18.1勾股定理教学设计
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文档简介
勾股定理及证明教学设计
【知识与技能】
了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
【过程与方法】
1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
2．在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结果。
【情感、态度与价值观】
1．在勾股定理的探索过程中，体会数形结合思想，发展合情推理能力。
2．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。
3．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。
二、教学重点及难点
重点：经历探索及验证勾股定理的过程。
难点：用拼图的方法证明勾股定理。
三、教与学互动设计
（一）创设情境，激发兴趣
观察图1，猜想老师会提出一个什么问题？
（学生思考）
对，老师想问图中三个正方形的面积之间有什么关系？
哪位同学能看出这个关系？
学生观察图形，分析思考其中的规律。
学生通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积,即SA+SB=SC。
其实这个发现还有一个典故: 相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，朋友家的地是用一块块等腰直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方，最后他的目光盯在如图的九块地砖上发现了其中隐藏了直角三角形的某种关系。回家后他又研究了一般的直角三角形也具有这种关系，这是一种什么关系呢？就是今天我们要学习的勾股定理。传说毕达哥拉斯发现这个定理后，杀了一百头牛庆贺呢。因此在西方又被称为“毕达哥拉斯定理”“百牛定理”。其实在中国我们的祖先比他更早就发现了这个定理，在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股， 斜边叫做弦．在约公元前1100年，我国古算书《周髀bì算经》记载，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五.那么勾股定理究竟是什么呢？学习本节后你一定就会知道的 。
（二）深入探究，交流归纳
我们一起来再现毕达哥拉斯发现定理的过程：1、 等腰直角三角形图中A的面积加上B的面积等于C的面积，而正方形的面积等于边长的平方所以等腰直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。等腰直角三角形是特殊的直角三角形，是否所有的直角三角形是否都具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？
2、探究：分别以直角△ABC的三边为边向外作三个正方形．将图形放在方格纸中．如图若每一个小方格的边长记作“1”，请你求出图中三个正方形的面积。（学生容易回答:SA=9，SB=16。）
你是如何得到的？（可以数图中小方格的个数，也可通过正方形面积公式计算得到。）
如何计算SC？
学生可能想到割或补的方法计算面积:
法一、补形： 法二、分割：
（把图形进行“割补”，把不能利用网格线直接计算面积的图形转化成可以利用网格线直接计算面积的图形，让学生体会转化的思想）
通过计算，你发现这三个正方形面积间有什么关系吗？
（SA+SB=SC，给学生留有思考时间．)
通过以上探究，你发现以直角三角形各边为边所作的正方形面积之间有什么关系？你对直角三角形三边的数量关系有什么发现？
（以直角边为边所作的正方形面积和等于以斜边为边所作的正方形面积,由于正方形面积是边长的平方，面积间的等量关系转化为边长间的等量关系，即直角三角形三边的数量关系：两直角边的平方和等于斜边的平方。）
符号语言如下：Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,AC的对边分别用c,a,b表示则：a2+b2=c2
(三)定理的证明
内容1：2002年在北京召开的第24届国际数学家大会，被誉为数学界的“奥运会”。这是本届大会会徽的图案。这个图案是我国三国时期数学家赵爽用来证明勾股定理的“赵爽弦图”加工而来，展现了我国古代对勾股定理的研究成果，是我国古代数学的骄傲。
下面利用赵爽弦图法给出定理证明，
大正方形的面积可以表示为 C2也可以表示为4×ab+(b-a)2
∵c2=4×ab+(b-a)2 =2ab+a2-2ab+b2
=a2+b2
∴ c2=a2+b2
内容2：让学生模仿赵爽弦图法，利用补的方法给出定理证明。
如图大正方形的面积可以表示为(a+b)2；也可以表示为4×ab+c2.
∵(a+b)2=4×ab+c2
∴c2=(a+b)2-4×ab
=a2+2ab+b2-2ab
=a2+b2
内容3：总统证法
如图梯形的面积可以表示为（a+b）(a+b);也可以表示为c2+2×ab.
∵（a+b）(a+b)= c2+2×ab. ∴c2=a2+b2
四、随堂练习：
（1）求下列直角三角形中未知边的长：
（2）判断下列命题的真假
1).如果三角形的三边长分别为a,b,c，则a2+b2=c2( )
2).如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，则a2+b2=c2( )
(3)填空：
1）在△ABC中, ∠C=90°，a=6,b=8, 则c=＿＿＿＿
2）在△ABC中, a=6,b=8,试求第三边c的取值范围。
3）在一个直角三角形中, 两边长分别为6、 8,则第三边的长为____。
五、师生共同小结
１、本节课我们经历了怎样的过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探
索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程.
２、本节课我们学到了什么？
通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还
知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、
验证数学结论的数形结合思想.
３、学了本节课后我们有什么感想？
很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学
的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化
辉煌历史的教育.
六、布置作业
收集有关勾股定理的证明方法，下节课展示、交流。
图1
斜边（弦）
直角边（股）
直角边(勾）
A
B
C
a
b
c
a
a
c
b
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c
b
b
a
a
c
c
【知识与技能】
了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
【过程与方法】
1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
2．在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结果。
【情感、态度与价值观】
1．在勾股定理的探索过程中，体会数形结合思想，发展合情推理能力。
2．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。
3．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。
二、教学重点及难点
重点：经历探索及验证勾股定理的过程。
难点：用拼图的方法证明勾股定理。
三、教与学互动设计
（一）创设情境，激发兴趣
观察图1，猜想老师会提出一个什么问题？
（学生思考）
对，老师想问图中三个正方形的面积之间有什么关系？
哪位同学能看出这个关系？
学生观察图形，分析思考其中的规律。
学生通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积,即SA+SB=SC。
其实这个发现还有一个典故: 相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，朋友家的地是用一块块等腰直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方，最后他的目光盯在如图的九块地砖上发现了其中隐藏了直角三角形的某种关系。回家后他又研究了一般的直角三角形也具有这种关系，这是一种什么关系呢？就是今天我们要学习的勾股定理。传说毕达哥拉斯发现这个定理后，杀了一百头牛庆贺呢。因此在西方又被称为“毕达哥拉斯定理”“百牛定理”。其实在中国我们的祖先比他更早就发现了这个定理，在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股， 斜边叫做弦．在约公元前1100年，我国古算书《周髀bì算经》记载，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五.那么勾股定理究竟是什么呢？学习本节后你一定就会知道的 。
（二）深入探究，交流归纳
我们一起来再现毕达哥拉斯发现定理的过程：1、 等腰直角三角形图中A的面积加上B的面积等于C的面积，而正方形的面积等于边长的平方所以等腰直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。等腰直角三角形是特殊的直角三角形，是否所有的直角三角形是否都具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？
2、探究：分别以直角△ABC的三边为边向外作三个正方形．将图形放在方格纸中．如图若每一个小方格的边长记作“1”，请你求出图中三个正方形的面积。（学生容易回答:SA=9，SB=16。）
你是如何得到的？（可以数图中小方格的个数，也可通过正方形面积公式计算得到。）
如何计算SC？
学生可能想到割或补的方法计算面积:
法一、补形： 法二、分割：
（把图形进行“割补”，把不能利用网格线直接计算面积的图形转化成可以利用网格线直接计算面积的图形，让学生体会转化的思想）
通过计算，你发现这三个正方形面积间有什么关系吗？
（SA+SB=SC，给学生留有思考时间．)
通过以上探究，你发现以直角三角形各边为边所作的正方形面积之间有什么关系？你对直角三角形三边的数量关系有什么发现？
（以直角边为边所作的正方形面积和等于以斜边为边所作的正方形面积,由于正方形面积是边长的平方，面积间的等量关系转化为边长间的等量关系，即直角三角形三边的数量关系：两直角边的平方和等于斜边的平方。）
符号语言如下：Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,AC的对边分别用c,a,b表示则：a2+b2=c2
(三)定理的证明
内容1：2002年在北京召开的第24届国际数学家大会，被誉为数学界的“奥运会”。这是本届大会会徽的图案。这个图案是我国三国时期数学家赵爽用来证明勾股定理的“赵爽弦图”加工而来，展现了我国古代对勾股定理的研究成果，是我国古代数学的骄傲。
下面利用赵爽弦图法给出定理证明，
大正方形的面积可以表示为 C2也可以表示为4×ab+(b-a)2
∵c2=4×ab+(b-a)2 =2ab+a2-2ab+b2
=a2+b2
∴ c2=a2+b2
内容2：让学生模仿赵爽弦图法，利用补的方法给出定理证明。
如图大正方形的面积可以表示为(a+b)2；也可以表示为4×ab+c2.
∵(a+b)2=4×ab+c2
∴c2=(a+b)2-4×ab
=a2+2ab+b2-2ab
=a2+b2
内容3：总统证法
如图梯形的面积可以表示为（a+b）(a+b);也可以表示为c2+2×ab.
∵（a+b）(a+b)= c2+2×ab. ∴c2=a2+b2
四、随堂练习：
（1）求下列直角三角形中未知边的长：
（2）判断下列命题的真假
1).如果三角形的三边长分别为a,b,c，则a2+b2=c2( )
2).如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，则a2+b2=c2( )
(3)填空：
1）在△ABC中, ∠C=90°，a=6,b=8, 则c=＿＿＿＿
2）在△ABC中, a=6,b=8,试求第三边c的取值范围。
3）在一个直角三角形中, 两边长分别为6、 8,则第三边的长为____。
五、师生共同小结
１、本节课我们经历了怎样的过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探
索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程.
２、本节课我们学到了什么？
通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还
知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、
验证数学结论的数形结合思想.
３、学了本节课后我们有什么感想？
很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学
的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化
辉煌历史的教育.
六、布置作业
收集有关勾股定理的证明方法，下节课展示、交流。
图1
斜边（弦）
直角边（股）
直角边(勾）
A
B
C
a
b
c
a
a
c
b
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c
b
b
a
a
c
c