第六章 数据的分析
回顾与思考
山西太原第39中学 贾燕军
【学习目标】
1．能说出并掌握算术平均数、加权平均数的概念，会求一组数据的算术平均数和加权平均数。
2．能说出中位数、众数的定义，会求一组数据的中位数、众数；体会平均数、中位数、众数三者的差别；
3． 了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、方差、标准差；能借助计算器求出相应的数值，并在具体问题情境中加以应用。
4. 能从各类统计图中获取数据，初步选取恰当的数据代表作为自己的判断，通过实例体会用样本估计总体的思想。
【学习过程】
活动1：知识梳理
1．刻画数据“平均水平”的统计量有哪些？
2．平均数、中位数和众数各有什么特点？举出生活中与平均数、中位数、众数有关的几个例子。
3．举出生活中与加权平均数有关的几个例子，并说明算术平均数和加权平均数的区别和联系。
4．刻画数据波动的统计量有哪些？举例说明。
6．如何从统计图上直观地估计出相应的统计量，举例说明。
7．用适当的方式整理并呈现本章有关知识，并进行班级交流。
学习链接
活动2：典型例析
1.某校八年级(6)班分甲、乙两组各10名学生进行数学抢答，共有10道选择题，答对8道题(包含8道题)以上为优秀，各组选手答对题数统计如下表：
答对题数
5
6
7
8
9
10
平均数
众数
中位数
方差
优秀率
甲组选手
1
0
1
5
2
1
8
8
8
1.6
80%
乙组选手
0
0
4
3
2
1
(1)补全上表；
(2)根据所学的统计知识，评价甲、乙两组选手的成绩.
2.（1）三个小组，每组有20人，关于一道满分为4分的题目，三个小组的得分情况如下表。通过估计，比较三个小组得分的平均数和方差的大小。
（2）具体算一算，看看自己的估计结果是否正确。
（3）小明发现，这三个图中“柱子的高度”总是1、2、3、6、8，只是排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化。请你尝试将这些“柱子”重新排列，通过不断尝试，你觉得“柱子”怎样排列，可以使平均数最大？怎样排列，可以使方差最小？
3.（1）计算下面数据的平均数和方差：5,4,4,3,4.
（2）若将上述数据均加上2，得到一组新的数据：7,6,6,5,6，求这组新数据的平均数和方差。
（3）若将原数据均减去3，得到一组新的数据：2,1，1,0,1，求这组新数据的平均数和方差。
（4）比较上述各组数据的变化和对应的平均数、方差，你得出什么结论？
反思。交流
4.在学习中，运用过这样的结论解决过什么问题吗？举例说明，并与同伴交流。
活动3：自主反馈
1.甲、乙两位同学本学年每个单元的测验成绩如下（单位：分）：
甲：98，100，100，90，96，91，89，99，100，100，93
乙：98，99，96，94，95，92，92，98，96，99，97
（1）他们的平均成绩分别是多少？
（2）甲、乙的11次单元测验成绩的标准差分别是多少？
（3）这两位同学的成绩各有什么特点？
（4）现要从中选出一人参加“希望杯”竞赛，历届比赛成绩表明，平时成绩达到98分以上才可能进入决赛，你认为应选谁参加这项竞赛，为什么？
【学习链接】
自主反馈参考答案
解：（1）甲＝×（98＋100＋100＋90＋96＋91＋89＋99＋100＋100＋93）＝96
乙＝×（98＋99＋96＋94＋95＋92＋92＋98＋96＋99＋97）＝96
（2）s2甲＝×［（98－96）2＋（100－96）2＋…＋（93－96）2］＝17.82
∴s甲＝4.221
s2乙＝×［（98－96）2＋（99－96）2＋…＋（97－96）2］＝5.817
∴s乙＝2.412
（3）乙较甲稳定，甲虽然状态不稳定，但发挥好时成绩比乙优秀．
（4）选甲去，甲比乙更有可能达到98分．
第六章 数据的分析
回顾与思考
西安西北工业大学附中 许盈
一、学生情况分析
学生的知识技能基础：经过本章的学习，学生已掌握了一定的数据处理的方法，会用笔或计算器求一组数据的平均数、中位数和众数，能利用它们解决一些实际问题，并能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的评判。
学生活动经验基础：学生在本章的学习活动中，解决了一些相关的实际问题，获得了从事统计活动所必须的数学方法，形成了动手实践、自主探索、合作交流的学习方式，积累了一些数学探究活动的经验。
二、教学任务分析
本节课的教学任务是：整理归纳本章所学的知识，形成知识网络结构；会用计算器准确地求出一组数据的平均数、中位数和众数，能选择恰当的数据代表对数据作出评判；培养综合运用统计知识解决实际问题的能力，达成有关的情感态度目标。为此，本节课的教学目标是：
1. 知识与技能：会用计算器准确地求出一组数据的平均数、中位数和众数。了解平均数、中位数和众数的差别，能选择恰当的数据代表对数据作出评判，并解决实际问题。
2. 过程与方法：初步经历调查、统计、分析、研讨等活动过程，在活动发展学生综合运用统计知识解决实际问题的能力。
3. 情感与态度：通过本章内容的回顾与思考，培养学生整理归纳知识的方法，逐步养成勤于思考、善于总结的好习惯。
三、教学过程设计
本节课设计了五个教学环节：第一环节：归纳知识结构；第二环节：回顾重点内容；第三环节：综合运用提高；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业。
第一环节：归纳知识结构
内容：本章内容已全部学完，请大家回忆一下，这一章学了哪些内容？这些内容之间有什么联系呢？
留出时间让学生思考、交流、梳理知识，然后师生共同归纳总结出如下知识结构图：
目的：引导学生将所学的知识整理归纳，总结出知识结构图，形成知识系统。帮助学生掌握正确的学习方法，养成良好的学习习惯。
注意事项：以上知识的归纳总结要以学生为主体来完成，教师不要包办代替。
第二环节：回顾重点内容
内容：引导学生根据知识结构图，把重点知识内容再回顾一下：
1. 平均数、中位数、众数的概念及举例
一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，我们把（x1＋x2＋…＋xn），叫做这n个数的算术平均数，简称平均数。
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两
个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
2. 平均数、中位数、众数的特征
（1）平均数、中位数、众数都是表示一组数据“平均水平”的特征数。
（2）平均数能充分利用数据提供的信息，在生活中较为常用，但它容易受极端数字的影响，且计算较繁。
（3）中位数的计算简单，受极端数字影响较小，但不能充分利用所有数字的信息。当一组数据中个别数据变动较大时，可选择中位数来表示这组数据的“集中趋势”。
（4）众数的可靠性较差，它不受极端数据的影响，求法简便。当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数是我们关心的一种统计量。
3. 算术平均数和加权平均数的联系与区别及举例
算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数。
4. 加权平均数中权的差异对平均数的影响及举例
在实际问题中，一组数据里的各个数据的权未必相同，权的差异对平均数的影响较大。加权平均数中，由于权的不同，会导致结果的差异。
目的：帮助学生进一步掌握本章的重点知识内容，并会结合实例说明，从而夯实“双基”。
注意事项：在重点知识的回顾中，应注重理论联系实际，重视学生的举例，关注学生所举例子的合理性、科学性和创造性等，并据此评价学生对知识的理解水平和学习的情感态度，使他们具有：一双能用数学视角观察世界的眼睛；一个能用数学思维思考世界的头脑。
第三环节：综合运用提高
内容：1. 从一批零件毛坯中抽取10件，称得它们的质量如下（单位：克）：
400.0 400.3 401.2 398.9 399.8
399.8 400.0 400.5 399.7 399.8
利用计算器求出这10个零件的平均质量。
2. 某校规定：学生的平时作业、期中练习、期末考试三项成绩分别按40%、20%、40%的比例计入学期总评成绩，小亮的平时作业、期中练习、期末考试的数学成绩依次为90分，92分，85分，小亮这学期的数学总评成绩是多少？
3. 某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售量，统计了这15人某月的销售量如下：
每人销售件数
1800
510
250
210
150
120
人 数
1
1
3
5
3
2
（1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；
（2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售量定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售量，并说明理由。
4.下图反映了甲、乙两班学生的体育成绩。
（1）不用计算，根据条形统计图，你能判断哪个班级学生的体育成绩好一些吗？
（2）你能从图中观察出各班学生体育成绩等级的“众数”吗？
（3）如果依次将不及格、及格、中、良好、优秀记为55分、65分、75分、85分、95分，分别估计一下，甲、乙两班学生体育成绩的平均值大致是多少？算一算看你的估计结果怎么样？
（4）甲班学生体育成绩的平均数、中位数和众数有什么关系？你能说说其中的道理吗？你还能写出几组数据也适合这一规律吗？
目的：以上四道题目呈阶梯状，由浅入深，由单一到综合。第1、2题分别考查学生对算术平均数、加权平均数和计算器的掌握情况；第3题通过表格信息，让学生计算平均数、中位数和众数，体会这三者在具体情境中的意义和区别，并能根据数据信息作出评判和决策；第4题综合了课本复习题的最后两题，旨在巩固学生对统计图信息的识别和判断能力，运用数据的代表—平均数和众数说明实际问题，初步体会平均数、中位数和众数三者的“对称”关系，提高学生的估计能力和综合运用知识解决实际问题的能力，培养创新意识。
注意事项：依据题目的层次，第1、2题和第3题的（1）问可让学生先独立笔答完成后，教师再讲评；第3题的（2）问和第4题具有开放性，特别是第4题内涵丰富，要让学生展开思维，充分讨论，在合作交流中共同提高，教师对此要作出及时的评价。
对本章知识技能的评价，应当更多地关注数据的代表在不同的实际问题情境中的意义和应用，而不要过于关注其具体运算的熟练程度。
第四环节：课堂小结
内容：1. 本章知识结构和重点内容。
2. 综合运用统计知识解决实际问题。
3. 整理归纳知识的方法，勤于思考、善于总结的好习惯。
目的：围绕本节课的教学目标，进行知识、方法、能力、习惯全方位的小结，目的是为了学生的全面发展。
注意事项：课堂小结可由教师提纲挈领、画龙点睛式地完成。
第五环节：布置作业
1. 课本本章复习题。
2. 在数学成长本上进行本章的小结与反思。
四、教学反思
1. 华罗庚教授说：读书要从薄到厚，又从厚到薄。复习重在从厚到薄。每一章的复习要把全章的知识分成块，整理成知识网络，形成知识系统，并加以综合运用，其中采用树图、表格、习题组等技术措施复习是有效的，本节课在这方面做了一些尝试。
2. 一般复习课的容量比较大，一方面要让充分学生思考和交流，积极发挥其主体作用；另一方面教师作为组织者和引导者，要主次分明，把握好教学的节奏，提高课堂效率。
3. 复习课不仅仅是知识的小结及运用，而且更重要的是学习方法、能力和习惯的培养，关注学生的可持续发展，这一点对于学生的终身学习是有益的。
课件18张PPT。第六章 数据的分析回顾与思考
西安西北工业大学附中
许 盈
知识网络结构1.平均数、中位数、众数的概念及举例 一般地，对于 n 个数 x1，x2，…，xn，我们把(x1+x2+…+xn)÷n叫做这n个数的算术平均数，简称平均数。 一般地，n 个数据按大小顺序排列，处于最中间 位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数 ）叫做这组数据的中位数。 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。2.平均数、中位数、众数的特征 平均数能充分利用数据提供的信息，在生活中较为常用，但它容易受极端
数字的影响，且计算较繁。 平均数、中位数、众数 都是表示
一组数据“平均水平”的特征数。 中位数的计算简单，受极端数字影响较小，但不能充分利用所有数字的信息。当一组数据中个别数据变动较大时，可选择中位数来表示这组数据的“集中趋势”。 众数的可靠性较差，它不受极端数据的影响，求法简便。当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数是我们关心的一种统计量。3.算术平均数和加权平均数的联系与区别及举例 算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数。4.加权平均数中权的差异对平均数的
影响及举例 在实际问题中，一组数据里的各个数据的权未必相同，权的差异对平均数的影响较大。加权平均数中，由于权的不同，会导致结果的差异。1.从一批零件毛坯中抽取10件，称得
它们的质量如下（单位：克）：
400.0 400.3 401.2 398.9 399.8
399.8 400.0 400.5 399.7 399.8
利用计算器求出这10个零件的平均质量。 答案：400.0克。2.某校规定：学生的平时作业、期中
练习、期末考试三项成绩分别按40%、20%、40%的比例计入学期总评成绩，
小亮的平时作业、期中练习、期末考
试的数学成绩依次为90分，92分，85
分，小亮这学期数学总评成绩是多少？答案：88.4分。3. 某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售量，统计了这15人某月的销售量如下： (1)求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；
(2)假设销售部负责人把每位营销员的月销售量定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的月销售量，并说明理由。解:(1)平均数为320件，中位数为210件，众数为210件。 (2)由(1)可知平均数比中位数和众数都多110件，这是因为计算平均数时受到两个极端值（1800件和510件）的影响，导致了平均数偏离 “平均水平” 较大，所以把每位营销员的月销售量定为320件是不合理的。
把每位营销员的月销售量定为210件较合理，一是因为210件是这15人月销售量的中位数和众数；二是由表知这15人中有10人的月销售量不超过210件。甲班学生人数乙班学生人数4.下图反映了甲、乙两班学生的体育成绩： (1)不用计算，根据条形统计图，你能判断哪个班级学生的体育成绩好一些吗？
(2)你能从图中观察出各班学生体育成绩等级的“众数”吗？甲班学生人数4.下图反映了甲、乙两班学生的体育成绩： 乙班学生人数(3)如果依次将不及格、及格、中、良好、优秀记为55分、65分、75分、85分、95分，分别估计一下，甲、乙两班学生体育成绩的平均值大致是多少？算一算看你的估计结果怎么样？乙班学生人数(4)甲班学生体育成绩的平均数、中位数和众数有什么关系？你能说说其中的道理吗？你还能写出几组数据适合这一规律吗？甲班学生人数4.下图反映了甲、乙两班学生的体育成绩： 解:(1)乙班学生的体育成绩好些。
因为两班成绩等级为“中”和“及格”的学生数分别相等，而乙班成绩等级为“优秀”和“良好”的学生数比甲班多，“不及格”的学生数比甲班少。(2) 两个班学生体育成绩等级的众数均为“中”。(3)甲班学生体育平均成绩为75分，乙班学生体育平均成绩为78分.(4)甲班学生体育成绩的平均数、中位数和众数相等。因为从图中可知“及格”与“良好”、 “不及格”与“优秀” 分别关于“中” 对称。 1.本章知识结构和重点内容。
2.综合运用统计知识解决实际问题。
3.整理归纳知识的方法，勤于思考、
善于总结的好习惯。 作 业1.课本本章复习题。
2.进行本章的小结与反思。再见！谢谢合作第六章《数据的分析》水平测试
时间：45分钟 满分：100分 得分：_______________
一、选择题（每小题4分，共24分）
1．一组数据9.5，9，8.5，8，7.5的极差是 （ ）.
A．0.5 B．8.5 C．2.5 D．2
在统计中，样本的标准差可以反映这组数据的 （ ）.
A．平均状态 B．分布规律 C．离散程度 D．数值大小
3．某班在一次数学测试后，成绩统计如下表：
分数
100
90
80
70
60
50
人数
7
14
17
8
2
2
该班这次数学测试的平均成绩是（ ）.
A．82 B．75 C．65 D．62
4. 某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图1所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）．
A.7,7 B.8,7.5 C.7,7.5 D.8,6.5
有一组数据如下：3、、4、6、7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（ ）.
A．10 B． C．2 D．
6．小明同学将某班级毕业升学体育测试成绩（满分30分）统计整理，得到下表，则下列说法错误的是（ ）.
分数
20
21
22
23
24
25
26
27
28
人数
2
4
3
8
10
9
6
3
1
A．该组数据的众数是24分 B．该组数据的平均数是25分
C．该组数据的中位数是24分 D．该组数据的极差是8分
二、填空题（每小题4分，共24分）
7．从一批零件毛坯中抽取出10件，称得它们的质量（单位：g）如下：
400.0 400.3 401.2 398.9 399.8 399.8 400.0 400.5 399.7 399.8
这10件零件的平均质量为____________.
8.甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400克的茶叶.从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，测得它们的实际质量的方差如下表所示：
甲包装机
乙包装机
丙包装机
方差（克2）
31．96
7．96
16．32
根据表中数据，可以认为三台包装机中， 包装机包装的茶叶质量最稳定。
9.某校规定：学生的平时作业、期中练习、期末考试三项成绩分别按40%、20%、40%的比例计入学期总评成绩。小亮的平时作业、期中练习、期末考试的数学成绩依次为90分、92分、85分，小亮这学期的数学总评成绩是___________分.
10. 甲、乙两班各有45人，某次数学考试成绩的中位数分别是88分和90分．若90分及90分以上为优秀，则优秀人数多的班级是 ．
11.若样本1，2，3，的平均数为5，又知样本1，2，3，，的平均数为6，那么样本1，2，3，，的方差是__________________.
12.一组数据中若最小数与平均数相等，那么这组数据的方差为________.
三、解答题（13、14题每题8分，15题10分，16题12分，17题14分，共52分）
13.甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中进球数分别为9,9，，7，若这组数据的众数和平均数恰好相等，求出其中的值以及此组数据的标准差.
14.甲、乙两名工人同时加工10个同一种零件，加工后，对零件的长度进行检测，结果如下（单位：mm）：
甲：19.9，19.7，19.8，20.0，20.2，20.1，19.9，20.3，20.1，20.2；
乙：20.2，20.4，20.0，19.9，20.2，19.8，19.7，20.1，19.7，20.2.
分别计算上面两组数据的平均数和方差；
若技术规格要求零件长度为（20.00.5）mm，根据上面的计算，说明哪个工人加工的10个零件的质量比较好.
15.某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加．按团体总分多少排列名次，在规定时间每人踢100个以上(含100个)为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据(单位：个)，经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可通过考查数据中的其他信息作为参考．请你回答下列问题：
1号
2号
3号
4号
5号
总分
甲班
100
98
110
89
103
500
乙班
86
100
98
119
97
500
（1）根据上表提供的数据填写下表：
优秀率
中位数
方差
甲班
乙班
（2）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级? 简述理由．
16.某商场家电销售部有营业员20名，为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，即确定一个月的销售额目标，根据目标完成情况对营业员进行适当的奖惩．为此，商场统计了这20名营业员在某月的销售额，数据如下：（单位：万元）
25 26 21 17 28 26 20 25 26 30
20 21 20 26 30 25 21 19 28 26
（1）请根据以上信息完成下表：
销售额（万元）
17
19
20
21
25
26
28
30
频数（人数）
1
1
3
3
（2）上述数据中，众数是 万元，中位数是 万元，平均数是 万元；
（3）如果将众数作为月销售额目标，能否让至少一半的营业员都能达到目标？请说明理由．
17.美国NBA职业篮球赛的火箭队和湖人队在本赛季已进行了5场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成统计图（如图（1）所示）.请完成以下四个问题：
（ 1 ） （ 2 )
（1）估计火箭队、湖人队的平均成绩；
（2）在图（2）中画出折线表示两队这5场比赛成绩的变化情况；
（3）根据上述统计情况，试从平均得分、折线的走势、获胜场次和极差这四个方面分别进行简要分析，请预测下一场比赛哪个队更可能取得好成绩？
为什么三个代表数会产生偏差？
章 飞
平均数、中位数、众数这三个数据代表往往存在差异，正由于这些差异，造成不同的人从不同的角度看问题，“公说公有理，婆说婆有理”。那么，这种差异是正常现象吗？什么情况下，这三个代表数是统一的？我们通过图形直观地考察数据的特征吧。
下面呈现了三组数据。
图1是10位同学所测得某个动物的长度的条形统计图，图2是某班同学某道数学题得分的条形统计图。
图1 图2
洛杉矶湖人队队员2000年年薪如下表，适当归类后制作的条形图如图3。
球员
奥尼尔
布赖恩特
霍利
莱斯
费希尔
福克斯
奈特
哈铂
格林
乔治
肖
萨利
卢
塞莱斯坦德
薪水（百万美元）
17.1
11.8
5.0
4.5
4.3
4.2
3.1
2.1
2.0
1.0
1.0
0.8
0.7
0.3
图3
观察这三个图，可以发现图1，图2中，平均数与中位数相同，这可以从图形的对称性上直接判断出来，而且在图1中，平均数同时也是众数（图象上最高），这自然是最为理想的状况了，三个代表数完全一致了；而图2中，平均数就不再是众数了（不是最高的）；图3，整个图形偏向了左边，因此，平均数大于中位数，大家不妨算一算！实际上，在社会生活中各阶层的收入状况分布多是偏向左边的。
实际生活中，数据的分布有各种形态，有上面的居中分布的，也有偏左分布的，还有偏右分布的（学校里学生的成绩数据多是偏右分布的，不信找你们班级同学的某门成绩对照一下）。因此，统计学中就需要研究这类数据属于什么样的分布，用什么数据代表比较恰当？这个数据呈现这样的分布是否合理，是否有必要改进，使得这个事物的相关数据得到改善？
什么样的数据可能是居中分布的，如测量一般应是居中分布，大量测量的数据总体上应呈正态的分布，但如果出现了不是正态的分布，作为研究者可能就需要思考什么原因造成了不正态的情况等等。
