步骤是：
1、仔细了解题意及有关的事物的概念
2、找题中给出的等量关系和隐含的等量关系。
3、选设未知数，并用含这个未知数的代数式表示其他未知量（这种代数式叫做关系式）
4、利用未曾用过的等量关系列方程
5、解方程
6、检验得数是否符合题意，然后做答作业：P42 A组 6. 7. P43 B组 1. 2.教学目标：
1、使学生会用列一元二次方程解有关增长
率的应 用问题。
2、培养学生分析问题和解决问题的能力。
教学重点：弄懂有关增长率的知识与数量关
系的公式。
教学难点：推导出逐年的实际产值。一元二次方程应用（三）增长率问题一.复习填空:
1、某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产 个？
增长率是多少 。
2、银行的某种储蓄的年利率为6%，小民存
1000元，存满一年，利息= 。
存满一年连本带利的钱数是 。20020%1060元利息= 本金×利率 增长量=原产量× 增长率60元4.康佳生产一种新彩霸,第一个月生产了5000台,第二个月增产了50%,则:第二个月比第一个月增加了 _______ 台,第二个月生产了 ___________ 台;
5. 康佳生产一种新彩霸,第一个月生产了5000台,第二个月增产到150%,则:第二个月生产了 ________ 台;第二个月比第一个月增加了___________ 台, 增长率是________;5000×50%5000(1+50%)5000×150%5000 (150% - 1)50%3.某产品，原来每件的成本价是500元，若每件售价625元，则每件利润是 .每件利润率是 .利润=成本价×利润率125元25%二.新课
例1.某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月增长的百分率是多少?分析:则2月份比一月份增产____________ 吨.
2月份的产量是 _______________吨
3月份比2月份增产____________ 吨
3月份的产量是 ____________ 吨5000(1+x)5000x5000(1+x)x5000(1+x)2解:平均每个月增长的百分率为x
列方程 5000(1+x)2 =7200
化简 (1+ x)2 =1.44 x1=0.2 x2=-2.2
检验: x2= -2.2(不合题意), x1=0.2 =20%
答:平均每个月增长的百分率是20%.例2:某种药品,原来每盒售价96元,由于两次降价,现在每盒售价54元,平均每次降价百分之几?总结:1.两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2
若原来量为a,平均增长率是x,增长后的量为A
则 第1次增长后的量是A=a(1+x)
第2次增长后的量是A=a(1+x)2
……
第n次增长后的量是A=a(1+x)n
这就是重要的增长率公式.2.两次降价后价格=原价格(1-降价率)2
公式表示：A=a(1-x)2练习：
1、为了有效地控制沙尘暴等恶劣天气对人类生存环境的破坏,我国北方某地决定加快植树造林的速度，计划用两年时间将防风林的面积扩大21﹪ ，求每年的平均增长率.第2次债券的钱数为_________________ 元第2次期满后本息和为_______________________ 元例3， 李立购买了1500元的债券,定期1年,到期兑换后他用去了435元,然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年(利率不变),再到期后他兑换得到1308元.求这种债券的年利率.解:设年利率为x.则
第1年后的利息为__________ 元
1年后本息和为 ____________ 元1500x1500(1+x)1500(1+x)-435[1500(1+x)-435](1+x) 方程 [1500(1+x)-435](1+x)=1308
整理 1500x2+2565x-243=0 x=0.09 x= -27/15(舍去)
检验: x=9%符合题意
答:略例4, 某科技公司研制成功一种产品,决定向银行贷款200万元资金用于这种产品,签定的合同上约定两年到期一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后,由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元.该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,求这个百分数？解：设这个百分数为x，依题意得：
200(1 + x)2 = 72 + 200(1 + 8%)
(1 + x)2 = 1.44 即 1 + x = ±1.2 ,
则 x1 = 0.2 , x2 = - 2.2 (不合题意，舍去.）利息为本金的8%,四川省中考题练习：
2、某人想把10000元钱存入银行，存两年。一年期定期年利率6%,两年期定期年利率为6.2%.哪一种存款更划算？ 注：一年期存两年与两年期存款的本息和的计算公式是不一样的。前者是m(1+a1)2,后者是m(1+2a2).请同学们注意！ 拓展思维：
1、 某企业1999年初投资100万元生产适销对路的产品，1999年底将获得的利润与年初的投资的和作为2000年初的投资。到2000年底，两年共获利润56万元。已知2000年的年获利率比1999年的年获利率多10个百分点（即2000年的年获利率是1999年的年获利率与10%的和）。求1999年和2000年的年获利率各多少？河南省中考题2、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。若每件商品售价为a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%。商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品应售价多少元？每件商品售价为a元，则可卖出(350-10a)件若每件商品售价为x元，则可卖出(350-10x)件则有 (x-21)(350-10x)=400思考： 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售出2件。
(1) 若商场平均每天要盈利1200元,每件
衬衫应降价多少元？
(2) 每件衬衫降价多少元时，商场每天盈
利最多？总结:1.若原来量为a,平均增长率是x,增长后的
量为A，则 A=a(1+x)2
第n次增长后的量是A=a(1+x)n2.两次降价后价格=原价格(1-降价率)2
A=a(1-x)23.弄清增长率、增长量与原产量间的关系.
4.数学源于生活,而又用于生活,类似经济问
题可转化为数学问题来解决。这类题是近
年来各省市中考的热点.作业： P42 8 . 补充:重难点p25(6-8)