专题 3.4 函数的应用
1．一次函数模型的应用
一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b 为常数，k≠0).
一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.
2．二次函数模型的应用
二次函数模型：f(x)= +bx+c(a,b,c 为常数,a≠0).
二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、
最省等最值
问题常用到二次函数模型.
3．幂函数模型的应用
幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.
4．分段函数模型的应用
由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实
际问题中具有广泛的应用.
5．“对勾”函数模型的应用
对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+ (a>0,b>0)，
当 x>0 时，在(0, ]上递减，在( ,+ )上递增.另外，还要注意换元法的运
一、单选题
1．已知函数 f (x) 2x 2，则函数 y f (x) 的图象可能是（ ）
A． B． C．
D．
【来源】宁夏石嘴山市平罗中学 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题
2x 2, x 1
【答案】B f x 2x 2 易知函数 y f xx 的图象的分段点是 x 1，且
2 2 , x 1
过点 1,0 ， 0,1 ，又 f x 0，故选：B．
x
2．设函数 f x
2 , x 0
，则满足 f x 1 f 2x 的 x 的取值范围是（ ）
1 x, x 0
A． ,1 B． 1, C． 1, D． ,1
【来源】黑龙江省七台河市勃利县高级中学 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试
题
2
x , x 0
【答案】D 因为 f x ，
1 x, x 0
x 0 f x 2 x当 时， 显然单调递减；当 x 0时， f x 2 x 也是单调递减；
f 0 20且 1 0 1，即函数图像连续不断，
所以 f x 在其定义域上单调递减，
由 f x 1 f 2x 可得 x 1 2x ，解得 x 1.故选：D.
3．根据表格中的数据，可以断定方程 ex (x 2) 0(e 2.72)的一个根所在的区间是（ ）
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12
x＋2 1 2 3 4 5
A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
【来源】重庆市巫山县官渡中学等两校 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】C
【解析】设函数 f (x) ex (x 2) 0，
f ( 1) 0.37 1 0, f (0) 1 2 0, f (1) 2.72 3 0 ， f (2) 7.40 4 0，
f (1) f (2) 0，又 f (x) ex (x 2)在区间(1，2)连续，
函数 f (x) 在区间(1，2)存在零点，
方程根所在的区间为(1，2)，故选：C.
2x 1, x 0
4．已知函数 f (x) 2 ,若实数m (0,1) ,则函数 g(x) f (x) m的零点个数为
x 2x, x 0
( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【来源】黑龙江省双鸭山市集贤县 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
【解析】令 g(x) f (x) m 0，得 f (x) m，根据分段函数 f x 的解析式，做出函数 f x
的图象，如下图所示，因为m (0,1)，由图象可得出函数 g(x) f (x) m的零点个数为 3
个，故选：D.
5．某地一天内的气温Q t （单位：℃）与时刻 t （单位： h）之间的关系如图所示，
令C t 表示时间段 0, t 内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则C t 与 t
之间的函数图像大致是
A． B．
C． D．
【来源】3.4 函数的应用（一）C 卷
【答案】D
【解析】由题图看出， t 0时，C t 0，排除 B；在 0,4 上，C t 不断增大，在 4,8
上，C t 先是一个定值，然后增大，在 8，12 上，C t 不断增大，在 12，20 上，C t
是个定值，在 20, 24 上，C t 不断增大，故选 D.
6．甲、乙两人同时从 A 地赶往 B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，
到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达 B 地．已知甲骑自行车比乙骑自行车快．若
每人离开甲地的距离S 与所用时间 t 的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是
A．甲是(1)，乙是(2) B．甲是(1)，乙是(4)
C．甲是(3)，乙是(2) D．甲是(3)，乙是(4)
【答案】B
【解析】由甲先骑自行车后跑步，故图象斜率先大后小，则甲图象为(1)或(3)，
由乙先跑步后骑自行车，故图象斜率先小后大，则乙图象为(2)或(4)，
又甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中 y 随 x 的变化比乙后一半路程 y 随 x 的
变化要快，所以甲为(1)，乙为(4)．故选：B．
7．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过 200 元，则不给予优惠；
(2)如果超过 200 元但不超过 500 元，则按标价给予 9 折优惠；
(3)如果超过 500 元，其 500 元内的按第(2)条给予优惠，超过 500 元的部分给予 7 折优
惠．
某人单独购买 A，B 商品分别付款 168 元和 423 元，假设他一次性购买 A，B 两件商品，
则应付款是
A．413.7 元 B．513.7 元 C．546.6 元 D．548.7 元
【答案】C
【解析】依题意可得，因为168 200，所以购买 A 商品没有优惠，则 A 商品的价格为 168
元．当购买价值 500 元的物品时实际付款为500 0.9 450 423，所以购买 B 商品享受
423
了 9 折优惠，则 B 商品的原价为 470元．若一次性购买两件商品则付款总额为
0.9
168+470=638 元，则应付款 (638 500) 0.7 500 0.9 546.6元，故选 C
8．给下图的容器甲注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间
的函数关系：（）．
A． B．
B．C． D．
【来源】3.4 函数的应用（一）B 卷
【答案】B 试题分析：容器下端较窄，上端较宽，当均匀的注入水时，刚开始的一段时
间高度变化较大，随时时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化不太明显，
四个图像中只有 B 项符合特点
二、解答题
9．2022 年第 24 届北京冬季奥林匹克运动会，于 2022 年 2 月 4 日星期五开幕，将于 2
月 20 日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品
销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以 30 天计）的销售情
况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间 x（被调查的一
k
个月内的第 x 天）的函数关系近似满足P(x) 1 （k 为正常数）．该商品的日销售量
x
Q(x) （个）与时间 x（天）部分数据如下表所示：
x 10 20 25 30
Q(x) 110 120 125 120
已知第 10 天该商品的日销售收入为 121 元．
(1)求 k 的值；
(2)给出两种函数模型：① Q(x) ax b，② Q(x) a | x 25 | b，请你根据上表中的数
据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x) 与时间 x 的关系，
并求出该函数的解析式；
(3)求该商品的日销售收入 f (x) （1 x 30， x N*）（元）的最小值．
【答案】(1) k 1(2)选择②，Q(x) 125 | x 25 |，（1 x 30， x N*）(3)121 元
【解析】(1)
因为第 10 天该商品的日销售收入为 121 元，
所以P(10) Q(10)
1 k 110 12110 ，解得
k 1；
(2)由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，
故只能选②:Q(x) a | x 25 | b
110 a 10 25 b
代入数据可得： 120 ，解得 a 1，b 125， a 20 25 b
所以Q(x) 125 | x 25 |，（1 x 30， x N* ）
100 x,1 x 25, x N*
(3)由（2）可得，Q x 125 x 25 ，
150 x, 25 x 30, x N
*
101 x
100
,1 x 25, x N*
所以， f x P x Q x x ，
149 150 x, 25 x 30, x N*
x
100
所以当1 x 25， x N* 时， f (x) 101 x 在区间[1,10]上单调递减，在区间x
[10,25)上单调递增，
所以当 x 10 时， f (x) 有最小值，且为 121；
当 25 x 30， x N* 时， f (x) 149
150
x为单调递减函数，
x
所以当 x 30时， f (x) 有最小值，且为 124，
综上，当 x 10 时， f (x) 有最小值，且为 121 元，
所以该商品的日销售收入最小值为 121 元．
10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上
的车流速度 v (单位：千米/小时)是车流密度 x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流
密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米
时，车流速度为 60 千米/小时，研究表明；当 20 x 200 时，车流速度 v是车流密度 x
的一次函数．
(1)当 20 x 200 时，求函数 v(x) 的表达式；
(2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每
小时) f (x) xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/小时)﹒
60,0 x 20,
【答案】(1) v(x)
1 ； x 200 ,20 x 200 3
(2)当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时.
【解析】当0 x 20时， v(x) 60 ；
当 20 x 200 时，设 v(x) ax b，
1
200a b 0, a 3
由已知得
20a b 60,
解得
b 200
，
3
60,0 x 20,
故函数 v(x)
的表达式为 v(x) 1 ； x 200 , 20 x 200 3
60x,0 x 20,
f (x) (2)依题意并由(1)可得 1 ， x2 200x , 20 x 200 3
当0 x 20时， f (x) 为增函数，故当 x = 20时，其最大值为 60×20＝1200；
当 20 x 200 时， f (x)
1
x 100 2 10000
3
，
10000
∴当 x 100 时， f (x) 在区间(20，200]上取得最大值 3333，
3
∵3333＞1200，
∴当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时．
11．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒 1 个单位
的去污剂，空气中释放的浓度 y (单位：毫克/立方米)随着时间 x (单位：天)变化的函数
16
1,0 x 4 8 x
关系式近似为 y 1 ，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为 5 x, 4 x 10
2
每次投放的去污剂在相应时刻所释放的 度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不
低于 4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.
(1)若一次喷洒 4 个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
(2)若第一次喷洒 2 个单位的去污剂，6 天后再喷洒 a(1 a 4)个单位的去污剂，要使接
下来的 4 天中能够持续有效去污，试求 a的最小值.(精确到 0.1，参考数据： 2 取 1.4)
【答案】(1)8天(2)1.6
【解析】(1)解：∵一次喷洒 4个单位的净化剂，
64
4,0 x 4∴浓度 f x 4y 8 x ，
20 2x, 4＜x 10
64
则当0 x 4时，由 4 4，解得 x 0 ，
8 x
∴此时0 x 4．
当 4 x 10时，由 20 2x 4，解得 x 8，
∴此时 4 x 8．
综合得0 x 8，
若一次投放 4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．
(2)解：设从第一次喷洒起，经 x 6 x 10 天，
浓度 g x 2 5 1 x 16 16a a 1 14 x a 4
2 8
，
x 6 14 x
∵14 x [4，8]，而1 a 4，
∴ 4 a [4,8]，
故当且仅当14 x 4 a 时， y 有最小值为8 a a 4 ．
令8 a a 4 4，解得 24 16 2 a 4，
∴ y a 的最小值为 24 16 2 1.6．
12．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益
f x 与投资额 x 成正比，其关系如图 1；投资股票等风险型产品的年收益 g x 与投资
额 x 的算术平方根成正比，其关系如图 2.
(1)分别写出两种产品的年收益 f x 和 g x 的函数关系式；
(2)该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大
年收益，其最大年收益是多少万元？
f x 1 x x 0 g x 1【答案】(1) ， x x 0
8 2
(2)投资债券类产品16万元，股票类投资为 4万元，收益最大为3万元
【解析】(1)依题意：可设 f x k1x x 0 ， g x k2 x x 0 ，
∵ f 1 k 1 1 1 ， g 1 k2 ，8 2
∴ f x 1 x x 0 ， g x 1 x x 0 .
8 2
(2)设投资债券类产品 x 万元，
则股票类投资为 20 x 万元，年收益为 y 万元，
依题意得： y f x g 20 x ，
x 1
即 y 20 x 0 x 20 ，令
8 2 t 20 x
，
则 x 20 t 2 ， t 0, 2 5 ，
y 20 t
2 t
则 ， t 0, 2 5
1
t 2
2 3，
8 2 8
所以当 t 2，即 x 16 万元时，
收益最大， ymax 3万元.
13．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生
产提供 x （ x 0,10 ）（万元）的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防
x t k 12 护服，A 公司在收到政府 （万元）补贴后，防护服产量将增加到 6 x 4 （万
件），其中 k 为工厂工人的复工率（ k 0.5,1 ），A 公司生产 t 万件防护服还需投入成本
20 9x 50t （万元）．
(1)将A 公司生产防护服的利润 y （万元）表示为补贴 x （万元）的函数（政府补贴 x 万
元计入公司收入）；
(2)当复工率 k 0.8时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？并求
出最大值．
【来源】江西省新余市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
360k
【答案】(1) y 180k 8x 20， x 0,10 ， k 0.5,1
x 4
(2)当复工率 k 0.8时，政府补贴 2 万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值 60 万元
【解析】(1)由题意得 y x 80t 20 9x 50t 30t 8x 20
30k 6 12 8x 20 180k
360k
8x 20 ，
x 4 x 4
y 180k 360k即 8x 20， x 0,10 ， k 0.5,1 .
x 4
288 288
(2)由 k 0.8，得 y 144 8x 20 8x 124，
x 4 x 4
288 288
因 8x 8 x 4 32 2 48 32 64，当且仅当 x 2时取等号，所以
x 4 x 4
y 64 124 60 .
故当复工率 k 0.8时，政府补贴 2 万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值 60 万元.
14．已知函数 f x m2 2m 2 x1 3m 是幂函数.
(1)求函数 f x 的解析式;
(2)判断函数 f x 的奇偶性,并证明你的结论;
(3)判断函数 f x 在 0, 上的单调性,并证明你的结论.
【答案】(1) f x x 2 ;(2)函数 f x 为偶函数;(3) f x 在 0, 上单调递减,证明见解析.
1 f x m2（ ）因为函数 2m 2 x1 3m 是幂函数，
则m2 2m 2 2 1，解得m 1，故 f x x ．
（2）函数 f x x 2 为偶函数．
证明如下：由（1）知 f x x 2 ，其定义域为 x x 0 关于原点对称，
因为对于定义域内的任意 x ，都有
f x x 2 1 1 x 2 f x 2
x 2 x2 ，故函数 f x x 为偶函数．
（3） f x 在 0, 上单调递减．
证明如下：在 0, 上任取x1，x2，不妨设0 x1 x2 ，则
2 2
f x f x x 2 x 2 1 1 x x 2 1 x 2 x1 x2 x1 1 2 1 2 x2 x2 x2x2 x2x2 ，1 2 1 2 1 2
x1, x2 0, 且 x1 x2， x2 x1 0, x2 x1 0, x21 x22 0， f x1 f x2
f x 在 0, 上单调递减.专题 3.4 函数的应用
1．一次函数模型的应用
一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b 为常数，k≠0).
一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.
2．二次函数模型的应用
二次函数模型：f(x)= +bx+c(a,b,c 为常数,a≠0).
二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、
最省等最值
问题常用到二次函数模型.
3．幂函数模型的应用
幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.
4．分段函数模型的应用
由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实
际问题中具有广泛的应用.
5．“对勾”函数模型的应用
对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+ (a>0,b>0)，
当 x>0 时，在(0, ]上递减，在( ,+ )上递增.另外，还要注意换元法的运
一、单选题
1．已知函数 f (x) 2x 2，则函数 y f (x) 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
x
2．设函数 f
2 , x 0
x ，则满足 f x 1 f 2x 的 x 的取值范围是（ ）
1 x, x 0
A． ,1 B． 1, C． 1, D． ,1
3．根据表格中的数据，可以断定方程 ex (x 2) 0(e 2.72)的一个根所在的区间是（ ）
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12
x＋2 1 2 3 4 5
A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
2x 1, x 0
4．已知函数 f (x) 2 ,若实数m (0,1) ,则函数 g(x) f (x) m的零点个数为
x 2x, x 0
( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．某地一天内的气温Q t （单位：℃）与时刻 t （单位： h）之间的关系如图所示，
令C t 表示时间段 0, t 内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则C t 与 t
之间的函数图像大致是
A． B．
C． D．
6．甲、乙两人同时从 A 地赶往 B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，
到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达 B 地．已知甲骑自行车比乙骑自行车快．若
每人离开甲地的距离S 与所用时间 t 的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是
A．甲是(1)，乙是(2) B．甲是(1)，乙是(4)
C．甲是(3)，乙是(2) D．甲是(3)，乙是(4)
7．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过 200 元，则不给予优惠；
(2)如果超过 200 元但不超过 500 元，则按标价给予 9 折优惠；
(3)如果超过 500 元，其 500 元内的按第(2)条给予优惠，超过 500 元的部分给予 7 折优
惠．
某人单独购买 A，B 商品分别付款 168 元和 423 元，假设他一次性购买 A，B 两件商品，
则应付款是
A．413.7 元 B．513.7 元 C．546.6 元 D．548.7 元
8．给下图的容器甲注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间
的函数关系：（）．
A． B．
B．C． D．
二、解答题
9．2022 年第 24 届北京冬季奥林匹克运动会，于 2022 年 2 月 4 日星期五开幕，将于 2
月 20 日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品
销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以 30 天计）的销售情
况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间 x（被调查的一
k
个月内的第 x 天）的函数关系近似满足P(x) 1 （k 为正常数）．该商品的日销售量
x
Q(x) （个）与时间 x（天）部分数据如下表所示：
x 10 20 25 30
Q(x) 110 120 125 120
已知第 10 天该商品的日销售收入为 121 元．
(1)求 k 的值；
(2)给出两种函数模型：① Q(x) ax b，② Q(x) a | x 25 | b
，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量
Q(x) 与时间 x 的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该商品的日销售收入 f (x) （1 x 30， x N*）（元）的最小值．
10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上
的车流速度 v (单位：千米/小时)是车流密度 x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流
密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米
时，车流速度为 60 千米/小时，研究表明；当 20 x 200 时，车流速度 v是车流密度 x
的一次函数．
(1)当 20 x 200 时，求函数 v(x) 的表达式；
(2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每
小时) f (x) xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/小时)﹒
11．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒 1 个单位
的去污剂，空气中释放的浓度 y (单位：毫克/立方米)随着时间 x (单位：天)变化的函数
16
1,0 x 4 8 x
关系式近似为 y ，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为
5 1 x, 4 x 10
2
每次投放的去污剂在相应时刻所释放的 度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不
低于 4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.
(1)若一次喷洒 4 个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
(2)若第一次喷洒 2 个单位的去污剂，6 天后再喷洒 a(1 a 4)个单位的去污剂，要使接
下来的 4 天中能够持续有效去污，试求 a的最小值.(精确到 0.1，参考数据： 2 取 1.4)
12．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益
f x 与投资额 x 成正比，其关系如图 1；投资股票等风险型产品的年收益 g x 与投资
额 x 的算术平方根成正比，其关系如图 2.
(1)分别写出两种产品的年收益 f x 和 g x 的函数关系式；
(2)该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大
年收益，其最大年收益是多少万元？
13．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生
产提供 x （ x 0,10 ）（万元）的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防
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护服，A 公司在收到政府 x （万元）补贴后，防护服产量将增加到 t k 6 x 4 （万
件），其中 k 为工厂工人的复工率（ k 0.5,1 ），A 公司生产 t 万件防护服还需投入成本
20 9x 50t （万元）．
(1)将A 公司生产防护服的利润 y （万元）表示为补贴 x （万元）的函数（政府补贴 x 万
元计入公司收入）；
(2)当复工率 k 0.8时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？并求
出最大值．
14 2．已知函数 f x m 2m 2 x1 3m 是幂函数.
(1)求函数 f x 的解析式;
(2)判断函数 f x 的奇偶性,并证明你的结论;
(3)判断函数 f x 在 0, 上的单调性,并证明你的结论.
