专题 4.1 指数
1 指数运算
(1) 次方根与分数指数幂
一般地，如果 = ，那么 叫做 的 次方根，其中 > 1，且 ∈ .
式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数.
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.
注意： (1) ( ) = (2) 当 是奇数时， = ，当 是偶数时， = | | =
, ≥ 0
, < 0.
(2) 正数的正分数指数幂的意义
① 正数的正分数指数幂的意义，规定： = ( > 0, , ∈ ,且 > 1)
巧记“子内母外”(根号内的 作分子，根号外的 作为分母)
1 1
② 正数的正分数指数幂的意义： = = ( > 0, , ∈ ,且 > 1)
③ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
(3) 实数指数幂的运算性质
① = + ( > 0, , ∈ )；
② ( ) = ( > 0, , ∈ )；
③ ( ) = ( > 0, ∈ ).
一、单选题 a
4
1 1．已知 a 0.63，b ( ) ， c 1，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
5
A．b a c B． a c b
C． c b a D． a b c
【答案】B
4 5
【解析根据题意，因为 a 0.63 0.216 1 b ( ) 1， 1，所以 a c b .故选：B.5 4
2 4．若代数式 2x 1 2 x 有意义，则 4x2 4x 1 2 4 x 2 （ ）
A． 2 B．3 C． 2x 1 D． x 2
【答案】B
2x 1 0, 1
【解析】由 2x 1 2 x 有意义，得 解得 x 22 x 0, ． 2
所以 x 2 0,2x 1 0
所以
4x2 4x 1 2 4 x 2 4 2x 1 2 2 x 2 2x 1 2 x 2 2x 1 2 2 x 3．
故选：B．
3． a a (a 0)可以化简成（ ）
1 3 2 2
A． a 4 B． a 4 C． a 3 D． a 5
【答案】B
3 3
【解析】解： a a a 2 a 4 ，
故选：B．
1
4 x．函数 y a (a 0,a 1) 的图像可能是（ ）．
a
A． B．
C． D．
【答案】D
1
【解析】当a 1时，∴ 0 1，所以排除 B，
a
1
当0 a 1时，∴ 1，所以排除 C，故选 D.
a
4
x 1 x 1f x 5 5．已知函数 2 ，则 f f （ ）
x 3(x 1)
2
1 3 5
A． B． C
9
． D．
2 2 2 2
【答案】B
【解析】由题设， f (
5) 5 1 3 ，
2 2 2
f f 5 f (1) 2 1 3所以 .
2
2 2 2
故选：B.
2 5
6．化简 (2a 3b 3 ) ( 3a 1b) (4a 4b 3 ) (a,b 0) 得
3 3 3 7 3 7A 2 2． b B． b C． b3 D． b3
2 2 2 2
【答案】A
2 3 2 5 3 1 4 1 3【解析】依题意，原式 a b 3 3 b2 .
4 2
故选：A
3 1
7 1．化简 (a 2 )( 3a 2 ) ( a) (a>0)等于（ ）
3
A．6a B．－a
C．－9a D．9a2
【答案】C
3 1
【解析】 (a 2 )( 3a 2 ) 1 ( a) 1 3a2 ( a) 9a故选：C
3 3
8．有下列四个式子：
① 3 ( 8)3 8；
② ( 10)2 10；
③ 4 (3 )4 3 ；
④ 2018 (a b)2018 a b．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】A
【解析】① 正确；② ( 10)2 10 10，② 错误；③
4 (3 )4 3 3 3，③ 错误；④ 2018 (a b)2018 a b ，若 a b ，则
2018 (a b)2018 a b ，若 a b ，则 2018 (a b)2018 b a ，故④ 错误．
故选：A
1 1 1
1 19．化简 (1 2 32 )(1 2 16 )(1 2 8 )(1 2 4 )(1 2 2 )的结果为（ ）
1 1 1 A (1 2 32 ) B 1
． ． (1 2 32 ) 1
2 2
1
C． (1 2 32 ) 1 D
1
． 2
【答案】B
1 1 1
【解析】因为 (1 2 32 )(1 2 32 ) 1 2 16 ，
1 1 1
(1 2 16 )(1 2 16 ) 1 2 8 ，
1 1
1
(1 2 8 )(1 2 8 ) 1 2 4 ，
1 1 1
(1 2 4 )(1 2 4 ) 1 2 2 ，
1 1
(1 2 2 )(1 1 2 2 ) 1 2 1 ，
2
1
1
所以原式= 2 1
1 (1 2 32 )
1故选：B
1 2 32 2
x
2
1 , x 0
10 2．已知函数 f x ，则不等式 f (3x 1) 3的解集为（ ）
1 2
x 1, x 0 2
A． log3 4, B． ,0 C． 0,1 D． 1,
【答案】D
3x1 1 3
x 1
3x 1 0 f (3x 1) 2 1 【解析】：当 时， ，因为 1，所以 f (3
x 1) 1，
2 2
故当3x 1 0时，不等式无解，
x 1 x 2
当3x 1 0时， f (3 1) (3 1) 1，2
1
令 (3x 1)2 1 3，得3x 1 2，解得 x 1 .2
故选：D.
x 1 ,0 x 2,
11．已知函数 f x m x 若 f 1 f 3
1
，则实数m 的值是（ ）
2 , x 2, 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可知， f 1 1 1 0， f 3 2m 3，
又因为 f 1 f 3 1 m 3 1，所以 2 ，解得m 2 .
2 2
故选：B.
12．定义在实数集 R 上的奇函数 f x 恒满足 f 1 x f x 1 ，且 x 0,1 时，
f x 4x 1 f 5 ，则 （2 ）2
5 5 17
A． B． C．1 D．-
2 2 2
【答案】B
【解析】解： 奇函数 f (x) 恒满足 f (1 x) f (x 1) ，
f (x 1) f (x 1)，即 f (x 2) f (x)，则 f (x 4) f (x 2)，即 f (x 4) f (x) ，
即 f (x) 是周期为 4 的周期函数，
f (5) f (5
1
4) f ( 3) f (3) f (1 1) f (1 1) f (1) (42 1) (2 1 5所以 ) ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
故选：B．
1 x 1 3 313．已知 x x xe2 e 2 2，求 e2 e 2 的值为
A．2 B．8 C．10 D．14
【答案】D
1 x 1【解析】： xe2 e 2 2，
1 x 1
3
x
两边同时 3 次方得： e2 e 2 8，
3 x 3 x 1 1 x x
化简得： e2 e 2 3 e2 e 2 8，
1 x 1又 xe2 e 2 2，
3 x 3 xe2 e 2 8 6 14，
故选：D．
3 1 114． (2 )0 2
2 (2 1) 2 (0.01)2
5 4
16 17 5
A． B．3 C． 8 D． 0
15 30 6
【答案】A
(2 3)0 2 2 (2 1
1 1
) 2 1 2 1 16【解析】由题意可知 (0.01)2 1 ，故选 A.
5 4 4 3 10 15
2 x，x 0
15．设函数 f x ，则满足 f x 1 f 2x 的 x 的取值范围是
1，x 0
A． ， 1 B． 0， C． 1，0 D． ，0
【答案】D
【解析】
2x 0
：将函数 f x 的图像画出来，观察图像可知会有 x 0
2x x 1
，解得 ，所以满足
f x 1 f 2x 的 x 的取值范围是 ，0 ，故选 D.
二、填空题
16．化简 11 6 2 11 6 2 = ________.
【答案】6
【解析】 11 6 2 11 6 2 (3 2)2 (3 2)2
3 2 3 2
6 .
故答案为：6 .
1 x17．已知函数 f x a b的图象过原点，则 a b ___________．
2
【答案】0
【解析】
0
因为 f x 的图象过原点，所以 f 0 a 1 b 0，即 a b 0．
2
故答案为：0.
18．求值 7 4 3 7 4 3 _______．
【答案】4
2
【解析】 7 4 3 7 4 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 4 .
故答案为：4
1 1 1
19．已知 2x 2 x 2 5 ,，则 x 2 的值为______.x
【答案】47
1 1 1 1
【解析】由 x 2 x 2 5 ，得 x 2 5，即 x 7 ，x x
1
所以 (x )2 49 2
1
，则 x 2 47 .x x
故答案为： 47 .
3
1
1
1
2 4ab 20．化简 1 (a 0,b 0) ___________. 4 (0.1) 1 a3b 3 2
8
【答案】 ##1.6
5
3
1 1 1 1 3 3 1 2 4ab 1 (2 2 ) 2 (2a 2b 2 )3 3 2 2【解析】 1 3 3 2 2 a b 83 3 4 (0.1) 1 a3b 3 2 10a 2b 2 10a 2b 2 5
8
故答案为：
5
3m 4n
21．已知10m 4，10n 3 ，则10 2 ______．
8 2
【答案】 ## 2
3 3
【解析】因为10m 4，10n 3 ，
3 3
3m 4n 10m 2
10 2 4
2 23 8
所以 ．
10n 2 3 2 3 3
8
故答案为：
3
1 1 1 n
22．若 a 0， x a n a n ，则 x 1 x2 的值为______．2
【答案】 a
1 1 1 1 1 2 1 1 2
【解析】将 x a n a n 代入1 x2，得1 x2
1 1
2 1 a
n a n 4 4
a n a n ，
n
2 n
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 x 1 x2 a n a n a n
1 1
a n
2 4
a n a n 2 2
a n a n a ．
故答案为： a .
三、解答题
1 0
23 9
3
．（1）求值： 0.125 3 [( 2)2 3 6 8
]2 ( 2 3) ；
1 1 2 2
（2 a a 1）已知 a 2 a 2 3(a 0) ，求值： 1 .a a 1
【答案】（1）81；（2）6.
1 1
【解析】（1）原式 ( ) 3 1 23 ( 2)6 ( 3 3)6 2 1 8 72 81；
8
1 1
（2）由
1 1
a 2 a 2 3(a 0) ，而 1
a a (a 2 a 2 )2 2 7 ，
2
a2 a 2 (a a 1)2 2 47 a a
2 1 47 1
则 ，故 1 6 .a a 1 7 1
x y x y
24．已知 x
1 1
， y ，求 的值.
2 3 x y x y
【答案】 4 6
2 2
x y x y x y x y 4 x y 1
【解析】化简 ，因为 x ，
x y x y x y x y x y 2
4 1 1 1
y 1 x y x y 4 x y
4
，所以 = 2 3 6 4 6 .
3 x y x y x y 1 1 1
2 3 6
25．计算或化简下列各式：
（1）(a－2)·(－4a－1)÷(12a－4)(a>0)；
2
（2） 3 3
3 -1
+0.002 2 －10( 5 －2)
－1＋( 2- 3 )0.
8
1 167
【答案】（1）－ a；（2）－ .
3 9
(1) 4a 2 1【解析】 原式 (12a 4 )
1 1
a 3 4 a
3 3
2 1
(2)原式 27
3
1 2 10
1
8 500 5 2
2
( 3
3 1
)
3
500
2 10( 5 2) 1
2
4 167
＝ ＋10 5 －10 5 －20＋1＝－ .9 9
1
1
26．（1 2 2 0）计算： 1 100
1 2 8 5 3 86 ；
1 1
（2）已知 x x 1 4，求 x 2 x 2 ．
1 1
【答案】（1）3；（2） x2 x 2 6 .
1
1
【解析】（1）原式 100
1 2
2 1 8 23 6 ，
1 1
1002 2 1 8 22
10 1 8 3．
1 1 2
（2）由于 x x 1
4 0，所以 x 0， x 2 x 2 x x 1 2 6，
1 1
所以 x2 x 2 6 ．专题 4.1 指数
1 指数运算
(1) 次方根与分数指数幂
一般地，如果 = ，那么 叫做 的 次方根，其中 > 1，且 ∈ .
式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数.
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.
注意： (1) ( ) = (2)当 是奇数时， = ，当 是偶数时， = | | =
, ≥ 0
, < 0.
(2) 正数的正分数指数幂的意义
① 正数的正分数指数幂的意义，规定： = ( > 0, , ∈ ,且 > 1)
巧记“子内母外”(根号内的 作分子，根号外的 作为分母)
1 1
② 正数的正分数指数幂的意义： = = ( > 0, , ∈ , 且 > 1)
③ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
(3) 实数指数幂的运算性质
① = + ( > 0, , ∈ )；
② ( ) = ( > 0, , ∈ )；
③ ( ) = ( > 0, ∈ ).
一、单选题 a
4
1．已知 a 0.63，b ( ) 1， c 1，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
5
A．b a c B． a c b
C． c b a D． a b c
2．若代数式 2x 1 2 x 有意义，则 4x2 4x 1 2 4 x 2 4 （ ）
A． 2 B．3 C． 2x 1 D． x 2
3． a a (a 0)可以化简成（ ）
1 3 2 2
A． a 4 B． a 4 C． a 3 D． a 5
4．函数 y a x
1
(a 0,a 1) 的图像可能是（ ）．
a
A． B．
C． D．
4
x 1 x 1 5
5．已知函数 f x 2 ，则 f f （2 ）
x 3(x 1)
1 3 9 5A． B． C． D．
2 2 2 2
2 5
6．化简 (2a 3b 3 ) ( 3a 1b) (4a 4b 3 ) (a,b 0) 得
3 7 7
A． b2
3
B． b2 C 3 b3 D 3． ． b3
2 2 2 2
3 1
7．化简 (a 2 )( 3a 2 ) 1 ( a) (a>0)等于（ ）
3
A．6a B．－a
C．－9a D．9a2
8．有下列四个式子：
① 3 ( 8)3 8；
② ( 10)2 10；
③ 4 (3 )4 3 ；
④ 2018 (a b)2018 a b．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
1 1 1 1 1
9．化简 (1 2 32 )(1 2 16 )(1 2 8 )(1 2 4 )(1 2 2 )的结果为（ ）
1 1 1 A． (1 1 2 32 ) B． (1 2 32 ) 1
2 2
1
C 1． (1 2 32 ) 1 D． 2
2 1
x
, x 0
10．已知函数 f x 2 ，则不等式 f (3x 1) 3的解集为（ ）
1 x2 1, x 0 2
A． log3 4, B． ,0 C． 0,1 D． 1,
x 1 ,0 x 2,11．已知函数 f x m x 若 f 1 f 3
1
，则实数m 的值是（ ）
2 , x 2, 2
A．1 B．2 C．3 D．4
12．定义在实数集 R 上的奇函数 f x 恒满足 f 1 x f x 1 ，且 x 0,1 时，
f x 5 4x 1 f ，则 （ ）2 2
5 5 17
A． B． C．1 D．-
2 2 2
1 x 1 x 313．已知 ，求 x
3
x
e2 e 2 2 e2 e 2 的值为
A．2 B．8 C．10 D．14
1 1
14 3 1． (2 )0 2 2 (2 ) 2 (0.01)2
5 4
16 317 5A． B． C． 8 D． 0
15 30 6
x
15．设函数 f x
2 ，x 0
，则满足 f x 1 f 2x 的 x 的取值范围是
1，x 0
A． ， 1 B． 0， C． 1，0 D． ，0
二、填空题
16．化简 11 6 2 11 6 2 = ________.
x
17 1 ．已知函数 f x a b的图象过原点，则 a b ___________．
2
18．求值 7 4 3 7 4 3 _______．
1 1
19．已知 2
1
x 2 x 2 5 ,，则 x 2 的值为______.x
1
1 2
3
4ab 1
20．化简 (a 0,b 0) ___________.
4 1(0.1) 1 a3b 3 2
3m 4n
21．已知10m 4，10n 3 ，则10 2 ______．
1 1 1 n
22．若 a 0， x a n a n ，则 x 1 x2 的值为______．2
三、解答题
1 0
3
23．（1）求值： 0.125 3 9 [( 2)2 ]2 ( 2 3 3)6；
8
1 1 2
2 a a
2 1
（ ）已知 a 2 a 2 3(a 0) ，求值： .a a 1 1
x y x y
24．已知 x
1 1
， y ，求 的值.
2 3 x y x y
25．计算或化简下列各式：
（1）(a－2)·(－4a－1)÷(12a－4)(a>0)；
2
2 3 3 -
1
（ ） 3 +0.002 2 －10( 5 －2)－1＋( 2- 3 )0 .
8
1
1
26 2．（1）计算： 1 1 2100
2 0 8 5 3 86 ；
1 1
（2）已知 x x 1 4，求 x 2 x 2 ．
