苏教版（2019）必修第一册4.2 对数 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
第4章
4.2
对 数
学习目标
1.理解对数的概念，能够熟练地转化指数式与对数式.
2.理解对数的运算性质.
3.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
4.了解对数在简化运算中的作用.
核心素养：数学抽象、数学运算
新知学习
一、对数的概念
1.对数的概念
一般地，如果ab＝N（a>0，a≠1），那么就称b
是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数.
【说明】规定a>0且a≠1是因为：
（1）若a<0，则当N为某些值时，b的值不存在.如：b＝log（-2）8不存在.
（2）若a＝0，则①当N≠0时，b的值不存在.如：log03（可理解为0的多少次幂是3）不存在.
②当N＝0时，b可以是除零以外的任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值.
（3）若a＝1，则①当N≠1时，b的值不存在.如：log13不存在.
②当N＝1时，b可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值.
因此规定a>0，且a≠1.
示例　在b＝loga-2（5-a）中，实数a的取值范围是　　　 　.
（2，3）∪（3，5）

2.指数式与对数式的关系
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，a≠1时，ab＝N?b＝logaN.
在ab＝N与b＝logaN中，a，b，N是同一个代表符号，只是有不同的名称.
【注意】并非所有的指数式都可以直接化为对数式，如（-3）2＝9就不能直接写成log-39＝2，只有符合a>0，a≠1，才有ab＝N?b＝logaN.

表达形式 a b N 对应的运算
ab＝N 底数 指数 幂 乘方，由a，b求N
方根 根指数 被开方数 开方，由N，b求a
logaN＝b 底数 对数 真数 对数，由N，a求b
由此可知：开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算.


3.自然对数与常用对数
名称 定义 符号
常用对数 以10为底的对数叫作常用对数 log10N记为lg N
自然对数 以e为底的对数叫作自然对数，e是无理数，e＝2.718 28… logeN记为ln N





【方法技巧】求对数式logaN（a>0，且a≠1，N>0）的值的步骤
（1）设logaN＝m；
（2）将logaN＝m写成指数式am＝N；
（3）将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.
二、对数的运算性质　
1.对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，则
（1）loga（MN）＝logaM+logaN. 即两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数对数的和.



2.对数运算性质与指数运算性质的对比
表达式 ab＝N logaN＝b
运算法则 am·an＝am+n loga（MN）＝logaM+logaN
（am）n＝amn logaM n＝nlogaM

【巧记】 积的对数变加法，商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前.

A


【说明】换底公式的用途和本质
（1）换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，以此来解决对数求值问题.
（2）换底公式的本质在于改变对数式的底数，以便进行计算和证明.究竟以哪个数为底数，由已知条件来决定.一般换成以10为底的常用对数.

【知识拓展】（1）logab·logbc＝logac（a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0）.
（2）logab·logbc·logca＝1（a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0且c≠1）.

【注意】（1）利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.
（2）题目中有指数式与对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式.




典例剖析


【方法总结】（1）对于同底数的对数式，化简的常用方法：“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和（差）“收”成积（商）的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和（差）.（2）对常用对数的化简要创设情境，要充分利用“lg 5+lg 2＝1”来解题.（3）对含有多重对数符号的对数式，应从内向外逐层化简.
二、对数换底公式及其应用
例 2 计算：（log2125+log425+log85）×（log52+log254+log1258）.
【方法技巧】利用换底公式，先将不同底数的对数式转化为同底数的对数式，将一般对数转化为自然对数或常用对数 ，然后运用对数的运算性质运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.


【技巧点拨】与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质.要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化.



【解】（1）由方程，得log2（x+1）＝log4（x+4）+1，
∴ log4（x+1）2＝log4［4（x+4）］，∴ （x+1）2＝4（x+4），解得x＝5或x＝-3.
经检验，知x＝-3不符合题意，舍去；x＝5为原方程的解.故原方程的解为x＝5.
（2）方程两边取常用对数，得［（lg x）3-2lg x］lg x＝lg 0.1，
整理，得（lg x）4-2（lg x）2+1＝0，∴ ［（lg x）2-1］2＝0，∴ （lg x）2＝1，
则lg x＝±1，解得x＝10或x＝0.1.
经检验，知x＝10与x＝0.1均为原方程的解.故原方程的解为x＝10或x＝0.1.
【点评】解对数方程就是将其转化为同底数的对数式求解，或通过换元转化为一般的代数方程求解，注意在将对数方程化为一般代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小都容易产生增根或漏掉原方程的根，故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验.
【方法技巧】对数方程的类型与解法
名称 类型 解法
基本型 loga f（x）＝b 将对数式转化为指数式f（x）＝ab，解出x（注意检验f（x）>0）
logf（x）n＝b 将对数式化为指数式［f（x）］b＝n，解出x（注意检验f（x）>0且f（x）≠1）
同底数型 loga f（x）＝logaφ（x） 转化为f（x）＝φ（x）求解（注意检验f（x）>0，φ（x）>0）
需代换型 f（logax）＝0 换元，令t＝logax，转化为关于t的方程f（t）＝0，解得t＝p，
再解方程logax＝p，得到x＝ap（注意检验a>0且a≠1，x>0）
取对数型 af（x）＝bφ（x） 取常用对数得f（x）·lg a＝φ（x）·lg b
五、对数的实际应用
例 5 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　）（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30）
A.2021年 B.2022年 C.2023年 D.2024年
C


B
随堂小测
BD
　　　　
　　　　
B

A
ACD　　
A


谢 谢！