(共11张PPT)
我们已经知道线段是轴对称图形，用折纸的方法得到:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
你能证明这一结论吗
回顾思考
已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.
A
C
B
P
M
N
分析:(1)要证明PA=PB,
而△APC≌△BPC的条件由已知
故结论可证.
老师期望:你能写出规范的证明过程.
AC=BC,MN⊥AB,可推知其能满足公理（SAS）.
就需要证明PA,PB所在的△APC≌△BPC，
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
温馨提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
开启智慧
A
C
B
P
M
N
如图,
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).
′
你能写出“定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗
逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗
A
B
P
如果是.请你证明它.
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上.
分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB的中点,),然后证明另一个结论正确.
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是否也可以得征
我能行
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
A
C
B
P
M
N
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
从这个结果出发,你还能联想到什么
随堂练习
如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC= 0.
老师期望:
你能说出填空结果的根据.
E
D
A
B
C
7
60
学以致用
2. 如图,A,B表示两个仓库,要在A,B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建造在什么位置？
老师期望:
养成用数学解释生活的习惯.
A●
B●
独立作业
如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
老师期望:
做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.
B
A
E
D
C
拓展延伸
从图中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了．
试试看，现在你会证了吗？
定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
如图,
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
小结 课堂
A
C
B
P
M
N
必做题：教材P96练习1、2、3题
选做题：同步训练册13.5.2
分层作业(共11张PPT)
角平分线的性质是什么？
用纸剪一个角，把纸片对折，使角两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
角平分线的这条性质是怎样得到的呢？
知识回顾
开启智慧
定理 角平分线上的点到这个角的两边
距离相等.
如图,已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE(平分线上的点到这个角的两角边距离相等).
C
O
B
1
A
2
P
D
E
证明: ∴PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）
O
C
B
1
A
2
P
D
E
在△PDO和△PEO中，因为
∠DOP＝∠EOP（已知），
∠PDO＝∠PEO（已证），
PO＝PO（公共边），
｛
∴△PDO≌△PEO (A.A.S)
∴PD=PE
如图，在Rt△ABC 中，
做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识
思考
角平分线的性质，为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径。
A
B
C
BD是∠B 的平分线 ，
DE⊥AB，垂足为E，
E
DE与DC 相等吗？
D
解：
DE=DC。
∵ BD是∠ABC的平分线 （D在∠ABC的平分线上）
又∵ DE⊥BA，垂足为E，
∴ DE=DC。
为什么？
DC⊥BC，垂足为C，
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
O
C
B
1
A
2
P
D
E
证明： PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，
在Rt △PDO 与Rt △PEO中
∴∠PDO= ∠PEO=90°
PD=PE（已知）
｛
OP=OP（公共边）
∴Rt△PDO≌△PDO
∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上
于是就有定理：
到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
思考分析
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.
基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习的内容.
A
B
C
P
M
N
D
E
F
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD=PF.
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
1、 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
∴___________
(________________________________)
A
C
D
E
B
1
2
DC=DE
角平分线上的点到角的两边的距离相等
2、判断题（ ）
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = DC ，
( )
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
×
随
练习
1． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．
提示：作∠AOB的平分线，交直线l于P就是所求的点
课时训练
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
G
H
P
证明：作FG⊥AE于G.FH⊥AD于H
FP⊥CB于P,作射线OF
∵CF平分∠ECB
∴FG=FP(角平分线上的点到角
两边距离相等)
同理可证:FH=FP
∴FG=FH
∴点F在∠EOD的平分线上(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)登陆21世纪教育 助您教考全无忧
13.5.逆命题与逆定理（3）
教学目的：角平分线定理及逆命题的应用
重点与难点：角平分线定理及逆命题的应用
教学过程：
一、回忆旧知
我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的这条性质是怎样得到的呢？
二、探索新知
如图教材13.5.4，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC对折，通过观察，线段PD和PE完全重合．于是得到PD＝PE．
与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法加以证明.图中有两个直角三角形△PDO和△PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE．
于是就有定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
此定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”，这个命题是否是真命题呢？即到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题．
已知： 如图教材13.5.5，QD⊥OA， QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．
求证： 点Q在∠AOB的平分线上．
分析： 为了证明点Q在∠AOB的平分线上，
可以作射线OQ，然后证明Rt△DOQ≌Rt△EOQ，从而得到∠AOQ＝∠BOQ．
于是就有定理：
到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条定理，我们很容易证明： 三角形三条角平分线交于一点．
从图13.5.6中可以看出，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．请你完成证明．
三、课堂练习：
1． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．
2． 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证： 点F在∠DAE的平分线上．
课堂小结：
总结一下你所学过的知识
五、作业布置：
教材P98练习1、2题
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13.5逆命题与逆定理（1）
教学内容：逆命题与逆定理
教学目的：1.理解互逆命题与互逆定理21cnjy
2.正确应用互逆命题与互逆定理 21cnjy
重点与难点：区分互逆命题与互逆定理 ( 21世纪教育网版权所有 ) 21cnjy
教学过程：
知识回顾
命题的含义：
我们已经知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题．例如“两直线平行，内错角相等”、“内错角相等，两直线平行”都是命题2．
上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置．
二、新知引入：
一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．21cnjy
命题“两直线平行，内错角相等”的题设为__________________________________；
结论为____________________________________．因此它的逆命题为
_且是定理．
三、课堂练习
1． 说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：21cnjy
（1） 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
（2） 等边三角形的每个角都等于60°；
（3） 全等三角形的对应角相等；
（4） 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；
（5） 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
2． 举例说明下列命题的逆命题是假命题：21cnjy
（1） 如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；
（2） 如果两个角都是直角，那么这两个角相等．
3． 在你所学过的知识内容中，有没有原命题与逆命题都正确的例子（即互逆定理）？试举出几对．21cnjy
四、课堂小结：
总结一下你所学过的知识
①互逆命题、互逆定理的概念.
②能写出一个命题的逆命题.
③在证明假命题时会用举反例说明. ( 21*cnjy*com )
作业布置：
教科书P93练习1、2、3
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13.5逆命题与逆定理（2）
教学目的：线段的垂直平分线定理及逆定理
重点与难点：线段的垂直平分线定理及逆定理的应用
教学过程：
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．我们也可用逻辑推理的方法证明这一结论．如图教材P94（13.5.1）设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足．点P是直线MN上任意一点，连结PA、PB．证明PA＝PB．已知： MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证： PA＝PB．分析 图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明 ( 21世纪教育网" \o "21世纪教育网 )
如图教材P94（13.5.1）设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足．点P是直线MN上任意一点，连结PA、PB．证明PA＝PB．
已知： MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．
求证： PA＝PB．
分析 图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB．
于是就有定理：
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
此定理的逆命题是“到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，这个命题是否是真命题呢？即到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？我们也可以通过“证明”来解答这个问题．
已知： 如图教材P95（13.5.2），QA＝QB．
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
分析： 为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB．
于是就有定理：
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们很容易证明： 三角形三边的垂直平分线交于一点．
从图教材13.5.3中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了．
试试看，现在你会证了吗？
课堂练习
如图，已知点A、点B以及直线l，在直线l上求作一点P，使PA＝PB．
(第1题)
（第2题）
（第2题）
2． 如图，已知AE＝CE， BD⊥AC．求证： AB＋CD＝AD＋BC．
3． 如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且B
（第3题）
D＋AD＝BC．求证： 点D在AC的垂直平分线上．
课堂小结：总结一下你所学过的知识作业：教材P96练习1、2、3题 ( 21世纪教育网 )
作业：教材P96练习1、2、3题
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网(共16张PPT)
知识回顾
1、命题的概念：
可以判断正确或错误的
句子叫做命题。
2、命题都有两部分：
题设和结论
例如：两直线平行,内错角相等；
内错角相等,两直线平行；都是命题。
注意：问句和几何作法不是命题！
我能行
观察上面三组命题,你发现了什么
1、两直线平行,内错角相等；
3、如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧；
4、如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；
2、内错角相等,两直线平行；
5、平行四边形的对角线互相平分；
6、对角线互相平分的四边形是平行四边形；
说出下列命题的题设和结论：
一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个
命题叫做它的逆命题。
上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置．
命题“两直线平行，内错角相等”的
题设为两直线平行；
结论为内错角相等．
因此它的逆命题为
内错角相等，两直线平行.
1、将命题“等边对等角”写成“如果…那么…”的形式，并写出它的题设与结论。
如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等
2、说出上述命题的逆命题，它是真命题还是假命题？
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
简称为“等角对等边”
练习1：指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题。
1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的
两个锐角互余.
题设：一个三角形是直角三角形.
结论：它的两个锐角互余.
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，
那么这个三角形是直角三角形.
2、等边三角形的每个角都等于60°
题设：一个三角形是等边三角形.
结论：它的每个角都等于60°
逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，
那么这个三角形是等边三角形.
3、全等三角形的对应角相等.
题设：两个三角形是全等三角形.
结论：它们的对应角相等.
逆命题：如果两个三角形的对应角相等，
那么这两个三角形全等.
4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上.
题设：一个点到一个角的两边距离相等.
结论：它在这个角的平分线上.
逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.
5、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个 端点的距离相等.
题设：一个点在一条线段的垂直平分线上.
结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.
逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．
练习2、举例说明下列命题的逆命题是假命题.
（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
例如10能5整除，但它的个位数是0.
（1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数 能被5整除.
逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.
例如60°= 60°，但这两个角不是直角.
如果一个定理的逆命题也是定理，那么
这两个定理叫做互逆定理。
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，
但逆定理、互逆定理，一定是真命题
注意2：不是所有的定理都有逆定理
其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。
我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．
一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．
练习3：
在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是
真命题？试举出几个例子说明.
例如：1、同旁内角互补，两直线平行.
逆命题：两直线平行，同旁内角互补.
真
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形.
逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等.
真
拓展练习：说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：
①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆.
②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具.
逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题
逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——真命题。
逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮列车——假命题.
这节课我们学到了什么？
①互逆命题、互逆定理的概念.
②能写出一个命题的逆命题.
③在证明假命题时会用举反例说明.
课堂小结
写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假。
(1)如果x=y,那么x2 =y2；
(2)如果一个三角形有一个角是钝角,那么它的另外两个角是锐角；
课后作业
2、如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、
CD上两点，连接AE，BF.请你再从下面四个
反映图中边角关系的式子(1)AB=BC;(2)BE=CF;
(3)AE=BF;(4)∠AEB=∠BFC中选两个作为已知
条件，选一个作为结论，组成一个真命题，
并证明这个命题.
A
B
D
C
E
F
