人教B版（2019）必修第一册 2.2.1不等式及其性质 第2课时 教案

第二章 等式与不等式
《2.2.1不等式及其性质》教学设计
第2课时
教学目标
1．掌握不等式5个性质与5个推论．
2．掌握用综合法、反证法、分析法证明不等式．
3．熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式．
教学重难点
教学重点：1．掌握不等式5个性质与5个推论．
2．掌握用综合法、反证法、分析法证明不等式．
3．熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式．
教学难点：正确选用性质、推论和思想方法来证明不等式．
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、整体概述
问题1：阅读课本第61~63页，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节将要研究不等式的性质及其推论以及证明不等式的方法．（2）起点是不等式的性质及部分推论，目标是掌握不等式的性质及其推论，正确选用性质、推论和思想方法来证明不等式．进一步提升逻辑推理素养．
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
二、探索新知
1．温故知新
复习不等式的性质及两个推论：
性质1 如果a>b，那么__________．
性质2 如果a>b，c>0，那么__________．
性质3 如果a>b，c<0，那么__________．
性质4 如果a>b，b>c，那么__________．
性质5 a>b __________．
推论1 如果a+b>c，那么__________．
推论2 如果a>b，c>d，那么__________．
师生活动：学生回答．
预设的答案：a+c>b+c；ac>b c；acc ；bc－b ；a+c>b+d．
问题：推论2是同向不等式的可加性，那么有没有类似的与乘法有关的性质呢？
设计意图：通过复习所学不等式的性质及推论，自然想到不等式有没有其它性质．
2．探究新知
知识点1 不等式的性质推论
师生活动：教师引导，学生回答．根据不等式性质2与性质4可得：
推论3 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd．
证明 根据性质2有
a>b，c>0 ac>bc．
c>d，b>0 bc>bd．
再根据性质4可知
ac>bd．
很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论：
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．
设计意图：从同向不等式的可加性出发，类似地推证出同向同正不等式可乘的性质，有利于提高学生的合情推理以及推理论证能力．
师生活动：教师引导，学生回答．多次使用推论3的结论还可以得到：
推论4 如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n>1）．
问题：不等式有没有与开方有关的性质呢？
师生活动：师生一起猜想，得到结论后，教师给出证明．
推论5 如果a>b>0，那么．
证明 假设，即或．
根据推论4和二次根式的性质，得
a这都与a>b矛盾，因此假设不成立，从而．
【思考】证明推论5中不等式的方法具有什么特征？
师生活动：师生一起探讨：可以看出，推论5中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．
教师总结：这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法．反证法的一般步骤：
三、初步应用
例1（1）已知a>b>0，0（2）设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d．证明：若ab>cd，则．
师生活动：教师引导，学生回答．教师写出规范解答．
预设的答案：证明 ：（1）因为0又因为a>b>0，所以根据推论3可知，即 ．
（2）法一）由题设知ab>cd>0，则．
又a＋b＝c＋d．
则
，即
而，，故．
法二）因为ab>cd>0，则，所以．
又a＋b＝c＋d，所以．
即．
又，，故．
方法总结：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．综合法中，最重要的推理形式为p q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论．在证明不等式时，当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等．
设计意图：通过本例让学生熟悉综合法的证明方法和格式．
例2 你能证明不等式吗？用综合法证明这个结论方便吗？
你觉得可以怎样证明这个结论？
师生活动：教师引导，学生回答．直接证明并不容易，因此可以考虑用反证法，请同学们完成．
预设的答案：法一）假设不等式不成立，则．
两边平方得，所以，所以，该不等式显然不成立，所以原不等式成立．
法二）师生一起分析，教师写出规范解答：
要证，只需证明．
展开得10+2<20，即<5，这只需证明．
即21<25．因为21<25成立，所以成立．
教师总结：上述这种证明方法通常称为分析法．分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为pq，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．
的证明过程也可简写为：因为
<521<25．
又因为21<25成立，所以结论成立．
设计意图：通过本例让学生熟悉分析法的证明方法和格式．
例3 已知m>0，求证：
师生活动：教师引导，学生回答．
预设的答案：证明 ：因为m>0，所以3+m>0，从而
，
又因为已知m>0，所以结论成立．
设计意图：通过本例让学生进一步熟悉分析法的证明方法和格式．
练习：教科书P54练习A5
四、归纳小结，布置作业
1．板书设计：
2.2.1不等式及其性质
1．不等式的基本性质
（1）对称性：a＞b b＜a．
（2）传递性：a＞b，b＞c a＞c．
（3）可加性：a＞b a＋c＞b＋c．
（4）可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc．
（5）加法法则：a＞b，c＞d a＋c＞b＋d．
（6）乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd．
（7）乘方法则：a＞b＞0 an＞bn＞0（n∈N，n≥2）．
（8）开方法则：a＞b＞0
反证法
例1
综合法
例2
分析法
例3
2．总结概括：
回顾本节课，你有什么收获？
（1）不等式的性质推论
（2）证明不等式的方法
师生活动：学生总结，老师适当补充．
作业：教科书P55练习B 4
2．已知x>0，y>0，且x+y>2．求证：，中至少有一个小于2．
参考答案：证明：假设，都不小于2，即，．
∵x，y>0，∴1+x≥2y，1+y≥2x．
∴2+x+y≥2（x+y），即x+y≤2，与已知x+y>2矛盾．
∴，中至少有一个小于2．