苏教版（2019）必修第一册7.3.2 三角函数的图象与性质 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
第7章
7.3
三角函数的图象和性质
7.3.2 三角函数的图象与性质
学习目标
1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.
2.能借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质.
3.能借助正切线画出正切函数的图象，并通过图象理解正切函数的性质.
核心素养：数学抽象、数学运算、直观想象
新知学习
一　正弦函数y＝sin x的图象
1正弦函数的图象的画法
正弦函数在［0，2π］内的图象如图.
正弦函数的图象如图
注意 1.y＝sin x，x∈［0，2π］的图象不是正弦曲线，y＝sin x，x∈R的图象才是正弦曲线，前者是后者图象的一部分.同样，y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线.y＝sin x，x∈R叫正弦函数.函数y＝sin 2x，y＝sin x-1都不是正弦函数，可称为正弦型函数.
2.正弦曲线和余弦曲线的形状完全相同，但在坐标系中的位置不同.


示例 用五点法画出函数y＝2sin x在［0，2π］内的图象.

【解】 列表
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，得到y＝2sin x，x∈［0，2π］的图象（如图所示）.
x 0 π 2π
2sin x 0 2 0 -2 0


注意
（1）正弦函数（余弦函数）不是定义域上的单调函数.另外，说“正弦函数（余弦函数）
在第一象限内是增（减）函数”是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，
它们也可以相差2π的整数倍.
（2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，
即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值.
（3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与x轴的交点，
即此时的正弦值（余弦值）为0.
2余弦曲线
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫做余弦曲线（图7-3-7）.
示例 用五点法画出函数y＝-cos x，x∈［0，2π］的图象.

【解】 按五个关键点列表
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（如图所示）.
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
-cos x -1 0 1 0 -1
三　正弦、余弦函数的性质
三角函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
值域 ［-1，1］ ［-1，1］
周期性 最小正周期为2π 最小正周期为2π
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性 在闭区间［（2k-1）π，2kπ］（k∈Z）上是增函数；
在闭区间［2kπ，（2k+1）π］（k∈Z）上是减函数
最值 当x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
当x＝（2k+1）π（k∈Z）时，ymin＝-1
图象的 对称性











A




①
②
由于正切函数y＝tan x是以π为周期的周期函数，故只需把上述图象向左、右平移（每次π个单位长度），就可得到正切函数的图象（如图②），并把它称为正切.

2正切函数的性质
名称 正切函数的性质 图象特点
定义域
值域 R 图象向上、向下无限延伸
周期性 最小正周期为π
奇偶性 奇函数 图象关于原点对称
单调性
对称性
示例 画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性.
　




五　正弦型函数y＝Asin （ωx+φ）及余弦型函数y＝Acos （ωx+φ）的性质
函数 y＝Asin （ωx+φ）（A≠0，ω≠0） y＝Acos （ωx+φ）（A≠0，ω≠0）
定义域 R R
值域 ［-|A|，|A|］ ［-|A|，|A|］
单调性 当A>0，ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y＝sin x或y＝cos x相应的单调区间求解； 当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化
奇偶性
周期性
对称性 将ωx+φ视为整体，代入y＝sin x或y＝cos x相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解
注意
（1）一般地，当ω<0时，应将y＝ Asin （ωx+ φ）（A≠0）变形为y＝-Asin （-ωx-φ），y＝Acos （ωx +φ）（A≠0）变形为y＝Acos （-ωx-φ），再求函数的单调区间，所有的这些变形都是为了使x前面的系数为正值，同时要注意A<0时单调区间的变化.
（2）若函数的定义域不是R，则函数y＝Asin （ωx+φ）和y＝Acos （ωx+φ）的图象不一定有对称轴和对称中心.

六　正切型函数y＝Atan （ωx+φ）的性质
函数 y＝Atan （ωx+φ）（A≠0，ω≠0）
定义域
值域 R
周期性
奇偶性
单调性
对称性
典例剖析
一、三角函数图象问题
1.三角函数图象的画法
例 1画出函数y＝sin x-1，x∈［0，2π］的简图.
【解】 （方法1）取五个关键点列表：
描点，并用光滑曲线连接，如图.
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
sin x-1 -1 0 -1 -2 -1
（方法2）可先用“五点法”画y＝sin x，x∈［0，2π］的图象（如图中的虚线图象），
再将其向下平移1个单位长度，可得函数y＝sin x-1，x∈［0，2π］的图象.
【方法总结】“五点法”作正弦曲线和余弦曲线的步骤
2判断方程解的个数或两个函数图象的交点个数
例 2函数f（x）＝sin x+2|sin x|，x∈［0，2π］的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围.

【方法总结】利用函数图象判断方程根的个数的一般方法
1.画出函数的图象，利用函数图象与x轴交点的个数判断方程根的个数.
2.将函数对应的方程拆分成两个简单函数，利用这两个简单函数图象交点的个数判断.


【方法总结】由三角函数图象求三角不等式的解集时，常用数形结合思想，化归为三角函数图象位于某直线上方（或下方）的问题，结合图象就可以写出其规律.
用三角函数的图象解sin x>a（或cos x>a）的步骤：
（1）作出y＝a，y＝sin x（或y＝cos x）的图象.（2）确定sin x＝a（或cos x＝a）的x值（临界条件）.
（3）确定sin x>a（或cos x>a）的解集.



A






【方法总结】三角函数最值问题的常见类型及求解方法
（1）一次函数复合型：y＝asin （ωx +φ）+b，可先由定义域求得ωx+φ的范围，然后求得sin（ωx +φ）的范围，最后得最值.也可用换元法，设t＝sin （ωx+ φ），转化为一次函数y＝at+b求最值，注意a的正负.对于y＝Atan（ωx+φ），可以把ωx+φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域.
（2）二次函数复合型：y＝asin2x+bsin x+c（a≠0），利用换元法，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2+bt+c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.若函数的解析式为y＝acos2x+bsin x+c（a≠0），则可化为y＝-asin2x +bsin x +c+a进行求解.对于与tan x相关的二次函数，形如y＝atan2x+
btan x+c（a≠0），可以把tan x看成整体，利用换元法求值域，换元时要注意等价性.




【方法总结】求三角函数单调区间的基本方法——基本函数法
用“基本函数法”求函数y＝Asin（ωx+φ），y＝Acos（ωx+φ），y＝Atan（ωx+φ）（A>0，ω>0）的单调区间的步骤：
（1）写出基本函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的相应单调区间；
（2）将“ωx+φ”视为整体替换基本函数的单调区间对应的不等式组中的“x”；
（3）解关于x的不等式组.


（2）cos 870°＝cos（720°+150°）＝cos 150°，sin 980°＝sin（720°+260°）＝sin 260°＝cos 170°.
因为0°<150°<170°<180°，且y＝cos x在［0，π］上是减函数，
所以cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.
【方法总结】比较三角函数值大小的方法
（1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，
再利用函数的单调性比较.
（2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上.


【方法总结】已知正、余弦型函数在区间上单调求参数范围的方法
1.子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是该区间的子集，列不等式（组）求解.
2.反子集法：由所给区间求出整体的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，
列不等式（组）求解.
3.周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的横向距离不超过四分之一周期列不等式（组）求解.


【解】 （1）函数的定义域为R，关于原点对称，因为f（-x）＝sin ［cos（-x）］＝sin（cos x）＝f（x），
所以函数f（x）＝sin（cos x）是偶函数.
【方法总结】判断三角函数奇偶性的步骤
（1）根据诱导公式化简函数式；（2）看函数的定义域是否关于原点对称；（3）判断f（x）与f（-x）的关系.
（2）函数的定义域为R，关于原点对称，因为f（x）＝cos x-x3·sin x，
所以f（-x）＝cos（-x）-（-x）3·sin（-x）＝cos x-x3·sin x＝f（x），所以f（x）为偶函数.



B




D
随堂小测
A
　　　　
A

C
D
A

　　　　


[0,2]
2

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