专题 3.3 幂函数
1 幂函数的定义
一般地，形如 = 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 为常数．
注 (1)注意幂函数中 的系数是1，底数是变量 ，指数 是常数；
2 正数的正分数指数幂的意义
(1) 正数的正分数指数幂的意义，规定： = ( > 0, , ∈ ,且 > 1)
巧记“子内母外”(根号内的 作分子，根号外的 作为分母)
1 1(2)正数的正分数指数幂的意义： = = ( > 0, , ∈ ,且 > 1)
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
3 幂函数图像及其性质
1
(1) 幂函数 = , = 2, = 3, = 2, = 1的图象．
1
(2) 幂函数 = , = 2, = 3, = 2, = 1的性质
= = 2 = 3 1 = = 12
图象 X|X|K]
定义域 [0, + ∞) ≠ 0
值域 [0, + ∞) [0, + ∞) ≠ 0
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
在( ∞,0]上递减 在[0, + ∞) 在( ∞,0)上递减
单调性 在 上递增 在 上递增
在(0, + ∞)上递增 上递增 在(0, + ∞)上递减
定点 (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1)
(3)性质
① 所有的幂函数在(0 , + ∞ )都有定义，并且图象都过点(1 , 1)；
② > 0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 , + ∞ )上是增函数．
特别地，当 > 1时，幂函数变化快，图象下凹；当0 < < 1时，幂函数变化慢，图象
上凸.
③ < 0时，幂函数的图象在(0 , + ∞ )上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原
点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 +∞时，图象在 轴上方无限地逼
近 轴正半轴．
一、单选题
1．幂函数 f x m2 2m 2 xm 2在 0, 上单调递减，则实数 m 的值为（ ）
A． 1 B．3 C． 1或 3 D． 3
2．幂函数 y xa，y xb，y xc，y xd 在第一象限的图像如图所示，则 a，b，c，d 的
大小关系是 （ ）
A． a b c d B． d b c a C． d c b a D．b c d a
3．已知幂函数 y xa与 y xb 的部分图像如图所示，直线 x m2 ， x m 0 m 1 与
y xa， y xb 的图像分别交于 A，B，C，D 四点，且 AB CD ，则ma mb
（ ）
A 1． 2 B．1 C． 2 D． 2
2 m2 14．已知幂函数 f x m 1 x 4m 2 m R 在 0, 上单调递减，设 a 35 ，
b 1 log5 ， c log5 4，则（ ）3
A． f a f b f c B． f c f b f a
C． f a f c f b D． f b f a f c
5．设 a log 2，b log 3， c 30.3， d 0.330.3 0.3 ，则这四个数的大小关系是（ ）
A． a b c d B．b a d c C．b a c d D． d c a b
0.4 0.5
6．设 a log
1 1 1
2 ，b ， c ，则（ ）3 2 3
A． c b a B． a c b C． a b c D．b a c
7．已知函数 f x 3x5 x3 5x 2，若 f a f 2a 1 4，则实数 a 的取值范围是
（ ）
1A , B ,
1
． ． C． ,3 D． 3,
3 3
2 m28．幂函数 f x m m 1 x 2m 5 在区间 0, 上单调递增，且 a b 0，则
f a f b 的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0
C．等于 0 D．无法判断
(a 3)x, (x 1)
9．已知函数 f (x) xa 7, (x 1) 是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． ( , 9] B．[ 9, 3) C． ( , 3) D． ( 3,0)
x ,0 x 1 110 ．设 f x ,若 f a f a 1 ,则
f
2 x 1 , x 1
a
A．2 B．4 C．6 D．8
ax b
11．函数 f x x c 2 的图象如图所示，则下列结论成立的是
A． a 0，b 0， c 0 B． a 0，b 0， c 0
C． a 0，b 0， c 0 D． a 0，b 0， c 0
12 f x m2 m 1 m2x m 3．函数 是幂函数，对任意 x1, x2 0, ,，且 x1 x2 ，满足
f x1 f x2 0，若 a,b R ，且 a b 0,ab 0 ，则 f a f b 的值（
x x ）1 2
A．恒大于 0 B．恒小于 0 C．等于 0 D．无法判断
13．已知 f (x) 是定义域为 ( , )的奇函数,满足f (1 x ) f (1 x ) .若 f (1) 2，则
f (1) f (2) f (3) f (50)
A． 50 B． 0 C． 2 D．50
2
14．若幂函数 f x 的图象过点 27,3 3 ，则函数 f x 1 f x 的最大值为
（ ）
1 1 3A． B． C． 2 D． 12 4
二、填空题
15．已知幂函数 f x 1 m xm在 0, 上单调递减，则 f 2 ______．
2
16．已知幂函数 f x 2 x p 2 p 3 ( p N ) 的图像关于 y 轴对称，且在 0， 上是减函数，
p
实数 a
p
满足 a2 1 3 3a 3 3 ，则 a的取值范围是_____．
17．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f x ______．
① f x1x2 f x1 f x2 ；② f x f x ；③任取x1， x2 0, ， x1 x2 且
f x1 f x2 x1 x2 0．
2
18．已知 y f x 是奇函数，当 x 0 时， f x x 3 m m R ，则 f 8 ______．
2
19 y xm 2m 3．已知幂函数 m N 的图象关于 y 轴对称，且在 0, 上单调递减，则
m m
满足 a 1 3 3 2a 3 的 a的取值范围为________.
20．若幂函数 f x 过点 2,8 ，则满足不等式 f a 3 f a 1 0的实数 a的取值范围
是______专题 3.3 幂函数
1 幂函数的定义
一般地，形如 = 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 为常数．
注 (1)注意幂函数中 的系数是1，底数是变量 ，指数 是常数；
2 正数的正分数指数幂的意义
(1) 正数的正分数指数幂的意义，规定： = ( > 0, , ∈ ,且 > 1)
巧记“子内母外”(根号内的 作分子，根号外的 作为分母)
1 1(2)正数的正分数指数幂的意义： = = ( > 0, , ∈ ,且 > 1)
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
3 幂函数图像及其性质
1
(1) 幂函数 = , = 2, = 3, = 2, = 1的图象．
1
(2) 幂函数 = , = 2, = 3, = 2, = 1的性质
= = 2 = 3 1 = = 12
图象 X|X|K]
定义域 [0, + ∞) ≠ 0
值域 [0, + ∞) [0, + ∞) ≠ 0
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
在( ∞,0]上递减 在[0, + ∞) 在( ∞,0)上递减
单调性 在 上递增 在 上递增
在(0, + ∞)上递增 上递增 在(0, + ∞)上递减
定点 (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1)
(3)性质
① 所有的幂函数在(0 , + ∞ )都有定义，并且图象都过点(1 , 1)；
② > 0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 , + ∞ )上是增函数．
特别地，当 > 1时，幂函数变化快，图象下凹；当0 < < 1时，幂函数变化慢，图象
上凸.
③ < 0时，幂函数的图象在(0 , + ∞ )上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原
点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 +∞时，图象在 轴上方无限地逼
近 轴正半轴．
一、单选题
1．幂函数 f x m2 2m 2 xm 2在 0, 上单调递减，则实数 m 的值为（ ）
A． 1 B．3 C． 1或 3 D． 3
【答案】A
【解析】因为 f (x) (m2 2m 2) xm 2是幂函数，
故m2 2m 2 1，解得m 3或 1，
又因为幂函数在 (0, )上单调递减，所以需要m 2 0 ，则m 1.故选：A
2．幂函数 y xa，y xb，y xc，y xd 在第一象限的图像如图所示，则 a，b，c，d 的
大小关系是 （ ）
A． a b c d B． d b c a C． d c b a D．b c d a
【答案】D
【解析】根据幂函数的性质，
在第一象限内， x 1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：b c d a，故选：D
3．已知幂函数 y xa与 y xb 的部分图像如图所示，直线 x m2 ， x m 0 m 1 与
y xa， y xb 的图像分别交于 A，B，C，D 四点，且 AB CD ，则ma mb
（ ）
A 1． 2 B．1 C． 2 D． 2
【来源】辽宁省大连市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
a b
【解析】由题意， AB m2 m2 ， CD ma mb ，根据图象可知b 1 a 0，当
0 m 1时， m2 a 2 b m ，ma mb ，因为 AB CD ，所以
m2a m2b ma mb ma mb ma mb ，因为ma mb 0，可得ma mb 1.故选：B
4．已知幂函数 f x m 1 2 2 1xm 4m 2 m R 在 0, 上单调递减，设 a 35 ，
b log 15 ， c log5 4，则（ ）3
A． f a f b f c B． f c f b f a
C． f a f c f b D． f b f a f c
【来源】广东省梅州市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】C 根据幂函数的定义可得 (m 1)2 1，解得m 0或m 2 ，
当m 0时， f (x) x2 ，此时满足 f (x) 在 0, 上单调递增，不合题意，
当m 2 时， f (x) x 2 ，此时 f (x) 在 0, 上单调递减，
所以 f (x) x 2
1
.因为1 30 35，0 log5 1 log5 3 log5 4 log5 5 1，
又 b log1 3 log5 3，所以 b c a ，
5
因为 f (x) 在 0, 上单调递减，所以 f ( b) f (c) f (a)，
又因为 f (x) x 2 为偶函数，所以 f ( b) f (b)，
所以 f (b) f (c) f (a) .故选：C
5．设 a log 2，b log 0.3 30.3 0.3 3， c 3 ， d 0.3 ，则这四个数的大小关系是（ ）
A． a b c d B．b a d c C．b a c d D． d c a b
【来源】广东省湛江市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
【解析】：∵ log0.3 3 log0.3 2 log0.3 1 0，∴ b a 0，
又30.3 30 1,1 0.30 0.33 0，∴ c d 0，
故b a d c .故选：B.
1 0.4 0.5
6．设 a log 1 12 ，b
， c ，则（ ）3 2 3
A． c b a B． a c b C． a b c D．b a c
【来源】广东省广雅中学 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】 y log2 x是增函数，
a log 12 log2 1 0，3
x
y 1 是减函数， y x
0.5 在 (0, )上是增函数，
2
1 0.4 1 0.5 1 0.5
b
c 0 a c b 故选：B
2 2 3
7．已知函数 f x 3x5 x3 5x 2，若 f a f 2a 1 4，则实数 a 的取值范围是
（ ）
1
A , B ,
1
． ． C． ,3 D． 3,
3 3
【答案】A
【解析】设 g x f x 2， x R ，则
g x 3 x 5 x 3 5 x 3x5 x3 5x g x ，即 g x 为奇函数，容易判断
g x 在 R 上单调递增（增+增），又 f a f 2a 1 4可化为，
f a 2 f 2a 1 2 g a g 2a 1 g 1 2a
1
，所以 a >1－2a，∴ a > ．
3
故选：A.
8．幂函数 f x 2m2 m 1 xm 2m 5 在区间 0, 上单调递增，且 a b 0，则
f a f b 的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0
C．等于 0 D．无法判断
【来源】青海省西宁市大通回族土族自治县 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试
题
【答案】A
2 m2 2m 5
【解析】由函数 f x m m 1 x 是幂函数，可得m2 m 1 1，解得m 2 或
m 1．
当m 2 时， f x x3 6；当m 1时， f x x ．
因为函数 f x 3在 0, 上是单调递增函数，故 f x x ．
又 a b 0，所以 a b ，
所以 f a f b f b ，则 f a f b 0 ．
故选：A．
(a 3)x, (x 1)
9．已知函数 f (x) xa 7, (x 是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） 1)
A． ( , 9] B．[ 9, 3) C． ( , 3) D． ( 3,0)
【答案】B
(a 3)x, (x 1)
【解析】因为函数 f (x) a 是减函数，
x 7, (x 1)
所以幂函数 y xa 7, (x 1)为减函数，一次函数 y (a 3)x, (x 1)为减函数，
a 0
所以 a 3 0 ，解得： 9 a 3，
a 3 6
所以实数 a 的取值范围是[ 9, 3)
故选：B
x ,0 x 110．设 f x ,若 f a 1 f a 1 , f
2
则
x 1 , x 1 a
A．2 B．4 C．6 D．8
【来源】第 13 讲 函数的表示方法-【暑假自学课】2022 年新高一数学暑假精品课（苏
教版 2019 必修第一册）
【答案】C
【解析】由 x 1时 f x 2 x 1 是增函数可知,若 a 1 ,则 f a f a 1 ,所以 0 a 1 ,
由 f (a) f (a+1)
1 1
得 a 2(a 1 1) ,解得 a ,则 f f (4) 2(4 1) 6 ,故选 C.4 a
11．函数 f x
ax b
x c 2 的图象如图所示，则下列结论成立的是
A． a 0，b 0， c 0
B． a 0，b 0， c 0
C． a 0，b 0， c 0
D． a 0，b 0， c 0
【来源】江西省丰城中学 2021-2022 学年高一下学期入学考试数学试题
【答案】C
【解析】试题分析：函数在 P 处无意义，由图像看 P 在 y 轴右侧，所以 c 0,c 0，
f 0 b 2 0, b 0，由 f x 0, ax b 0,即 x
b
，即函数的零点
c a
x b 0 a 0 a 0.b 0,c 0，故选 C．
a
2
12 f x m2 m 1 xm m 3．函数 是幂函数，对任意 x1, x2 0, ,，且 x1 x2 ，满足
f x1 f x2 0，若 a,b R ，且 a b 0,ab 0 ，则 f a f b 的值（
x x ）1 2
A．恒大于 0 B．恒小于 0 C．等于 0 D．无法判断
【答案】A
2
【解析】由已知函数 f x m m 1 m2x m 3 是幂函数，
可得m2 m 1 1，解得m 2 或m 1，当m 2 3时， f x x ，当m 1时，
f x x 3 ，
f x f x
对任意的 x1, x2 (0, )，且 x1 x
1 2
2 ，满足 0，x1 x2
m 2 f x x3函数是单调增函数，所以 ，此时 ，
又 a b 0,ab 0 ，可知 a,b异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，
则 f a f b 恒大于 0 ，故选 A.
13．已知 f (x) 是定义域为 ( , )的奇函数,满足f (1 x ) f (1 x ) .若 f (1) 2，则
f (1) f (2) f (3) f (50)
A． 50 B． 0 C． 2 D．50
【来源】宁夏石嘴山市平罗中学 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】C
【解析】：因为 f (x) 是定义域为 ( , )的奇函数，且f (1 x ) f (1 x )，
所以 f (1 x) f (x 1) f (3 x) f (x 1) f (x 1) T 4 ,
因此 f (1) f (2) f (3) f (50) 12[ f (1) f (2) f (3) f (4)] f (1) f (2) ，
因为 f (3) f (1)，f (4) f (2) ，所以 f (1) f (2) f (3) f (4) 0，
f (2) f ( 2) f (2) f (2) 0，从而 f (1) f (2) f (3) f (50) f (1) 2，选 C.
14．若幂函数 f x 的图象过点 27,3 3 ，则函数 f x 1 f 2x 的最大值为
（ ）
A 1
1 3
． 2 B． C． D． 12 4
【答案】C
【解析】设幂函数 f x x , R，
因为函数 f x 的图象过点 27,3 3 ，
3 1
所以 27 33 3 3 32 ，所以 ，故 f x x ，2
所以 f 2x 1 f x x 1 x .
令 x 1 t t 0 ，所以 x 1 t 2 ，
2
则 y t 1 t 2 t 1 3 t 0 ，
2 4
所以当 t
1 3
时， ymax . 故选：C.2 4
二、填空题
f x 115 m．已知幂函数 m x 在 0, 上单调递减，则 f 2 ______．
2
【来源】河北省安新中学 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
1
【答案】 ## 0.25
4
1
【解析】：由题意得 m 1
1
且m 0，则m 2， f x x 2 ，故 f 2 ．
2 4
1
故答案为：
4
2
16．已知幂函数 f x x p 2 p 3 ( p N ) 的图像关于 y 轴对称，且在 0， 上是减函数，
p p
实数 a满足 a2 1 3 3a 3 3 ，则 a的取值范围是_____．
【答案】1 a 4
p2 2 p 3 *
【解析】 幂函数 f x x p N 在 0， 上是减函数，
p2 2 p 3 0，解得 1 p 3，
p N * ， p 1或 2 4．当 p 1时， f x x 为偶函数满足条件，
当 p 2 时， f x x 3 为奇函数不满足条件，
p p 1 1
则不等式等价为 (a2 1) 3 (3a 3) 3 ，即 (a2 1)3 3a 3 3 ，
1
f x 2 x3 在 R 上为增函数， a 1 3a 3，解得：1 a 4 .故答案为：1 a 4 .
17．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f x ______．
① f x1x2 f x1 f x2 ；② f x f x ；③任取x1， x2 0, ， x1 x2 且
f x1 f x2 x1 x2 0．
【答案】 x2 （答案不唯一）
【解析】取 f x x2 2，函数 f x 为幂函数，满足①； f x x f x ，则函数 f x
为偶函数，满足②；③表示函数 f x 在 0, 上单调递增，由幂函数的性质可知
f x x2 满足③.
故答案为： x2 （答案不唯一）
2
18．已知 y f x 是奇函数，当 x 0 时， f x x 3 m m R ，则 f 8 ______．
【来源】山东省济宁市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】-4
2
【解析】因为 y f x 是奇函数，当 x 0 时， f x x 3 m m R ，
2
所以 f (0) 03 m 0，得m 0，
2
所以 f x x 3 ， x 0 ，
因为 y f x 是奇函数
2
所以 f 8 f (8) 83 22 4，
故答案为： 4
2
19 y xm 2m 3．已知幂函数 m N 的图象关于 y 轴对称，且在 0, 上单调递减，则
m m
满足 a 1 3 2a 3 3 的 a的取值范围为________.
2 3 , 1 , 【答案】
3 2
2
【解析】幂函数 y xm 2m 3 m N 在 0, 上单调递减，故m2 2m 3 0 ，解得
1 m 3 .
m N *，故m 0，1， 2 .
当m 0时 ， y x 3不关于 y 轴对称，舍去；
当m 1时 ， y x 4 关于 y 轴对称，满足；
当m 2 时 ， y x 3不关于 y 轴对称，舍去；
1 1 1
故m 1， a 1 3 2a 3 3 ，函数 y x 3 在 ,0 和 0, 上单调递减，
2 3
故 a 1 3 2a 0 或0 a 1 3 2a 或 a 1 0 3 2a，解得 a 1或 a .
3 2
2
故答案为： , 1 ,
3
3 2
20．若幂函数 f x 过点 2,8 ，则满足不等式 f a 3 f a 1 0的实数 a的取值范围
是______
【来源】重庆市巫山县官渡中学等两校 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】 , 2
【解析】由题意，不妨设 f x x ，
因为幂函数 f x 过点 2,8 ，则 f (2) 2 8，解得 3，
f x x3故 为定义在 R 上的奇函数，且 f x 为增函数，
因为 f a 3 f a 1 0，则 f a 3 f a 1 f (1 a)，
故 a 3 1 a，解得 a 2，
从而实数 a的取值范围是 , 2 .
故答案为： , 2 .
