人教B版（2019）必修第一册 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 第2课时 教案
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第一册 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 第2课时 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 76.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-06 09:29:36 | ||
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文档简介
第二章 等式与不等式
《2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系》
第2课时
教学目标
1．掌握一元二次方程根与系数的关系．
2．灵活运用根与系数的关系解决一元二次方程问题．
教学重难点
教学重点：用根与系数的关系解题．
教学难点：灵活运用根与系数的关系解决问题．
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、整体概述
问题1：阅读课本第49~50页，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节将要研究一元二次方程的根与系数的关系．（2）起点是一元二次方程的解法及求根公式，目标是会求解一元二次方程的两根和与两根积，并灵活运用根与系数的关系解决问题．提升数学运算素养．
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
二、探索新知
1．情境与问题
学完一元二次方程的解集后，我就听到了咱班的小奕和小涵的一段悄悄话，内容如下：
小奕：小涵，我发现了一个秘密！
小涵：什么秘密？
小奕：你知道咱们尊敬的刘老师的年龄吗？
小涵：不知道哎！
小奕：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄是一元二次方程x2－13x+36=0的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．
小涵：咳，这你可难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，刘老师的年龄是方程x2－36x－40=0的两根的和呢．
小奕：哈哈，你太有才了．对了，咱们应该也让同学们猜一猜，不解方程，能不能求出刘老师的年龄．
设计意图：创设一个情境，激发学生学习数学的兴趣．
2． 探究新知
知识点1 一元二次方程根与系数的关系
问题：一元二次方程若有实数根，它的根是两个吗？这两根的和与积有什么特殊性吗？
师生活动：与学生一起回顾：前面我们已经知道，一元二次方程的解集情形：
（1）当时，方程的解集为；
（2）当时，方程的解集为；
（3）当时，方程的解集为．
当时，方程有两个实数根（当Δ=0时，x1=x2，按照初中的习惯，我们仍称方程有两个相等的实数根），计算可得：这两个实数根的和与积分别为、．
（1）用语言叙述为：一元二次方程的解集不空时，两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比．
（2）的两根是，用式子表示为：，
这个结论通常称为一元二次方程根与系数的关系．
【数学文化】法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理． 由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理．
设计意图：在已有公式法解一元二次方程的知识的基础上，可以最快速度说出的值，进而计算和，得出根与系数关系的结论．同时让学生体会数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中的一些结论并不是高不可攀的．
三、初步应用
例1 已知一元二次方程2x2+3x－4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值：
（1）x12+x22； （2）|x1－x2|．
问题：是否要求出x1和x2，并由此给出上述（1）和（2）的答案？
师生活动：学生思考后回答：可以先求出x1和x2，并计算（1）和（2）中代数式的值，也可利用根与系数的关系求解，教师写出规范解答：
由一元二次方程根与系数的关系，得，．
（1）由上有．
（2）因为．
所以．
设计意图：加深对一元二次方程根与系数关系的理解，培养学生的应用意识和能力，渗透整体代入思想．
例2 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，试求m的值．
师生活动：与学生一起分析，教师书写规范解题过程．
预设的答案：解：由题知．
解得m>－1且m≠0．
因为，．
所以，解得m＝2或m＝－1．
又因为m>－1，所以m＝2．
设计意图：加深对一元二次方程根与系数关系的理解，培养学生的应用意识和能力，渗透整体代入思想．
例3已知方程x2＋tx＋1＝0，根据下列条件，分别求出t的取值范围．
（1）两个根都大于0；
（2）两个根都小于0；
师生活动：与学生一起分析，教师书写规范解题过程．
预设的答案：解：设方程x2＋tx＋1＝0的两个根为x1，x2．
（1）由题意得 ，解得t≤－2．所以t的取值范围为（－∞，－2]．
（2） ，解得t≥2．
所以t的取值范围为[2，＋∞）．
【想一想】是否存在t，使方程x2＋tx＋1＝0一个根大于0，另一个根小于0．
师生活动：由前面知道：若有解，两根积为1是正数，所以不可能两根异号的，即不存在实数t使得方程的一个根大于0，另一个根小于0．
设计意图：利用一元二次方程根与系数的关系，讨论方程两根符号问题，或由两根符号求参数值或参数的范围．培养学生的应用意识和能力，渗透整体代入思想．
练习：1．已知x1，x2是一元二次方程的两个实数根，求的值．
2．已知关于x的方程x2+（2k－1）x+k2－1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足=16+x1x2，求实数k的值．
师生活动：学生独立完成，教师巡视学生的解题过程．
预设的答案：1．根据一元二次方程根与系数的关系可知．
所以．
2． （1）关于x的方程x2+（2k－1）x+k2－1=0有两个实数根x1，x2，Δ=（2k－1）2－4（k2－1）=－4k+5≥0．
解得，实数k的取值范围为．
（2）关于x的方程x2+（2k－1）x+k2－1=0有两个实数根x1，x2，x1+x2=1－2k，x1x2=k2－1．
∵=（x1+x2）2－2x1x2=16+x1x2．
∴（1－2k）2－2（k2－1）=16+（k2－1），即k2－4k－12=0．
解得k=－2或k=6（不符合题意，舍去）．
所以实数k的值为－2．
设计意图：加深对一元二次方程根与系数关系的理解，培养学生的分析问题和解决问题的能力．
四、归纳小结，布置作业
1．板书设计：
2.1.2一元二次方程根与系数的关系
1．一元二次方程根与系数的关系
例1
例2
例3
2．总结概括：
回顾本节课，你有什么收获？
（1）一元二次方程根与系数的关系是什么？
（2）一元二次方程根与系数的关系使用条件是什么？
师生活动：学生总结，老师适当补充．
作业：教科书P51练习B 2、3
《2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系》
第2课时
教学目标
1．掌握一元二次方程根与系数的关系．
2．灵活运用根与系数的关系解决一元二次方程问题．
教学重难点
教学重点：用根与系数的关系解题．
教学难点：灵活运用根与系数的关系解决问题．
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、整体概述
问题1：阅读课本第49~50页，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节将要研究一元二次方程的根与系数的关系．（2）起点是一元二次方程的解法及求根公式，目标是会求解一元二次方程的两根和与两根积，并灵活运用根与系数的关系解决问题．提升数学运算素养．
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
二、探索新知
1．情境与问题
学完一元二次方程的解集后，我就听到了咱班的小奕和小涵的一段悄悄话，内容如下：
小奕：小涵，我发现了一个秘密！
小涵：什么秘密？
小奕：你知道咱们尊敬的刘老师的年龄吗？
小涵：不知道哎！
小奕：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄是一元二次方程x2－13x+36=0的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．
小涵：咳，这你可难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，刘老师的年龄是方程x2－36x－40=0的两根的和呢．
小奕：哈哈，你太有才了．对了，咱们应该也让同学们猜一猜，不解方程，能不能求出刘老师的年龄．
设计意图：创设一个情境，激发学生学习数学的兴趣．
2． 探究新知
知识点1 一元二次方程根与系数的关系
问题：一元二次方程若有实数根，它的根是两个吗？这两根的和与积有什么特殊性吗？
师生活动：与学生一起回顾：前面我们已经知道，一元二次方程的解集情形：
（1）当时，方程的解集为；
（2）当时，方程的解集为；
（3）当时，方程的解集为．
当时，方程有两个实数根（当Δ=0时，x1=x2，按照初中的习惯，我们仍称方程有两个相等的实数根），计算可得：这两个实数根的和与积分别为、．
（1）用语言叙述为：一元二次方程的解集不空时，两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比．
（2）的两根是，用式子表示为：，
这个结论通常称为一元二次方程根与系数的关系．
【数学文化】法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理． 由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理．
设计意图：在已有公式法解一元二次方程的知识的基础上，可以最快速度说出的值，进而计算和，得出根与系数关系的结论．同时让学生体会数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中的一些结论并不是高不可攀的．
三、初步应用
例1 已知一元二次方程2x2+3x－4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值：
（1）x12+x22； （2）|x1－x2|．
问题：是否要求出x1和x2，并由此给出上述（1）和（2）的答案？
师生活动：学生思考后回答：可以先求出x1和x2，并计算（1）和（2）中代数式的值，也可利用根与系数的关系求解，教师写出规范解答：
由一元二次方程根与系数的关系，得，．
（1）由上有．
（2）因为．
所以．
设计意图：加深对一元二次方程根与系数关系的理解，培养学生的应用意识和能力，渗透整体代入思想．
例2 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，试求m的值．
师生活动：与学生一起分析，教师书写规范解题过程．
预设的答案：解：由题知．
解得m>－1且m≠0．
因为，．
所以，解得m＝2或m＝－1．
又因为m>－1，所以m＝2．
设计意图：加深对一元二次方程根与系数关系的理解，培养学生的应用意识和能力，渗透整体代入思想．
例3已知方程x2＋tx＋1＝0，根据下列条件，分别求出t的取值范围．
（1）两个根都大于0；
（2）两个根都小于0；
师生活动：与学生一起分析，教师书写规范解题过程．
预设的答案：解：设方程x2＋tx＋1＝0的两个根为x1，x2．
（1）由题意得 ，解得t≤－2．所以t的取值范围为（－∞，－2]．
（2） ，解得t≥2．
所以t的取值范围为[2，＋∞）．
【想一想】是否存在t，使方程x2＋tx＋1＝0一个根大于0，另一个根小于0．
师生活动：由前面知道：若有解，两根积为1是正数，所以不可能两根异号的，即不存在实数t使得方程的一个根大于0，另一个根小于0．
设计意图：利用一元二次方程根与系数的关系，讨论方程两根符号问题，或由两根符号求参数值或参数的范围．培养学生的应用意识和能力，渗透整体代入思想．
练习：1．已知x1，x2是一元二次方程的两个实数根，求的值．
2．已知关于x的方程x2+（2k－1）x+k2－1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足=16+x1x2，求实数k的值．
师生活动：学生独立完成，教师巡视学生的解题过程．
预设的答案：1．根据一元二次方程根与系数的关系可知．
所以．
2． （1）关于x的方程x2+（2k－1）x+k2－1=0有两个实数根x1，x2，Δ=（2k－1）2－4（k2－1）=－4k+5≥0．
解得，实数k的取值范围为．
（2）关于x的方程x2+（2k－1）x+k2－1=0有两个实数根x1，x2，x1+x2=1－2k，x1x2=k2－1．
∵=（x1+x2）2－2x1x2=16+x1x2．
∴（1－2k）2－2（k2－1）=16+（k2－1），即k2－4k－12=0．
解得k=－2或k=6（不符合题意，舍去）．
所以实数k的值为－2．
设计意图：加深对一元二次方程根与系数关系的理解，培养学生的分析问题和解决问题的能力．
四、归纳小结，布置作业
1．板书设计：
2.1.2一元二次方程根与系数的关系
1．一元二次方程根与系数的关系
例1
例2
例3
2．总结概括：
回顾本节课，你有什么收获？
（1）一元二次方程根与系数的关系是什么？
（2）一元二次方程根与系数的关系使用条件是什么？
师生活动：学生总结，老师适当补充．
作业：教科书P51练习B 2、3